专题训练：圆中常见的计算题-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（湘教版）

圆中常见的计算问题 角度计算 1．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，、是的半径，C是上一点，若，，求的大小． 2．（24-25九年级上·山东滨州·期中）如图，在中，、分别平分和．延长交的外接圆于点，连接，，． (1)若，求的度数． (2)求证：点是的外心． 3．（24-25九年级上·江西宜春·期中）如图，在中，，点，分别在，上，线段绕点D顺时针旋转得到，其中旋转角，此时点F恰好落在上，过点，，的圆交于点G，连接． (1)若，求的度数； (2)求证：． 4．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，中，，以为直径作，交于点，交于点． (1)求证：； (2)若，连接，求的度数． 5．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，是的内接三角形，是的直径，过点作交的延长线于点，点在上，连接，，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 6．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，是的直径，内接于，，，的延长线相交于点E，且． (1)求证：； (2)求的度数． 弦长计算 1．（浙江省台州市初中名校发展共同体2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷）如图，是的直径，是的弦，，． (1)尺规作图：在图1中确定一点D，使其平分弧； (2)在（1）的基础上，在图2中连接，求的长． 2．（24-25九年级上·湖北黄冈·期中）如图，是的直径，C、D两点在上，． (1)求证：； (2)若为弧上的三等分点，，求的长． 3．（黑龙江省大庆市2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题）如图，为⊙O的直径，弦于点E，连接 (1)求证：； (2)若，求的长． 4．（24-25九年级上·北京海淀·期中）如图，在中，，D为边上的点，以为直径作，连接并延长交于点E，连接，． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求的长． 5．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在四边形中，，的外接圆交于点E． (1)若，求证：是的切线； (2)若E是的中点，且，，求的长． 6．（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，已知是的直径，点C是的中点，点D是的中点，连接，，，与交于点E，过点D作于点F． (1)求证：为的切线； (2)若，求的长度． 7．（浙江省丽水市文元教育集团2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷）如图，四边形内接于为直径，于． (1)求的半径； (2)求四边形的面积； (3)E是线段上一点，，连接并延长交于F，求的长． 弧长计算 1．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，四边形内接于，是四边形的一个外角，且平分． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 2．（24-25九年级上·陕西安康·阶段练习）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径的圆交于点，连接，．求的长．（结果保留） 3．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，某地欲搭建一座圆弧型拱桥，跨度米，拱高米，其中C为的中点，D为弧的中点．（参考数据：，结果保留） (1)求该圆弧所在圆的半径； (2)求弧的长． 4．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，以为直径作半圆，交于点，交于点求； (1)求弧的长； (2)求阴影部分的面积． 5．（24-25九年级上·河北张家口·期中）如图，在中， ，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，连接． (1)若，求的长； (2)若，求证：． 6．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，以的一边为直径作交于点，与边的交点恰好为的中点，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 7．（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，已知是的内接三角形，弧是半圆，C是弧的中点，连接，． (1)求证：． (2)若，求弧的长． 8．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作，垂足为点H． (1)求证：是的切线； (2)延长交于E，连接，交于点F，若，的半径为3，求的长度（结果保留）． 面积计算 1．（24-25九年级上·重庆九龙坡·期中）如图，在矩形中，，，以为圆心，长为半径画弧交线段的延长线于点，以为圆心，长为半径画弧交于点，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，圆心重合的两圆半径分别为4，2，，则阴影部分图形的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（河北省秦皇岛市2024--2025学年上学期九年级数学期中考试卷）如图，在中，，将绕着点A逆时针旋转得到，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图①是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，则花窗的面积为 ．（结果保留） 5．（河北省石家庄市2024-2025学年上学期九年级数学期中测试题B）如图，扇形的圆心角为，点在圆弧上，，，阴影部分的面积为 ． 6．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，C为上一点，是的直径，，，现将绕点B按顺时针方向旋转后得到，交于点D，则图中阴影部分的面积为 ． 7．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，在为直径的半圆中，，，则弦，与半圆围成的阴影部分的面积与半圆面积的比值等于 ． 8．（24-25九年级上·北京·期中）如图，等边的边长为12，点D、E、F分别为边，的中点，若分别以E，D，F为圆心，6为半径，作三个的扇形，则图中阴影部分的面积为 ． 