精品解析：山东省烟台市莱州市2024-2025学年七年级上学期11月期中数学试题

2024－2025学年度第一学期期中学业水平检测 七年级数学试题 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡，试题卷共6页，共3道大题，28道小题，满分120分．考试时间为120分钟． 2．答题前，请将自己的班级、姓名、座号填写在相应的位置上． 一、选择题（本题共12个小题，每小题均给出标号为A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的） 1. 新能源汽车是我国经济发展的重要产业之一，下列新能源车标中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A.是轴对称图形，不符合题意； B.不是轴对称图形，符合题意； C.是轴对称图形，不符合题意； D.是轴对称图形，不符合题意； 故选B． 2. 在下列条件中，不能确定是直角三角形的是（ ） A. 中，若； B. 中，若； C. 中，若； D. 中，若； 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和，以及勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握三角形的内角和为；两边平方和等于第三边平方的三角形为直角三角形．根据三角形的内角和，即可判断A、C；根据平方差公式和勾股定理的逆定理，即可判断B；根据勾股定理的逆定理，即可判断D． 【详解】解：A、，， ， 解得：，能判定是直角三角形，不符合题意； B、， ，能判定是直角三角形，不符合题意； C、， ，，，不能判定是直角三角形，符合题意； D、, 设，，，则，， ，能判定是直角三角形，不符合题意； 故选：C． 3. 如图，在中，，G为的中点，延长交于E．F为上的一点，于H，下面判断正确的有（　　） ①是的角平分线；②是的边上的中线；③是的边上的高；④是的角平分线和高． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，连接三角形的顶点和对边中点的线段即为三角形的中线；三角形的一个角的角平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高．根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断即可． 【详解】解：①根据三角形的角平分线的概念知是的角平分线，故原说法错误，不符合题意； ②根据三角形的中线的概念知是的边上的中线，故原说法错误，不符合题意； ③根据三角形的高的概念知是的边上的高，故原说法正确，符合题意； ④根据三角形的角平分线和高的概念知是的角平分线和高，故原说法正确，符合题意； 说法正确的有③④，共2个， 故选：B． 4. 如图，在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握等腰三角形的判定与性质．根据，，可得，推出，，求出，得到，设，则，得到，结合，即可求解． 【详解】解：，， ， ，， ， 又， ， 设，则， ， ， ， 解得：，即， 故选：A． 5. 小明同学在学习了利用尺规作一个三角形与已知三角形全等后，尝试用不同的方法作三角形，则在下列作出的图形中，不一定与全等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键； 根据全等三角形的判定对选项进行判定即可求解； 【详解】解：A、如图： 由作图痕迹可得，，，， ， 故A选项正确，不符合题意； B、如图 由作图痕迹可得，，，， ， 故B选项正确，不符合题意； C、如图： 由作图痕迹可得，，，， ， 故C选项正确，不符合题意； D、如图： 由作图痕迹可得，，，， 不能得出与全等， 故D选项不正确，符合题意； 故选：D 6. 如图，在暑假期间，某学校对其校内的高中楼（图中的点），临建楼（图中的点）和图书馆（图中的点）进行装修，装修工人需要放置一批装修物资，使得装修物资到点，点和点的距离相等，则装修物资应该放置在（ ） A. 、两边高线的交点处 B. 在、两边中线的交点处 C. 在、两内角平分线的交点处 D. 在、两边垂直平分线的交点处 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质判断即可． 【详解】解：如图，作分别作、的垂直平分线交于点，连接，，， 则，， ， 故选：D． ． 7. 如图，已知圆柱高为，底面圆的周长为，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点爬到点处吃食，那么它爬行的最短路程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，将立体几何展开，可知最短路径，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意，圆柱的侧面展开图如图所示， ∴从点爬到点处吃食，爬行的最短路程是的长， ∵，，点分别是的中点， ∴在中，， ∴最短路程是， 故选：． 【点睛】本题主要考查圆的基础知识，立体几何图形的展开图，勾股定理的综合运用，掌握以上知识的是解题的关键． 8. 为测量一池塘两端A，B之间的距离，两位同学分别设计了以下两种不同的方案． 方案Ⅰ：如图，先在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接并延长到点C，连接并延长到点D，并使，连接，最后测出的长即可； 方案Ⅱ：如图，先确定直线，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接，作，交直线于点C，最后测量的长即可． A. Ⅰ，Ⅱ都不可行 B. Ⅰ，Ⅱ都可行 C. Ⅰ可行，Ⅱ不可行 D. Ⅰ不可行，Ⅱ可行 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法和等腰三角形三线合一性质求解即可． 【详解】方案Ⅰ：∵，， ∴， ∴， ∴Ⅰ可行； 方案Ⅱ：∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴Ⅱ可行， 综上所述，Ⅰ，Ⅱ都可行． 故选：B． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定方法和等腰三角形三线合一性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 9. 在中，与的角平分线交于点，过点作交于点，交于点，且，，，则下列说法错误的是（ ） A. 和是等腰三角形 B. C. 的周长是 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质，可得，，从而证得和是等腰三角形，得到A正确；根据题意，无法得到，根据等腰三角形的性质，可得，，从而得到的周长，得到C正确；再根据角平分线的定义，三角形的内角和定理，可判断D正确，即可求解． 【详解】解：平分，平分， ，， ， ，， ，， 和是等腰三角形； ，， 又，， 的周长为； ， ， ， ； 故选项A，C，D正确，选项B错误， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 10. 如图，有一张长方形纸片，，，点为上一点，将纸片沿折叠，的对应边恰好经过点，则线段的长为（ ）cm A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】由折叠的性质可得，，，由勾股定理可求的长，由勾股定理可求解． 【详解】解：将纸片沿折叠，的对应边恰好经过点， ，，， ， ， ， ， ， ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，熟练运用折叠的性质是解决本题的关键． 11. 在中，，的垂直平分线交于点D，交直线于点E，，那么等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段的垂直平分线及等腰三角形的判定和性质．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．分两种情况：为锐角，为钝角，根据线段垂直平分线的性质可求出，然后根据三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：如图1． ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图2． ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴； 故选：C． 12. 勾股定理在平面几何中有着不可替代的重要地位，在我国古算书(周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，如图1是由边长均为1的小正方形和Rt△ABC构成的，可以用其面积关系验证勾股定理，将图1按图2所示“嵌入”长方形LMJK，则该长方形的面积为( ) A. 120 B. 110 C. 100 D. 90 【答案】B 【解析】 【分析】延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，可得四边形AOLP是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形KLMJ的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，如图所示： 则四边形OALP是矩形． ∵∠CBF=90°， ∴∠ABC+∠OBF=90°， 又∵Rt△ABC中，∠ABC+∠ACB=90°， ∴∠OBF=∠ACB， 在△OBF和△ACB中， ∵∠BAC=∠BOF, ∠ACB=∠OBF, BC=BF,， ∴△OBF≌△ACB（AAS）， ∴AC=OB， 同理：△ACB≌△PGC， ∴PC=AB， ∴OA=AP， ∴矩形AOLP是正方形，边长AO=AB+AC=3+4=7， ∴KL=3+7=10，LM=4+7=11， ∴长方形KLMJ的面积为10×11=110． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明、正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；通过作出辅助线证明三角形全等得出正方形是解题的关键． 二、填空题（本题共8个小题） 13. 在综合实践活动中，某数学兴趣小组制作了一个长方形的框子，为防止框子变形需要固定．如图所示，小明的做法是在框子上斜钉了一根木条，小刚认为固定的木条越多框子就越坚固，他在框子上钉了两根木条．你觉得______的做法能使门框更牢固． 【答案】小明 【解析】 【分析】本题考查了三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．据此即可求解． 【详解】解：三角形具有稳定性， 小明的做法能使门框更牢固 故答案为：小明． 14. 如图，已知，，，则的长是____________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据全等的性质可得，，观察图形得． 【详解】解：，，， ，， ． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练应用全等三角形的对应边相等是解题的关键． 15. 如图，正六边形关于直线成轴对称的图形是六边形．点，，，四点在一条直线上，若点到直线的距离为，，则线段______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的性质，熟练掌握轴对称图形的性质是解题的关键； 由轴对称图形的性质可知：点到直线的距离为，则，，由此求得即可． 【详解】解：解：由已知正六边形和正六边形关于直线对称，因此是对称轴， ， 点到直线的距离为， ， ； 故答案为： 16. 如图，在中，，分别以为直径向外作半圆，半圆的面积分别记为，则的值为________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、圆的面积问题．由勾股定理可得，再根据即可求解． 【详解】解：中，， ， ， 故答案为：． 17. 如图甲所示三角形纸片中，，将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到边上的E点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为（如图丙），则的大小为 _______． 【答案】72 【解析】 【分析】本题主要考查了翻折变换、三角形的内角和定理等知识点，设，根据翻折不变性可知，，利用三角形内角和定理构建方程即可解决问题，解题的关键是学会用方程的思想思考问题． 【详解】设，根据翻折不变性可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：72． 18. 如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，已知感应器离地面的高度为米，一名学生站在处被感应到，感应门会自动打开，这名学生身高为米，头顶离感应器的距离为米，这名学生从进入感应区到进门，需行进______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．过点作于E，则米，，得到米，由勾股定理得出米，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作于E，则米，， 米， 米， 米， 在中， 由勾股定理得：米， 米， 即这名学生从进入感应区到进门，需行进米， 故答案为：． 19. 如图，在等边三角形中，，点O在上，且，点D和点E分别在，上，，，则的长是__________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质、三角形的外角性质、全等三角形的判定与性质，证明即可求解． 【详解】解：∵在等边三角形中，，， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：6． 20. 在长方形中，点是边上一动点，，，当为等腰三角形时，______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键． 分，，三种情况讨论，利用勾股定理以及全等三角形的判定和性质求解即可. 【详解】解：矩形中，，， ，，， ①当时， 在中，，， ， ； ②当时， 在和中， ，， ， ； ③当时， 在中，，， 的值为或或 故答案为：或或 三、解答题（本题共8个小题，要写出必要的解答过程或推理步骤） 21. 尺规作图，不写作法，保留作图痕迹： 如图，在中，． （1）在的边上求作一点，使得； （2）在的边上求作一点，使得点到，的距离相等； （3）若，，则______．（直接写出结果） 【答案】（1）如图，点即为所求； （2）如图，点即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题考查作图一复杂作图、勾股定理，角平分线的性质，解题的关键是尺规作图，灵活运用所学知识解决问题； （1）作线段的垂直平分线，交于点，则点即为所求； （2）结合角平分线的性质，作的平分线，交于点，则点即为所求； （3）过点作于点，由题意可得，，由勾股定理得， ，设，根据，代入求出的值，再根据可得答案； 【小问1详解】 解：如图，作线段的垂直平分线，交于点， 【小问2详解】 解：如图，作的平分线，交于点， 【小问3详解】 解：过点作于点， ∵点到，的距离相等，， ， 由（1）可得，点为的中点， ， 在中，由勾股定理得， ； 设， ， ， 解得， ， ． 22. 如图，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， ， 在和中， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，推导出，进而证明是解题的关键． （1）由，得，而，，即可根据“”证明，则； （2）由全等三角形的性质得，而，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， ， ， ， 的度数是． 23. 图①，图②都是边长为1的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点、、均为格点，按下列要求画图： （1）在图①中，画一条不与线段重合的线段，使与关于某条直线对称（、的对应点分别为、），且、均为格点． （2）在图②中，画一个，使与关于直线对称（、、的对应点分别为、、且、、均为格点），再求出的面积． 【答案】（1） 线段即为所求（答案不唯一）： （2） 即为所求： 的面积为， 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可， （2）根据轴对称的性质作图即可；利用割补法求三角形的面积即可， 本题考查了作图，轴对称变换，解题的关键是：熟练掌握轴对称的性质． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 故答案为：的面积为． 24. 如图，在中，点是的中点，，连接，为上一点，，交于点，若，，求的长度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质．由点是的中点，，可得，，再根据勾股定理求出，由，可得，最后根据线段的和差即可求解． 【详解】解：点是的中点，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 25. 如图，居民楼与马路是平行的，在一楼的点A处测得它到马路的距离为9m，已知在距离载重汽车41m处就可受到噪声影响． （1）试求在马路上以4m/s速度行驶的载重汽车，能给一楼A处的居民带来多长时间的噪音影响？ （2）若时间超过25秒，则此路禁止该车通行，你认为载重汽车可以在这条路上通行吗？ 【答案】（1）20s；（2）可以通行． 【解析】 【详解】试题分析：（1）先根据勾股定理求出BC及DC的长，进而可得出BD的长，根据载重汽车的速度是4m/s即可得出受噪音影响的时间； （2）根据（1）中得出的时间与25秒相比较即可得出结论． 试题解析：（1）∵由题意得AC=9，AB=AD=41，AC⊥BD， ∴Rt△ACB中，BC=， Rt△ACD中，DC=， ∴BD=80， ∴80÷4=20（s）， ∴受影响时间为20s； （2）∵20＜25， ∴可以通行． 考点：勾股定理的应用． 26. 如图，A，B两个村庄在河CD的同侧，两村庄的距离为a千米，，它们到河CD的距离分别是1千米和3千米．为了解决这两个村庄的饮水问题，乡政府决定在河CD边上修建一水厂向A，B两村输送水． （1）在图上作出向A，B两村铺设水管所用材料最省时的水厂位置M．（只需作图，不需要证明） （2）经预算，修建水厂需20万元，铺设水管的所有费用平均每千米为3万元，其他费用需5万元，求完成这项工程乡政府投入的资金至少为多少万元． 【答案】（1） 如图，作点A关于直线的对称点，连接，交于M点，即M为所求. （2）50万元. 【解析】 【分析】（1）作点A关于直线的对称点，连接，交于M点，即M为所求； （2）连接交于H点，过点B作，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接交于H点，过点B作， 由题意可知：，，， ∴， ∴在中，， ∴在中，， 由对称性质可知：， 水管长， 完成这项工程乡政府投入的资金至少为（万元） 【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，勾股定理，题目比较典型，是一道比较好的题目，考查了学生的动手操作能力和计算能力． 27. 如图，，平分，平分，点在上，且，． （1）与垂直吗？说明你的理由； （2）若，，试求出四边形的面积． 【答案】（1） 解：结论：； 理由：， ， 又平分，平分， ，， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是要熟练掌握全等三角形的判定和性质； （1）由平行线的性质得出，由角平分线的性质得出，，由三角形内角和定理可得出答案； （2）证明，得出，同理得出，则可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ． 28. 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【阅读理解】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长至点，使，连接．根据______，可以判定，得出．这样就能把线段、、集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围______． 【模型构建】 当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“倍长中线”法． 【类比应用】 （2）如图2，在中，是边上的中点，，，，则______； 【拓展提升】 （3）如图3，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：． 【答案】（1），； （2）； （3）证明：如图3，延长至点，使得，连接， 是的中点， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 垂直平分， ， 在中，， ． 【解析】 【分析】（1）延长至点，使，连接，由是的中点，可得，结合，根据可证明，可得，最后根据三角形的三边关系即可得到的取值范围； （2）延长至点，使，连接，证得，则，再根据勾股定理的逆定理得到，最后利用勾股定理得出答案； （3）延长至点，使得，连接，证明，得到，由，，推出垂直平分，得到，最后根据在中，，即可求解． 【详解】解：（1）如图1，延长至点，使，连接， 是的中点， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，即， ， ， 故答案为：，； （2）如图2，延长至点，使，连接， 是的中点， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：； （3）略 【点睛】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，三角形的三边关系，线段垂直平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度第一学期期中学业水平检测 七年级数学试题 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡，试题卷共6页，共3道大题，28道小题，满分120分．考试时间为120分钟． 2．答题前，请将自己的班级、姓名、座号填写在相应的位置上． 一、选择题（本题共12个小题，每小题均给出标号为A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的） 1. 新能源汽车是我国经济发展的重要产业之一，下列新能源车标中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列条件中，不能确定是直角三角形的是（ ） A. 中，若； B. 中，若； C. 中，若； D. 中，若； 3. 如图，在中，，G为的中点，延长交于E．F为上的一点，于H，下面判断正确的有（　　） ①是的角平分线；②是的边上的中线；③是的边上的高；④是的角平分线和高． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 如图，在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 小明同学在学习了利用尺规作一个三角形与已知三角形全等后，尝试用不同的方法作三角形，则在下列作出的图形中，不一定与全等的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在暑假期间，某学校对其校内的高中楼（图中的点），临建楼（图中的点）和图书馆（图中的点）进行装修，装修工人需要放置一批装修物资，使得装修物资到点，点和点的距离相等，则装修物资应该放置在（ ） A. 、两边高线的交点处 B. 在、两边中线的交点处 C. 在、两内角平分线的交点处 D. 在、两边垂直平分线的交点处 7. 如图，已知圆柱高为，底面圆的周长为，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点爬到点处吃食，那么它爬行的最短路程是（ ） A. B. C. D. 8. 为测量一池塘两端A，B之间的距离，两位同学分别设计了以下两种不同的方案． 方案Ⅰ：如图，先在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接并延长到点C，连接并延长到点D，并使，连接，最后测出的长即可； 方案Ⅱ：如图，先确定直线，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接，作，交直线于点C，最后测量的长即可． A. Ⅰ，Ⅱ都不可行 B. Ⅰ，Ⅱ都可行 C. Ⅰ可行，Ⅱ不可行 D. Ⅰ不可行，Ⅱ可行 9. 在中，与的角平分线交于点，过点作交于点，交于点，且，，，则下列说法错误的是（ ） A. 和是等腰三角形 B. C. 的周长是 D. 10. 如图，有一张长方形纸片，，，点为上一点，将纸片沿折叠，的对应边恰好经过点，则线段的长为（ ）cm A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 11. 在中，，的垂直平分线交于点D，交直线于点E，，那么等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 12. 勾股定理在平面几何中有着不可替代的重要地位，在我国古算书(周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，如图1是由边长均为1的小正方形和Rt△ABC构成的，可以用其面积关系验证勾股定理，将图1按图2所示“嵌入”长方形LMJK，则该长方形的面积为( ) A. 120 B. 110 C. 100 D. 90 二、填空题（本题共8个小题） 13. 在综合实践活动中，某数学兴趣小组制作了一个长方形的框子，为防止框子变形需要固定．如图所示，小明的做法是在框子上斜钉了一根木条，小刚认为固定的木条越多框子就越坚固，他在框子上钉了两根木条．你觉得______的做法能使门框更牢固． 14. 如图，已知，，，则的长是____________． 15. 如图，正六边形关于直线成轴对称的图形是六边形．点，，，四点在一条直线上，若点到直线的距离为，，则线段______． 16. 如图，在中，，分别以为直径向外作半圆，半圆的面积分别记为，则的值为________．（结果保留） 17. 如图甲所示三角形纸片中，，将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到边上的E点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为（如图丙），则的大小为 _______． 18. 如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，已知感应器离地面的高度为米，一名学生站在处被感应到，感应门会自动打开，这名学生身高为米，头顶离感应器的距离为米，这名学生从进入感应区到进门，需行进______米． 19. 如图，在等边三角形中，，点O在上，且，点D和点E分别在，上，，，则的长是__________． 20. 在长方形中，点是边上一动点，，，当为等腰三角形时，______． 三、解答题（本题共8个小题，要写出必要的解答过程或推理步骤） 21. 尺规作图，不写作法，保留作图痕迹： 如图，在中，． （1）在的边上求作一点，使得； （2）在的边上求作一点，使得点到，的距离相等； （3）若，，则______．（直接写出结果） 22. 如图，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 23. 图①，图②都是边长为1的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点、、均为格点，按下列要求画图： （1）在图①中，画一条不与线段重合的线段，使与关于某条直线对称（、的对应点分别为、），且、均为格点． （2）在图②中，画一个，使与关于直线对称（、、的对应点分别为、、且、、均为格点），再求出的面积． 24. 如图，在中，点是的中点，，连接，为上一点，，交于点，若，，求的长度． 25. 如图，居民楼与马路是平行的，在一楼的点A处测得它到马路的距离为9m，已知在距离载重汽车41m处就可受到噪声影响． （1）试求在马路上以4m/s速度行驶的载重汽车，能给一楼A处的居民带来多长时间的噪音影响？ （2）若时间超过25秒，则此路禁止该车通行，你认为载重汽车可以在这条路上通行吗？ 26. 如图，A，B两个村庄在河CD的同侧，两村庄的距离为a千米，，它们到河CD的距离分别是1千米和3千米．为了解决这两个村庄的饮水问题，乡政府决定在河CD边上修建一水厂向A，B两村输送水． （1）在图上作出向A，B两村铺设水管所用材料最省时的水厂位置M．（只需作图，不需要证明） （2）经预算，修建水厂需20万元，铺设水管的所有费用平均每千米为3万元，其他费用需5万元，求完成这项工程乡政府投入的资金至少为多少万元． 27. 如图，，平分，平分，点在上，且，． （1）与垂直吗？说明你的理由； （2）若，，试求出四边形的面积． 28. 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【阅读理解】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长至点，使，连接．根据______，可以判定，得出．这样就能把线段、、集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围______． 【模型构建】 当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“倍长中线”法． 【类比应用】 （2）如图2，在中，是边上的中点，，，，则______； 【拓展提升】 （3）如图3，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $