专题 与角度有关的计算解答题35题提分练（专项训练）数学浙教版2024七年级上册

（浙教版）七年级上册数学《第6章 图形的初步知识》 专题 与角度有关的计算解答题 （ 基础题＆提升题＆压轴题 ） 题型一 基础题 1．（2023秋•同安区期末）如图，点O在直线AB上，∠BOC＝20°，∠COD＝90°，OE是∠BOD的角平分线，求∠COE的度数． 2．（2023秋•昭阳区期末）如图，已知点O为直线CE上一点，∠COD＝3∠BOD，，且∠DOE＝54°，求∠AOB的度数． 3．（2023秋•西峡县期末）如图，∠AOB＝∠COD＝90°，OC平分∠AOB，∠BOD＝3∠DOE．试求∠COE的度数． 4．（2023秋•天心区期末）如图，O为直线AB上一点，OC平分∠AOD，∠AOC＝60°，∠BOD＝3∠DOE，求∠DOE的度数． 5．（2023秋•扶余市期末）如图，∠DOE：∠BOE＝1：3，∠DOC：∠COA＝1：3，若∠AOB＝120°，求∠EOC的大小． 6．（2023秋•泸县校级期末）如图，OE是∠COA的平分线，∠AOB＝∠COD． （1）若∠AOE＝50°，∠COD＝18°，求∠BOC的度数； （2）比较∠AOC和∠BOD的大小，并说明理由． 7．（2023秋•南沙区期末）如图，将一副三角尺叠放在一起．三角尺ABC的三个角是45°，45°，90°，三角尺ADE的三个角是30°，60°，90°． （1）若∠CAE＝58°，求∠BAE的度数； （2）若∠CAE＝2∠BAD，求∠CAD的度数． 8．（2023秋•杜尔伯特县期末）如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC＝1：2． （1）求∠AOC的度数； （2）过点O作射线OD，若∠AOD∠AOB，求∠COD的度数． 9．（2023秋•九龙坡区校级期末）如图，∠AOB：∠BOC＝1：4，OM平分∠AOB，∠BON：∠NOC＝3：1，若∠MON＝91°． （1）∠AOB 　 　∠NOC（填“＞”或“＜”或“＝”） （2）求∠AOC的度数． 10．（2023秋•娄底期末）如图，点O在直线AB上，∠COD＝60°，∠AOE＝2∠DOE． （1）若∠BOD＝60°，求∠COE的度数； （2）试猜想∠BOD和∠COE的数量关系，并说明理由． 11．（2023秋•瑶海区校级期末）已知点O为直线AB上一点，∠MON＝90°，在∠MON内部作射线OC，且OC恰好平分∠MOB． （1）若∠CON＝20°，求∠AOM的度数； （2）若∠BON＝2∠NOC，求∠AOM的度数． 12．（2023秋•慈溪市期末）如图，直角三角板DOE的直角顶点O在直线AB上，OD平分∠AOF． （1）比较∠EOF和∠EOB的大小，并说明理由； （2）若OF平分∠AOE，求∠BOE的度数． 题型二 提升题 13．（2023秋•福田区校级期末）如图，点A，O，B在同一条直线上，OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC． （1）求∠DOE的度数； （2）如果∠COD＝65°，求∠AOE的度数； （3）如果∠COD：∠COE＝3：2，求∠AOE的度数． 14．（2023秋•武昌区期末）已知∠AOB＝50°，∠COD＝20°． （1）如图1，若∠AOD＝80°，∠COD在OB的左侧，则∠BOC＝　 　； （2）如图2，OP平分∠AOD，OQ平分∠BOC，求∠POQ． 15．（2023秋•彭水县期末）已知∠AOB内部有三条射线OD，OC，OE且在同一个平面内，∠AOC＝2∠BOC，射线OD始终在射线OE的上方，∠AOB＝108°，∠DOE＝36°． （1）如图1，当OE平分∠BOC时，求∠AOD的度数； （2）如图2，若∠AOD＝5∠COE时，求∠BOE的度数． 16．（2023秋•沙坪坝区校级期末）如图1，已知∠AOC＝160°，OB是∠AOC内的射线，且∠AOB∠BOC，射线OD、OE将∠AOC分割，使得∠AOD：∠BOD：∠COE＝1：2：3． （1）求∠DOE． （2）如图2，作∠BOD，∠EOC的平分线OM，ON．