9．（24-25九年级上·四川广安·期中）如图，内接于，是直径，切线切于，交的延长线于点，交于点，交于点； (1)写出与的关系：__________________； (2)求证：是的切线； (3)若，，求阴影部分的面积． 10．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，以为直径的分别交、于点D、G，过点D作于点E，交的延长线于点F．    (1)求证：与相切； (2)当时，求阴影部分的面积． 11．（2024·云南怒江·一模）如图，为⊙的直径，点C在⊙上，的平分线交⊙于点D，过点D作，交的延长线于点E．    (1)求证：是⊙的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 圆中常见的计算问题 角度计算 1．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，、是的半径，C是上一点，若，，求的大小． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是圆周角定理，解题的关键是熟练的掌握圆周角定理，根据圆周角定理可得，根据三角形内角和定理可得，进而可求． 【详解】解：， ， ，， ， ． 2．（24-25九年级上·山东滨州·期中）如图，在中，、分别平分和．延长交的外接圆于点，连接，，． (1)若，求的度数． (2)求证：点是的外心． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，于是得到结论； （2）根据角平分线的定义得到，求得，得到，求得，于是得到结论． 【详解】（1）解：平分， ， ， ； （2）证明：分别平分和， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ∴点B，E，D在以C为圆心的同一圆上， ∴点C是的外心． 3．（24-25九年级上·江西宜春·期中）如图，在中，，点，分别在，上，线段绕点D顺时针旋转得到，其中旋转角，此时点F恰好落在上，过点，，的圆交于点G，连接． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． （1）先代入计算得到，再利用圆内接四边形的性质即可求解； （2）利用圆内接四边形的性质以及等弦对等弧求得，证得，再证明，据此即可证明． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴． 4．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，中，，以为直径作，交于点，交于点． (1)求证：； (2)若，连接，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形性质以及三角形内角和定理等知识； （1）连接，先由圆周角定理得，则，再由等腰三角形的三线合一即可得出结论； （2）连接，先由等腰三角形的性质得，再由三角形内角和定理求出，即可得出结论； 熟练掌握圆周角定理和等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】（1）连接，如图1所示： ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）连接，如图2所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，是的内接三角形，是的直径，过点作交的延长线于点，点在上，连接，，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆周角、直角三角形两锐角互余、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，熟练运用相关知识是解题关键． （1）首先根据“直径所对的圆周角为直角”可得，进而可得，即有，结合，可得，进一步可得，然后根据，可知，即可证明结论； （2）首先确定，再根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”可知，结合易得，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，是的直径，内接于，，，的延长线相交于点E，且． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)112.5° 【分析】对于（1），根据等弧所对的圆周角相等得，再根据等边对等角得   ，然后根据“两个角相等的两个三角形相似”得出答案；     对于（2），连接，根据直径所对的圆周角是直角得，再设，可表示，然后根据相似三角形的对应角相等得，再根据圆内接四边形的对角互补得出方程，进而求出x，即可得出答案． 【详解】（1）∵， ∴．       ∵， ∴， ∴．    又∵， ∴； （2）连接， ∵是的直径， ∴，         设， ∵， ∴． ∵， ∴．   ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴，     ∴．        弦长计算 1．（浙江省台州市初中名校发展共同体2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷）如图，是的直径，是的弦，，． (1)尺规作图：在图1中确定一点D，使其平分弧； (2)在（1）的基础上，在图2中连接，求的长． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题考查作角平分线，圆周角定理，垂径定理勾股定理，解决本题的关键是掌握角平分线的作法； （1）作的平分线交弧于点D即可； （2）连接，，根据垂径定理得，然后利用勾股定理即可解决问题； 【详解】（1）解：如图所示：点D即为所求； （2）如图：连接，，，， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， 由（1）知∶， ∴， ∵是的半径， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（24-25九年级上·湖北黄冈·期中）如图，是的直径，C、D两点在上，． (1)求证：； (2)若为弧上的三等分点，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等，以及直角所对的圆周角是直角，得出是等腰直角三角形，即可证明结论； （2）连接，连接并延长交于点，连接，根据直径和弧三等分点，得到，根据圆周角定理，证明是等边三角形，进而得出，根据等腰三角形三线合一的性质和垂径定理，得到，从而推出，得到，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：， ， 是直径， ， 是等腰直角三角形， ； （2）解：如图，连接，连接并延长交于点，连接， 是直径， ， 为弧上的三等分点， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 是等腰直角三角形，是得中点， ， ， 为弧上的三等分点， ， ， ， ， 是直径， ， ． 