精品解析：江苏省苏州市吴江区2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

2024~2025学年第一学期初三期中阳光调研试卷 数学 本卷由选择题、填空题和解答题组成，共27题，满分130分，调研时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、调研号等信息填写在答题卡相应的位置上． 2．答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效；如需作图，先用2B铅笔画出图形，再用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑，不得用其他笔答题． 3．考生答题必须答在答题卡相应的位置上，答在试卷和草稿纸上一律无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡相应位置上） 1. 五位裁判对某个体操运动员的打分数据是：，这组数据的众数是（ ） A. B. C. D. 2. 一组数据：，这组数据的中位数是（ ） A. B. C. D. 3. 二次函数图象的对称轴是直线（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线与轴交点的横坐标是（ ） A. 0 B. 2 C. 0，2 D. 0， 5. 将函数的图象向左平移个单位后得到的新抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 当时，关于的一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 7. 数学老师带领学生进行“校园农业项目式学习”，实施无土栽培．同学们发现：洒水少了“发芽率”低，洒水多了要烂根，也会影响“发芽率”．通过实验，同学们发现：在温度一定的条件下，发芽率与洒水量（单位：升）近似地满足函数关系（，，是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳的洒水量为（ ） A. 升 B. 升 C. 升 D. 升 8. 如图，二次函数的图象上有一点，对称轴是直线，给出下列结论：①；②；③；④当时，随的增大而增大．其中，正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 一元二次方程的解是__． 10. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交点坐标为_____． 11. 一组数据﹣1，0，1，2，3的方差是_____． 12. 如图，飞镖游戏中每一块小正方形除颜色外都相同．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中小正方形的边界线或没有击中游戏板，则重投次），任意投掷飞镖次，击中______的小正方形的概率较大（填“黑色”或“白色”）． 13. 如图，在中，，，，点P从点A出发，以的速度沿运动；同时，点Q从点B出发，以的速度沿运动，当点Q到达C时，P、Q两点同时停止运动，则的最大面积是______． 14. 二次函数，当时，则的取值范围是_________． 15. 已知抛物线经过两点，则t的值为_____． 16. 在平面直角坐标系中，和是抛物线上的两点，若对于，，都有，则的取值范围为______________． 三、解答题（本大题共11小题，共82分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： 18. 已知方程，求的值． 19. 小明和小丽所在的学校包场观看革命历史题材舞台剧《红色觉醒年代》．剧场入口有、、、四个闸机，每个学生选择任意一个闸机检票进入剧场是等可能的． （1）小明从闸机入场的概率为_____； （2）求小明和小丽恰好从同一个闸机入场的概率．（用画树状图或列表等方法说明理由．） 20. 学校记者站要招聘名小主持人，考查形象、知识面、表达能力项素质，按形象占，知识面占，表达能力占计算加权平均数作为最后评定的总成绩．甲、乙两位同学的各项成绩如下表（单位：分） 形象 知识面 表达能力 甲 乙 （1）计算甲同学的总成绩； （2）若乙同学要在总成绩上超过甲同学，则他的表达能力成绩应超过多少分？ 21. 已知关于x的方程． （1）求证：无论m取何值，该方程总有实数根； （2）若方程的两个根都是整数，请写出一个满足条件的m的值，并求出此时方程的根． 22. 已知二次函数． （1）求此函数图象与坐标轴的交点坐标； （2）若，两点在此函数图象上，试比较，的大小． 23. 我国是最早发明火箭的国家，制作火箭模型、模拟火箭升空是青少年喜爱的一项科技活动．已知学校航模组设计制作的火箭，它的升空高度与飞行时间满足函数表达式．如果火箭在点火升空到最高点时打开降落伞． （1）求点火后，该火箭的高度是多少？ （2）求火箭点火后多少时间降落伞将打开？这时该火箭的高度是多少？ 24. 已知：如图所示，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数的图象与一次函数的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点，且D点坐标为(1，0)． （1）求二次函数的解析式； （2）求四边形BDEC的面积S． 25. 为了了解中学生现阶段对国家时事热点的关注情况，以提高当代中学生的公民素质和社会责任感．某校做了一次学生对时事热点的关注程度的抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．很深入的了解，如果有后续报道会持续关注；B．比较了解，掌握当下的情况；C．基本了解，当时看过之后就忘记了；D．不了解，没有兴趣． 根据调查统计的结果，绘制了不完整的三种统计图表． 对时事热点关注程度的统计表： 对时事热点关注程度 百分比 A．很深入的了解 15% B．比较了解 m C．基本了解 35% D．