求∠MON的值． 17．（2023秋•仙居县期末）已知：两块三角尺（直角三角形ABC和直角三角形ADE，∠BAC＝45°，∠DAE＝30°）按如图1摆放，点E、A、B在同一条直线上，AM、AN分别平分∠BAE和∠CAD． （1）求∠DAC的度数； （2）求∠MAN的度数； （3）将三角尺ADE绕点A按顺时针方向转动至如图2的位置，在转动过程中，∠MAN的度数是否发生变化？如果不变化，请求出∠MAN的度数；如果变化，请说明理由． 18．（2023秋•渝北区期末）OC，OD，OE在∠AOB内，∠AOC＝2∠BOC，∠AOB＝108°，∠DOE＝66°． （1）如图1，当OE为∠BOC的角平分线时，求∠AOD的度数； （2）如图2，当，求∠BOE的度数． 19．（2023秋•汉中期末）如图，已知∠AOB＝120°，从∠AOB的顶点O引出一条射线OC，射线OC在∠AOB的内部，将射线OC绕点O逆时针旋转到OD，且∠COD＝60°． （1）如图①，若∠AOD＝90°，试判断∠AOC与∠BOD之间的大小关系并说明理由； （2）如图②，作射线OE，射线OE为∠AOD的平分线，设∠AOC＝α，当0°＜α＜60°时，若射线OC恰好平分∠AOE，求∠BOD的度数． 20．（2024春•莱州市期末）新定义：若∠α的度数是∠β的度数的n倍，则∠α叫做∠β的n倍角． （1）若∠M＝10°21′，请直接写出∠M的4倍角的度数； （2）如图1所示，若∠AOB＝∠BOC＝∠COD，请直接写出图中∠COD的2倍角； （3）如图2所示，若∠AOC是∠AOB的3倍角，∠COD是∠AOB的4倍角，且∠BOD＝90°，求∠BOC的度数． 21．（2023秋•庄河市期末）如图，点O为直线上AB一点，∠COD＝90°，∠BOD＝18°，若OE是∠BOC的平分线， （1）求∠BOE的度数； （2）若点F是平面内一点，连接射线OF，且，求∠COF的度数． 22．（2023秋•庐阳区校级期末）若两个角的和为60°，我们称这两个角互为“幸运角”，如图1，2所示：已知∠AOB与∠AOC互为“幸运角”，∠AOB与∠AOD互补，若∠BOC＝10°． （1）求∠AOB的度数． （2）若如图2所示，射线OM在∠AOD内部，且满足∠DOM＝4∠AOM，求∠COM的度数． 23．（2023秋•黄陂区校级期末）将三角板COD的直角顶点O放置在直线AB上． （1）如图，且∠AOC＝40°射线OE平分∠BOC，则∠BOE的大小为 　 　； （2）在（1）的条件下，射线OE平分∠BOC，射线OF平分∠BOD，求∠EOF的度数； （3）若将三角板COD绕点O旋转，射线OE平分∠BOC，射线OF平分∠BOD．请写出∠COD与∠EOF度数的等量关系：　 ． 题型三 压轴题 24．（2023秋•赣县区期末）已知∠AOB＝30°，∠BOP＝m∠AOP（m＞0，且OP不与OA重合）． （1）当m＝1时，若射线OP在∠AOB内，请用量角器在图1中画出射线OP，则∠AOP的度数为 　　； （2）当m＝2时，OQ平分∠AOP，求∠BOQ的度数． 25．（2023秋•斗门区期末）如图①，OC是∠AOE内部的一条射线，OB、OD分别平分∠AOC，∠EOC． （1）若∠AOE＝140°，∠COD＝30°，求∠BOC＝　 　； （2）∠AOE与∠BOD的大小有什么关系，写出你的结论并说明理由． （3）如图②，如果OC是∠AOE外部的一条射线，OB、OD分别平分∠AOC，∠EOC．那么（2）中∠AOE与∠BOD的大小关系还成立吗？请说明理由． 26．（2023秋•海陵区校级期末）已知∠AOB＝2∠COD＝140°，OE平分∠AOD． （1）如图①，若∠COE＝10°，求∠AOC的度数； （2）将∠COD绕顶点O按逆时针方向旋转至如图②的位置，∠BOD和∠COE有怎样的数量关系？请说明理由； （3）将∠COD绕顶点O按逆时针方向旋转至如图③的位置，（2）中的关系是否成立？