3．（黑龙江省大庆市2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题）如图，为⊙O的直径，弦于点E，连接 (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．以及勾股定理．熟记相关结论是解题关键． （1）根据等弧对等角证明即可； （2）连接，根据垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，然后计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∴； （2）解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴, 在中， ∴ ∴ 4．（24-25九年级上·北京海淀·期中）如图，在中，，D为边上的点，以为直径作，连接并延长交于点E，连接，． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)，详见解析 【分析】（1）连接，则，由，得，而，则，即可证明是的切线； （2）由勾股定理得，而，，所以，求得，则，如图，过点E作交于点F，利用三角形的面积公式求得的长，然后利用勾股定理即可求得的长． 【详解】（1）连接，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径，且， ∴是的切线． （2）∵， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， 解得， ∴ 如图，过点E作交于点F， ∴在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， 在中， ， ∴， ∴（负值舍去）， ∴的长是． 5．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在四边形中，，的外接圆交于点E． (1)若，求证：是的切线； (2)若E是的中点，且，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定和性质，勾股定理、圆周角定理，掌握切线的判定方法，勾股定理、圆周角定理以及四边形面积的计算方法是正确解答的关键． （1）根据等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，平行线的性质以及切线的判定方法进行解答即可； （2）根据圆周角定理，勾股定理、垂径定理以及四边形的面积的计算方法进行解答即可． 【详解】（1）证明：如图，连接，，过点O作直线， ∵，， ∴直线是的垂直平分线， ∴直线， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：连接，交于点F，连接GC=GB， ∵E是的中点， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， 在中，设，则，由勾股定理得， ， 即， 解得， 即半径为5， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 解得． 6．（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，已知是的直径，点C是的中点，点D是的中点，连接，，，与交于点E，过点D作于点F． (1)求证：为的切线； (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图，连结交于点，由圆周角定理可得，可推出，即可证明为的切线． （2）首先由点C为的中点，得到，由可得，，从而求出的长． 【详解】（1）解：如图，连结交于点， 点为的中点， ， ，   是的直径， ， ， ， ，   ， ， ， 为的切线； （2）点C为的中点， ， ，           由（1）得， ，     ， ∴， ，，                                 ， 即，                             ， ， ，                                                     ． 7．（浙江省丽水市文元教育集团2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷）如图，四边形内接于为直径，于． (1)求的半径； (2)求四边形的面积； (3)E是线段上一点，，连接并延长交于F，求的长． 【答案】(1)5 (2)32 (3) 【分析】（1）连接，设半径为r，由勾股定理求出的半径即可； （2）过B作，交延长线于点G，利用角平分线性质和三角形全等求出和长，再代入数据计算即可； （3）连接DF，过C作于点G，则，由勾股定理求出，，然后分别证明，，最后根据性质即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，设半径为r， 在中，，由勾股定理得： ， 解得：， ∴的半径为5； （2）如图，过B作，交延长线于点G， ∵， ∴， ∴是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）如图，连接DF，过C作于点G，则， ∵，， ∴OH=3， ∴，同理得：， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 弧长计算 1．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，四边形内接于，是四边形的一个外角，且平分． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了弧长的计算：弧长公式：弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为，也考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质． （1）先根据角平分线的定义得到，再利用圆内接四边形的性质得到，利用圆周角定理得到，所以，从而得到结论； （2）连结交圆于，连接、，则，利用的结论得到，则为等边三角形，所以，再在中求出直径，然后根据圆周角定理得到，最后根据弧长公式求解． 【详解】（1）证明：平分， ， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ， ； （2）解：如图，连结交圆于，连接、，则， ， 为等边三角形， ， ， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，解得（负值舍去）， ∴圆半径为， ∴的长度． 2．