5.5一元一次方程的应用（第2课时几何问题、行程问题）（教学课件）数学浙教版2024七年级上册

5.5.2 一元一次方程的应用——几何问题、 行程问题 第5章一元一次方程 浙教版 七年级上册 教学目标 01 理解“数形结合”的基本思想，进一步用一元一次方程解决几何问题 02 掌握与行程问题有关的基本公式，进一步用一元一次方程解决相遇问题、追及问题、相背问题等 几何问题 1.某雕像的底面呈正方形，在其四周铺上花岗岩，形成一个边宽为3.2米的正方形框（如图阴影部分）。已知铺这个框恰好用了144块边长为0.8米的正方形花岗岩（接缝忽略不计），问：该雕像的底面边长是多少米? 02 知识精讲 【分析】如图，用x表示中间空白正方形的边长， 本题的数量关系是： 阴影部分的面积=144块边长为0.8米的正方形花岗岩的面积；阴影部分可以分割成4个长为(x+3.2)米，宽为3.2米的长方形。 1.某雕像的底面呈正方形，在其四周铺上花岗岩，形成一个边宽为3.2米的正方形框（如图阴影部分）。已知铺这个框恰好用了144块边长为0.8米的正方形花岗岩（接缝忽略不计），问：该雕像的底面边长是多少米? 02 知识精讲 解：设雕像底面的边长为x米， 根据题意得：4×3.2(x+3.2)=0.8×0.8×144， 解得：x=4， 答：雕像的底面边长为4米。 02 02 知识精讲 在运用方程解决有关实际问题时，清楚地分辨量与量之间的关系，尤其是相等关系，是建立方程的关键。解题中的检验对确保答案的正确和合理很有帮助，但具体过程可以省略不写。 2.如图，用直径为200mm的钢柱锻造一块长、宽、高分别为300mm，300mm和80mm的长方体毛坯底板。问：应截取钢柱多少长（不计损耗，结果误差不超过1mm）? 02 知识精讲 【分析】钢柱在锻造过程中体积不变，即 截取的圆柱体积=锻造成的长方体体积。 2.如图，用直径为200mm的钢柱锻造一块长、宽、高分别为300mm，300mm和80mm的长方体毛坯底板。问：应截取钢柱多少长（不计损耗，结果误差不超过1mm）? 02 知识精讲 解：设截取圆柱的高为x(mm)， 根据题意得：π×1002×x=300×300×80， 答：应截取钢柱的长约为229mm。 解得：x=≈229， 例1、如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个不同颜色的正方形组成，已知中间最小的一个正方形的边长为2，求这个长方形色块图的面积。 解：设D边长为x，则B、C边长x-2，E边长x+2，F边长x+4， 根据题意得：x+2+(x+4)=x+(x-2)+(x-2)， 解得：x=10， 则x+2+(x+4)=x+(x-2)+(x-2)=26，x+(x+2)=22， ∴长方形的长为26，宽为22， ∴长方形的面积为26×22=572， 答：这个长方形色块图的面积是572。 【分析】等量关系：E的边长+F的边长=D的边长+B的边长+C的边长 03 典例精析 例2、在长方形ABCD中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中AB=7cm，BC=11cm，则阴影部分图形的总面积为________cm2。 【分析】等量关系：小长方形的长+3×小长方形的宽=BC 03 典例精析 解：设小长方形的长为xcm，则宽为(7-x) cm， 根据题意得：x+3(7-x) =11， 解得：x=5，则7-x=2， ∴阴影部分图形的总面积=7×11-5×5×2=27（cm2）。 27 例3、把八张形状大小完全相同的小长方形卡片按两种不同的方式，不重叠地放在一个底面为长方形的盒子底部（如图1、图2），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示。已知盒子底部长方形的长比宽大5，图1与图2阴影部分周长之比为25：22，则盒子底部长方形的面积为________。 03 典例精析 150 【分析】等量关系：C图1阴影部分=C图2阴影部分 解：设小长方形卡片的长为3x，则宽为x， 由图2知：大长方形的宽为5x，长为(5x+5)， 根据题意得：2(5x+5)+2×5x=×[2×(5x+5−3x)+2×5x+2×(5x+5−6x)]， 解得：x=2，则5x=10，5x+5=15， ∴盒子底部长方形的面积=10×15=150。 