请说明理由． 27．（2023秋•思明区校级期末）如图，点M，O，N在同一条直线上，将一直角三角板的60°锐角顶点放在点O处，一边OA在射线OM上，另一边OB在直线MN的上方．OC平分∠BON，OD平分∠CON． （1）求∠BOD的度数； （2）把三角板绕点O沿逆时针方向旋转，当OB转到射线OM上时停止，若在旋转过程中，∠AOM＝（x﹣120）°，同时在∠BOC内部有一条射线OE，使得，试探究在旋转过程中，射线OE始终是哪个角的平分线？ 28．（2023秋•宝安区期末）将一副三角板如图1放置（∠AOB＝90°，∠A＝45°，∠OCD＝90°，∠COD＝30°），在∠BOD、∠AOC（∠BOD≤180°、∠AOC≤180°）内作射线OM、ON，且∠MOB＝2∠DOM，∠NOA＝2∠NOC，将三角板OCD绕着点O顺时针旋转． （1）如图1，当点O、A、C在一条直线上时，∠MON＝　 　； （2）如图2，若旋转角为α（0°＜α＜90°），∠MON的度数是否会发生改变？若不变，求其值；若变化，说明理由． （3）如图3，当三角板OCD旋转到∠AOB内部时，求∠MON的值． 29．（2023秋•东莞市期末）如图甲，已知线段AB＝20cm，CD＝4cm，线段CD在线段AB上运动，E，F分别是AC，BD的中点． （1）若AC＝6cm，则EF＝　 　cm； （2）当线段CD在线段AB上运动时，试判断EF的长度是否发生变化？如果不变，请求出EF的长度，如果变化，请说明理由； （3）①对于角，也有和线段类似的规律．如图乙，已知∠COD在∠AOB内部转动，OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD，若∠AOB＝150°，∠COD＝30°，求∠EOF； ②请你猜想∠EOF，∠AOB和∠COD会有怎样的数量关系，直接写出你的结论． 30．（2023秋•于洪区期末）【提出问题】 已知点O是直线AB上一点，∠COD＝90°，射线OE是∠AOD的平分线． （1）如图1，若∠BOD＝110°，求∠COE的度数． 请补充完成下列解答过程： 解：∵∠AOB＝180°，∠BOD＝110°， ∴∠AOD＝　 °． ∵∠COD＝90°， ∴∠AOC＝∠COD﹣∠AOD＝　 　°． ∵OE是∠AOD的平分线， ∴∠AOE＝　 　∠AOD＝　 　°． ∴∠COE＝∠AOC+　 　＝　 °． 【类比分析】 （2）如图2，设∠COE＝α，求∠BOD的度数（用含α的代数式表示）． 【变式探索】 （3）如图3，若3∠COE﹣2∠BOD＝78°，求∠COE的度数． 31．（2023秋•渑池县期末）如图．已知∠MON＝140°，∠AOC与∠BOC互余，OC平分 ∠MOB． （1）在图①中．若∠AOC＝40°，则∠BOC＝　 　°．∠NOB＝　 　°； （2）在图①中，设∠AOC＝α，∠NOB＝β，请探究α与β之间的数量关系（必须写出推理的主要过程，但每一步后面不必写出理由）； （3）在图①中，当∠AOB绕着点O顺时针转动到如图②的位置时，（2）中α与β之间的数量关系是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出此时α与β之间的数量关系． 32．（2023秋•青岛期末）如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线． （1）如图1，当∠AOB是直角，∠BOC＝60°时，求∠MON的度数是多少？ （2）如图2，当∠AOB＝α，∠BOC＝60°时，尝试发现∠MON与α的数量关系． （3）如图3，当∠AOB＝α，∠BOC＝β时，猜想：∠MON与α、β有数量关系吗？直接写出结论即可． 33．（2024春•高青县期末）【实践活动】 如图1，将一副三角板的直角顶点重合摆放． （1）∠ACE与∠BCD的大小关系是∠ACE 　 　∠BCD．（填“＞”“＝”或“＜”） （2）∠ACB与∠DCE之间的数量关系是 　 　． 