山东省济南市章丘区2023-2024学年八年级上学期期末真题卷-【期末考前示范卷】2024-2025学年八年级上册数学(济南专版)

章丘区八年级第一学期期末真题卷 (时间:120 分钟　 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。 在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1. 在实数- 0. 25 ,0,π, 2 2 , 3 27中,无理数有 (　 　 ) A. 1 个　 　 　 　 　 　 　 　 B. 2 个　 　 　 　 　 　 　 　 C. 3 个　 　 　 　 　 　 　 　 D. 4 个 2. △ABC 的三边分别为 a,b,c 且(a+b)(a-b)= c2,则该三角形是 (　 　 ) A. 以 a 为斜边的直角三角形 B. 以 b 为斜边的直角三角形 C. 以 c 为斜边的直角三角形 D. 钝角三角形 3. 下列命题中,是真命题的为 (　 　 ) A. 三角形的一个外角等于两内角之和 B. 如果两个角相等,那么它们是对顶角 C. 直角三角形的两锐角互余 D. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 4. 如图,直线 a∥b,∠2 = 31°,∠A= 28°,则∠1 的度数为 (　 　 ) A. 61° B. 60° C. 59° D. 58° 第 4 题图 　 　 　 　 　 第 6 题图 5. 有 9 名同学参加歌咏比赛,他们的预赛成绩各不相同,现取其中前 4 名参加决赛,小红同学在知道 自己成绩的情况下,要判断自己能否进入决赛,还需要知道这 9 名同学成绩的 (　 　 ) A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 极差 6. 如图,在 3×3 的正方形网格中,每个小正方形的边长均为 1,有四个格点 A,B,C,D,建立平面直角坐 标系,使点 A,B 关于 x 轴对称,且点 A 与点 D 的横坐标互为相反数,则点 C 的坐标是 (　 　 ) A. (0,2) B. (2,0) C. (0,1) D. (1,0) 7. 已知点 P(m,n)在第四象限,则直线 y=mx+n 的图象大致是 (　 　 ) A. B. C. D. 8. 我国古典数学文献《增删算法统宗正六均输》中有一个“隔沟计算”的问题:“甲、乙隔沟牧放,二人 暗里参详,甲云得乙九只羊,多乙一倍之上;乙说得甲九只,两家之数相当,二人闲坐恼心肠,画地算 了半晌”。 其大意为甲、乙两人一起放牧,两人心里暗中数羊。 如果乙给甲 9 只羊,那么甲的羊数为 乙的 2 倍;如果甲给乙 9 只羊,那么两人的羊数相同,请问甲、乙各有多少只羊? 设甲有羊 x 只,乙 有羊 y 只,根据题意列方程组正确的为 (　 　 ) A. 2x+9 = y-9, x-9 = 2y+9{ B. x+9 = 2y-9, 2x-9 = y+9{ C. 2(x+9)= y-9, x-9 = y+9{ D. x+9 = 2(y-9), x-9 = y+9{ 9. 如图,在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,以顶点 A 为圆心,适当长为半径画弧,分别交 AC,AB 于点 M,N,再 分别以点 M,N 为圆心,大于 1 2 MN 的长为半径画弧,两弧交于点 P,作射线 AP 交边 BC 于点 D,点 E 在 AB 上,连接 DE。 若 AC= 6,CD= 2,AB= 7,当 DE 最小时,△BDE 的面积是 (　 　 ) A. 2 B. 1 C. 6 D. 7 第 9 题图 　 　 　 　 　 　 第 10 题图 10. 已知 A,B 两地相距 600 千米,甲、乙两车分别从 A,B 两地出发相向而行,甲出发 1 小时后乙才出 发,两车相遇后,乙车沿原路原速返回,甲车以原速继续前行,两车到达 B 地后都停止运动。 两车 之间的距离 y(千米)与甲车行驶时间 x(时)如图所示,则下列结论错误的是 (　 　 ) A. 甲车的速度为 60 千米 /时 B. 乙车的速度为 75 千米 /时 C. 