山东省济南市平阴县2023-2024学年九年级上学期期末真题卷-【期末考前示范卷】2024-2025学年九年级上册数学(济南专版)

平阴县九年级第一学期期末真题卷 (时间:120 分钟　 满分:150 分) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、选择题(共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 1. 榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式,是我国工艺文化精神的传奇。 凸出部分 叫榫,凹进部分叫卯,如图是某个部件“卯”的实物图,它的俯视图是 (　 　 ) A. B. C. D. 第 1 题图 　 　 　 第 4 题图 　 　 　 第 6 题图 　 　 　 第 7 题图 2. 如果两个相似三角形对应边之比是 1 ∶ 2,那么它们的对应周长之比是 (　 　 ) A. 1 ∶ 2 B. 1 ∶ 2 C. 1 ∶ 4 D. 1:6 3. 下列函数中,函数值 y 随 x 值的增大而减小的是 (　 　 ) A. y= 6x B. y= -6x C. y= 6 x D. y= - 6 x 4. 如图,小兵同学从点 A 处出发向正东方向走 x 米到达点 B 处,再向正北方向走到点 C 处,已知 ∠BAC=α,则 A,C 两处相距 (　 　 ) A. x cos α 米 B. x sin α 米 C. x·sin α 米 D. x·cos α 米 5. 据国家统计局发布的《2022 年国民经济和社会发展统计公报》显示,2020 年和 2022 年全国居民人 均可支配收入分别为 3. 2 万元和 3. 7 万元。 设 2020 年至 2022 年全国居民人均可支配收入的年 平均增长率为 x,依题意可列方程为 (　 　 ) A. 3. 2(1+x) 2 = 3. 7 B. 3. 7(1+x) 2 = 3. 2 C. 3. 7(1-x) 2 = 3. 2 D. 3. 2(1-x) 2 = 3. 7 6. 如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点分别为 A(1,2),B(2,1),C(3,2),现以原点 O 为 位似中心,在第一象限内作与△ABC 的相似比为 2 的位似图形△A′B′C′,则顶点 C′的坐标是 (　 　 ) A. (2,4) B. (4,2) C. (6,4) D. (5,4) 7. 如图,在☉O 中,弦 AB,CD 相交于点 P。 若∠A= 48°,∠APD= 80°,则∠B 的度数为 (　 　 ) A. 32° B. 42° C. 48° D. 52° 8. 为落实教育部办公厅、中共中央宣传部办公厅关于《第 41 批向全国中小学生推荐优秀影片片目》 的通知精神,某校七、八年级分别从如图所示的三部影片中随机选择一部组织本年级学生观看,则 这两个年级选择的影片相同的概率为 (　 　 ) A. 1 2 B. 1 3 C. 1 6 D. 1 9 第 8 题图 　 　 　 　 第 9 题图 9. 如图,在平面直角坐标系中,点 A,B 在函数 y= k x (k>0,x>0)的图象上,分别以点 A,B 为圆心,1 为 半径作圆,当☉A 与 x 轴相切、☉B 与 y 轴相切时,连接 AB,AB= 3 2 ,则 k 的值为 (　 　 ) A. 3 B. 3 2 C. 4 D. 6 10. 若一个点的纵坐标是横坐标的 3 倍,则称这个点为“三倍点”,如:点 A(1,3),B( -2,-6),C(0,0) 等都是“三倍点”。 在-3<x<1 的范围内,若二次函数 y = -x2 -x+c 的图象上至少存在一个“三倍 点”,则 c 的取值范围是 (　 　 ) A. - 1 4 ≤c<1 B. -4≤c<-3 C. - 1 4 <c<5 D. -4≤c<5 二、填空题(共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 11. 不透明袋子中装有 10 个球,其中有 7 个绿球、3 个红球,这些球除颜色外无其他差别,从袋子中随 机取出 1 个球,则它是绿球的概率为 。 12. 已知 x y = 2 3 ,那么x +y y 的值等于 。 13. 若 x= 2 是关于 x 的方程 x2 +x-2m= 0 的一个解,则 m 的值是 。 14. 已知二次函数 y= -3(x-2) 2 -3 的顶点坐标为 。 15. 如图,在△ABC 中,∠ABC= 90°,∠A= 60°,直尺的一边与 BC 重合,另一边分别交 AB,AC 于点 D, E。 点 B,C,D,E 处的读数分别为 15,12,0,1,则直尺宽 BD 的长为 。 第 15 题图 　 　 　 第 16 题图 16. 如图,在反比例函数 y= 8 x (x>0)的图象上有 P1,P2,P3,…,P2 024 等点,它们的横坐标依次为 1,2, 3,…,2 024,分别过这些点作 x 轴与 y 轴的垂线,图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为 S1,S2,S3,…,S2 023,则 S1 +S2 +S3 +…+S2 023 = 。 三、解答题(共 10 个小题,共 86 分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (6 分)计算:( -2 023) 0 + 4 -2sin 30°+ | -5 | 。 18. (6 分)解方程:x2 -3x-4 = 0。 19. (6 分)在综合与实践课上,老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动。 有一张矩形 纸片 ABCD 如图所示,点 N 在边 AD 上,现将矩形折叠,折痕为 BN,点 A 对应的点记为点 M,若点 M 恰好落在边 DC 上,求证:△NDM∽△MCB。 20. (8 分)贵州旅游资源丰富。 某景区为给游客提供更好的游览体验,拟在如图 1 景区内修建观光 索道。 设计示意图如图 2 所示,以山脚点 A 为起点,沿途修建 AB,CD 两段长度相等的观光索道, 最终到达山顶点 D 处,中途设计了一段与 AF 平行的观光平台 BC 为 50 m。 索道 AB 与 AF 的夹 角为 15°,CD 与水平线夹角为 45°,点 A,B 两处的水平距离 AE 为 576 m,DF⊥AF,垂足为 F。 (图 中所有点都在同一平面内,点 A,E,F 在同一水平线上) (1)求索道 AB 的长; (2)求水平距离 AF 的长。 (参考数据:sin 15°≈0. 25,cos 15°≈0. 96,tan 15°≈0. 26, 2 ≈1. 41;结果精确到 1 m) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 图 1　 　 　 　 　 　 　 　 　 图 2 —71— 21. (8 分)某校举办“我劳动,我快乐,我光荣”活动。 为了解该校九年级学生周末在家的劳动情况, 随机调查了九年级(1)班的所有学生在家劳动时间 x(单位:小时),并进行了统计和整理,绘制如 图所示的不完整统计图。 根据图表信息回答以下问题: 类别 劳动时间 x A 0≤x<1 B 1≤x<2 C 2≤x<3 D 3≤x<4 E 4≤x 　 　 　 　 　 　 (1)九年级(1)班的学生共有 人,补全条形统计图; (2)已知 E 类学生中恰好有 2 名女生、3 名男生,现从中抽取两名学生做劳动交流,请用列表或画 树状图的方法,求所抽的两名学生恰好是一男一女的概率。 22. (8 分)当今社会,“直播带货”已经成为商家的一种新型的促销手段。 小亮在直播间销售一种进 价为每件 10 元的日用商品,经调查发现,该商品每天的销售量 y(件)与销售单价 x(元)满足一次 函数关系,它们的关系如下表。 销售单价 x /元 20 25 30 销售量 y /件 200 150 100 (1)求 y 与 x 之间的函数关系式; (2)该商家每天想获得 2 160 元的利润,又要尽可能地减少库存,应将销售单价定为多少元? 23. (10 分)如图,在△ABC 中,以 AB 为直径的☉O 交 BC 于点 D,DE 是☉O 的切线,且 DE⊥AC,垂足 为 E,延长 CA 交☉O 于点 F。 (1)求证:AB=AC; (2)若 AE= 3,DE= 6,求 CE 的长。 24. (10 分)如图,一次函数 y1 = kx+b(k≠0)与反比例函数 y2 = m x (x>0)的图象交于 A(4,1),B( 1 2 ,a) 两点。 (1)求这两个函数的表达式; (2)根据图象,直接写出满足 y1 -y2 >0 时 x 的取值范围; (3)点 P 在线段 AB 上,过点 P 作 x 轴的垂线,垂足为 M,交反比例函数 y2 的图象于点 Q,若 △POQ 的面积为 3,求点 P 的坐标。 25. (12 分)如图 1,抛物线 y=ax2 +bx-9 与 x 轴交于点 A( -3,0),B(6,0),与 y 轴交于点 C,连接 AC, BC。 P 是 x 轴上任意一点。 (1)求抛物线的表达式; (2)点 Q 在抛物线上,若以点 A,C,P,Q 为顶点,AC 为一边的四边形为平行四边形时,求点 Q 的 坐标; (3)如图 2,当点 P(m,0)从点 A 出发沿 x 轴向点 B 运动时(点 P 与点 A,B 不重合),自点 P 分别作 PE∥BC,交 AC 于点 E,作 PD⊥BC,垂足为 D。 当 m 为何值时,△PED 面积最大,并求出最大值。 图 1 　 　 　 图 2 26. (12 分)问题背景:一次小组合作探究课上,小明将一个正方形 ABCD 和等腰直角三角形 CEF 按 如图 1 所示的位置摆放(点 B,C,E 在同一条直线上),其中∠ECF= 90°。 小组同学进行了如下探 究,请你帮忙解答。 初步探究: (1)如图 2,将等腰直角三角形 CEF 绕点 C 按顺时针方向旋转,连接 BF,DE。 请直接写出 BF 与 DE 的关系:　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ; (2)如图 3,将(1)中的正方形 ABCD 和等腰直角三角形 CEF 分别改成菱形 ABCD 和等腰三角形 CEF,其中 CE=CF,∠BCD= ∠FCE,其他条件不变,求证:BF=DE; 深入探究: (3)如图 4,将(1)中的正方形 ABCD 和等腰直角三角形 CEF 分别改成矩形 ABCD 和 Rt△CEF,其 中∠ECF= 90°且CE CF =CD BC = 3 4 ,其他条件不变。 ①探索线段 BF 与 DE 的数量关系,并说明理由; ②连接 DF,BE,若 CE= 6,AB= 12,直接写出 DF2 +BE2 = 。 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 　 　 图 4 —81— ∴ ∠DAC= ∠ACE。 ∴ AD∥CE。 ∴ CE⊥BF。 ∵ ∠DAE= 90°, ∴ 四边形 ADFE 是矩形。 ∴ EF=AD= 3。 ∴ CF=CE-EF= 4 3 -3。 平阴县九年级第一学期期末真题卷 1. B　 2. B　 3. B　 4. A　 5. A　 6. C　 7. A　 8. B　 9. C　 10. D 11. 7 10 　 12. 5 3 　 13. 3 　 14. ( 2, - 3) 　 15. 2 3 3 　 16. 2 023 253 17.解:(-2 023) 0 + 4 -2sin 30°+ | -5 | = 1+2-2× 1 2 +5 = 1+2-1+5 = 7。 18.解:∵ 原方程可化为(x+1)(x-4)= 0, ∴ x+1 = 0 或 x-4 = 0。 解得 x1 = -1,x2 = 4。 19.证明:∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ ∠A= ∠D= ∠C= 90°。 ∵ △MBN 由△ABN 翻折而成, ∴ ∠DMN+∠BMC= 90°。 ∵ ∠MND+∠DMN= 90°, ∴ ∠MND= ∠BMC。 ∴ △NDM∽△MCB。 20.解:(1)在 Rt△ABE 中,∠AEB = 90°,∠A = 15°, AE= 576 m, ∴ AB= AE cos A = 576 cos 15° ≈ 576 0. 96 = 600(m)。 ∴ 索道 AB 的长约为 600 m。 (2)如图,延长 BC 交 DF 于点 G。 ∵ BC∥AE,∴ ∠CBE= ∠AEB= 90°。 ∵ DF⊥AF,∴ ∠AFD= 90°。 ∴ 四边形 BEFG 为矩形。 ∴ EF=BG,∠CGD= ∠BGF= 90°。 ∵ CD=AB= 600 m,∠DCG= 45°, ∴ CG=CD·cos∠DCG = 600×cos 45° = 600× 2 2 = 300 2 (m)。 ∴ AF=AE+EF=AE+BG = AE+BC+CG = 576+50+ 300 2 ≈1 049(m)。 ∴ AF 的长约为 1 049 m。 21.解:(1)∵ 15÷30% = 50(人), ∴ 九年级(1)班的学生共有 50 人。 ∴ B 的人数为 50×28% = 14(人)。 ∴ D 的人数为 50-8-14-15-5 = 8(人)。 故答案为 50。 补全条形统计图如下。 (2)画树状图如下, 由图可知,共有 20 种等可能的结果,其中恰是 一男一女的结果有 12 种, ∴ 所抽的两名学生恰好是一男一女的概率为12 20 = 3 5 。 22.解:(1)设商品每天的销售量 y(件)与销售单价 x(元)满足一次函数关系 y= kx+b(k≠0), 根据题意,可得 20k+b= 200, 25k+b= 150。{ 解得 k= -10, b= 400。{ ∴ y 与 x 之间的函数关系式为 y= -10x+400。 (2) 根据题意, 可得 ( - 10x + 400) ( x - 10) = 2 160。 整理,得 x2 -50x+616 = 0,(x-28)(x-22)= 0。 解得 x1 = 28(不符合题意,舍去),x2 = 22。 ∴ 应将销售单价定为 22 元。 23. (1)证明:如图,连接 OD。 ∵ DE 是☉O 的切线, ∴ OD⊥DE。 ∵ DE⊥AC, ∴ OD∥AC。 ∴ ∠C= ∠ODB。 —82— ∵ OD=OB, ∴ ∠B= ∠ODB。 ∴ ∠B= ∠C。 ∴ AB=AC。 (2)解:如图,连接 DA。 ∵ AB 是圆的直径,∴ ∠ADB= 90°。 ∴ ∠ADC= 90°,∠ADE+∠CDE= 90°。 ∵ DE⊥AC,∴ ∠C+∠CDE= 90°。 ∴ ∠C= ∠ADE。 ∵ ∠AED= ∠DEC= 90°,∴ △DAE∽△CDE。 ∴ DE CE = AE DE 。 ∵ AE= 3,DE= 6, ∴ 6 CE = 3 6 。 ∴ CE= 12。 24.解:(1)∵ 反比例函数 y2 = m x (x>0)的图象经过 点 A(4,1), ∴ 1 = m 4 。 ∴ m= 4。 ∴ 反比例函数的表达式为 y2 = 4 x (x>0)。 把点 B ( 12 ,a )代入 y2 = 4 x (x>0),得 a= 8。 ∴ 点 B ( 12 ,8 ) 。 ∵ 一次函数表达式 y1 = kx+b(k≠0)图象经过点 A(4,1),B ( 12 ,8 ) , ∴ 4k+b= 1, 1 2 k+b= 8。{ ∴ k= -2,b= 9。{ ∴ 一次函数的表达式为 y1 = -2x+9。 (2)由 y1 -y2 >0, ∴ y1 >y2 ,即反比例函数值小于一次函数值。 由图象,可得 1 2 <x<4。 (3)由题意可知设点 P(p,-2p+9)且 1 2 ≤p≤4, ∴ 点 Q ( p, 4p ) 。 ∴ PQ= -2p+9- 4 p 。 ∴ S△POQ = 1 2 ( -2p+9- 4 p ) ·p= 3。 解得 p1 = 5 2 ,p2 = 2。 ∴ 点 P 的坐标为 ( 52 ,4 )或(2,5)。 25.解:(1)设抛物线的表达式为 y=a(x+3)(x-6), ∴ -9 =a·3×(-6)。 ∴ a= 1 2 。 ∴ y= 1 2 (x+3)(x-6)= 1 2 x2 - 3 2 x-9。 (2)如图 1, 图 1 抛物线的对称轴为直线 x= -3+6 2 = 3 2 , 由抛物线的对称性,可得点 Q1(3,-9) ∵ CQ1 =OA= 3,OA∥CQ1 , ∴ 四边形 ACQ1O 是平行四边形。 ∴ 点 Q1 满足条件。 当 y= 9 时,即 1 2 x2 - 3 2 x-9 = 9, ∴ x= 3±3 17 2 。 ∴ 点 Q2 ( 3+3 172 ,9 ) ,Q3 ( 3-3 17 2 ,9 ) 。 综上所述,点 Q 的坐标为(3,-9)或 ( 3+3 172 , 9 )或 ( 3-3 172 ,9 ) 。 (3)设△PED 的面积为 S, 由题意,得 AP=m+3,BP = 6-m,OB = 6,OC = 9, AB= 9。 ∴ BC= OB2 +OC2 = 62 +92 = 3 13 。 ∵ sin∠PBD=PD BP =OC BC , ∴ PD 6-m = 9 3 13 。 ∴ PD= 3(6 -m) 13 。 —92— ∵ PE∥BC, ∴ △APE∽△ABC,∠EPD= ∠PDB= 90°。 ∴ PE BC =AP AB 。 ∴ PE 3 13 =m+3 9 。 ∴ PE= 13 ·(m +3) 3 。 ∴ S= 1 2 PE·PD= 1 2 (m+3)(6-m)= - 1 2 (m- 3 2 ) 2 +81 8 。 ∴ 当 m= 3 2 时,S最大 = 81 8 。 ∴ 当 m 为 3 2 时, △PDE 的面积最大,最大值 为 81 8 。 26. (1)解:如图 1,设 BF 与 CD 交于点 M,与 DE 交 于点 N。 图 1 ∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ BC=DC,∠BCD= 90°。 ∵ △ECF 是等腰直角三角形, ∴ CF=CE,∠ECF= 90°。 ∴ ∠BCD= ∠ECF。 ∴ ∠BCD+∠DCF= ∠ECF+∠DCF。 ∴ ∠BCF= ∠DCE。 ∴ △BCF≌△DCE(SAS)。 ∴ BF=DE,∠CBF= ∠CDE。 ∵ ∠BMC= ∠DMF,∠CBF+∠BMC= 90°, ∴ ∠CDE+∠DMF= 90°。 ∴ ∠BND= 90°。 ∴ BF⊥DE。 故答案为 BF=DE,BF⊥DE。 (2)证明:∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ BC=DC。 ∵ ∠BCD= ∠FCE, ∴ ∠BCD+∠DCF= ∠FCE+∠DCF。 ∴ ∠BCF= ∠DCE。 ∵ CF=CE,∴ △BCF≌△DCE(SAS)。 ∴ BF=DE。 (3)解:①DE BF = 3 4 。 理由如下: ∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ ∠BCD= 90°。 ∵ ∠ECF= 90°, ∴ ∠ECF+∠DCF= ∠BCD+∠DCF。 ∴ ∠DCE= ∠BCF。 ∵ CE CF =CD CB = 3 4 , ∴ △DCE∽△BCF。 ∴ DE BF =CD CB = 3 4 。 ②如图 2,连接 BD。 图 2 ∵ △DCE∽△BCF, ∴ CE CF =CD CB = 3 4 ,∠CDE= ∠CBF。 ∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ CD=AB= 12。 ∵ CE= 6,∴ 6 CF = 12 CB = 3 4 。 ∴ CF= 8,CB= 16。 ∵ ∠DBO + ∠CBF + ∠BDC = ∠DBO + ∠CDE + ∠BDC= ∠DBO+∠BDO= 90°, ∴ ∠BOD= 90°。 ∴ ∠DOF= ∠BOE= ∠EOF= 90°。 在 Rt△DOF 中,DF2 =OD2 +OF2 , 在 Rt△BOE 中,BE2 =OB2 +OE2 , 在 Rt△DOB 中,DB2 =OD2 +OB2 , 在 Rt△EOF 中,EF2 =OE2 +OF2 , ∴ DF2 +BE2 =OD2 +OF2 +OB2 +OE2 =DB2 +EF2 。 在 Rt△BCD 中,DB2 =BC2 +CD2 = 162 +122 = 400, 在 Rt△CEF 中,EF2 =CE2 +CF2 = 62 +82 = 100, ∴ DB2 +EF2 = 400+100 = 500。 ∴ DF2 +BE2 = 500。 故答案为 500。 商河县九年级第一学期期末真题卷 1. A　 2. C　 3. C　 4. A　 5. B　 6. C　 7. A　 8. D　 9. B　 10. C —03—