专题04：小数除法计算（六大考点+四大题型）-2024-2025学年五年级上册数学期末易错易混考点汇编（人教版）

人教版五年级数学上册第三单元：小数除法 专项突破4：计算专项（六大考点） （考点导图＋考点详解＋专项练习＋答案解析） 考点导图 考点详解 【考点1】小数除以整数 【方法点拨】 1、小数除以整数的计算方法：按照整数除法的计算方法计算，商的小数点要和被除数的小数点对齐。 2、除数是整数的小数除法，如果除到被除数的末位仍有余数，要在后面添0继续除，商的小数点要和除数的小数点对齐。 3、除数是整数的小数除法，如果小数的整数部分不够除，就在商的个位上写0，点上小数点后继续除。 4、没有余数的小数除法的验算方法和整数除法的验算方法相同，可以用商与除数相乘验算。 【典型例题】 竖式计算并验算： 68.8÷8＝ 3.7÷4＝ 【答案】8.6 0.925 【解析】小数除以整数的计算，按照整数除法法则进行计算，商的小数点要与被除数的小数点对齐。如果除到被除数的末位仍有余数，要在后面添0继续除，商的小数点要和除数的小数点对齐。 【详解】68.8÷8＝8.6 3.7÷4＝0.925 验算： 验算： 【举一反三1】 竖式计算并验算。 34.2÷3＝ 27.2÷34＝ 18.6÷6＝ 【考点2】小数或整数除以小数 【方法点拨】 小数或整数除以小数的计算方法： 1、移动除数的小数点，使它变成整数； 2、除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够时，在被除数的末尾用“0”补足）； 3、按照除数是整数的小数除法进行计算。 【典型例题】 竖式计算： 64.8÷1.8＝ 4.975÷1.99＝ 【答案】36 2.5 【解析】小数或整数除以小数的计算方法：移动除数的小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够时，在被除数的末尾用“0”补足）；最后按照除数是整数的小数除法进行计算。 【详解】 64.8÷1.8＝36 4.975÷1.99＝2.5 【举一反三2】 竖式计算 0.396÷1.2＝ 4.36÷0.16＝ 27.5÷0.025＝ 【考点3】商的近似数 【方法点拨】 求商的近似数的方法： 先看需要保留几位小数，商就除到保留位数的下一位，这一位商的数字小于5，舍去；大于或等于5，向前一位进“1”。 求商的近似数时，有时保留指定的小数位数后，近似数的末尾有0，此时的0不能去掉。 【典型例题】 竖式计算（得数保留两位小数） 1.1÷6.2≈ 7.33÷3.5≈ 【答案】0.18 2.09 【解析】求商的近似数的方法：先看需要保留几位小数，商就除到保留位数的下一位，这一位商的数字小于5，舍去；大于或等于5，向前一位进“1”。有时保留指定的小数位数后，近似数的末尾有0，此时的0不能去掉。 【详解】1.1÷6.2≈0.18 7.33÷3.5≈2.09 【举一反三3】 列竖式计算（得数保留一位小数） 34.7÷3.7 2.9÷0.37 【考点4】除法中的变化规律 【方法点拨】 1、商不变规律：被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），商不变。 2、商的变化规律： 被除数不变，除数扩大n倍，商就缩小n倍。 除数不变，被除数扩大n倍，商就扩大n倍。 2、商与除数“1”的关系 一个数除以大于1的数（0除外），商会比这个数小； 一个数除以小于1的数（0除外），商会比这个数大。 【典型例题1】 根据商不变规律填空 0.56÷0.25＝（ ）÷25 0.18÷0.6＝（ ）÷6 18÷90＝1.8÷（ ） 【答案】56 1.8 9 【解析】根据“商不变规律”解题。 0.25×100＝25，除数扩大100倍，要想商不变，等号成立，被除数也要扩大100倍，0.56×100＝56。 0.6×10＝6，除数扩大10倍，要想商不变，等号成立，被除数也要扩大10倍，0.18×10＝1.8。 18÷10＝1.8，被除数缩小 ，要想商不变，等号成立，除数也要缩小 ，90÷10＝9。 