例4、用火柴棒按如图的方式搭图形。 小静同学说她按这种方式搭出来的一个图形用了2001根火柴棒，你认为可能吗？如果可能，那么是第几个图形？如果不可能，请说明理由。 03 典例精析 图形 1 2 3 … 火柴棒根数 … 1+4=5 1+4×2=9 1+4×3=13 03 典例精析 解：设第n个图形中有2001根火柴棒， 图形 1 2 3 … 火柴棒根数 1+4=5 1+4×2=9 1+4×3=13 … 根据题意得：4n+1=2001， 解得：n=500， 答：可能，第500个图形中有2001根火柴棒。 行程问题 Q1：小明从家步行到学校大约需要20min，走的路程为1200m，求小明步行的速度。 小明步行的速度==60m/min Q2：(1)行程问题中的基本量是什么？ (2)这些基本量之间的关系是什么？ 路程=速度×时间 速度、路程、时间 02 知识精讲 Part1：乌龟与兔子相遇的故事 乌龟的速度是10m/min， 兔子的速度是590m/min， 两家相距15000m， 龟兔同时出发， 请问多久以后他们会在路上遇到呢？ 啦啦啦~ 跑啊跑~ 02 知识精讲 解：设x分钟后它们在路上相遇， 相遇 根据题意得：590x+10x=15000， 590x 10x 10m/min 590m/min 15000m 解得：x=25， 答：乌龟和兔子经过了25分钟后可以相遇。 02 知识精讲 02 02 知识精讲 用方程解实际问题时，我们还常常通过画示意图或列表来分析数量关系，再建立方程求解。 Part2：乌龟与兔子追及的故事 乌龟的速度是10m/min，兔子的速度是590m/min， 乌龟出发2个小时后兔子再出发，请问多久以后兔子能追上乌龟？ 看我追上你~ 让我先走2个小时 02 知识精讲 设x分钟后兔子追上乌龟， 追及 590x 10x 590m/min 10m/min 根据题意得：590x-10x=1200， 解：兔子出发时与乌龟的距离为：10×120=1200（m）， 1200m 解得：x=，答：兔子再经过了分钟追上乌龟。 02 知识精讲 02 590x+10x=15000 相遇问题 02 知识精讲 相遇 590x 10x 15000m 相遇问题的等量关系：两者的路程之和=两者间的距离。 追及问题 02 知识精讲 追及 590x 10x 1200m 590x-10x=1200 追及问题的等量关系：两者的路程之差=两者间的距离。 例1、甲、乙两站相距365km，一列慢车从甲地开往乙地，每小时行驶65km，慢车行驶1h后，另有一列快车从乙站开往甲站，每小时行驶85km，快车行驶几小时后与慢车相遇？ 【分析】相遇问题：两者的路程之和=两者间的距离 03 典例精析 适当画图更清楚哦~ 365km 甲 乙 慢车 快车 65km/h 85km/h 相遇 65(x+1) 85x 解：设快车行驶x小时后与慢车相遇，则慢车行驶(x+1)小时， 根据题意得：65(x+1)+85x=365， 解得：x=2， 答：快车行驶2小时后与慢车相遇。 365km 甲 乙 慢车 快车 65km/h 85km/h 03 典例精析 例2、一队学生去校外进行军事野营训练，他们以5km/h的速度行进，走了18min的时候，学校要将一个紧急通知传给队长，通讯员从学校出发，骑自行车以14km/h的速度按原路追上去，通讯员需多少时间可以追上学生队伍？ 【分析】追及问题：两者的路程之差=两者间的距离 03 典例精析 注意： 单位要统一，可提前单位换算：18min=h=h 追及 5km/h 14km/h 通讯员 学生 km 03 典例精析 设通讯员需x小时可以追上学生队伍， 14x 5x 解：通讯员出发时与乌龟的距离为：5×=（km）， 根据题意得：14x-5x=， 解得：x=，答：通讯员需小时可以追上学生队伍。 例3、甲从A地到B地需4h，乙从B地到A地需10h。 (1)若两人同时相向而行，几小时可以相遇？ (2)若两人同时同向而行，甲几小时可以追到乙？ 【分析】(1)相遇问题：两者的路程之和=两者间的距离 (2)追及问题：两者的路程之差=两者间的距离 未知速度和总路程该如何列式呢？ 若是知道总路程，甲、乙的速度就可以分别表示出来了 03 典例精析 不妨设总路程为单位1 03 典例精析 什么是单位1？ 复习单位1的概念： 泛指一个完整的量，比如一段路程、一项工程、一箱苹果、一本书、一段时间等，再赋予它们自然数1的特性。 03 典例精析 【分析】若总路程为“1”，则甲的速度为，乙的速度为， 解：(1)设x小时可以相遇， 根据题意得：x+x=1， 解得：x=， 答：若两人同时相向而行，小时可以相遇； 03 典例精析 (2)设家x小时可以追到乙， 根据题意得：x-x=1， 解得：x=， 答：若两人同时同向而行，甲小时可以追到乙。 例4、甲、乙两站相距480km，一列慢车从甲站开出，每小时行90km，一列快车从乙站开出，每小时行140km。 (1)慢车先开出1h，快车再开，两车相向而行，问快车开出多少小时后两车相遇？ (2)两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600km？ (3)两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600km？ 【分析】(1)相遇问题：两者的路程之和=两者间的距离 03 典例精析 解：(1)设快车开出x小时后两车相遇， 根据题意得：90(x+1)+140x=480， 解得：x=，答：快车开出小时后两车相遇。 【分析】 (2)相遇问题的变形——相背问题 03 典例精析 例4、甲、乙两站相距480km，一列慢车从甲站开出，每小时行90km，一列快车从乙站开出，每小时行140km。 (1)慢车先开出1h，快车再开，两车相向而行，问快车开出多少小时后两车相遇？ (2)两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600km？ (3)两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600km？ 相背问题也要画图哦~ 480km 甲 乙 ←慢车 快车→ 90km/h 140km/h 600km (2)设相背而行x小时后两车相距600km， 480km 甲 乙 ←慢车 快车→ 90km/h 140km/h 600km 90x 140x 03 典例精析 根据题意得：90x+480+140x=600， 解得：x=， 答：相背而行小时后两车相距600km。 【分析】 (3)追及问题的变形——追击未追上问题 03 典例精析 例4、甲、乙两站相距480km，一列慢车从甲站开出，每小时行90km，一列快车从乙站开出，每小时行140km。 (1)慢车先开出1h，快车再开，两车相向而行，问快车开出多少小时后两车相遇？ (2)两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600km？ (3)两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600km？ 480km 甲 乙 慢车→ 快车→ 90km/h 140km/h 追击未追上问题也要画图哦~ (3)设x小时后两车相距600km， 480km 甲 乙 慢车→ 快车→ 90km/h 140km/h 600km 03 典例精析 140x 90x 根据题意得：480+140x=90x+600， 解得：x=，答：小时后两车相距600km。 90x+480+140x=600 480km 甲 乙 ←慢车 快车→ 90km/h 140km/h 600km 90x 140x 相背问题 03 典例精析 相背问题的等量关系： 两者的路程之和+两者的初距离=两者的终距离。 480+140x=90x+600，即140x-90x=600-480 追击未追上问题 480km 甲 乙 慢车→ 快车→ 600km 140x 90x 03 典例精析 追击未追上问题的等量关系： 两者的路程之差=|两者的终距离-两者的初距离|。 课后总结 在运用方程解决有关实际问题时，清楚地分辨量与量之间的关系，尤其是相等关系，是建立方程的关键。解题中的检验对确保答案的正确和合理很有帮助，但具体过程可以省略不写。 行程问题的几种情形： 相遇问题的等量关系：两者的路程之和=两者间的距离。 追及问题的等量关系：两者的路程之差=两者间的距离。 相背问题的等量关系：两者的路程之和+两者的初距离=两者的终距离。 追击未追上问题的等量关系：两者的路程之差=|两者的终距离-两者的初距离|。 用方程解实际问题时，我们还常常通过画示意图或列表来分析数量关系，再建立方程求解。 5.5.2 一元一次方程的应用——几何问题、 行程问题 浙教版 七年级上册 谢谢观看 $$