不了解 n 请结合统计图表，回答下列问题： （1）本次参与调查的学生共有_____人，_____，_____； （2）图2所示的扇形统计图中部分扇形所对应的圆心角是______度； （3）请补全图1所示的条形统计图； （4）根据调查结果，学校准备开展一次关于时事热点的知识竞赛，某班要从“很深入的了解”态度中的小明和小丽中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则：把四个完全相同的乒乓球上分别标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋子中，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一个人再从剩下的三个球中随机摸出一个球，若摸出的两个球上的数字之积小于5，则小丽去；否则小明去．这个游戏规则是否公平？如果公平，请说明理由；如果不公平，谁选中的可能性大？ 26. 某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价为30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价为40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．不妨设该种品牌玩具的实际销售单价为元，销售该品牌玩具获得的利润为元． （1）求出与之间的函数关系式； （2）若商场只获得了6000元的销售利润，求该玩具销售单价为多少元？ （3）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于500件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 27. 已知，如图1：在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为点C． （1）则点A的坐标为________，点B的坐标为________，点C的坐标为________； （2）如图2，过点C作轴于点N，点D是抛物线上位于B、C两点之间的一个动点，过点D作轴于点E，令，连接交于点M，请用含t的代数式表示的长； （3）如图3，在（2）的基础上，过点A作，交直线于点F，连接、，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年第一学期初三期中阳光调研试卷 数学 本卷由选择题、填空题和解答题组成，共27题，满分130分，调研时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、调研号等信息填写在答题卡相应的位置上． 2．答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效；如需作图，先用2B铅笔画出图形，再用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑，不得用其他笔答题． 3．考生答题必须答在答题卡相应的位置上，答在试卷和草稿纸上一律无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡相应位置上） 1. 五位裁判对某个体操运动员的打分数据是：，这组数据的众数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了众数，一组数据中出现次数最多的数，根据众数概念即可求解． 【详解】解：在数据中出现的次数最多，故众数为； 故选：A． 2. 一组数据：，这组数据的中位数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查中位数，根据中位数的定义直接求解即可，解题的关键是正确理解将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 【详解】解：由 从小到大排序为， ∴排在最中间，即这组数据的中位数是， 故选：． 3. 二次函数图象的对称轴是直线（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，直接根据二次函数的性质可进行求解即可，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 【详解】解：由二次函数，可得该二次函数的对称轴为直线， 故选：． 4. 抛物线与轴交点的横坐标是（ ） A. 0 B. 2 C. 0，2 D. 0， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与轴交点，令，然后解方程即可． 【详解】解：令，得 ， 解得． 故选D． 5. 将函数的图象向左平移个单位后得到的新抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的平移，二次函数图象与性质，先把二次函数转化为，再由抛物线平移规律：左加右减、上加下减，根据题中平移要求即可得到答案，熟记函数平移规律是解题的关键． 【详解】解：由， ∵函数的图象向左平移个单位， ∴平移后得解析式为， ∴顶点坐标为， 故选：． 6. 当时，关于的一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】由可得出，根据方程的系数结合根的判别式可得出，由偶次方的非负性可得出，即，由此即可得出关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 7. 数学老师带领学生进行“校园农业项目式学习”，实施无土栽培．同学们发现：洒水少了“发芽率”低，洒水多了要烂根，也会影响“发芽率”．通过实验，同学们发现：在温度一定的条件下，发芽率与洒水量（单位：升）近似地满足函数关系（，，是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳的洒水量为（ ） A. 升 B. 升 C. 升 D. 升 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的应用，将，，代入得，进而求出解析式，结合二次函数的性质即可求解，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，将，，代入得： ，解得：， ∴满足函数关系为， ∴当时，取到最大值， 故选：． 8. 如图，二次函数的图象上有一点，对称轴是直线，给出下列结论：①；②；③；④当时，随的增大而增大．其中，正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，理解二次函数图象开口，对称轴，顶点坐标，掌握二次函数图象中，数形结合分析各项系数的符号是解题的关键． 根据二次函数图象过点，对称轴直线为可得，，可判定结论②；根据二次函数图象的开口，与的交点可判定结论①；根据二次函数图象的顶点坐标可得判定结论③；根据二次函数图象的增减性可判定结论④；由此即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象 上有一点， ∴， ∵对称轴是直线， ∴，则， ∴， ∴，故②正确； 根据图示可得，图形开口向下，与轴交于正半轴， ∴， ∴，故①正确； ∵根据图象可知，当二次函数对称轴直线为，二次函数有最大值，且在轴上方， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵根据二次函数图象可知，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；故④错误； 综上所述，正确的结论有①②③，共3个，   故选：C ． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 一元二次方程的解是__． 【答案】x1＝3，x2＝﹣3． 【解析】 【分析】先移项，在两边开方即可得出答案． 【详解】∵ ∴=9， ∴x=±3， 即x1＝3，x2＝﹣3， 故答案为x1＝3，x2＝﹣3． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，熟练掌握该方法是本题解题的关键. 10. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交点坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，直接令，即可求出抛物线与轴交点坐标，解题的关键是掌握抛物线与坐标轴的交点问题． 【详解】解：令， ∴， ∴二次函数的图象与轴交点坐标为， 故答案为：． 11. 一组数据﹣1，0，1，2，3的方差是_____． 【答案】2 【解析】 【详解】这组数据的平均数为：（-1+1+0+2+3）÷5=1，所以方差=[（-1-1）2+（0-1）2+（1-1）2+（2-1）2+（3-1）2]=2． 12. 如图，飞镖游戏中每一块小正方形除颜色外都相同．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中小正方形的边界线或没有击中游戏板，则重投次），任意投掷飞镖次，击中______的小正方形的概率较大（填“黑色”或“白色”）． 【答案】白色 【解析】 【分析】本题考查了几何概率，用黑色小正方形和白色小正方形的个数分别除以正方形的总个数即可，解题的关键是正确理解如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率． 【详解】解：∵共有个小正方形，其中黑色正方形的有个，白色正方形有个， ∴任意投掷飞镖一次，刚好击中黑色小正方形的概率是，任意投掷飞镖一次，刚好击中白色小正方形的概率是， ∴， ∴击中白色的小正方形的概率较大， 故答案为：白色． 13. 如图，在中，，，，点P从点A出发，以的速度沿运动；同时，点Q从点B出发，以的速度沿运动，当点Q到达C时，P、Q两点同时停止运动，则的最大面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 依据题意，设动点运动的时间为t s，从而，故，再结合二次函数的性质可以判断得解． 【详解】解：根据题意，点运动的时间为，点运动的时间为，设动点运动的时间为，则， ∴， ∴， ∴， ∴当时，的最大面积为：， 故答案为：． 14. 二次函数，当时，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数可得对称轴为，结合自变量的取值方法，代入进行计算，即可求解． 【详解】解：已知二次函数， ∴对称轴为，开口向上， ∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大； ∴当时，，是最大值；时，是最小值； 当时，，是最大值；时，是最小值； ∴当时，， 故答案为： ． 15. 已知抛物线经过两点，则t的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，求出对称轴和函数解析式是解题的关键． 先根据对称点求出对称轴为直线，继而求出b，再将代入函数解析式即可． 【详解】解∵抛物线经过两点， ∴对称轴为直线， ∴， ∴， 所以解析式为：， 当，则， 故答案为：． 16. 在平面直角坐标系中，和是抛物线上的两点，若对于，，都有，则的取值范围为______________． 【答案】或  【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数增减性是解题的关键． 根据题意分别表示出，结合题意和不等式的性质求解即可． 【详解】解：和是抛物线上的两点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 整理得，， 当时， 或， 解得，或， ∴或， ∵， ∴或， 解得，或， ∴； 当时， 或， 解得，， ∵， ∴， 解得，； 综上所述，或， 故答案为：或 ． 三、解答题（本大题共11小题，共82分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： 【答案】x=-1或x=3 【解析】 【分析】本题利用直接开平方法即可求出答案． 【详解】解：x-1=±2， x-1= 2或x-1=-2， 解得：x=-1或x=3． 【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，能够根据方程特点选取不同的解法是解题关键． 