（24-25九年级上·陕西安康·阶段练习）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径的圆交于点，连接，．求的长．（结果保留） 【答案】 【分析】先求得所对的圆周角的度数，再由弧长的公式，求得的长． 【详解】解：连接， ， ， ，， ， ， ， 的长度． 3．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，某地欲搭建一座圆弧型拱桥，跨度米，拱高米，其中C为的中点，D为弧的中点．（参考数据：，结果保留） (1)求该圆弧所在圆的半径； (2)求弧的长． 【答案】(1)20米 (2)米 【分析】（1）设该圆弧的圆心为O，连接，根据垂径定理得到，则三点共线，设该圆弧所在圆的半径为r米，则米，米，米，据此在中利用勾股定理求解即可； （2）解得到，则，进而得到，则，据此利用弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：设该圆弧的圆心为O，连接， ∵C为的中点，D为弧的中点， ∴， ∴三点共线， 设该圆弧所在圆的半径为r米，则米， ∵跨度米，拱高米， ∴米，米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴该圆弧所在圆的半径为20米； （2）解：如图所示，连接， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为米． 4．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，以为直径作半圆，交于点，交于点求； (1)求弧的长； (2)求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查扇形的面积、等腰三角形的性质、弧长的计算，掌握扇形的面积和弧长的计算公式及等腰三角形的性质、平行线的判定与性质是解题的关键． （1）连接，利用等腰三角形的性质和平行线的判定与性质求出，再由弧长公式计算弧的长； （2）利用扇形和三角形的面积公式，根据“阴影部分的面积扇形的面积的面积”计算即可． 【详解】（1）解： 连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长， 弧的长是． （2）解： ， 阴影部分的面积是． 5．（24-25九年级上·河北张家口·期中）如图，在中， ，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，连接． (1)若，求的长； (2)若，求证：． 【答案】(1)； (2)见详解． 【分析】（1）根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质可求得，，，，然后根据弧长公式即可求出的长． （2）根据等腰三角形的性质可得，，由三角形外角的性质可得，则可得．根据三角形内角和定理可得，则可得，由此可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长为； （2）证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 6．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，以的一边为直径作交于点，与边的交点恰好为的中点，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质和判定，弧长公式，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质可以得到，然后根据圆内接四边形的的对角互补得到，然后根据等角对等边得到结论； （2）根据三线合一和圆周角定理可以求出，然后利用弧长公式计算解题． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，    ∵，D为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长为． 7．（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，已知是的内接三角形，弧是半圆，C是弧的中点，连接，． (1)求证：． (2)若，求弧的长． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】本题考查圆周角定理、等腰直角三角形的性质、弧长公式，（1）根据题意可得，再根据圆周角定理证明即可； （2）连接、，根据圆周角定理可得，，再根据等腰直角三角形的性质与判定可得，再利用弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：∵C是弧的中点， ∴， ∴； （2）解：连接、， ∵弧是半圆， ∴是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，即， ∵， ∴． 8．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作，垂足为点H． (1)求证：是的切线； (2)延长交于E，连接，交于点F，若，的半径为3，求的长度（结果保留）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定，弧长的计算，等腰三角形的性质，圆周角定理等，掌握切线的判定方法及弧长的计算公式是解题的关键． （1）连接，由，可得，进而可得，结合可证，即可得出是的切线； （2）由，可得，设，则，结合，在中，由三角形内角和定理列式计算出，再根据弧长公式求解． 【详解】（1）证明：连接， 如图所示： ∵， ∴是等腰三角形， ∴， 在中，∵， ∴， 由①②得：， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； （2）解：如图， ∵， ∴， 设， ∴， ∵， ∴中，， ∴， ∴， ∴， ∴的长度． 面积计算 1．（24-25九年级上·重庆九龙坡·期中）如图，在矩形中，，，以为圆心，长为半径画弧交线段的延长线于点，以为圆心，长为半径画弧交于点，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查不规则图形的面积，根据“”求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴， ∴ ， 故选：A． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，圆心重合的两圆半径分别为4，2，，则阴影部分图形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了扇形面积公式，关键是找出图中阴影部分面积的计算方法．阴影部分的面积是一个环形，可用大圆中的扇形面积减去小圆中扇形的面积来求得． 【详解】所求扇环的圆心角为， 阴影部分图形的面积． 故选：C． 3．