山东省济南市历城区2023-2024学年九年级上学期期末真题卷-【期末考前示范卷】2024-2025学年九年级上册数学(济南专版)

历城区九年级第一学期期末真题卷 (时间:120 分钟　 满分:150 分) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分。 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1. sin 30°的值为 (　 　 ) A. 1 2 B. 2 2 C. 3 2 D. 3 3 2. 如图是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体,其左视图是 (　 　 ) A. B. C. D. 第 2 题图 　 　 　 　 第 4 题图 　 　 　 　 第 7 题图 　 　 第 8 题图 3. 二次函数 y= (x-1) 2 +3 的最小值是 (　 　 ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 4. 如图,在正方形网格中,以格点 O 为圆心画圆,使该圆经过格点 A,B,并在直线 AB 右侧圆弧上取一 点 C,连接 AC,BC,则∠ACB 的度数为 (　 　 ) A. 60° B. 50° C. 45° D. 不确定 5. 已知关于 x 的一元二次方程 x2 +mx+3 = 0 的一个根是 1,则方程的另一个根是 (　 　 ) A. 3 B. 4 C. -3 D. -4 6. 在学校运动会中,运动员小明与小刚,要从铅球、跳高两个项目中任意选择一个项目参加比赛,则 两人恰好都选择铅球项目的概率是 (　 　 ) A. 3 4 B. 1 2 C. 1 3 D. 1 4 7. 已知二次函数 y=ax2 +bx+c(a≠0)的图象如图,则一次函数 y=ax+b 和反比例函数 y= c x 的图象为 (　 　 ) A. B. C. D. 8. 如图,在平行四边形 ABCD 中,点 E 在边 DC 上,DE ∶ EC = 3 ∶ 1,连接 AE 交 BD 于点 F,则△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为 (　 　 ) A. 3 ∶ 4 B. 2 ∶ 3 C. 9 ∶ 16 D. 4 ∶ 3 9. 如图,在菱形 ABCD 中,AB= 2,∠BAD= 45°,E,F,P 分别是 AB,BC,AC 上的动点,PE+PF 的最小值 等于 (　 　 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 10. 在平面直角坐标系中,已知抛物线 y= x2 -2mx+m2 -1,直线 y= -x+3 与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于 点 B,过点 B 作垂直于 y 轴的直线 l 与抛物线 y = x2 -2mx+m2 -1 有两个交点,在抛物线对称轴右 侧的交点记为 P,当△OAP 为锐角三角形时,则 m 的取值范围是 (　 　 ) A. m>-1 B. m<-2 C. m<-2 或 m>1 D. -2<m<1 二、填空题(共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分) 11. 已知 a b = 1 2 ,则 a a+b 的值为 。 12. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共 20 个,这些球除颜色外都相同。 小明通过多次试验发 现,摸出红球的频率稳定在 0. 25 左右,则袋子中黄球的个数可能是 个。 13. 有 6 个大小相同的小正方形,恰好如图放置在△ABC 中,则 tan B 的值等于 。 第 13 题图 　 　 第 14 题图 　 　 第 15 题图 　 　 第 16 题图 14. 如图,在☉O 的内接正方形 ABCD 中,AB = 2,以点 A 为圆心,AD 长为半径画弧,得到 BD ( ,则图中 阴影部分的面积为 。 15. 如图,A 是反比例函数 y= k x (x<0)图象上的一点,过点 A 作 AB⊥x 轴于点 B,D 为 x 轴正半轴上一 点且 DO= 2BO,连接 AD 交 y 轴于点 C,连接 BC。 若△COD 的面积为 8,则 k 的值为 。 16. 如图,在正方形 ABCD 中,AB= 10,M 为线段 BD 上一点,将△ADM 沿 AM 所在直线翻折得△AEM (点 E 在正方形 ABCD 内部),连接 BE,CE,DE,若∠BAE= 2∠DCE,则 DE 的长为 。 三、解答题(共 10 小题,满分 86 分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (6 分)计算: 12 -2cos 30°+ ( 12 ) -2 + | 1- 3 | 。 18. (6 分)解方程:x2 -2x-15 = 0。 19. (8 分)如图,在▱ABCD 中,∠ACB = 90°,过点 D 作 DE⊥BC 交 BC 的延长线于点 E,连接 AE 交 CD 于点 F。 (1)求证:四边形 ACED 是矩形; (2)连接 BF,若∠ABC= 60°,CE= 2,求 BF 的长。 20. (8 分)为提高学生的法律意识,某中学开展了一系列的法律进校园活动,组织九年级全体学生进 行了“法律知识知多少”知识竞答,学校随机抽取 m 名学生的竞答成绩,对成绩(百分制)进行整 理、描述和分析,成绩划分为 A(90≤x≤100),B(80≤x<90),C(70≤x<80),D(60≤x<70),四个 等级,并制作出不完整的统计图,如图所示。 　 　 　 已知 B 等级数据(单位:分):80,80,81,82,85,86,86,87,88,89。 根据以上信息,回答下列问题: (1)填空:m= ,n= ; (2)补全条形统计图; (3)抽取的 m 名学生中,成绩的中位数是 分,在扇形统计图中,C 等级扇形圆心角的度 数是 ; (4)这所学校共有 2 100 名学生,若全部参加这次竞答,请你估计成绩能达到 B 等级及以上的学 生人数。 —11— 21. (8 分)如图,学校课外兴趣活动小组准备利用长为 8 m 的墙 AB 和一段长为 26 m 的篱笆围建一 个矩形苗圃园。 如果矩形苗圃园的一边由墙 AB 和一节篱笆 BF 构成,另三边由篱笆 ACDF 围成, 设平行于墙一边 CD 长为 x m。 (1)当苗圃园的面积为 60 m2 时,求 x 的值; (2)当 x 为何值时,所围苗圃园的面积最大? 最大面积是多少? 22. (8 分)如图,在☉O 中,AB 为直径,CD 与☉O 相切于点 C,连接 BC,BD,若 BC⊥BD。 (1)求证:∠ABC= ∠BDC; (2)若 BC= 6,BD= 8,求☉O 的半径。 23. (8 分)某临街店铺在窗户上方安装如图 1 所示的遮阳棚,其侧面如图 2 所示,遮阳棚展开长度 AB= 200 cm,遮阳棚前端自然下垂边的长度 BC = 25 cm,遮阳棚固定点 A 距离地面高度 AD = 296. 8 cm,遮阳棚与墙面的夹角∠BAD= 72°。 如图 3 所示,靠墙放置一张圆桌,高度 MN= 90 cm, 直径 PQ= 100 cm,当太阳光线与地面的夹角∠CFG = 60°时,请问桌子是否被晒到? (参考数据: sin 72°≈0. 951,cos 72°≈0. 309,tan 72°≈3. 078, 3 ≈1. 732) 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 24. (10 分)如图 1,直线 y= 2x+1 与 y 轴交于点 B,与反比例函数 y= k x (x>0)的图象交于点 A(1,a)。 (1)求反比例函数表达式; (2)将线段 AB 向右平移 m 个单位长度(m>0),得到对应线段 CD,连接 AC,BD。 ①如图 2,当点 D 恰好落在反比例函数图象上时,过点 C 作 CF⊥x 轴于点 F,交反比例函数图象 于点 E,求CE EF 的值; ②在①的条件下,在坐标平面内是否存在点 N,使得以点 A,D,C,N 为顶点的四边形是平行四边 形? 若存在,请直接写出点 N 的坐标;若不存在,请说明理由。 图 1 　 　 图 2 　 　 备用图 25. (12 分)在菱形 ABCD 中,∠ABC =α,P 是射线 BD 上一动点,以 AP 为一边向右侧作等腰三角形 APE,使 AP=PE,∠APE= ∠ABC=α,点 E 的位置随着点 P 位置的变化而变化。 (1)如图 1,若 α= 60°,当点 E 在菱形 ABCD 内时,连接 CE,BP 与 CE 的数量关系是 , CE 与 AD 的位置关系是 ; (2)若 α= 120°,当点 P 在线段 BD 的延长线上时, ①如图 2,BP 与 CE 有何数量关系,CE 与 AD 有何位置关系? 请说明理由; ②如图 3,连接 BE,若 AB= 2 3 ,BE= 61 ,求线段 DP 的长。 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 26. (12 分)如图,抛物线 y = -x2 +bx+c 与 x 轴相交于 A,B 两点,与 y 轴相交于点 C,点 B 的坐标是 ( -2,0),点 C 的坐标是(0,2),M 是抛物线的顶点。 (1)求抛物线的表达式; (2)P 为线段 MB 上的一个动点,过点 P 作 PD⊥x 轴于点 D,点 D 的坐标为(m,0)。 ①在 MB 上是否存在点 P,使△PCD 为直角三角形? 如果存在,请求出点 P 的坐标;如果不存在, 请说明理由; ②连接 AC,若∠PCD= ∠OCA,求 m 的值。 　 　 备用图 　 　 备用图 —21— 历城区九年级第一学期期末真题卷 1. A　 2. B　 3. B　 4. C　 5. A　 6. D　 7. D　 8. C　 9. B　 10. D 11. 1 3 　 12. 15　 13. 1 2 　 14. 2　 15. -12 16. 2 10 17.解:原式= 2 3 -2× 3 2 +4+ 3 -1 = 2 3 - 3 +4+ 3 -1 = 2 3 +3。 18.解:x2 -2x-15 = 0,(x+3)(x-5)= 0, ∴ x+3 = 0 或 x-5 = 0。 ∴ x1 = -3,x2 = 5。 19. (1)证明:∵ ∠ACB= 90°, ∴ AC⊥BC。 ∵ DE⊥BC,∴ AC∥DE。 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,点 E 在 BC 的延 长线上, ∴ AD∥CE。 ∴ 四边形 ACED 是平行四边形。 ∵ ∠ACE= 90°, ∴ 四边形 ACED 是矩形。 (2)解:如图,连接 BF。 ∵ 四边形 ACED 是矩形,四边形 ABCD 是平行 四边形, ∴ AE=CD=AB,AF=EF, AD=CE=CB= 2。 ∵ ∠ABC= 60°, ∴ △ABE 是等边三角形。 ∴ BF⊥AE,AB=AE=BE= 2CE= 2×2 = 4。 ∴ ∠AFB= 90°,AF= 1 2 AE= 1 2 ×4 = 2。 ∴ BF= AB2 -AF2 = 42 -22 = 2 3 。 ∴ BF 的长是 2 3 。 20.解:(1) 学校随机抽取的学生有 m = 5 ÷ 10% = 50(名), n% = 10÷50×100% = 20% , ∴ n= 20。 故答案为 50;20。 (2)C 组的人数:50-20-10-5 = 15(名), 补全条形统计图如图: (3) 样本容量为 50,第 25 和 26 个数据为 85 和 86, ∴ 抽取的 50 名学生的成绩的中位数是85 +86 2 = 85. 5(分)。 360°×15 50 = 108°,即在扇形统计图中,C 等级扇 形圆心角的度数是 108°。 故答案为 85. 5;108°。 (3)2 100× ( 1-2050 ) = 1 260(名)。 ∴ 成绩能达到 B 等级及以上的学生约为 1 260 名。 21.解:(1)∵ 篱笆的总长为 26 m,CD= x m, ∴ CA= 26 +8-2x 2 = (17-x)(m)。 根据题意,得(17-x)x= 60。 整理,得 x2 -17x+60 = 0。 解得 x1 = 5(不符合题意,舍去),x2 = 12。 ∴ x 的值为 12。 (2)设苗圃园的面积为 S m2 , 则 S= (17-x)x= -x2 +17x= -(x2 -8. 5) 2 +72. 25。 当 x= 8. 5 m 时,S最大 = 72. 25 m2 。 ∴ 当 x 的值为 8. 5 m 时,所围苗圃园的面积最 大,最大面积是 72. 25 m2 。 22. (1)证明:如图,连接 OC,则 OC=OB。 ∴ ∠ABC= ∠OCB。 ∵ CD 与☉O 相切于点 C, ∴ ∠OCD= 90°。 ∴ ∠DCB+∠OCB= 90°。 ∵ BC⊥BD, ∴ ∠CBD= 90°。 ∴ ∠DCB+∠BDC= 90°。 ∴ ∠BDC= ∠OCB。 ∴ ∠ABC= ∠BDC。 (2)解:如图,连接 AC。 ∵ AB 为☉O 的直径, ∴ ∠ACB= 90°。 ∴ ∠ACB= ∠CBD。 —81— ∵ ∠ABC= ∠CDB,∴ △ABC∽△CDB。 ∴ AC CB =BC DB 。 ∵ BC= 6,BD= 8,∴ AC=BC 2 BD = 6 2 8 = 9 2 。 ∴ AB= AC2 +BC2 = ( 92 ) 2 +62 = 15 2 。 ∴ OA= 1 2 AB= 1 2 ×15 2 = 15 4 。 ∴ ☉O 的半径是15 4 。 23.解:如图,过点 B 作 BE⊥AD 于点 E,过点 C 作 CH⊥ AD 于点 H, 延长 BC 交 DG 于点 K, 则 BK⊥DG,延长 PQ 交 CF 于点 J,交 CK 于点 I。 ∴ 四边形 BEHC,四边形 HDKC,四边形 MNKI, 四边形 BEPI 是矩形。 ∴ EH=BC= 25 cm。 在 Rt△ABE 中,AB= 200 cm,∠BAD= 72°, ∴ AE= cos 72° × 200≈0. 309× 200 = 61. 8( cm), BE= sin 72°×200≈0. 951×200 = 190. 2(cm)。 ∴ DH=AD-AE-EH=296. 8-61.8-25=210(cm)。 ∴ CK=DH= 210 cm。 ∴ IK=MN= 90 cm,PI=BE= 190. 2 cm。 ∴ CI=CK-IK= 210-90 = 120(cm)。 在 Rt△CJI 中,由题意,得∠CJI= 60°。 ∴ JI= 120 tan 60° = 40 3 ≈69. 28(cm)。 ∴ PJ=PI-JI= 190. 2-69. 28≈120. 92(cm)。 ∵ 120. 92>100, ∴ 桌子不会被晒到。 24.解:(1)∵ 点 A(1,a)在直线 y= 2x+1 上, ∴ a= 2×1+1 = 3。 ∴ 点 A(1,3)。 ∴ k= 1×3 = 3。 ∴ 反比例函数表达式为 y= 3 x 。 (2)①∵ 直线 y= 2x+1 与 y 轴交于点 B,∴ 点 B (0,1)。 由(1)知,y= 3 x ,当 y= 1 时,x= 3, ∴ 点 D(3,1)。 ∴ BD=AC= 3。 ∴ 点 C(4,3)。 当 x= 4 时,y= 3 4 ,∴ EF= 3 4 ,CF= 3。 ∴ CE=CF-EF= 3- 3 4 = 9 4 。 ∴ CE EF = 9 4 3 4 = 3。 ②设点 N(m,n), 若 AD 为对角线,∵ 四边形 ACDN 是平行四边 形,点 A(1,3),D(3,1),C(4,3), ∴ 4+m= 1+3,3+1 = 3+n。 ∴ m= 0,n= 1。 ∴ 点 N(0,1)。 若 AC 为对角线,∵ 四边形 ADCN 是平行四边 形,点 A(1,3),D(3,1),C(4,3), ∴ 3+m= 1+4,3+3 = 1+n。 ∴ m= 2,n= 5。 ∴ 点 N(2,5)。 若 AN 为对角线,∵ 四边形 ADNC 是平行四边 形,点 A(1,3),D(3,1),C(4,3), ∴ 1+m= 3+4,3+n= 1+3。 ∴ m= 6,n= 1。 ∴ 点 N(6,1)。 综上所述,点 N 的坐标为(0,1)或(2,5)或(6,1)。 25.解:(1)如图 1,连接 AC,延长 CE 交 AD 于点 F。 图 1 ∵ 在菱形 ABCD 中,∠ABC= 60°, ∴ AB=BC=CD=AD,∠ADC= ∠ABC= 60°。 ∴ △ABC,△ACD 是等边三角形。 ∴ AB=AC,AC=CD,∠BAC= ∠ACD= 60°。 ∵ AP=PE,∠APE= 60°, ∴ △APE 是等边三角形。 ∴ AP=AE,∠PAE= 60°。 —91— ∴ ∠BAP+∠PAC= ∠PAC+∠EAC, 即∠BAP= ∠CAE。 在△BAP 与△CAE 中, AB=AC, ∠BAP= ∠CAE, AP=AE, { ∴ △BAP≌△CAE(SAS)。 ∴ BP=CE,∠ABP= ∠ACE。 ∵ BD 平分∠ABC, ∴ ∠ACE= ∠ABP= 1 2 ∠ABC= 1 2 ×60° = 30°。 ∴ CE 平分∠ACD。 ∴ CE⊥AD。 故答案为 BP=CE;CE⊥AD。 (2)①CE= 3BP,CE⊥AD。 理由如下, 如图 2,连接 AC,延长 AD 交 CE 于点 F。 图 2 ∵ 在菱形 ABCD 中,AB=BC,∠ABC= 120°, ∴ ∠BAC= 30°,AC= 3AB。 ∵ △APE 是 等 腰 三 角 形。 AP = PE, ∠APE = 120°, ∴ ∠PAE= 30°,AE= 3AP。 ∴ ∠BAC= ∠PAE= 30°,AB AC =AP AE = 1 3 。 ∴ ∠BAC+∠PAC= ∠PAE+∠PAC, 即∠BAP= ∠CAE。 ∴ △BAP∽△CAE。 ∴ BP CE =AP AE = 1 3 ,∠ABP= ∠ACE, 即 CE= 3BP。 ∵ BD 平分∠ABC, ∴ ∠ACE= ∠ABP= 1 2 ∠ABC= 1 2 ×120° = 60°。 ∴ CA 平分∠BAD。 ∴ ∠CAD= 1 2 ∠BAD= 1 2 ×60° = 30°。 ∴ ∠AFC = 180° - ∠ACE - ∠CAD = 180° - 60° - 30° = 90°。 ∴ CE⊥AD。 ②如图 3,连接 AC,CE。 图 3 ∵ 四边形 ABCD 是菱形,AB=BC=AD= 2 3 , BD 平分∠ABC, ∴ ∠ABD= 1 2 ∠ABC= 1 2 ×120° = 60°。 ∴ △ABD 是等边三角形。 ∴ AB=BD= 2 3 。 由①知△BAP∽△CAE, ∴ CE= 3BP,∠ACE= ∠ABP= 60°。 ∵ CA 平分∠BCD, ∴ ∠ACB= 1 2 ∠BCD= 1 2 ×60° = 30°。 ∴ ∠BCE= ∠ACB+∠ACE= 30°+60° = 90°。 在 Rt△BCE 中,CE= BE2 -BC2 = 61-12 = 7。 ∵ CE= 3BP,∴ BP= 7 3 = 7 3 3 。 ∴ DP=BP-BD= 7 3 3 -2 3 = 3 3 。 26.解:(1)∵ 抛物线 y= -x2 +bx+c 经过 B(-2,0),C (0,2)两点,代入, 得 -4-2b+c= 0, c= 2。{ 解得 b= -1, c= 2。{ ∴ 该抛物线的表达式为 y= -x2 -x+2。 (2) ①在 MB 上存在点 P,使△PCD 为直角三 角形。 ∵ y= -x2 -x+2 = - ( x+ 12 ) 2 + 9 4 , ∴ 顶点 M 的坐标为 ( - 12 , 9 4 ) 。 设直线 BM 的表达式为 y = kx+t(k≠0),把点 M ( - 12 , 9 4 ) ,B(-2,0)代入, 得 - 1 2 k+t= 9 4 , -2k+t= 0。 { 解得 k= 3 2 , t= 3。 { —02— ∴ 直线 BM 的表达式为 y= 3 2 x+3。 ∵ ∠PDC= 90°-∠CDO, ∴ ∠PDC<90°,不可能为直角。 当∠CPD= 90°时,则∠CPD= ∠PDB。 ∴ PC∥x 轴。 ∴ 点 P 的纵坐标为 2。 ∴ 3 2 m+3 = 2。 解得 m= - 2 3 。 ∴ 点 P ( - 23 ,2 ) 。 当∠PCD= 90°时,如图 1,过点 P 作 PK⊥y 轴于 点 K,则∠PKC= 90° = ∠COD。 图 1 ∴ ∠DCO+∠CDO= 90°。 ∵ ∠PCD= 90°,∴ ∠DCO+∠PCK= 90°。 ∴ ∠PCK= ∠CDO。 ∴ △PCK∽△CDO。 ∴ PK CO = CK DO 。 ∵ ∠PDO= ∠PKO= ∠DOK= 90°, ∴ 四边形 PDOK 是矩形。 ∴ PK=DO= -m,OK=PD= 3 2 m+3。 ∴ CK=OK-OC= 3 2 m+3-2 = 3 2 m+1。 ∴ -m 2 = 3 2 m+1 -m 。 解得 m1 = 3- 17 2 ,m2 = 3+ 17 2 。 ∵ -2≤m≤- 1 2 ,∴ m= 3 - 17 2 。 ∴ 3 2 m+3 = 3 2 ×3- 17 2 +3 = 21 -3 17 4 。 ∴ 点 P ( 3- 172 , 21-3 17 4 ) 。 综上所述,当△PCD 为直角三角形时,点 P 的 坐标为 ( - 23 ,2 )或 ( 3- 17 2 ,21 -3 17 4 ) 。 ②如图 2,连接 AC,过点 D 作 DE⊥DC,交 CP 延 长线于点 E,过点 E 作 EF⊥x 轴于点 F,过点 E 作 EG⊥y 轴于点 G,交 PD 于点 H。 图 2 当 y= 0 时,-x2 -x+2 = 0,解得 x1 = -2,x2 = 1。 ∴ 点 A(1,0)。 在 Rt△OAC 中,OA= 1,OC= 2, ∴ tan∠OCA=OA OC = 1 2 。 ∵ ∠PCD= ∠OCA,∴ tan∠PCD= 1 2 。 ∵ ∠CDE= ∠EFD= ∠DOC= 90°, ∴ ∠FDE+∠ODC= 90°,∠FDE+∠FED= 90°。 ∴ ∠FED= ∠ODC。 ∴ △EFD∽△DOC。 ∴ EF DO =FD OC =ED DC = tan∠PCD= 1 2 。 由题意,得点 P (m, 32 m+3 ) ,D(m,0)。 ∴ EF= - 1 2 m,DF= 1。 由题意,知四边形 EFDH,四边形 EFOG 都是 矩形, ∴ EH=FD= 1,OG=EF= - 1 2 m,EG=FO= 1-m。 ∵ ∠PEH= ∠CEG,∠PHE= ∠CGE= 90°, ∴ △EPH∽△ECG。 ∴ PH CG =EH EG 。 ∴ 3 2 m+3+ 1 2 m 2+ 1 2 m = 1 1-m 。 ∴ m= -3± 41 8 。 ∵ m<0,∴ m= -3- 41 8 。 长清区九年级第一学期期末真题卷 1. C　 2. A　 3. C　 4. D　 5. B　 6. A　 7. B　 8. D　 9. D　 10. A 11. (-2,-3)　 12. 60　 13. 70　 14. 3 5 　 15. 2 m 16. ①②③⑤ —12—