18. 已知方程，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系，得到，将变形为，再整体代入计算即可解答． 【详解】解：根据题意：， ， ， ． 19. 小明和小丽所在的学校包场观看革命历史题材舞台剧《红色觉醒年代》．剧场入口有、、、四个闸机，每个学生选择任意一个闸机检票进入剧场是等可能的． （1）小明从闸机入场的概率为_____； （2）求小明和小丽恰好从同一个闸机入场的概率．（用画树状图或列表等方法说明理由．） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了画树状图或列表求概率，关键是求出所有可能的结果数及某事件发生的可能结果数． （1）共有4种可能结果，小明从闸机入场的结果只有1种，由概率公式即可求解； （2）列表，求得所有可能结果有16种，其中小明和小丽恰好从同一个闸机入场的结果有4种，由概率计算公式即可求解． 【小问1详解】 解：小明从闸机入场的概率； 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： A B C D A AA AB AC AD B AB BB BC BD C AC BC CC CD D AD BD CD DD 所有可能结果有16种，其中小明和小丽恰好从同一个闸机入场的结果有4种， 所以小明和小丽恰好从同一个闸机入场的概率为． 20. 学校记者站要招聘名小主持人，考查形象、知识面、表达能力项素质，按形象占，知识面占，表达能力占计算加权平均数作为最后评定的总成绩．甲、乙两位同学的各项成绩如下表（单位：分） 形象 知识面 表达能力 甲 乙 （1）计算甲同学的总成绩； （2）若乙同学要在总成绩上超过甲同学，则他的表达能力成绩应超过多少分？ 【答案】（1）甲同学的总成绩分； （2）他的表达能力成绩应超过分． 【解析】 【分析】（）按照各项目所占比，利用加权平均数求出甲同学的总成绩； （）利用题中乙同学要在总成绩上超过甲同学，根据加权平均数列出不等式，然后求解即可； 本题考查了加权平均数，一元一次不等式的应用，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：（分）， 答：甲同学的总成绩分； 【小问2详解】 解：， 解得：， 答：他的表达能力成绩应超过分． 21. 已知关于x的方程． （1）求证：无论m取何值，该方程总有实数根； （2）若方程的两个根都是整数，请写出一个满足条件的m的值，并求出此时方程的根． 【答案】（1） 证明： ， 无论m取任何数，，即， 无论m取何值，该方程总有实数根； （2）时，方程的两根为， 【解析】 【分析】本题考查了求根公式和根的判别式的应用，熟记求根公式为是解题的关键． （1）先求出判别式的值，再根据的意义证明即可； （2）根据求根公式得出，，即可求出m的值和方程的根． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ，由求根公式得： ，， 方程的两个根都是整数， 取时，方程的两根为，． 22. 已知二次函数． （1）求此函数图象与坐标轴的交点坐标； （2）若，两点在此函数图象上，试比较，的大小． 【答案】（1）与轴的交点为，，与轴的交点坐标为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题、二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点灵活运用是解此题的关键． （1）先令，则，即可得出与轴的交点坐标，再令，则，解得，，即可得出与轴的交点； （2）先求出、的值，再比较即可得解． 【小问1详解】 解：在中，令，则，即与轴的交点坐标为， 令，则，解得，，即与轴的交点为，； 【小问2详解】 解：∵，两点在此函数图象上， ∴，， ∴． 23. 我国是最早发明火箭的国家，制作火箭模型、模拟火箭升空是青少年喜爱的一项科技活动．已知学校航模组设计制作的火箭，它的升空高度与飞行时间满足函数表达式．如果火箭在点火升空到最高点时打开降落伞． （1）求点火后，该火箭的高度是多少？ （2）求火箭点火后多少时间降落伞将打开？这时该火箭的高度是多少？ 【答案】（1）点火后，该火箭的高度是 （2）火箭点火后时间降落伞将打开，这时该火箭的高度是 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用； （1）把代入函数表达式中即可求解； （2）把配方得，可求得最大值时的时间，此时的最大值． 【小问1详解】 解：当时，； 答：点火后，该火箭的高度是； 【小问2详解】 解：函数配方得：， 由于二次项系数为负， 则当时，火箭达到最高点为，此时降落伞打开； 答：火箭点火后时间降落伞将打开，这时该火箭的高度是． 24. 已知：如图所示，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数的图象与一次函数的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点，且D点坐标为(1，0)． （1）求二次函数的解析式； （2）求四边形BDEC的面积S． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据直线BC的解析式，可求得点B的坐标，由于B、D都在抛物线的图象上，那么它们都满足该抛物线的解析式，通过联立方程组即可求得待定系数的值； （2）根据抛物线的解析式，可求得E点的坐标，联立直线BC的解析式，可求得C点坐标；那么四边形BDEC的面积即可由△AEC、△ABD的面积差求得． 【详解】解：(1)∵一次函数的图象与y轴交于点B； ∴令x＝0时，y＝1，即点B的坐标为(0，1)， 将B(0，1)，D(1，0)的坐标代入得 解之 所以抛物线的解析式为． (2)设C(，)，则有 解得 ∴ C(4，3)． 由图可知：． 又由抛物线的对称轴为可知E(2，0)． ∴. 【点睛】此题考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点坐标及图形面积的求法，求出E点坐标是解答此题的关键． 25. 