（河北省秦皇岛市2024--2025学年上学期九年级数学期中考试卷）如图，在中，，将绕着点A逆时针旋转得到，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了扇形面积计算，勾股定理，先利用勾股定理求出的长，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， 由旋转的性质可得 ∴ ， 故选：C． 4．（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图①是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，则花窗的面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积，正确表示花窗的面积是解题的关键；根据花窗的面积为求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵点C，D分别是的中点， ， ， ∴花窗的面积为， 故答案为：． 5．（河北省石家庄市2024-2025学年上学期九年级数学期中测试题B）如图，扇形的圆心角为，点在圆弧上，，，阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积的计算，圆周角定理，等边三角形的性质和判定，通过平行线将阴影部分的面积转化为扇形的面积，熟练掌握扇形面积的计算公式是解题的关键． 【详解】解：连接， ， ， 又， 是等边三角形， ， 又， ， ， ， ， 故答案为：． 6．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，C为上一点，是的直径，，，现将绕点B按顺时针方向旋转后得到，交于点D，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了求其他不规则图形的面积，涉及了旋转的性质以及圆周角定理等知识点，连接，可推出是等边三角形、是等边三角形，进而得；根据，可得图中阴影部分的面积． 【详解】解：连接，如图所示： ∵是的直径，， ∴的半径为，且， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； 由旋转可知：， ∴， ∵， ∴是等边三角形； ∴， ∴； ∵， ∴图中阴影部分的面积， 故答案为： 7．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，在为直径的半圆中，，，则弦，与半圆围成的阴影部分的面积与半圆面积的比值等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，圆周角定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质等知识点，如图，连接、、，分别用表示出阴影面积和半圆面积，然后计算比值即可得解，熟练掌握其性质，正确的作出辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图，连接、、， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 设圆的半径为r，过C点作于点F， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴, 故答案为：． 8．（24-25九年级上·北京·期中）如图，等边的边长为12，点D、E、F分别为边，的中点，若分别以E，D，F为圆心，6为半径，作三个的扇形，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查等边三角形的性质，扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法以及正三角形的性质和菱形的判定方法是正确解答的关键．根据中点的定义以及正三角形、菱形的性质和判定方法可得四边形是菱形，求出菱形的高，再根据菱形面积以及扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意可得，， 四边形是菱形， 在中，，， ， ， ． 故答案为：． 9．（24-25九年级上·四川广安·期中）如图，内接于，是直径，切线切于，交的延长线于点，交于点，交于点； (1)写出与的关系：__________________； (2)求证：是的切线； (3)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】（1）根据是的直径，得出，再根据得出． （2）连接，证明，由全等三角形的判定与性质得出，由切线的判定可得出结论； （3）证明是等边三角形，求出，由三角形面积公式和扇形的面积公式可得出答案． 【详解】（1）解：， 理由如下：∵是的直径， ，即， ∵， ∴． （2）证明：连接， ∵为圆切线， ， ， ， ， ， ， ， ∵在和中， ， ， ， ， 又∵为圆的半径， ∴为圆的切线； （3）解：， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ， ， ， ， ∴阴影部分的面积为． 10．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，以为直径的分别交、于点D、G，过点D作于点E，交的延长线于点F．    (1)求证：与相切； (2)当时，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，平行线的判定，切线的判定，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，求解扇形的面积，熟练的证明圆的切线是解本题的关键． （1）连接，由可得，再由可得，等量代换可得，根据同位角相等两条直线平行可得，又因为，根据垂直于两条平行线中的一条，与另一条也垂直，得到，即可证明结论； （2）先证明，可得，，利用含的直角三角形的性质与勾股定理可得，，结合，从而可得答案． 【详解】（1）证明： ， ， ， ， ， ， ， ， 是⊙O的切线． （2）解：∵， ∴， ∵，则， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴，， ∴ ． 11．（2024·云南怒江·一模）如图，为⊙的直径，点C在⊙上，的平分线交⊙于点D，过点D作，交的延长线于点E．    (1)求证：是⊙的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由圆周角定理可证，进而可证，由平行线的性质可证，可得是⊙的切线； （2）求出得，在中，由勾股定理求出，然后根据即可求解． 【详解】（1）解：连接，   是的平分线， ， ， ， ， ， ， ， 为的半径， 直线是的切线； （2），， ， ， 在中，，即， 解得：， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$