两车相遇时距离 A 地 300 千米 D. 甲车比乙车晚 2 小时到达 B 地 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 11. 9 的平方根是 。 12. 在平面直角坐标系中,点 P( -4,3)到原点 O 的距离是 。 13. 已知关于 x,y 的方程组 x+2y= 4k, 2x+y= 2k-3{ 的解 x 和 y 互为相反数,则 k 的值为 。 14. 一组数据的方差计算 s2 = 1 7 ×[(x1 -3) 2 +(x2 -3) 2 +…+(xn-3) 2],则这组数据的和是 。 15. 如图,长方形纸片 ABCD 的长 AD= 9 cm,宽 AB = 3 cm,将其折叠,使点 D 与点 B 重合,那么折叠后 BF 的长为 cm。 第 15 题图 　 　 　 　 　 第 16 题图 16. 如图,在平面直角坐标系中,点 A1,A2,A3 ……都在 x 轴上,点 B1,B2,B3 ……都在同一条直线上, △AA1B1,△B1A1A2,△B2B1A2,△B2A2A3,△B3B2A3……都是等腰直角三角形,且 AA1 = 1,则点 B2 024 的坐标是 。 三、解答题(本大题共 10 小题,共 86 分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (6 分)计算: (1) 12 - 1 3 + 48 ; (2) 50 + 32 8 -4。 18. (6 分)(1) x-3y= -10, x+y= 6;{ (2) 3x+2y= 8, 4x-5y= 3。{ 19. (6 分)如图,点 B,E 分别在 AC,DF 上,BD,CE 均与 AF 相交,∠1=∠2,∠C=∠D,求证:∠A=∠F。 20. (8 分)如图,△ABC 三个顶点的坐标分别为 A(1,1),B(4,2),C(3,4)。 (1)请写出△ABC 关于 x 轴对称的△A1B1C1 的各顶点坐标; (2)请画出△ABC 关于 y 轴对称的△A2B2C2; (3)在 x 轴上求作一点 P,使点 P 到 A,B 两点的距离和最小,请标出点 P,并直接写出点 P 的坐标: 。 21. (8 分)如图,在一条东西走向的河的一侧有一村庄 C,河边原有两个取水点 A,B,其中 AB =AC,由 于某种原因,由 C 到 A 的路现在已经不通,某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点 H (A,H,B 在一条直线上),并新修一条路 CH,测得 CB= 3 千米,CH= 2. 4 千米,HB= 1. 8 千米。 (1)问 CH 是否为从村庄 C 到河边的最近路? (即问 CH 与 AB 是否垂直?)请通过计算加以说明; (2)求原来的路线 AC 的长。 —51— 22. (8 分)期末,学校为了调查这学期学生课外阅读情况,随机抽样调查了一部分学生阅读课外书的 本数,并将收集到的数据整理成如图的统计图。 (1)这次一共调查的学生人数是 ; (2)所调查学生读书本数的众数是 本,中位数是 本; (3)若该校有 800 名学生,请你估计该校学生这学期的读书总数。 23. (10 分)明水古城某文创店准备购进一批清照文化纪念品。 已知购进 2 件 A 纪念品和 6 件 B 纪念 品共需 180 元;购进 4 件 A 纪念品和 3 件 B 纪念品共需 135 元。 (1)求 A,B 两种纪念品每件的进价; (2)该店计划购进 A,B 两种纪念品共 100 件,且应厂家要求,A 纪念品的购进数量最多 40 件。 已 知 A 纪念品每件售价为 25 元,B 纪念品每件售价为 30 元。 若该店全部售出这两种纪念品可获利 w 元,应该如何进货才能使该店获利最大? 最大利润是多少元? 24. (10 分)如图,直线 l1:y= kx+b 与 y 轴交于点 B(0,3),直线 l2:y= -2x-1 交 y 轴于点 A,交直线 l1 于 点 P( -1,t)。 (1)求 k,b 和 t 的值; (2)求△ABP 的面积; (3)若 M(m,n)是直线 l1 上一动点,当△AMP 的面积是△AMB 的面积的 1 2 时,求点 M 的坐标。 25. (12 分)在△ABC 中,∠C= 70°,D,E 分别是△ABC 边 AC,BC 上的两个定点,P 是平面内一动点。 初探:(1)如图 1,若点 P 在线段 AB 上运动; ①当∠α= 60°时,则∠1+∠2 = ; ②∠α,∠1,∠2 之间的数量关系为 ; 再探:(2)若点 P 运动到边 AB 的延长线上,PD 交 BC 于点 F,如图 2,则∠α,∠1,∠2 之间有何关 系? 并说明理由; 拓展:(3)当点 P 在△ABC 的内部,且点 D,P,E 不共线时,记∠ADP = ∠1,∠BEP = ∠2,∠DPE = ∠α,探究∠α,∠1,∠2 之间的关系,并直接写出探究结论。 图 1 　 　 图 2 　 　 备用图 26. (12 分)【建立模型】 (1)如图 1,等腰直角三角形 ABC 中,∠ACB = 90°,CB =CA,直线 ED 经过点 C,过点 A 作 AD⊥DE 于点 D,过点 B 作 BE⊥DE 于点 E,求证:△BEC≌△CDA; 【模型应用】 (2)如图 2,已知直线 l1:y= 3 2 x+3 与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B,将直线 l1 绕点 A 逆时针旋转 45°至直线 l2,求直线 l2 的函数表达式; (3)如图 3,平面直角坐标系内有一点 B(3,2),过点 B 作 BA⊥x 轴于点 A,BC⊥y 轴于点 C,Q 是线 段 OC 上的动点,P(m,-2m+4)是 y 轴右侧一动点。 试探究△BPQ 能否成为以 P 为直角顶点的等 腰直角三角形? 若能,请直接写出所有符合要求的点 P 的坐标;若不能,请说明理由。 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 —61— ∴ 设点 D(m,-2m+2)。 ∴ 点 F(0,-2m+2),OF= | 2m-2 | ,AF = | 2m-2- 6 | = | 2m-8 | 。 ∵ BP⊥x 轴,点 B(8,0), ∴ 点 G(8,-2m+2)。 同(1)的方法,得△AFD≌△DGP(AAS)。 ∴ AF=DG,DF=PG。 ∵ DF+DG=DF+AF= 8, ∴ m+ | 2m-8 | = 8。 ∴ m= 16 3 或 0。 ∴ 点 D 的坐标为(0,2)或 ( 163 ,- 26 3 ) 。 26.解:(1)AC=BD。 理由如下, ∵ ∠AOB= ∠COD= 90°, ∴ ∠AOB+∠BOC= ∠COD+∠BOC, 即∠AOC= ∠BOD。 在△AOC 和△BOD 中, OA=OB, ∠AOC= ∠BOD, OC=OD, ì î í ïï ïï ∴ △AOC≌△BOD(SAS)。 ∴ AC=BD。 (2)BC2 +AC2 = 2OC2 。 理由如下: 如图 1,连接 BD。 ∵ OA=OB,∠AOB= 90°, ∴ ∠A= ∠ABO= 45°。 ∵ ∠AOB= ∠COD= 90°, ∴ ∠AOB-∠BOC= ∠COD-∠BOC, 即∠AOC= ∠BOD。 在△AOC 和△BOD 中, OA=OB, ∠AOC= ∠BOD, OC=OD, ì î í ïï ïï ∴ △AOC≌△BOD(SAS)。 ∴ AC=BD,∠CAO=DBO= 45°。 ∴ ∠CBD= ∠ABO+∠DBO= 90°。 ∴ BC2 +BD2 =CD2 。 ∵ OC=OD,∠COD= 90°, ∴ OC2 +OD2 =CD2 ,即 2OC2 =CD2 。 ∴ BC2 +AC2 = 2OC2 。 图 1 　 　 　 图 2 (3)如图 2,当点 C 在 AO 的上方时,过点 O 作 OH⊥CD 于点 H。 ∵ OC=OD= 8,∠COD= 90°, ∴ CD= 2OC= 8 2 。 ∵ OH⊥CD, ∴ CH=HD,OH= 1 2 CD= 1 2 ×8 2 = 4 2 。 ∵ ∠DCO= ∠CFO+∠AOC= 45°,∠AOC= 15°, ∴ ∠CFO= ∠DCO-∠AOC= 45°-15° = 30°。 ∴ OF= 2OH= 2×4 2 = 8 2 。 ∵ OA= 10, ∴ AF=OF-OA= 8 2 -10。 如图 3,当点 C 在 OA 的下方时,过点 O 作 OH⊥ CD 于点 H。 ∵ ∠OFH= ∠C+∠AOC= 60°, 　 图 3 ∴ ∠FOH= 90°-∠OFH= 30°。 ∴ OF= 2FH。 ∵ OF2 =FH2 +OH2 , ∴ 4FH2 =FH2 +(4 2 ) 2 。 ∴ FH= 4 6 3 。 ∴ OF= 8 6 3 。 ∴ AF=OA-OF= 10-8 6 3 。 综上所述,AF 的长为 8 2 -10 或 10-8 6 3 。 章丘区八年级第一学期期末真题卷 1. B　 2. A　 3. C　 4. C　 5. A　 6. A　 7. B　 8. D 9. B　 10. D 11. ±3　 12. 5　 13. 1 2 　 14. 21　 15. 5 —81— 16. (22 023 -1,22 023 ) 17.解:(1)原式= 2 3 - 3 3 +4 3 = 17 3 3 。 (2)原式= 5 2 +4 2 2 2 -4 = 9 2 -4 = 1 2 。 18.解:(1) x-3y= -10,① x+y= 6。 ②{ ②-①,得 4y= 16。 解得 y= 4。 把 y= 4 代入②,得 x+4 = 6。 解得 x= 2。 ∴ 方程组的解为 x= 2, y= 4。{ (2) 3x+2y= 8,① 4x-5y= 3。 ②{ ①×5+②×2,得 23x= 46。 解得 x= 2。 将 x= 2 代入①,得 6+2y= 8。 解得 y= 1。 ∴ 方程组的解为 x= 2, y= 1。{ 19.证明:∵ ∠2 = ∠3,∠1 = ∠2, ∴ ∠1 = ∠3。 ∴ BD∥CE。 ∴ ∠C= ∠ABD。 又∵ ∠C= ∠D, ∴ ∠ABD= ∠D。 ∴ AB∥EF。 ∴ ∠A= ∠F。 20.解:(1)∵ △ABC 与△A1B1C1 关于 x 轴对称, ∴ 点 A1(1,-1),B1(4,-2),C1(3,-4)。 (2)如图,△A2B2C2 即为所求作。 (3)如上图,点 P 即为所求作。 ∴ 点 P 的坐标为(2,0)。 故答案为(2,0)。 21.解:(1)是。 理由如下, 在△CHB 中,∵ CH2 +BH2 = (2. 4) 2 +(1. 8) 2 = 9, BC2 = 9, ∴ CH2 +BH2 =BC2 。 ∴ CH⊥AB。 ∴ CH 是从村庄 C 到河边的最近路。 (2)设 AC= x 千米。 在 Rt△ACH 中,由已知,得 AC = x 千米,AH = (x-1. 8)千米,CH= 2. 4 千米。 由勾股定理,得 AC2 =AH2 +CH2 , 即 x2 = (x-1. 8) 2 +(2. 4) 2 。 解得 x= 2. 5。 ∴ 原来的路线 AC 的长为 2. 5 千米。 22.解:(1)1+1+3+6+4+2+2+1 = 20(名)。 故答案为 20。 (2)4　 4 (3)被调查学生每个人读书本数的平均数是 x= 1 20 ×(1+2×1+3×3+4×6+5×4+6×2+7×2+8) = 4. 5, ∴ 读书总数是 800×4. 5 = 3 600。 ∴ 估计该校学生这学期的读书总数是 3 600。 23.解:(1)设 A 纪念品每件的进价为 a 元,B 纪念 品每件的进价为 b 元。 根据题意,得 2a+6b= 180, 4a+3b= 135。{ 解得 a= 15, b= 25。{ ∴ A 纪念品每件的进价为 15 元,B 纪念品每件 的进价为 25 元。 (2)设购进 A 纪念品 x 件,则购进 B 纪念品 (100-x)件。 根据题意,得 w= (25- 15) x+(30- 25) (100-x) = 5x+500。 ∵ 5>0,∴ w 随 x 的增大而增大。 ∵ x≤40,∴ 当 x= 40 时,w 最大,最大值为 700。 此时 100-x= 100-40 = 60。 ∴ 当该商店购进 A 纪念品 40 件,B 纪念品 60 件时,该店获利最大,最大利润是 700 元。 —91— 24.解:(1)∵ 点 P(-1,t)在直线 l2 :y= -2x-1 上, ∴ t= -2×(-1)-1 = 1,即点 P(-1,1)。 把点 B(0,3),P( -1,1)的坐标代入直线 l1 :y = kx+b,得 -k+b= 1, b= 3。{ 解得 k= 2, b= 3。{ ∴ 直线 l1 :y= 2x+3。 ∴ k= 2,b= 3,t= 1。 (2)∵ 直线 l2 :y= -2x-1 交 y 轴于点 A, ∴ 点 A(0,-1)。 ∵ 点 P(-1,1),B(0,3), ∴ S△PAB = 1 2 AB× | xP | = 1 2 ×4×1 = 2。 ∴ △ABP 的面积为 2。 (3)由(2)可知 S△ABP = 2, 由题意可知点 M 只能在 y 轴的左侧。 如图 1,当点M 在线段 BP 上时,过点M 作MC⊥ y 轴于点 C。 　 图 1 ∵ S△AMP = 1 2 S△AMB, ∴ S△ABM = 2 3 S△ABP = 4 3 。 ∴ 1 2 AB·MC= 4 3 。 ∴ 1 2 ×4×MC= 4 3 。 解得 MC= 2 3 。 ∴ 点 M 的横坐标为- 2 3 。 在 y= 2x+3 中,令 x= - 2 3 ,得 y= 5 3 。 ∴ 点 M ( - 23 , 5 3 ) 。 如图 2,当点 M 在线段 BP 的延长线上时,过点 M 作 MD⊥y 轴于点 D。 ∵ S△AMP = 1 2 S△AMB, ∴ S△ABM = 2S△ABP = 4。 ∴ 1 2 AB·MD= 4。 　 图 2 ∴ 1 2 ×4×MD= 4。 解得 MD= 2。 ∴ 点 M 的横坐标为-2。 在 y= 2x+3 中,令 x = -2,得 y= -1。 ∴ 点 M(-2,-1)。 综上所述,点M的坐标为 ( - 23 , 5 3 )或(-2,-1)。 25.解:(1)①如图 1,连接 PC。 图 1 ∵ ∠1 = ∠DCP+∠DPC,∠2 = ∠ECP+∠CPE, ∴ ∠1+∠2 = ∠DCP+∠DPC+∠ECP+∠CPE = ∠ACB+∠DPE= ∠ACB+∠α。 ∵ ∠ACB= 70°,∠α= 60°, ∴ ∠1+∠2 = 70°+60° = 130°。 ②由①可知∠1+∠2 = ∠ACB+∠α= 70°+∠α。 故答案为 130°;∠1+∠2 = 70°+∠α。 (2)∠1 = 70°+∠2+∠α。 理由如下, ∵ ∠1 = ∠C+∠CFD,∠CFD= ∠2+∠α, ∴ ∠1 = 70°+∠2+∠α。 (3)∠1+∠2 = 430°-∠α 或∠1+∠2 = ∠α+70°。 理由如下, ①如图 2,当点 P 在△CDE 内部时,连接 CP。 ∵ ∠1 = ∠DCP+∠DPC,∠2 = ∠ECP+∠CPE, ∴ ∠1+∠2 = ∠DCP+∠DPC+∠ECP+∠CPE = ∠ACB+360°-∠DPE= 70°+360°-∠α。 ∴ ∠1+∠2 = 430°-∠α。 图 2 　 　 　 图 3 —02— ②如图 3,当点 P 在四边形 ABED 内部时,连 接 CP。 ∵ ∠1 = ∠DCP+∠DPC,∠2 = ∠ECP+∠CPE, ∴ ∠1+∠2 = ∠DCP+∠DPC+∠ECP+∠CPE = ∠C+∠DPE= 70°+∠α。 ∴ ∠1+∠2 = ∠α+70°。 综上所述,∠α,∠1,∠2 之间的关系是∠1+∠2 = 430°-∠α 或∠1+∠2 = ∠α+70°。 26. (1)证明:∵ AD⊥DE,BE⊥DE, ∴ ∠ADC= ∠CEB= 90°。 ∵ ∠ACB= 90°, ∴ ∠ACD+∠ECB= ∠ACD+∠DAC= 90°。 ∴ ∠ECB= ∠DAC。 在△BEC 和△CDA 中, ∠CEB= ∠ADC, ∠ECB= ∠DAC, BC=CA, ì î í ï ï ïï ∴ △BEC≌△CDA(AAS)。 (2)解:如图 1,过点 B 作 CB⊥AB 交直线 l2 于 点 C,过点 C 作 CD⊥y 轴交 y 轴于点 D。 　 图 1 ∵ CD⊥y 轴,x 轴⊥y 轴, ∴ ∠CDB= ∠BOA= 90°。 又∵ CB⊥AB, ∴ ∠ABC= 90°。 又∵ ∠ABO+∠ABC+∠CBD = 180°, ∴ ∠ABO+∠CBD= 90°。 又∵ ∠BAO+∠ABO= 90°, ∴ ∠BAO= ∠CBD。 又∵ ∠BAC= 45°, ∴ ∠ACB= 45°。 ∴ AB=CB。 在△ABO 和△BCD 中, ∠AOB= ∠BDC, ∠BAO= ∠CBD, AB=BC, ì î í ï ï ïï ∴ △ABO≌△BCD(AAS)。 ∴ AO=BD,BO=CD。 又∵ 直线 l1 :y= 3 2 x+3 与 x 轴交于点 A,与 y 轴 交于点 B, ∴ 点 A,B 的坐标分别为(-2,0),(0,3)。 ∴ AO= 2,BO= 3。 ∴ BD= 2,CD= 3。 ∴ 点 C 的坐标为(-3,5)。 设直线 l2 的函数表达式为 y= kx+b(k≠0)。 代入 A,C 两点的坐标,得 -2k+b= 0, -3k+b= 5。{ 解得 k= -5, b= -10。{ ∴ 直线 l2 的函数表达式为 y= -5x-10。 (3)解:△BPQ 能成为以点 P 为直角顶点的等 腰直角三角形。 如图 2,过点 P 作 PE⊥y 轴于点 E,PE 交 AB 的 延长线于点 F。 ∴ PF⊥AF。 ∵ △BPQ 为以 P 为直角顶点的等腰直角三 角形, ∴ ∠QPB= 90°,PQ=BP。 ∴ ∠EQP = ∠FPB, ∠EPQ = ∠FBP, ∠PEQ = ∠BFP= 90°。 　 图 2 在△PEQ 和△BFP 中, ∠EQP= ∠FPB, PQ=BP, ∠EPQ= ∠FBP, ì î í ï ï ïï ∴ △PEQ≌△BFP(ASA)。 ∴ EP=FB。 ∵ 点 P(m,-2m+4),B(3,2), ∴ m= | -2m+4-2 | 。 当 m= -2m+4-2 时,解得 m= 2 3 。 —12— ∴ -2m+4 = 8 3 。 此时点 P 的坐标为 2 3 , 8 3( ) 。 当 m= -(-2m+4-2)时,解得 m= 2。 ∴ -2m+4 = 0。 此时点 P 的坐标为(2,0)。 综上所述,符合要求的点 P 的坐标为 2 3 , 8 3( ) 或 (2,0)。 平阴县八年级第一学期期末真题卷 1. A　 2. C　 3. B　 4. D　 5. C　 6. A　 7. D　 8. C 9. B　 10. C 11. 4　 12. 5　 13. 3　 14. 60　 15. 5 2 　 16. 9 4 17.解:(1)原式 = 27×3 + 1 3 ×3 = 81 + 1 = 9+ 1 = 10。 (2)原式= 5-4 5 +4+4 5 = 9。 18.解:(1) 2x-y= 4,① x+y= 8。 ②{ ①+②,得 3x= 12。 解得 x= 4。 把 x= 4 代入②,得 y= 4。 ∴ 方程组的解为 x= 4, y= 4。{ (2) 4x-2y= 2,① 2x+3y= -7。 ②{ ②×2-①,得 8y= -16。 解得 y= -2。 把 y= -2 代入①,得 4x+4 = 2。 解得 x= - 1 2 。 ∴ 方程组的解为 x= - 1 2 , y= -2。 ì î í ïï ï 19.解:∵ AD∥BC,∠B= 80°, ∴ ∠BAD= 180°-80° = 100°。 ∵ AE 平分∠BAD 交 BC 于点 E, ∴ ∠BAE= 1 2 ∠BAD= 1 2 ×100° = 50°。 ∴ ∠BEA= 180°-80°-50° = 50°。 20.解:(1)∵ AB=AC,∠A= 40°, ∴ ∠ABC= ∠C= 180° -∠A 2 = 70°。 ∵ 点 E 在 AB 的垂直平分线上, ∴ EA=EB。 ∴ ∠A= ∠ABE= 40°。 ∴ ∠CBE= ∠ABC-∠ABE= 70°-40° = 30°。 ∴ ∠CBE 的度数为 30°。 (2)∵ △BCE 的周长为 8 cm, ∴ BE+CE+BC= 8 cm。 ∵ AE=BE, ∴ AE+CE+BC= 8 cm。 ∴ AC+BC= 8 cm。 ∵ AC-BC= 2 cm, ∴ AC= 5 cm,BC= 3 cm。 ∴ AB=AC= 5 cm。 故答案为 5。 21.解:(1)把 A 组数据从小到大排列为 56,65,66, 68,70,73,74,74, ∴ A 组数据的中位数是68 +70 2 = 69,众数是 74。 故答案为 69;74。 (2)由题意,得样本容量为 8÷8% = 100(名)。 C 组频数为 100-8-15-45-2 = 30, 补全学生心率频数直方图如下: —22—