为了了解中学生现阶段对国家时事热点的关注情况，以提高当代中学生的公民素质和社会责任感．某校做了一次学生对时事热点的关注程度的抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．很深入的了解，如果有后续报道会持续关注；B．比较了解，掌握当下的情况；C．基本了解，当时看过之后就忘记了；D．不了解，没有兴趣． 根据调查统计的结果，绘制了不完整的三种统计图表． 对时事热点关注程度的统计表： 对时事热点关注程度 百分比 A．很深入的了解 15% B．比较了解 m C．基本了解 35% D．不了解 n 请结合统计图表，回答下列问题： （1）本次参与调查的学生共有_____人，_____，_____； （2）图2所示的扇形统计图中部分扇形所对应的圆心角是______度； （3）请补全图1所示的条形统计图； （4）根据调查结果，学校准备开展一次关于时事热点的知识竞赛，某班要从“很深入的了解”态度中的小明和小丽中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则：把四个完全相同的乒乓球上分别标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋子中，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一个人再从剩下的三个球中随机摸出一个球，若摸出的两个球上的数字之积小于5，则小丽去；否则小明去．这个游戏规则是否公平？如果公平，请说明理由；如果不公平，谁选中的可能性大？ 【答案】（1） （2） （3） 补全的条形统计图如下： （4）游戏公平， 理由如下： 画出树状图如下： 小丽去的概率为：，小明去的概率为：， 由于两人去的概率相等，则游戏公平． 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图、统计表，求扇形统计图中扇形的圆心角，判断游戏的公平性，树状图法或列表法求概率等知识． （1）根据A的占比及人数，可求得抽取的总人数；根据B的人数及抽取的总人数，可求得m；由总人数减去A、B、C的人数，可求得D的人数，从而可求得n； （2）部分的占比与圆周角的积即可求出； （3）根据（1）中求得D的人数，即可补充条形统计图； （4）画出树状图，计算出小明去与小丽去的概率，进行比较即可． 【小问1详解】 解：抽取的总人数为：（人）； ； （人），； 故答案为：； 【小问2详解】 解：； 故答案为：； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 略 26. 某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价为30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价为40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．不妨设该种品牌玩具的实际销售单价为元，销售该品牌玩具获得的利润为元． （1）求出与之间的函数关系式； （2）若商场只获得了6000元的销售利润，求该玩具销售单价为多少元？ （3）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于500件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）销售单价为90元 （3）最大利润是10000元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，不等式组的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及利用二次函数最值求解． （1）一件的利润为元，涨价后的销售量为元，根据一件的利润与销售数量的积，即可表示出函数关系式； （2）由所得函数关系式，求出当函数值为6000时，解一元二次方程即可求出自变量的值； （3）由题意解不等式组，可求得x的范围，再由二次函数的性质即可求得最大利润． 【小问1详解】 解：由题意得：， 整理得：； 答：与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：由题意得：， 整理，得：， 解得：（舍去）， 答：该玩具销售单价为90元； 【小问3详解】 解：由题意得：， 解得：； ∵，， ∴当时，函数取得最大值，且最大值为10000； 答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润是10000元． 27. 已知，如图1：在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为点C． （1）则点A的坐标为________，点B的坐标为________，点C的坐标为________； （2）如图2，过点C作轴于点N，点D是抛物线上位于B、C两点之间的一个动点，过点D作轴于点E，令，连接交于点M，请用含t的代数式表示的长； （3）如图3，在（2）的基础上，过点A作，交直线于点F，连接、，求证：． 【答案】（1），， （2） （3） 证明：设点，点， 设直线的解析为， ∴，解得：， ∴直线的解析为， 同理可得：直线的解析为， 当时，，即点， 同理可得：直线的表达式为， 由于和函数表达式中的值均为， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质，一次函数的性质是解题的关键． （1）由，则，令，则，解得：，，从而求出点和点的坐标； （2）设点，点，求出直线的解析式为，当时，，则； （3）设点，点，分别求出直线的解析为，直线的表达式为，然后根据一次函数的性质即可求证． 【小问1详解】 解：由，则， 令，则，解得：，， ∵点在点的左侧， ∴，， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：由（）得：点， 设点，点， 设直线解析式为， ∴，解得： ∴直线的解析式为， 当时，， 则； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $