重难点突破专题03 辅助线构造相似-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（沪科版）

22章 重难点突破专题03相似三角形与图形变换 学习目标 ※①会运用转化的数学思想作辅助平行线、辅助垂线、利用旋转构造相似三角形； ※②会在复杂图形中，综合运用转化思想、方程思想、几何图形的性质解图形的边角关系问题。 知识点01 辅助平行线 辅助线的作法： 【即学即练1】已知中，，平分，，．点、分别是边、上的点（点不与点、重合），且，、相交于点． (1)求的长； (2)如图1，如果，求的值； 知识点02 辅助垂线 借助一线三直角辅助垂线： 【即学即练2】如图1，点是线段上与点，点不重合的任意一点，在的同侧分别以，，为顶点作，其中与的一边分别是射线和射线，的两边不在直线上，我们规定这三个角互为等联角，点为等联点，线段为等联线． (1)如图2，在个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，为端点在格点的已知线段．请用连接格点的方法，作出以线段为等联线、某格点为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹； (2)如图3，在中，，，延长至点，使，作的等联角和．将沿折叠，使点落在点处，得到，再延长交的延长线于点，连接并延长交的延长线于点，连接． ①确定的形状，并说明理由； ②若，，求等联线和线段的长． ·旋转变换与相似三角形的构造 在构造相似的所有辅助线中，有①利用“辅助平行线”构造“A字”相似模型或“8字”相似模型；②利用“辅助垂线”构造“一线三直角”相似模型或“双垂图”相似模型等。 以上辅助线的方法我们可以根据模型进行作图，辅助线比较单一好作，是比较容易掌握的。但在一些和图形的变换结合的问题中，辅助线的作法就比较复杂了，此时就需要结合已知条件，把看似无关的几条边，通过转化的思想，利用旋转变换的方法构造相似三角形解决问题。 ·类比构造全等三角形的辅助线方法作出构造相似三角形的辅助线 案例：如图，已知正方形ABCD和正方形BEFG，（1）判断AG和CE的数量关系；（2）判断DF和AG的数量关系。 无关线段：AG和EC、AG和DF 已知条件：AB=BC=CD、BG=GF=EF=BE 关键条件：公共顶点B 辅助线思路：连接BD、连接BF 【题型一：轴对称变换与相似三角形】 例1．如图，在正方形中，，E是的中点，F是延长线上的点，将沿折叠得到．连接并延长分别交、于O、H两点，若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 例2.（23-24九年级上·安徽六安·期末）在中，，，E是的中点，D是上的一点，以为对称轴作的对称，且保持在的上方． （1）如图①，当点F落在上时，则的长为 ； （2）如图②，连接、，当平分时，则 ． 例3.如图，在中，，平分交于点D，点E、点F分别是、上的点，与交于点P． (1)如图1，若， ①求证：； ②若，，点E为的中点，求的长； (2)如图2，连接，若，平分，，．求的长． 【题型二：旋转变换与相似三角形】 例4．（2024·安徽阜阳·三模）在正方形中，对角线，相交于点O，正方形与正方形的边长相等，顶点H在线段（不与点A，C重合）上．当正方形绕点H旋转时，边交边于点M，边交边于点N． (1)如图1，若点H与点O重合，求证：； (2)如图2，当点H位于的中点处时，在旋转过程中． ①试判断线段，之间的数量关系，并说明理由； ②若，，求的长． 变式4．（2024·安徽合肥·二模）已知矩形，，，把矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，连接，交于点．    (1)如图1，若点落在边上，过点作，垂足为点，连接，求证：； (2)如图2，若点在上方，连接交于点，连接，若， ①求证：； ②求的长． 例5．【问题探究】 （1）如图1，在菱形中，，，为的中点，为边上的动点，则、两点之间的距离最小为 ； （2）如图2，在中，，，是线段上一动点（不与、重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点和点分别是边、的中点．求证：； 【问题解决】 （3）如图3，正方形是一块蔬菜种植基地，边长为千米，对角线为该基地内的一条小路，点为小路上一个采购点，且．管理人员计划在小路上确定一点（不与点、重合），连接，以线段为腰向右扩建一个等腰直角三角形区域（），用来种植新品有机蔬菜，为临时仓库，其中是线段的中点．现要沿修建蔬菜运输轨道，为节省成本，要使运输轨道的距离尽可能的短，请问运输轨道是否存在最小值？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由． 例6．如图，在和中，，连接，，并延长交于点，连接．      (1)如图1，求证：． (2)如图2，若，求证：． (3)如图3，若，求的长． 1.（2024·安徽六安·二模）在矩形的边上取一点，将沿翻折，点的对应点为点． (1)当在边上时， （）如图，若，，求； （）如图，作平分交于，若，求证：； (2)如图，当点在矩形内部时，若平分交于，，直接写出三者关系为：__________． 2.（2024·辽宁大连·一模）如图1，矩形ABCD中，． 【数学活动】 将矩形纸片进行以下操作： 第一步：将矩形纸片沿直线对折，使点与点重合，然后展开铺平，得到折痕，再将矩形纸片沿对角线对折，得到折痕AC，再次展开铺平，两折痕与交于点G； 第二步：将绕点逆时针旋转得到，点F，的对应点分别为点H，K，直线与边所在直线交于点（点不与点重合），与边所在直线交于点． 【数学思考】 （1）绕点旋转至图1的位置时，试判断与的数是关系，并证明你的结论． 【数学探究】 （2）①如图2，当直线时，求的长； ②在旋转过程中，当点K，H，C三点共线时，求的长； 【问题延伸】 （3）在绕点旋转的过程中，连接，则的取值范围是______． 3．已知Rt中为斜边上的高，过边上的点作交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接并延长，交的延长线于点，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，取上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接，延长交于点，若，，，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22章 重难点突破专题03相似三角形与图形变换 学习目标 ※①会运用转化的数学思想作辅助平行线、辅助垂线、利用旋转构造相似三角形； ※②会在复杂图形中，综合运用转化思想、方程思想、几何图形的性质解图形的边角关系问题。 知识点01 辅助平行线 辅助线的作法： 【即学即练1】已知中，，平分，，．点、分别是边、上的点（点不与点、重合），且，、相交于点． (1)求的长； (2)如图1，如果，求的值； 【答案】(1)15 (2) 【分析】（1）证明，可得，即可求解； （2）由（1）可得，再证明，可得，从而得到，过作交于，可得，同理，即可求解； 【详解】（1）解：，平分， ， ， 又， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）知，， ， ， ， ， ， ，， 又， ， ， ， ， 过作交于，如图： ， ， 同理，， ； 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形对应边成比例是解题关键． 知识点02 辅助垂线 借助一线三直角辅助垂线： 【即学即练2】如图1，点是线段上与点，点不重合的任意一点，在的同侧分别以，，为顶点作，其中与的一边分别是射线和射线，的两边不在直线上，我们规定这三个角互为等联角，点为等联点，线段为等联线． (1)如图2，在个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，为端点在格点的已知线段．请用连接格点的方法，作出以线段为等联线、某格点为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹； (2)如图3，在中，，，延长至点，使，作的等联角和．将沿折叠，使点落在点处，得到，再延长交的延长线于点，连接并延长交的延长线于点，连接． ①确定的形状，并说明理由； ②若，，求等联线和线段的长． 【答案】(1)图见解析； (2)①是等腰直角三角形．理由见解析；②；； 【分析】（1）根据新定义，画出等联角； （2）①是等腰直角三角形，过点作交的延长线于．由折叠得，，，证明四边形为正方形，进而证明，得出即可求解； ②过点作于，交的延长线于，则．证明，得出，在中，，，进而证明四边形为正方形，则，由，得出，根据相似三角形的性质得出，根据即可求解． 【详解】（1） （2）①是等腰直角三角形．理由为： 如图，过点作交的延长线于． 由折叠得，， ，， 四边形为正方形 又， ，而， 是等腰直角三角形． （2）①是等腰直角三角形．理由为： 如图，过点作交的延长线于． 由折叠得，， ，， 四边形为正方形 ． 又     而， 是等腰直角三角形． ②过点作于，交的延长线于，则．    ． 由是等腰直角三角形知：   ，，而   在中，，       由，知：四边形为正方形， 由，得： ， 而 即， 解得： 由①知：，   ． 【点睛】本题考查了几何新定义，正方形的性质与判定，折叠问题，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，理解新定义，掌握正方形的性质是解题的关键． 知识点03 旋转与相似 ·旋转变换与相似三角形的构造 在构造相似的所有辅助线中，有①利用“辅助平行线”构造“A字”相似模型或“8字”相似模型；②利用“辅助垂线”构造“一线三直角”相似模型或“双垂图”相似模型等。 以上辅助线的方法我们可以根据模型进行作图，辅助线比较单一好作，是比较容易掌握的。但在一些和图形的变换结合的问题中，辅助线的作法就比较复杂了，此时就需要结合已知条件，把看似无关的几条边，通过转化的思想，利用旋转变换的方法构造相似三角形解决问题。 ·类比构造全等三角形的辅助线方法作出构造相似三角形的辅助线 案例：如图，已知正方形ABCD和正方形BEFG，（1）判断AG和CE的数量关系；（2）判断DF和AG的数量关系。 无关线段：AG和EC、AG和DF 已知条件：AB=BC=CD、BG=GF=EF=BE 关键条件：公共顶点B 辅助线思路：连接BD、连接BF 【题型一：轴对称变换与相似三角形】 例1．如图，在正方形中，，E是的中点，F是延长线上的点，将沿折叠得到．连接并延长分别交、于O、H两点，若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解：设，则，由翻折可知，，易证根据相似的性质得解得及，勾股定理求出，再证得即可求解． 【详解】解：设，则， 由翻折可知， ， ，E是的中点， ， 由题意可知： ， ， ， 即， 解得， ， ， 又， ， ， ， ， 即：， 解得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形和翻折的性质，相似三角形的证明和性质的应用；解题的关键是巧设未知数，利用勾股定理和相似构造等量关系求解． 例2.（23-24九年级上·安徽六安·期末）在中，，，E是的中点，D是上的一点，以为对称轴作的对称，且保持在的上方． （1）如图①，当点F落在上时，则的长为 ； （2）如图②，连接、，当平分时，则 ． 【答案】 / / 【分析】（1）连接，利用勾股定理求出，根据题意得点D为的中点，推出是的中位线，，由等面积法求出即可； （2）延长交于点G，先证明是的中位线，易证，得到，在证明，得，根据相似三角形的性质即可求的值． 【详解】解：（1）连接， 在中，，， ， 点F落在上，与关于对称， ，， 点D为的中点， E是的中点， 是的中位线， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）延长交于点G， 与关于对称， ，， 是等腰三角形，点G为的中点，且， ， E是的中点， 是的中位线， ，， ， ， ， 平分， ， ， 是直角三角形，E是的中点， ， ， ， ， ， ， ， 与关于对称， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的中线的应用，对称的性质，中位线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的特征，作出辅助线，灵活应用三角形中位线，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半等知识是解题的关键． 例3.如图，在中，，平分交于点D，点E、点F分别是、上的点，与交于点P． (1)如图1，若， ①求证：； ②若，，点E为的中点，求的长； (2)如图2，连接，若，平分，，．求的长． 【答案】(1)①证明见解析；②9 (2) 【分析】（1）①利用有两个角对应相等的两个三角形相似，判定，再利用相似三角形对应边成比例即可得出结论；②由，得到，进而求得；利用，相似三角形对应边成比例可得，结论可求； （2）连接，利用三角形的三条角平分线相交于一点，可得是的平分线；利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，可得，同理可得：；通过证明可得比例式，则可求，，结论可得． 【详解】（1）证明：①平分， ． ， ． ． ； ②∵， ． ， ． ， ． 点为的中点， ． ，， ． ． ． ； （2）解：连接，如图， 平分， ． ， ． 在和中， ， ． ． 平分，平分， 平分． ，． ，， ． ， 又， ． ． ， ． 同理可得：． ， ，， ． ． ． ， ． ． ． ， ． ． 【点睛】本题是一道三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形的角平分线，三角形的内角和定理及其推论，利用三角形的三个内角的平分线相交于一点得到平分是解题的关键． 【题型二：旋转变换与相似三角形】 例4．（2024·安徽阜阳·三模）在正方形中，对角线，相交于点O，正方形与正方形的边长相等，顶点H在线段（不与点A，C重合）上．当正方形绕点H旋转时，边交边于点M，边交边于点N． (1)如图1，若点H与点O重合，求证：； (2)如图2，当点H位于的中点处时，在旋转过程中． ①试判断线段，之间的数量关系，并说明理由； ②若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析； 【分析】（1）由正方形的性质得，， 再求出， 然后证， 得， 即可得出结论； （2）①过点作交于点， 易证是等腰直角三角形， 得，， 再求出然后证， 得即可得出结论； ②由①得， 则求出然后求出，即可得出答案. 【详解】（1）证明：∵，是正方形的对角线， ∴，，， ∴． ∵四边形是正方形，点H与点O重合， ∴， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴，即． （2）解：①． 理由：如图，过点H作交于点P，则．    ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，． ∵点H为的中点，， ∴， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即． ②由①，得， ∴， ∴． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴． ∵， ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴ 【点睛】本题考查正方形的性质、平行线的性质、等腰直角三角形的判定、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握正方形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 变式4．（2024·安徽合肥·二模）已知矩形，，，把矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，连接，交于点．    (1)如图1，若点落在边上，过点作，垂足为点，连接，求证：； (2)如图2，若点在上方，连接交于点，连接，若， ①求证：； ②求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；② 【分析】（1）先由旋转的性质得到，，则，再由矩形的性质得到，，进而证明，则由角平分线的性质可得，进而得到，据即可利用 （2）①如图所示，过点B作于H，证明，推出，由旋转的性质可得，则，可得或（舍去），则；再证明，得到；设，则，由勾股定理得，解得或（舍去）；则，即可由相似三角形的性质得到；②同理可证明，进而证明，则，求出，，则． 【详解】（1）证明：由旋转的性质可得，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴； （2）解：①如图所示，过点B作于H， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴由旋转的性质可得， ∴， ∴或（舍去）， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）； ∴， ∵， ∴；    ②由旋转的性质可得， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等边对等角等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 例5．【问题探究】 （1）如图1，在菱形中，，，为的中点，为边上的动点，则、两点之间的距离最小为 ； （2）如图2，在中，，，是线段上一动点（不与、重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点和点分别是边、的中点．求证：； 【问题解决】 （3）如图3，正方形是一块蔬菜种植基地，边长为千米，对角线为该基地内的一条小路，点为小路上一个采购点，且．管理人员计划在小路上确定一点（不与点、重合），连接，以线段为腰向右扩建一个等腰直角三角形区域（），用来种植新品有机蔬菜，为临时仓库，其中是线段的中点．现要沿修建蔬菜运输轨道，为节省成本，要使运输轨道的距离尽可能的短，请问运输轨道是否存在最小值？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）详见解析；（3）存在，运输轨道的最小值为千米 【分析】（1）由垂线段最短可得，当时，取得最小值，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，即可求解； （2）连接，根据含30度角的直角三角形的性质得出，同理可得，，证明，即可求解． （3）取对角线的中点，连接，则，，同（2）的方法证明得出，，则当时，最小，此时是等腰直角三角形，，即可求解． 【详解】解：依题意，当时，取得最小值， 如图所示，过点作， ∵在菱形中，， ∴ ∴ ∵，为的中点， ∴ 在中，， ∴ ∴ （2）证明：如图，连接， ∵，， ∴ ∵，， ∴ ∴， ∴， 同理可得，， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ （3）∵是等腰直角三角形， ∴， 如图3，取对角线的中点，连接，则，， ∴ 由正方形的性质可得，，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在与成的射线上运动， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，最小， 此时是等腰直角三角形，， 即运输轨道的最小值为千米． 【点睛】本题考查了菱形的性质，正方形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，本题难度较大，作出合适的辅助线是解题的关键． 例6．如图，在和中，，连接，，并延长交于点，连接．      (1)如图1，求证：． (2)如图2，若，求证：． (3)如图3，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由题意易证，即得出，又易证，即可证； （2）由相似三角形的性质可得出．再结合，即可求出．从而根据平行线的性质和判定可证，即得出四边形为平行四边形，从而得出平行四边形为矩形，即得出结论； （3）过点C作，交于点G，即可求出，结合相似三角形的性质，又可证，得出．根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理可求出 ，再代入数据，即可求出和，进而可利用勾股定理求出的长，最后根据求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴，即， ∴； （2）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴平行四边形为矩形， ∴； （3）解：如图，过点C作，交于点G． ∴， ∴，即． 由（1）可知， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即， ∴，即 ， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质，平行线判定和性质，特殊四边形的判定和性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质．熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题关键．在求解（3）时正确作出辅助线构造相似三角形也是关键． 1.（2024·安徽六安·二模）在矩形的边上取一点，将沿翻折，点的对应点为点． (1)当在边上时， （）如图，若，，求； （）如图，作平分交于，若，求证：； (2)如图，当点在矩形内部时，若平分交于，，直接写出三者关系为：__________． 【答案】(1)（）；（）证明见解析； (2)． 【分析】（）（）由折叠可得，，，由矩形的性质可得，，，进而可得，即可得，设，则，由勾股定理得，求出即可求解；（）如图，过点作于，证明可得，，设，，则，，证明可得，即得，得到，再利用三角形面积可得，得到，得到，得到，即可求证； （）如图，过点作，过点作于，交于点，可得，证明得到，，又由折叠可得，，，即可得到四边形是矩形，得到，，即得，，再由可得，进而得到， 由勾股定理得到，即得，即可求证； 本题考查了矩形的性质和判定，折叠的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：（）由折叠可得，，， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：； （）如图，过点作于，则， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 设，，则，， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：如图，过点作，过点作于，交于点，则， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 由折叠可得，，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∵，， ∴为等腰直角三角， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 2.（2024·辽宁大连·一模）如图1，矩形ABCD中，． 【数学活动】 将矩形纸片进行以下操作： 第一步：将矩形纸片沿直线对折，使点与点重合，然后展开铺平，得到折痕，再将矩形纸片沿对角线对折，得到折痕AC，再次展开铺平，两折痕与交于点G； 第二步：将绕点逆时针旋转得到，点F，的对应点分别为点H，K，直线与边所在直线交于点（点不与点重合），与边所在直线交于点． 【数学思考】 （1）绕点旋转至图1的位置时，试判断与的数是关系，并证明你的结论． 【数学探究】 （2）①如图2，当直线时，求的长； ②在旋转过程中，当点K，H，C三点共线时，求的长； 【问题延伸】 （3）在绕点旋转的过程中，连接，则的取值范围是______． 【答案】（1）；①；②；（3） 【分析】（1）证是的中位线，连接，由旋转知，，再证，即可得出结论； （2）①由旋转的性质和等腰三角形的性质得，则，设，在中，由勾股定理求出的值，即可解决问题； ②过作于，交于，则四边形是矩形，得，再由三角形面积求出，然后证，得，即可得出结论； （3）连接，则，当、、三点共线，且点在线段上时，，此时最小，由直角三角形的性质得，即可求得最小值为2，当、、三点共线，且点在延长线上时，，此时最大，求得最值为8，即可求解． 【详解】解：（1），证明如下： 由折叠和矩形性质得， ∴， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴． 如图，连接， 由旋转的性质得， ∴， ∴； （2）①当直线时， 如图，过作于，交于， 则四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 在旋转过程中，当点K，H，C三点共线时，如图， 由旋转的性质得， ， ， ， ， 设， 在中，， ， 解得：． ． （3）如图，连接， 则， 当、、三点共线，且点在线段上时，， 此时的值最小，最小， ， ， ， 最小值， 当、、三点共线，且点在延长线上时，， 此时，最大， ， ． 【点睛】本题是几何变换综合题目，考查了旋转的性质、折叠的性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质以及最小值等知识，本题综合性强，熟练掌握旋转的性质和折叠的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键． 3．已知Rt中为斜边上的高，过边上的点作交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接并延长，交的延长线于点，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，取上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接，延长交于点，若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)． 【分析】（）利用等角的余角相等证明即可； （）首先证明，推出，再证明，推出，再利用全等三角形的性质即可解决问题； （）如图中, 作于，首先证明，从而证明是矩形，则，，则有，再证明，则有，求出，设，根据相似三角形的判定与性质可以得出，即，然后求解即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）作于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，设， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形或特殊四边形解决问题，熟练掌握知识点的应用． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$