【举一反三4－1】 A÷B＝7.2，被除数和除数同时扩大100倍，商是（ ）。 【典型例题2】 两个数相除得到的商是0.72，如果被除数扩大到原来的10倍，除数不变，此时商是（ ）。 【答案】7.2 【解析】根据“商的变化规律”可知，除数不变，被除数扩大n倍，商就扩大n倍。除数不变，被除数扩大10倍，商也扩大10倍，即0.72×10＝7.2。 【举一反三4－2】 两个数相除得到的商的2.38，如果被除数缩小 ，除数扩大100倍，此时的商是（ ）。 【典型例题3】 下面算式中，商最大的是（ ）。 A、5.6÷0.34 B、5.6÷34 C、56÷0.34 【答案】C 【解析】根据商与除数“1”的关系解题：一个数除以大于1的数（0除外），商会比这个数小；一个数除以小于1的数（0除外），商会比这个数大。 A、5.6÷0.34，0.34＜1，即商＞5.6； B、5.6÷34，34＞1，即商＜34； C、56÷0.34，0.34＜1，即商＞56 综上比较可知选项C的商最大。 【举一反三4－2】 在○里填上“＞”“＜”或“＝”。 3.4÷0.85○3.4 196.8÷1.23○196.8 12.6÷0.28○12.6 【考点5】循环小数比较大小 【方法点拨】 循环小数大小比较：将循环小数的简便记法进行还原，按照比较小数大小的方法进行比较。 如果前面几位上的数都相同，那么要将循环小数写成比有限小数的位数多一位的形式，进行比较。 【典型例题】 比较大小 0.77○0.7 (·) 1.3 (·)4 (·)○1.344 1.3 (·)4 (·)○2.91 (·) 0.255○0.2 (·)5 (·) 【答案】＜ ＜ ＞ ＞ 【解析】循环小数大小比较：将循环小数的简便记法进行还原，按照比较小数大小的方法进行比较。如果前面几位上的数都相同，那么要将循环小数写成比有限小数的位数多一位的形式，进行比较。 0.77 1.3434… 1.343… 0.255 0.777… 1.344 2.9111… 0.2525… 0.77＜0.7 (·) 1.3 (·)4 (·)＜1.344 1.3 (·)4 (·)＞2.91 (·) 0.255＞0.2 (·)5 (·) 【举一反三5】 把6.1 (·)6 (·)、6.16 (·)、6.16、6.166按照从大到小的顺序排列起来。 （ ）＞（ ）＞（ ）＞（ ） 【考点6】用计算器探索规律 【方法点拨】 用计算器探索规律的方法：用计算器计算→发现规律→根据规律写商。 【典型例题】 用计算器计算出前三题的商，按照规律写出后面两题的商。 8.7×9＝ 8.76×9＝ 8.765×9＝ 8.7654×9＝ 8.76543×9＝ 【答案】78.3 78.84 78.885 78.8886 78.88887 【解析】用计算器计算出前面3题的商，观察被除数、除数和商，发现规律，根据规律写出后面的商。 8.7×9＝78.3；8.76×9＝78.84；8.765×9＝78.885 观察发现，第一个因数小数点后面依次从7依次增加前后的一个数字，第二个因数都是9； 积整数部分是78，不变；小数部分，除了最后一个数字外，前面的数字都是8；第一个因数的小数末尾是几，则积的末尾就是10减去几；第一个因数是几位小数，积就是几位小数。 【举一反三6】 用计算器计算出前三题的商，按照规律写出后面两题的被除数和商。 49.5÷9＝ 49.95÷9＝ 49.995÷9＝ （ ）÷9＝（ ） （ ）÷9＝（ ） 专项练习 【基础篇】 一、填空。 1、3.6÷0.25＝36÷（ ） 13.7÷0.58＝（ ）÷58 2、0.389389389…用简便方法表示是（ ），保留三位小数写作（ ）。 3、最大的三位数除以最小的三位数，商是（ ），保留整数是（ ）。 4、根据16÷0.32＝50，不计算直接写出下面各题的商。 1.6÷0.32＝（ ） 0.16÷0.32＝（ ） 16÷3.2＝（ ） 160÷3.2＝（ ） 5、在○里填上“＞”“＜”或“＝”。 7.99÷1○7.99 4.5÷0.89○4.5 23÷1.09○23 6、在2.7575、2.7 (·)5 (·)、2.75 (·)、2.75中，有限小数有（ ），无限小数有（ ）。最大的数是（ ），最小的数是（ ）。 7、一个小数，如果把小数点向右移动一位，所得的数比原来增加了31.05，那么原来的小数是（ ）。 二、选择 1、 下面算式中，结果最大的是（ ） A、5.68×3.4 B、5.68÷3.4 C、5.69÷0.8 D、5.68×0.8 2、 与0.77÷0.23的结果相等的式子是（ ）。 A、77÷2.3 B、770÷23 C、77÷23 D、0.077÷0.23 3、 下面各数中，是循环小数的是（ ）。 A、3.1415926086 B、9.56787878 C、4.76399999 D、0.234234234… 4、 两个数相除的商是0.98，把被除数和除数同属扩大到原来的10倍，商是（ ）。 A、98 B、0.98 C、9.8 D、980 5、 一个三位小数精确到百分位约是1.87，这个三位小数最大是（ ），最小是（ ）。 A、1.869 B、1.8749 C、1.874 D、1.865 三、判断 1、用“四舍五入”法保留近似数都大于准确数。（ ） 2、0.42424242是循环小数。（ ） 3、因为循环小数是无限小数，所以无限小数就是循环小数。（ ） 4、小数除以小数，商一定还是小数。（ ） 5、小数除法的意义与整数除法的意义相同。（ ） 四、计算 1、直接写得数。 12÷0.6＝ 1.25×8＝ 1.3÷100＝ 0.63÷0.7＝ 0.72÷0.8＝ 0.45÷0.9＝ 2.5×4＝ 0.36÷6＝ 2、列竖式计算，带*要验算，带☆保留两位小数。 2.07÷0.23＝ 10.75÷12.5＝ ☆6.63÷6.1≈ 28÷1.6＝ 0.416÷32＝ *254.1÷0.7＝ 2、 脱式计算，能简算的要简算。 4.1÷0.82－3.26 87.8÷0.25÷0.4 （12.5＋0.25）×0.8 5、 运用知识，解决问题。 1、用计算器算出前三题的答案，找出规律，不计算，写出后三题的得数。 6×9＝ 6.6×6.9＝ 6.66×66.9＝ 6.666×666.9＝ 6.6666×6666.9＝ 6.66666×66666.9＝ 2、把下面各数前面的序号填在对应的方框内。 ①2.3737… ②4.68 ③2.34357… ④7.265 ⑤0.868686 ⑥4.32 ⑦3.14159… ⑧0.987 (·) ⑨34.8 (·)76 (·) ⑩0.9999 循环小数 无限小数 有限小数 3、用3、1、0、7和小数点组成不同的小数，“四舍五入”保留整数后，近似数是1的小数有哪些？（每个数都要使用且只能用1次） 【培优篇】 1、甲、乙两数的差是19.8，甲数的小数点向左移动一位正好等于乙数。甲、乙数分别是多少？ 2、a÷0.6＝b，b是一个两位小数，保留一位小数是2.0。a最大是多少？最小呢？ 3、11÷4的商小数部分第40位上的数字是几？商的小数部分前40位上的数字之和是多少？ 4、用计算器计算左面三题，找出规律，直接写出右面三题的得数。 1÷7＝ 4÷7＝ 2÷7＝ 5÷7＝ 3÷7＝ 6÷7＝ 5、有48个单数，它们和的平均数保留一位小数是13.9，如果保留两位小数，得数最小是多少？ 答案解析 【举一反三1】 【答案】11.4 0.8 3.1 【解析】小数除以整数的计算，按照整数除法法则进行计算，商的小数点要与被除数的小数点对齐。如果除到被除数的末位仍有余数，要在后面添0继续除，商的小数点要和除数的小数点对齐。 【详解】34.2÷3＝11.4 27.2÷34＝0.8 18.6÷6＝3.1 【举一反三2】 【答案】0.33 27.25 1100 【解析】小数或整数除以小数的计算方法：移动除数的小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够时，在被除数的末尾用“0”补足）；最后按照除数是整数的小数除法进行计算。 【详解】0.396÷1.2＝0.33 4.36÷0.16＝27.25 27.5÷0.025＝1100 【举一反三3】 【答案】9.4 7.8 【解析】求商的近似数的方法：先看需要保留几位小数，商就除到保留位数的下一位，这一位商的数字小于5，舍去；大于或等于5，向前一位进“1”。有时保留指定的小数位数后，近似数的末尾有0，此时的0不能去掉。 【详解】34.7÷3.7≈9.4 2.9÷0.37≈7.8 【举一反三4－1】 【答案】7.2 【解析】根据“商不变规律”被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），商不变。被除数和除数同时扩大100倍，商不变，还是7.2。 【举一反三4－2】 【答案】0.00238 【解析】根据“商的变化规律”，可知，被除数缩小 ，商也要缩小 ，变为0.238，除数扩大100倍，商要缩小100倍，商变为0.00238。 【举一反三4－3】 【答案】＞ ＜ ＞ 【解析】根据商与除数“1”的关系解题：一个数除以大于1的数（0除外），商会比这个数小；一个数除以小于1的数（0除外），商会比这个数大。 3.4÷0.85，0.85＜1，所以3.4÷0.85＞3.4； 196.8÷1.23，1.23＞1，所以196.8÷1.23＜196.8； 12.6÷0.28，0.28＜1，所以12.6÷0.28＞12.6 【举一反三5】 【答案】6.16 (·)＞6.166＞6.1 (·)6 (·)＞6.16 【解析】循环小数大小比较：将循环小数的简便记法进行还原，按照比较小数大小的方法进行比较。如果前面几位上的数都相同，那么要将循环小数写成比有限小数的位数多一位的形式，进行比较。 【举一反三6】 【答案】5.5 5.55 5.555 49.9995 5.5555 49.99995 5.55555 【解析】用计算器求出前三题的商，观察被除数、除数和商，发现规律，根据规律写出后面的被除数和商。 计算出前三题，可以发现，被除数的小数点后面依次增加一个9，商的小数点后面依次增加一个5。 【专项练习】 【基础篇】 一、1、【答案】2.5 1370 【解析】根据“商不变规律”解题。 3.6×10＝36，要想商不变，0.25也要扩大10倍，即0.25×10＝2.5。 0.58×100＝58，要想商不变，13.7也要扩大100倍，即13.7×100＝1370 2、 【答案】0.3 (·)89 (·) 0.389 【解析】考察循环小数的知识及商的近似数问题。 3、 【答案】9.99 10 【解析】最大的三位数是999，除以最小的三位数是100，999÷100，商是9.99，保留整数是10。 4、 【答案】5 0.5 5 50 【解析】根据“商的变化规律”解题。第一个算式，被除数缩小 ，除数不变，商也缩小 ，即商是5；第二个算式，被除数缩小 ，除数不变，商也缩小 ，即上是0.5；第三个算式，被除数不变，除数扩大10倍，商缩小 ，商是5；第四个算式，被除数扩大10倍，除数扩大10倍，商不变，即商是50。 5、 【答案】＝ ＞ ＜ 【解析】根据商与除数“1”的关系解题：一个数除以大于1的数（0除外），商会比这个数小；一个数除以小于1的数（0除外），商会比这个数大。 6、 【答案】2.7575、2.75 2.7 (·)5 (·)、2.75 (·) 2.7 (·)5 (·) 2.75 【解析】一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数；小数部分的位数有限的小数是有限小数。小数部分的位数无限的小数的无限小数。循环小数是无限小数。 7、【答案】 【解析】循环小数大小比较：将循环小数的简便记法进行还原，按照比较小数大小的方法进行比较。如果前面几位上的数都相同，那么要将循环小数写成比有限小数的位数多一位的形式，进行比较。 二、1、【答案】C 【解析】根据积与因数“1”的大小关系，商与除数1的关系解题。 5.68×3.4，3.4＞1，所以5.68×3.4＞5.58 5.68÷3.4，3.4＞1，所以5.68÷3.4＜5.68 5.69÷0.8，0.8＜1，所以5.69÷0.8＞5.69 5.68×0.8，0.8＜1.所以5.68×0.8＜5.68 2、【答案】C 【解析】考察“商不变规律”。选项A，被除数扩大100倍，除数扩大10倍，商变；选项B，被除数扩大1000倍，除数扩大1倍，商变；选项C，被除数扩大100倍，除数扩大100倍，商不变。选项D，被除数缩小 ，除数不变，商变。 3、【答案】D 【解析】考察对循环小数的认识理解。一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。 3、 【答案】B 【解析】考察商不变规律。被除数和除数同时扩大相同的倍数，商不变，还是0.98。 4、 【答案】C D 【解析】四舍五入的原则是：如果尾数的最高位数是4或者比4小，就把尾数去掉；如果尾数的最高位数是5或者比5大，就把尾数舍去并且在它的前一位进1。根据这个原则，要想这个三位小数最大，就是“四舍”得到的1.87，所以最大是1.874；要想这个三位小数最小，就是“五入”得到的1.87，所以最小是1.865‌。 三、1、【答案】× 【解析】在“四舍五入”法中，保留近似数时有两种情况： ‌四舍‌：如果被舍部分的头一位数小于5，则舍去； ‌五入‌：如果被舍部分的头一位数大于等于5，则进位。 “四舍五入”法保留的近似数并不一定大于准确数‌，这取决于具体的数值和四舍五入的规则‌。‌ 2、【答案】× 【解析】0.42424242不是循环小数‌。循环小数的定义是小数部分从某一位开始，有一个或几个数字不断重复出现。然而，0.42424242的数字序列并不重复，因此它不是一个循环小数‌。 3、【答案】× 【解析】‌无限小数不一定是循环小数‌。循环小数是指小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数。例如，3.141592653589793...（π的小数部分）就是一个循环小数。然而，无限小数不仅包括循环小数，还包括无限不循环小数，例如2.463025...（这个小数的小数部分没有重复出现的数字）。因此，虽然循环小数是无限小数的一种，但无限小数不一定是循环小数‌。 4、【答案】× 【解析】‌小数除以小数，商不一定是小数，也可能是整数。‌例如：0.5 ÷ 0.2 ＝ 2.5，商是小数。1.5 ÷ 0.5 ＝ 3，商是整数。‌ 5、【答案】√ 【解析】‌小数除法的意义与整数除法的意义相同‌。两者都是已知两个因数的积与其中的一个因数，求另一个因数的运算。因此，小数除法的意义与整数除法的意义是相同的‌。 四、1、【答案】20 10 0.013 0.9 0.9 0.5 10 0.6 【解析】考察小数的口算，口算时看清运算符号，小数部分末尾有0的去掉。 2、 【答案】9 0.86 1.09 17.5 0.013 363 【解析】小数除法竖式计算时，要注意被除数和商的小数点要对齐。 求近似数时，要计算到保留位数的下一位，运用“四舍五入”的方法进行求解。 除法的验算一般采用乘法来进行验算，商×除数看是否和被除数一样。 【详解】2.07÷0.23＝9 10.75÷12.5＝0.86 ☆6.63÷6.1≈1.09 28÷1.6＝17.5 0.416÷32＝0.013 *254.1÷0.7＝363 验算： 3、 【答案】1.74 878 10.2 【解析】混合运算时，要注意运算顺序，没有小括号时，先算乘除，后算加减，同级运算从左往右按顺序计算；有小括号时，先算括号里面的，再算括号外面的。能进行简算要简算。 【详解】4.1÷0.82－3.26 87.8÷0.25÷0.4 （12.5＋0.25）×0.8 ＝5－3.26 ＝87.8÷（0.25×0.4） ＝12.5×0.8＋0.25×0.8 ＝1.74 ＝87.8÷0.1 ＝10＋0.2 ＝878 ＝10.2 五、1、【答案】54 45.54 445.554 4445.5554 44445.55554 【解析】先计算出前3个算式的得数，从答案中发现规律，依次整数部分多一个4，小数的部分多一个5，据此写出剩下算式的答案即可。 2、 【答案】有限小数：② ④ ⑤ ⑥ ⑩ 无限小数：① ③ ⑦ ⑧ 循环小数：① ⑧ ⑨ 【解析】考察对有限小数、无限小数和循环小数的认识和区分。 3、 【答案】1.037、1.073、1.307、1.370 【解析】要想保留整数后近似数是1，十分位上的数字要小于5，所以十分位上的数字可以是0或3，整数位上是1，剩下两个数字自由排列组合即可。 【培优篇】 1、 【答案】甲数是22，乙数是2.2。 【解析】这是因为甲数的小数点向左移动一位后正好等于乙数，这意味着甲数是乙数的10倍。据此解答。 【详解】乙数 ＝ 19.8 ÷ (10－1) ＝ 19.8 ÷ 9 ＝ 2.2。 甲数 ＝ 乙数 × 10 ＝ 2.2 × 10 ＝ 22。 答：甲数是22，乙数是2.2。‌ 2、 【答案】a最大是1.224，最小是1.17。 【解析】这是因为b是一个两位小数，保留一位小数是2.0。根据四舍五入的规则，b的最大值是2.04（四舍），最小值是1.95（五入）。因此，a的最大值是b的最大值乘以0.6，即2.04 × 0.6 ＝ 1.224；a的最小值是b的最小值乘以0.6，即1.95 × 0.6 ＝ 1.17‌ 【详解】根据四舍五入可得，b的最大值是2.04（四舍），最小值是1.95（五入）。 a最大为：2.04 × 0.6 ＝ 1.224 a最小值为1.95 × 0.6 ＝ 1.17‌ 答：a最大是1.224，最小是1.17。 3、【答案】11÷4的商小数部分第40位上的数字是5，商的小数部分前40位上的数字之和是240。 【解析】本题考查的是循环小数的认识和周期问题的求解。首先，计算11÷4的商：11÷4＝2.7 (·)5 (·)，75是循环的部分。循环节有2位，所以用40除以2，40÷2＝20，没有余数，说明第40位上的数字是循环节的最后一位，也就是5。每一个循环节的和是7＋5＝12。 前40位有40÷2＝20个完整的循环节，所以这些循环节的和是20×12＝240。 【详解】11÷4＝2.7 (·)5 (·) 循环节有2位，40÷2＝20 7＋5＝12 20×12＝240 答：11÷4的商小数部分第40位上的数字是5，商的小数部分前40位上的数字之和是240。 4、【答案】0.1 (·)42857 (·) 0.2 (·)85714 (·) 0.4 (·)28571 (·) 0.5 (·)71428 (·) 0.7 (·)14285 (·) 0.8 (·)57142 (·) 【解析】先用计算器计算出前面三题的得数，观察发现循环节的规律，这三道算式，除数都是7马上都是循环小数，商的整数部分都是0，而循环节都是有1、4、2、8、5、7这6个数字组成的，只是排列顺序不同。观察可以看出，商的十分位是几，商的循环节就从几开始按的 顺序依次排列这6个数字。 5、【答案】如果保留两位小数，得数最小是13.85。 【详解】本题考查的是平均数的计算和应用。已知有48个单数，它们和的平均数保留一位小数是13.9，那么这48个单数和的范围应该在：13.85×48＝664.8到13.95×48＝669.6之间。 由于这48个数都是单数（奇数），所以它们的和也必须是单数，那么在664.8到669.6之间的单数只有665、667、669。接下来，要找出这三个和中，哪一个保留两位小数后得到的平均数最小。665÷48≈13.8542 667÷48≈13.8958 669÷48≈13.9375，从上面的计算可以看出，665对应的平均数保留两位小数后最小为13.85。所以，如果保留两位小数，得数最小是13.85。 【详解】13.85×48＝664.8 13.95×48＝669.6 则这48个单数和的范围在664.8~669.6之间，其中单数只有665、667、669。 665÷48≈13.8542 667÷48≈13.8958 669÷48≈13.9375 665对应的平均数保留两位小数后最小为13.85 答：如果保留两位小数，得数最小是13.85。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$