山东省济南市历下区2023-2024学年九年级上学期期末真题卷-【期末考前示范卷】2024-2025学年九年级上册数学(济南专版)

数学 历下区九年级第一学期期末真题卷 (时间:120 分钟　 满分:150 分) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分。 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1. 下列几何体中,其左视图是三角形的是 (　 　 ) A. B. C. D. 2. 下列四个点,在反比例函数 y= 6 x 的图象上的是 (　 　 ) A. ( -3,-3) B. (1, 16 ) C. (3,2) D. (5,1) 3. 已知☉O 的半径为 5,点 P 在☉O 内,则 OP 的长可能是 (　 　 ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4. 如图,点 A,B,C 均在☉O 上,当∠A= 50°时,∠OBC 的度数是 (　 　 ) A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° 第 4 题图 　 　 　 第 5 题图 　 　 　 第 6 题图 5. 如图,利用标杆 DA 测量楼高,点 C,A,B 在同一直线上,DA⊥CB,EB⊥CB,垂足分别为 A,B。 若测 得 AB= 16 米,DA= 3 米,CA= 4 米,则楼高 EB 为 (　 　 ) A. 10 米 B. 12 米 C. 15 米 D. 20 米 6. 如图,AB 与 CD 相交于点 O,添加一个条件,不能判断△AOC∽△BOD 的是 (　 　 ) A. ∠A= ∠B B. ∠C= ∠D C. OA OB =OC OD D. OA OB = AC BD 7. 关于反比例函数 y= 2 x ,下列结论正确的是 (　 　 ) A. 图象位于第二、四象限 B. 当 x<0 时,y 的值随 x 值的增大而减小 C. 当 x>2 时,y>1 D. 图象与坐标轴有交点 8. 已知二次函数 y=ax2 +2x+c,其中 ac<0,则它的图象可能是 (　 　 ) A. B. C. D. 9. 济南大明湖畔的超然楼被称作“江北第一楼”。 某数学兴趣小组用无人机测量超然楼 AB 的高度, 测量方案如图 2:先将无人机垂直上升至距水平地面 142 m 的点 P,测得超然楼顶端点 A 的俯角为 37°,再将无人机面向超然楼沿水平方向飞行 210 m 到达点 Q,测得超然楼顶端点 A 的俯角为 45°, 则超然楼 AB 的高度约为(参考数据:tan 37°≈ 3 4 ,sin 37°≈ 3 5 ,cos 37°≈ 4 5 ) (　 　 ) 图 1 　 　 图 2 A. 48 m B. 50 m C. 52 m D. 54 m 10. 已知二次函数 y=mx2 -4mx+1,其中 m>0,若当 0≤x≤4 时,对应的 y 的整数值有 6 个,则 m 的取 值范围为 (　 　 ) A. 1 2 <m< 3 4 B. 1<m≤ 5 4 C. 5 4 <m≤ 3 2 D. 5 4 ≤m< 3 2 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 11. 抛物线 y= 2(x-1) 2 +5 的顶点坐标是 。 12. 二维码在日常生活中被广泛应用,某数学兴趣小组对其开展数学试验活动。 如图,在边长为 2 cm 的正方形区域内利用计算机软件进行随机掷点模拟试验。 经过大量重复实验,发现点落在黑色 部分的频率稳定在 0. 7 左右, 据此可以估计这个正方形区域内黑色部分的面积约为 cm2。 第 12 题图 　 　 　 第 13 题图 　 　 　 第 14 题图 　 　 　 第 15 题图 13. 如图,四边形 ABCD 是☉O 的内接四边形,若∠BOD= 80°,则∠C 的度数是 。 14. 如图,A 是双曲线 y= -10 x 上一点,过点 A 分别作 AB⊥x 轴,AC⊥y 轴,垂足分别为 B,C。 AB,AC 与 双曲线 y= k x 分别交于 D,E 两点,若四边形 ADOE 的面积为 6,则 k= 。 15. 如图,在网格中每个小正方形的边长均为 1,点 A,B,D,E 均在格点上,且点 E 在 BCD ( 上。 AB 交 BCD ( 于点 C,则 BC ( 的长为 。 16. 如图,在菱形 ABCD 中,AB = 5,AD 上有一点 E,连接 BE,将△ABE 沿 BE 翻 折使点 A 的对应点 A′落在 CD 上, 连接 A′ B, A′ E。 若 A′ C = 3, 则 DE = 。 三、解答题(本大题共 10 个小题,共 86 分。 请写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (6 分)计算:2sin 30°-tan 60°+2cos 30°+( -1) 2 023。 18. (6 分)某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的气压 p(单位:kPa)是气体 体积 V(单位:m3)的反比例函数,如图所示。 (1)写出这一函数的表达式: ; (2)当气球内的气压大于 160 kPa 时,气球将爆炸,为了安全起见,气球的体积应不小于多少? 19. (6 分)如图,在△ABC 中,D,E 分别是边 AB,AC 上的点,∠ADE= ∠C,AB= 6,AC= 9,DB= 3,求 AE 的长。 20. (8 分)某校举行了第二届信息技术应用大赛,将该校九年级参加竞赛的学生成绩统计后,绘制成 不完整的统计表和扇形统计图。 竞赛成绩统计表 组别 成绩 x /分 人数 A 60≤x<70 10 B 70≤x<80 m C 80≤x<90 17 D 90≤x<100 3 　 　 　 　 竞赛成绩扇形统计图 请观察上面的图表,解答下列问题: (1)统计表中 m= ,统计图中 n= ,B 组的圆心角是 度; (2)D 组的 3 名学生中,有 2 名男生和 1 名女生。 从 D 组随机抽取 2 名学生参加 5G 体验活动,请 用画树状图或列表的方法求“至少 1 名女生被抽取参加 5G 体验活动”的概率。 —1— 21. (8 分)小丽与爸妈在公园里荡秋千。 如图 2,小丽坐在秋千的最低点 F 处,O,F,A 三点共线。 妈妈 先将小丽拉到点 B 处,然后用力一推,爸爸在点 C 处接住她。 若秋千 OB 的长度为 3 米,∠BOD = 25°,∠COD= 55°。 (参考数据:sin 25°≈0. 42,cos 25°≈0. 91,sin 55°≈0. 82,cos 55°≈0. 57) (1)求点 B 处到 OA 的距离 BD 的长度; (2)若秋千最低点 F 到地面的距离 AF 为 0. 3 米,则点 C 处距地面的高度为多少? 图 1 　 　 图 2 22. (8 分)如图,AB 是☉O 的直径,点 D 在 AB 的延长线上,CD 与☉O 相切于点 C,连接 AC,BC。 (1)求证:∠CAB= ∠BCD; (2)若 BD= 2,CD= 4,求 AB 的长。 23. (10 分)喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线。 如图 2,将喷灌架置于坡度为 1 ∶ 5 的坡地 底部点 O 处(坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度),喷水头的高度(喷水头距喷灌架底部 的距离)是 1 米,当喷射出的水流与喷水头的水平距离为 20 米时,达到最大高度(与喷灌架底部 所在水平面的距离)9 米。 (1)求图 2 中抛物线的表达式; (2)当喷射出的水流达到最大高度时,求水流与坡面之间铅直高度 AB 的长; (3)若喷射出的水流与坡面之间的铅直高度为 3. 5 米,求水流与喷水头的水平距离。 图 1 　 　 图 2 24. (10 分)如图 1,在平面直角坐标系中,矩形 OABC 的顶点 A,C 分别在 x 轴和 y 轴的正半轴上,点 B 的坐标为(6,3),反比例函数 y= k x (x>0)与 BC 交于点 D,与 AB 交于点 E,BD= 2CD。 (1)求反比例函数的表达式; (2)如图 2,连接 DE,AC,求证:DE∥AC; (3)如图 3,点 P 在 x 轴上,连接 DP,以点 D 为旋转中心将线段 DP 逆时针旋转 90°得 DP′,若点 P′恰好落在反比例函数上,求点 P 的坐标。 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 25. (12 分)(1)已知△ADC 为等边三角形,B 是线段 AD 上的动点,连接 BC。 ①如图 1,AN = AB,∠DAN = 60°,连接 ND,延长 CB 交 DN 于点 E。 则 ND 和 BC 的数量关系是 ,ND 和 BC 所夹的钝角∠NEC= °; ②如图 2,M 是 BC 上任意一点,点 N 在点 M 的左侧,作 AN = 1 2 AM,∠MAN = 60°,连接 BN。 当点 B 运动到 AD 的中点时,求BN MC 的值和∠NBC 的度数。 (2)如图 3,已知△ADC 为等腰直角三角形,∠DAC= 90°,AC= 4,B,O 分别是线段 AD,AC 的中点, 连接 BC。 M 是线段 BC 上任意一点,点 N 在点 M 的左侧,作 AN = 1 2 AM,∠MAN = 90°,连接 BN, ON,当 ON 取最小值时,直接写出 BM 的长。 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 26. (12 分)抛物线 y= x2 -mx+m+1 与 y 轴交于点 A,顶点为 D。 (1)若抛物线过点 B( -3,2),求抛物线顶点 D 和点 A 的坐标; (2)如图,在(1)的条件下,连接 AB,N 为线段 AB 下方抛物线上一点,求△ABN 面积的最大值; (3)已知点 P(2m+3,2),Q(1,3+m2),若线段 PQ 与抛物线恰有一个交点,求 m 的取值范围。 　 　 亲爱的同学,祝贺你已经完成了本次考试的所有题目,如果你还有时间,希望挑战一下自己,可 以尝试完成下面两道题目,请注意,以下题目的分数不计入总分。 四、附加题(本大题共 2 个小题,每小题 20 分,共 40 分) 27. 当整数 k 为何值时,关于 x 的一元二次方程 x2 +(k+1)x+2k-1 = 0 的两个根均为整数。 28. 已知 xy+x+y= 44,x2y+xy2 = 484,求 x3 +y3。 —2— 参考答案 (部分答案不唯一) 历下区九年级第一学期期末真题卷 1. A　 2. C　 3. A　 4. D　 5. B　 6. D　 7. B　 8. C　 9. C　 10. D 11. (1,5)　 12. 2. 8　 13. 140°　 14. -4　 15. 5 2 π　 16. 15 8 17.解:原式= 2× 1 2 - 3 +2× 3 2 -1 = 1- 3 + 3 -1 = 0。 18.解:(1)p= 96 V (2)当 p= 160 kPa 时,V= 0. 6 m3 。 故气球的体积应不小于 0. 6 m3 。 19.解:∵ ∠ADE= ∠C,∠A= ∠A, ∴ △AED∽△ABC。 ∴ AE AB =AD AC 。 ∵ AB= 6,AC= 9,DB= 3, ∴ AD=AB-DB= 6-3 = 3。 ∴ AE=AB·AD AC = 6×3 9 = 2。 ∴ AE 的长是 2。 20.解:(1)该校九年级参加竞赛的学生人数为 10÷ 20% = 50, ∴ m= 50-10-17-3 = 20。 n% = 17÷50×100% = 34% 。 ∴ n= 34。 B 组的圆心角是 360°×20 50 = 144°。 故答案为 20;34;144°。 (2)画树状图如下, 共有 6 种等可能的结果,其中至少 1 名女生被 抽取参加 5G 体验活动的结果有 4 种, ∴ 至少 1 名女生被抽取参加 5G 体验活动的概 率为 4 6 = 2 3 。 21.解:(1)在 Rt△OBD 中, ∵ sin∠BOD=BD OB , ∴ BD= sin∠BOD·OB = sin 25°×3≈0. 42×3 = 1. 26(米)。 ∴ 点 B 处到 OA 的距离 BD 的长度为 1. 26 米。 (2)如图,过点 C 作 CN⊥PQ,CM⊥OA,垂足分 别为 N,M。 ∵ OA⊥PQ,∴ 四边形 AMCN 是矩形。 ∴ CN=AM。 ∵ 秋千 OB 的长度为 3 米, ∴ OF=OC= 3 米。 ∴ OA=OF+AF = 3+0. 3 = 3.3(米)。 在 Rt△OCM 中, ∵ cos∠COM=OM OC , ∴ OM= cos∠COM·OC = cos 55°×3≈0. 57×3 = 1. 71(米)。 ∴ AM=OA-OM= 3. 3-1. 71 = 1. 59(米)。 ∴ CN= 1. 59 米。 ∴ 点 C 处距地面的高度为 1. 59 米。 22. (1)证明:如图,连接 OC。 ∵ OA=OC, ∴ ∠A= ∠ACO。 ∵ AB 是☉O 的直径, ∴ ∠ACB= 90°。 ∴ ∠ACO+∠BCO= 90°。 ∵ CD 与☉O 相切于点 C, ∴ ∠OCD= 90°。 ∴ ∠OCB+∠BCD= 90°。 ∴ ∠ACO= ∠BCD。 ∴ ∠CAB= ∠BCD。 (2)解:∵ ∠CAB= ∠BCD,∠D= ∠D, ∴ △ACD∽△CBD。 ∴ CD BD = AD CD 。 ∴ 4 2 =AB+2 4 。 ∴ AB= 6。 23.解:(1)由题意,得抛物线的顶点为(20,9), ∴ 可设抛物线的表达式为 y=a(x-20) 2 +9。 ∵ 其图象过点(0,1), —1— ∴ 1 =a(0-20) 2 +9。 解得 a= - 1 50 。 ∴ 图 2 中抛物线的表达式为 y= - 1 50 (x-20) 2 +9。 (2)如图,设 AB 的延长线交 x 轴于点 C。 ∵ 坡度为 1 ∶ 5,OC= 20 米, ∴ BC= 4 米。 ∴ AB=AC-BC= 9-4 = 5(米)。 ∴ 水流与坡面之间铅直高度 AB 的长为 5 米。 (3)设水流与喷水头的水平距离为 a 米, 根据题意,得- 1 50 (a-20) 2 +9- 1 5 a= 3. 5。 解得 a1 = 5,a2 = 25。 ∴ 水流与喷水头的水平距离为 5 米或 25 米。 24. (1)解:∵ 四边形 OABC 是矩形,∴ BC∥OA。 ∵ 点 B 的坐标为(6,3),∴ BC= 6,AB= 3。 ∵ BD= 2CD,∴ CD= 1 3 BC= 1 3 ×6 = 2。 ∴ 点 D(2,3)。 ∵ 点 D 在 y= k x (x>0)的图象上, ∴ k= 2×3 = 6。 ∴ 反比例函数的表达式为 y= 6 x 。 (2)证明:∵ 点 E 在双曲线 y= 6 x 上, ∵ x= 6,∴ y= 1。 ∴ 点 E(6,1)。 ∴ AE= 1。 ∵ AB= 3,∴ AE= 1 3 AB,即 BE= 2AE。 ∴ BD CD =BE AE = 2 1 。 ∴ DE∥AC。 (3)解:设点 P(a,0), 如图,过点 P 作 PH⊥BC 于点 H,过点 P′作 P′G⊥ BC 于点 G, ∴ ∠PHD= ∠DGP′= 90°。 ∵ 将线段 DP 逆时针旋转 90°得 DP′, ∴ ∠PDP′= 90°,DP=DP′。 ∴ ∠PDH+∠DPH= ∠PDH+∠P′DG= 90°。 ∴ ∠DPH= ∠P′DG。 ∴ △DPH≌△P′DG(AAS)。 ∴ PH=DG= 3,DH=P′G= 2-a。 ∴ 点 P′(5,a+1)。 ∵ 点 P′在反比例函数上, ∴ 5(a+1)= 6。 解得 a= 1 5 。 ∴ 点 P ( 15 ,0 ) 。 25.解:(1)①∵ △ADC 为等边三角形, ∠DAN= 60°, ∴ AD=AC,∠DAN= ∠CAB= 60°。 在△AND 和△ABC 中, AN=AB, ∠DAN= ∠CAB, AD=AC, { ∴ △AND≌△ABC(SAS)。 ∴ ND=BC,∠N= ∠ABC。 ∴ ∠N+∠ABE= ∠ABC+∠ABE= 180°。 ∴ ∠NEC = 360° - ( ∠N + ∠ABE) - ∠DAN = 360°-180°-60° = 120°。 故答案为 ND=BC;120°。 ②如图 1,连接 MN。 ∵ △ADC 为等边三角形,B 是 AD 的中点, ∴ AB = DB = 1 2 AD = 1 2 AC,BC⊥AD, ∠ACM = ∠DCB= 1 2 ∠ACD= 30°。 　 图 1 ∴ ∠ABC= 90°。 ∵ AN= 1 2 AM, ∴ AB AC = AN AM = 1 2 。 ∵ ∠MAN= ∠CAD= 60°, ∴ ∠BAN= ∠CAM= 60°-∠MAD。 ∴ △NAB∽△MAC。 ∴ NB MC =AB AC = 1 2 ,∠ABN= ∠ACM= 30°。 ∴ ∠NBC= ∠ABN+∠ABC= 30°+90° = 120°。 ∴ BN MC 的值是 1 2 ,∠NBC 的度数是 120°。 —2— (2)BM 的长为6 5 5 。 如图 2,过点 O 作 OI⊥BC 于点 I。 ∵ △ADC 为等腰直角三角形, ∠DAC = 90°, AC= 4, ∴ AD=AC= 4。 ∵ B,O 分别是线段 AD,AC 的中点, ∴ AB=DB= 1 2 AD = 1 2 AC = 1 2 × 4 = 2,OA = OC = 1 2 AC= 1 2 ×4 = 2。 　 图 2 ∵ AN= 1 2 AM, ∴ AB AC = AN AM = 1 2 。 ∵ ∠MAN = ∠DAC = 90°, ∴ ∠BAN= ∠CAM= 90°-∠DAM。 ∴ △BAN∽△CAM。 ∴ ∠ABN= ∠ACM,BN CM =AB AC = 1 2 。 ∴ ∠NBC = ∠ABN + ∠ABC = ∠ACM + ∠ABC = 90°。 ∴ 点 N 在经过点 B 且与 BC 垂直的直线上 运动。 ∴ 当 ON⊥BN 时,ON 的值最小。 ∵ OI⊥BC,∴ ∠OIC= ∠BAC= 90°。 ∴ OI IC =AB AC = tan∠ACB= 1 2 。 ∴ IC= 2OI。 ∴ OC= OI2 +IC2 = OI2 +(2OI) 2 = 5OI= 2。 ∴ OI= 2 5 5 。 ∵ ∠BIO= ∠BNO= ∠NBI= 90°, ∴ 四边形 BION 是矩形。 ∴ BN=OI= 2 5 5 。 ∴ CM= 2BN= 2×2 5 5 = 4 5 5 。 ∵ BC= AB2 +AC2 = 22 +42 = 2 5 。 ∴ BM=BC-CM= 2 5 -4 5 5 = 6 5 5 。 ∴ BM 的长为6 5 5 。 26.解:(1)∵ 抛物线过点 B(-3,2), ∴ 2 = 9+3m+m+1。 解得 m= -2。 ∴ 抛物线的表达式为 y= x2 +2x-1。 当 x= 0 时,y= -1, ∴ 点 A(0,-1)。 ∵ y= x2 +2x-1 = (x+1) 2 -2, ∴ 抛物线顶点 D 的坐标为(-1,-2)。 (2)设直线 AB 的表达式为 y= kx+b, ∴ -3k+b= 2, b= -1。{ ∴ k= -1, b= -1。{ ∴ 直线 AB 的表达式为 y= -x-1。 如图 1,过点 N 作 MN∥y 轴交 AB 于点 M。 设点 N(n,n2 +2n-1),则点 M(n,-n-1), 图 1 ∴ MN= -n-1-n2 -2n+1 = -n2 -3n。 ∴ S△ABN = 1 2 ×3MN= 3 2 (-n2 -3n)= - 3 2 (n2 +3n) = - 3 2 ( n+ 3 2 ) 2 +27 8 。 ∴ △ABN 面积的最大值为27 8 。 (3)令 y= 2,则 y= x2 -mx+m+1 = 2。 解得 x=m-1 或 1。 ∴ 点 E(m-1,2),F(1,2)。 ∴ 点 P 在直线 EF 上。 ①如图 2,当 m-1>1,即 m>2 时,2m+3>m-1,3+ m2 >2, 图 2 ∴ 点 E(m-1,2)在点 F(1,2)右侧,且点 Q(1, 3+m2 )在点 F(1,2)的上方。 ∴ 点 P(2m+3,2)在点 E(m-1,2)右侧,线段 PQ —3— 与抛物线恰有一个交点。 ∴ m>2。 ②如图 3,当 m-1<1,即 m<2 时,3+m2 >2, 图 3 当 2m+3≤m-1 时,线段 PQ 与抛物线恰有一个 交点, ∴ m≤-4。 当 2m+3≥1 时,线段 P′Q 与抛物线恰有一个 交点, ∴ m≥-1。 ∴ -1≤m<2。 ③如图 4,当 m- 1 = 1 即 m = 2 时,2m+ 3 = 7,3+ m2 = 7, 图 4 ∴ 点 P(7,2),Q(1,7),E(1,2),F(1,2)。 此时,线段 PQ 与抛物线恰有一个交点。 ∴ m= 2。 综上所述,m 的取值范围为 m≥-1 或 m≤-4。 27.解:∵ 关于 x 的一元二次方程 x2 +(k+1)x+2k-1 = 0 的两个根均为整数, ∴ Δ = ( k+ 1) 2 - 4(2k- 1) = k2 - 6k+ 5 为完全平 方式。 不妨设 k2 -6k+ 5 = m2(m 是整数),即( k- 3) 2 - m2 = 4。 分解因式,得(k-3+m)(k-3-m)= 4。 ∵ k-3+m 与 k-3-m 的符号相同, ∴ k-3+m= 2, k-3-m= 2{ 或 k-3+m= -2, k-3-m= -2{ 或 k-3+m= 1, k-3-m= 4{ 或 k-3+m= -1, k-3-m= -4。{ 解得 k= 5 或 1 或 5. 5(舍去)或 0. 5(舍去)。 ∴ 整数 k 的值为 5 或 1。 28.解:设 m= xy,n= x+y, ∵ xy+x+y= 44,x2y+xy2 = xy(x+y)= 484, ∴ m+n= 44, mn= 484。{ 解得 m= 22, n= 22,{ 即 xy= 22,x+y= 22。 ∴ x2 +y2 = (x+y) 2 -2xy= 484-44 = 440。 把 xy= 22,x+y= 22,x2 +y2 = 440 代入 x3 +y3 = (x+ y)(x2 -xy+y2 )= 22×(440-22)= 9 196。 ∴ x3 +y3 的值为 9 196。 市中区九年级第一学期期末真题卷 1. A　 2. B　 3. A　 4. D　 5. B　 6. B　 7. C　 8. C　 9. D　 10. D 11. 30　 12. 18　 13. 6　 14. - 5 < x< 3 　 15. 4 3 π　 16. 33 5 17.解: ( 12 ) -1 +(π+1) 0 -2sin 30°+ 9 = 2+1-2× 1 2 +3 = 2+1-1+3 = 5。 18.解:∵ ∠AED= ∠B,∠A= ∠A, ∴ △ADE∽△ACB。 ∴ AD AC =AE AB 。 ∵ AD= 3,AB= 8,AE= 4, ∴ 3 AC = 4 8 。 ∴ AC= 6。 19.解:(1)由题意,可得 xy= 1 200×0. 5 = 600。 则 y= 600 x ,即 y 关于 x 的函数表达式为 y= 600 x 。 (2)∵ y= 600 x , ∴ 当 x= 1. 5 时,y= 600 1. 5 = 400。 ∴ 当动力臂长为 1. 5 m 时,撬动石头至少需要 400 N 的力。 20.解:(1)一名乘客通过该站闸口时,他选择 A 闸 口通过的概率为 1 4 。 (2)画树状图如下, —4—