【拓展探究】 （3）如图2，若∠ACD≠∠BCE，且∠ACD+∠BCE＝180°，探索∠ACB与∠DCE之间的数量关系，并说明理由． 34．（2023秋•启东市期末）已知：∠AOB和∠COD是直角． （1）如图1，当射线OB在∠COD内部时，则∠AOD和∠BOC之间的关系为 　 ； （2）如图2，当射线OA，射线OB都在∠COD外部时，过点O作射线OE，射线OF，满足，，求∠EOF的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，在平面内是否存在射线OG，使得∠GOF：∠GOE＝4：5，若不存在，请说明理由，若存在，求出∠GOE的度数． 35．（2023秋•青羊区校级期末）如图所示，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC． （1）如图1，若∠AOC＝30°，求∠DOE的度数． （2）在图1中，若∠AOC＝α，直接写出∠DOE的度数：　 （用含α的代数式表示）． （3）将图1中的∠COD绕顶点O顺时针开始旋转． ①当∠COD旋转至如图2的位置时，请探究∠AOD与∠BOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； ②过点O的一条射线OF，使得OC恰好平分∠BOF，在图1和图2中分别探究∠AOF与∠DOE的度数之间的关系，请直接写出结论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ （浙教版）七年级上册数学《第6章 图形的初步知识》 专题 与角度有关的计算解答题 （ 基础题＆提升题＆压轴题 ） 题型一 基础题 1．（2023秋•同安区期末）如图，点O在直线AB上，∠BOC＝20°，∠COD＝90°，OE是∠BOD的角平分线，求∠COE的度数． 【分析】先根据角的和差求出∠BOD的度数，在根据角的平分线定义求出∠BOE的度数，最后根据角的和差求解即可． 【解答】解：∵∠BOC＝20°，∠COD＝90°， ∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝110°， 又OE是∠BOD的角平分线， ∴∠BOE＝∠BOD＝55°， ∴∠COE＝∠BOE﹣∠BOC＝35°． 【点评】本题考查了角平分线的有关计算，正确求出∠BOE的度数是解题的关键． 2．（2023秋•昭阳区期末）如图，已知点O为直线CE上一点，∠COD＝3∠BOD，，且∠DOE＝54°，求∠AOB的度数． 【分析】根据平角的定义求出∠COD，进而求出∠AOC和∠BOD，再由平角的定义求出∠AOB的度数即可． 【解答】解：∵∠DOE＝54°， ∴∠COD＝180°﹣∠DOE＝180°﹣54°＝126°， ∵∠AOCCOD， ∴∠AOC126°＝63°， ∵∠COD＝3∠BOD， ∴∠BOD∠COD126°＝42°， ∴∠AOB＝180°﹣∠AOC﹣∠BOD﹣∠DOE＝180°﹣63°﹣42°﹣54°＝21°． 【点评】本题考查角的计算等，掌握平角的定义是解题的关键． 3．（2023秋•西峡县期末）如图，∠AOB＝∠COD＝90°，OC平分∠AOB，∠BOD＝3∠DOE．试求∠COE的度数． 【分析】先根据角平分线定义求出∠COB的度数，再求出∠BOD的度数，求出∠BOE的度数，即可得出答案． 【解答】解：∵∠AOB＝90°，OC平分∠AOB， ∴∠COB∠AOB＝45°， ∵∠COD＝90°， ∴∠BOD＝45°， ∵∠BOD＝3∠DOE， ∴∠DOE＝15°， ∴∠BOE＝30°， ∴∠COE＝∠COB+∠BOE＝45°+30°＝75°． 【点评】本题考查了角平分线定义和角的有关计算，能求出∠DOE的度数是解此题的关键． 4．（2023秋•天心区期末）如图，O为直线AB上一点，OC平分∠AOD，∠AOC＝60°，∠BOD＝3∠DOE，求∠DOE的度数． 【分析】根据OC平分∠AOD，∠AOC＝60°，得出∠AOD＝120°，再根据平角的定义得出∠BOD＝60°，然后根据∠BOD＝3∠DOE，即可得出∠DOE的度数． 【解答】解：∵OC平分∠AOD，∠AOC＝60°， ∴∠AOD＝120°， ∵∠AOD+∠BOD＝180°， ∴∠BOD＝60°， ∵∠BOD＝3∠DOE， ∴∠DOE60°＝20°． 【点评】本题主要考查角的计算的知识点，运用好角的平分线这一知识点是解答的关键． 5．（2023秋•扶余市期末）如图，∠DOE：∠BOE＝1：3，∠DOC：∠COA＝1：3，若∠AOB＝120°，求∠EOC的大小． 【分析】由∠DOE：∠BOE＝1：3，∠DOC：∠COA＝1：3，可设∠DOE＝x°，∠DOC＝y°，可得∠BOE＝3x°，∠COA＝3y°，然后根据∠AOB＝120°，可得∠DOE+∠BOE+∠DOC+∠COA＝∠AOB＝120°，可求x°+y°的大小，即可求∠EOC的大小． 【解答】解：设∠DOE＝x°，∠DOC＝y°， ∵∠DOE：∠BOE＝1：3，∠DOC：∠COA＝1：3， ∴∠BOE＝3x°，∠COA＝3y°， ∵∠DOE+∠BOE+∠DOC+∠COA＝∠AOB， ∴x°+3x°+y°+3y°＝120°， ∴4（x°+y°）＝120°， ∴x°+y°＝30°， ∵∠EOC＝∠DOE+∠DOC， ∴∠EOC＝x°+y°＝30°， 即∠EOC的大小30°． 【点评】此题考查了角的计算，解题的关键是：根据题意设出未知数，弄清楚角与角之间的关系，从而列出方程进行解答． 6．（2023秋•泸县校级期末）如图，OE是∠COA的平分线，∠AOB＝∠COD． （1）若∠AOE＝50°，∠COD＝18°，求∠BOC的度数； （2）比较∠AOC和∠BOD的大小，并说明理由． 【分析】（1）依据角平分线的定义，即可得到∠AOC的度数，再根据角的和差关系，即可得出∠BOC的度数； （2）依据等式的性质，即可得到∠AOC＝∠BOD． 【解答】解：（1）∵OE是∠COA的平分线，∠AOE＝50°， ∴∠AOC＝2∠AOE＝100°， 又∵∠AOB＝∠COD＝18°， ∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝100°﹣18°＝82°； （2）∠AOC＝∠BOD． 理由：∵∠AOB＝∠COD， ∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC， ∴∠AOC＝∠BOD． 【点评】本题主要考查了角的大小比较以及角平分线的定义的运用，从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线． 7．（2023秋•南沙区期末）如图，将一副三角尺叠放在一起．三角尺ABC的三个角是45°，45°，90°，三角尺ADE的三个角是30°，60°，90°． （1）若∠CAE＝58°，求∠BAE的度数； （2）若∠CAE＝2∠BAD，求∠CAD的度数． 【分析】（1）用90°减去∠CAE的度数，求出的差就是∠BAE的度数； （2）设∠BAD＝x，用含x的代数式表示出∠BAE后根据∠BAE+∠BAD＝60°建立关于x的方程，解方程求出x的值后即可求出∠CAD的度数． 【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，∠CAE＝58°， ∴∠BAE＝∠BAC﹣∠CAE＝90°﹣58°＝32°； （2）设∠BAD＝x，则∠CAE＝2x， ∴∠BAE＝90°﹣2x， ∵∠DAE＝60°， ∴90°﹣2x+x＝60°， 解得：x＝30°， ∴∠CAD＝∠BAC+∠BAD＝90°+30°＝120°． 【点评】本题主要考查角的计算，熟练掌握角的和差倍分的计算方法是解决问题的关键． 8．（2023秋•杜尔伯特县期末）如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC＝1：2． （1）求∠AOC的度数； （2）过点O作射线OD，若∠AOD∠AOB，求∠COD的度数． 【分析】（1）根据∠AOC：∠BOC＝1：2，即可求解； （2）先求出∠COM，再求出∠CON，相加即可求解． 【解答】解：（1）∵∠AOC：∠BOC＝1：2，∠AOB＝120°， ∴∠AOC∠AOB120°＝40°； （2）∵∠AOD∠AOB， ∴∠AOD＝60°， 当OD在∠AOB内时， ∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝20°， 当OD在∠AOB外时， ∠COD＝∠AOC+∠AOD＝100°． 故∠COD的度数为20°或100°． 【点评】本题考查了角的计算及角平分线，掌握角的特点及比例的意义是解决问题的关键． 9．（2023秋•九龙坡区校级期末）如图，∠AOB：∠BOC＝1：4，OM平分∠AOB，∠BON：∠NOC＝3：1，若∠MON＝91°． （1）∠AOB 　 　∠NOC（填“＞”或“＜”或“＝”） （2）求∠AOC的度数． 【分析】（1）根据角的倍分关系进行解答即可； （2）根据角平分线的定义以及角之间的和差关系列方程可求出答案． 【解答】解：（1）∠AOB＝∠NOC，理由如下： ∵∠BON：∠NOC＝3：1， ∴∠NOC：∠BOC＝1：4， 又∵∠AOB：∠BOC＝1：4， ∴∠AOB＝∠NOC， 故答案为：＝； （2）由（1）可得∠AOB＝∠NOC， 设∠NOC＝α，则∠AOB＝α，∠BON＝3α， ∵OM平分∠AOB， ∴∠BOM∠AOBα， ∴∠MON＝∠BOM+∠BON＝91°， 即α+3α＝91°， 解得α＝26°， ∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝α+4α＝5×26°＝130°， 答：∠AOC＝130°． 【点评】本题考查角平分线，理解角平分线的定义，掌握图形中各个角之间的关系是正确解答的前提． 10．（2023秋•娄底期末）如图，点O在直线AB上，∠COD＝60°，∠AOE＝2∠DOE． （1）若∠BOD＝60°，求∠COE的度数； （2）试猜想∠BOD和∠COE的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）根据补角的定义可得∠AOD＝120°，再根据角平分线的定义可得答案； （2）设∠COE＝x，则∠DOE＝60﹣x，再利用AOE＝2∠DOE，然后整理可得结论． 【解答】解：（1）∵∠BOD＝60°， ∴∠AOD＝120°， ∵∠AOE＝2∠DOE， ∴∠DOE∠AOD＝40°， ∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝60°﹣40°＝20°； （2）∠BOD＝3∠COE， 设∠COE＝x，则∠DOE＝60°﹣x， ∵∠AOE＝2∠DOE， ∴∠AOD＝3∠DOE＝3（60°﹣x）＝180°﹣3x， ∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣（180°﹣3x）＝3x， ∴∠BOD＝3∠COE． 【点评】此题主要考查了邻补角、角平分线的定义，正确把握定义是解题关键． 11．（2023秋•瑶海区校级期末）已知点O为直线AB上一点，∠MON＝90°，在∠MON内部作射线OC，且OC恰好平分∠MOB． （1）若∠CON＝20°，求∠AOM的度数； （2）若∠BON＝2∠NOC，求∠AOM的度数． 【分析】（1）先根据余角的定义求出∠MOC，再根据角平分线的定义求出∠BOM，然后根据∠AOM＝180°﹣∠BOM计算即可； （2）根据角的倍分关系以及角平分线的定义即可求解． 【解答】解：（1）∵∠MON＝90°，∠CON＝20°， ∴∠MOC＝90°﹣∠CON＝70°， ∵OC平分∠MOB， ∴∠BOM＝2∠MOC＝140°， ∴∠AOM＝180°﹣∠BOM＝40°； （2）∵∠BON＝2∠NOC，OC平分∠MOB， ∴∠MOC＝∠BOC＝3∠NOC， ∵∠MOC+∠NOC＝∠MON＝90°， ∴3∠NOC+∠NOC＝90°， ∴4∠NOC＝90°， ∴∠BON＝2∠NOC＝45°， ∴∠AOM＝180°﹣∠MON﹣∠BON＝180°﹣90°﹣45°＝45°． 【点评】本题考查角平分线的意义、互补、互余的意义，正确表示各个角，理清各个角之间的关系是得出正确结论的关键． 12．（2023秋•慈溪市期末）如图，直角三角板DOE的直角顶点O在直线AB上，OD平分∠AOF． （1）比较∠EOF和∠EOB的大小，并说明理由； （2）若OF平分∠AOE，求∠BOE的度数． 【分析】（1）先说明∠AOD+∠EOB＝90°，再说明∠AOD＝∠FOD，从而得出∠FOD+∠EOB＝90°，再根据∠FOD+∠EOF＝90°，即可得到∠EOB＝∠EOF； （2）设∠AOD＝x°，则∠DOF＝x°，∠EOF＝90°﹣x°，列方程即可求得． 【解答】解：（1）∠EOB＝∠EOF；理由如下： ∵∠DOE＝90°， ∴∠AOD+∠EOB＝180°﹣∠DOE＝90°， ∵OD平分∠AOF， ∴∠AOD＝∠FOD， ∴∠FOD+∠EOB＝90°， ∵∠FOD+∠EOF＝90°， ∵∠EOB＝∠EOF． （2）设∠AOD＝x°， ∵OD平分∠AOF， ∴∠DOF＝x°， ∵∠DOE＝90°， ∴∠EOF＝90°﹣x°， ∵OF平分∠AOE， ∴∠EOF＝∠AOF， ∴x°+x°＝90°﹣x°， ∴x＝30， ∴∠BOE＝180°﹣∠AOD﹣∠DOE＝180°﹣30﹣90°＝60°． 【点评】本题主要考查了角的比较大小和角平分线的性质，解决此题的关键是熟练运用角平分线的性质及角的和差列出方程式． 题型二 提升题 13．（2023秋•福田区校级期末）如图，点A，O，B在同一条直线上，OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC． （1）求∠DOE的度数； （2）如果∠COD＝65°，求∠AOE的度数； （3）如果∠COD：∠COE＝3：2，求∠AOE的度数． 【分析】（1）先利用角平分线的定义得到∠COD∠AOC，∠COE∠BOC，所以∠DOE∠AOB，然后根据平角的定义求解； （2）先利用角平分线的定义得到∠AOD＝∠COD＝65°，然后计算∠AOD+∠DOE即可； （3）设∠COD＝3x，∠COE＝2x，然后利用∠COD+∠COE＝90°可计算出x＝18°，从而得到∠COD＝54°，则∠AOD＝54°，然后计算∠AOD+∠DOE． 【解答】解：（1）∵OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC， ∴∠COD∠AOC，∠COE∠BOC， ∴∠COD+∠COE（∠AOC+∠BOC）， 即∠DOE∠AOB180°＝90°； （2）∵∠AOD＝∠COD＝65°， ∴∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝65°+90°＝155°； （3）∵∠COD：∠COE＝3：2， ∴设∠COD＝3x，∠COE＝2x， ∵∠COD+∠COE＝90°， ∴3x+2x＝90°， 解得x＝18°， ∴∠COD＝54°， ∴∠AOD＝54°， ∴∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝54°+90°＝144°． 【点评】本题考查了角的计算：利用角的和、差转化为角的度数的和、差．也考查了角平分线的定义． 14．（2023秋•武昌区期末）已知∠AOB＝50°，∠COD＝20°． （1）如图1，若∠AOD＝80°，∠COD在OB的左侧，则∠BOC＝　 　； （2）如图2，OP平分∠AOD，OQ平分∠BOC，求∠POQ． 【分析】（1）根据题意作出图形，再根据图形中角度的和差关系可得出结论； （2）根据角平分线的定义及角度的和差关系可得出结论． 【解答】解：（1）如图， ∵∠AOD＝80°，∠AOB＝50°， ∴∠BOD＝30°， ∵∠COD＝20°， ∴∠BOC＝10°； 故答案为：10°； （2）∵OP平分∠AOD， ∴∠DOP∠AOD（∠AOB+∠COD+∠BOC）， ∵OQ平分∠BOC， ∴∠COQ∠BOC， ∵∠AOB＝50°，∠COD＝20°， ∴∠POQ＝∠DOP﹣∠COQ﹣∠COD， （∠AOB+∠COD+∠BOC）∠BOC﹣∠COD （∠AOB﹣∠COD） ＝15°． 【点评】本题主要考查了角平分线的性质及角的计算，合理利用角平分线的性质进行计算是解决本题的关键． 15．（2023秋•彭水县期末）已知∠AOB内部有三条射线OD，OC，OE且在同一个平面内，∠AOC＝2∠BOC，射线OD始终在射线OE的上方，∠AOB＝108°，∠DOE＝36°． （1）如图1，当OE平分∠BOC时，求∠AOD的度数； （2）如图2，若∠AOD＝5∠COE时，求∠BOE的度数． 【分析】（1）根据题意，求得∠BOC、∠AOC的度数，再根据角平分线的定义，求得∠COE的度数，从而得到∠DOC的度数，即可求解； （2）分两种情况，OE在OC的上方或OE在OC的下方，分别求解即可． 【解答】解：（1）∵∠AOC＝2∠BOC，∠AOB＝108°， ∴，， ∵OE平分∠BOC， ∴， ∴∠DOC＝∠DOE﹣∠COE＝18°， ∴∠AOD＝∠AOC﹣∠DOC＝54°； （2）由（1）可得：∠AOC＝72°，∠BOC＝36°， 设∠BOE＝x°， 当OE在OC的上方时，∠COE＝（x﹣36）°， ∴∠COD＝∠DOE+∠COE＝x°， ∴∠AOD＝∠AOC﹣∠DOC＝（72﹣x）°， 由∠AOD＝5∠COE可得（72﹣x）°＝5×（x﹣36）°， 解得x＝42，即∠BOE＝42°； 当OE在OC的下方时，则∠COE＝（36﹣x）°， ∴∠COD＝∠DOE﹣∠COE＝x°， ∴∠AOD＝∠AOC﹣∠DOC＝（72﹣x）°， 由∠AOD＝5∠COE可得（72﹣x）°＝5×（36﹣x）°， 解得x＝27，即∠BOE＝27°； 综上，∠BOE的度数为42°或27°． 【点评】此题考查了角的和差关系，角平分线的定义，解题的关键是根据题意，找到角的和差关系，学会利用分类讨论的思想求解问题． 16．（2023秋•沙坪坝区校级期末）如图1，已知∠AOC＝160°，OB是∠AOC内的射线，且∠AOB∠BOC，射线OD、OE将∠AOC分割，使得∠AOD：∠BOD：∠COE＝1：2：3． （1）求∠DOE． （2）如图2，作∠BOD，∠EOC的平分线OM，ON．求∠MON的值． 【分析】（1）根据已知易得∠AOB∠AOC＝60°，∠BOC∠AOC＝100°，再根据∠AOD：∠BOD：∠COE＝1：2：3，然后求出∠AOD＝20°，∠BOD＝40°，∠COE＝60°，从而利用角的和差关系，进行计算即可解答； （2）利用角平分线的定义和（1）的结论可得∠DOM∠BOD＝20°，∠CON∠COE＝30°，然后利用角的和差关系，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）∵∠AOC＝160°，∠AOB∠BOC， ∴∠AOB∠AOC＝60°，∠BOC∠AOC＝100°， ∵∠AOD：∠BOD：∠COE＝1：2：3， ∴∠AOD∠AOB＝20°，∠BOD∠AOB＝40°， ∴∠COE＝3∠AOD＝60°， ∴∠DOE＝∠AOC﹣∠AOD﹣∠COE＝160°﹣20°﹣60°＝80°， ∴∠DOE的度数为80°； （2）∵OM平分∠BOD， ∴∠DOM∠BOD＝20°， ∵ON平分∠COE， ∴∠CON∠COE＝30°， ∴∠MON＝∠AOC﹣∠CON﹣∠AOD﹣∠DOM ＝160°﹣30°﹣20°﹣20° ＝90°， ∴∠MON的度数为90°． 【点评】本题考查了角的计算，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 17．（2023秋•仙居县期末）已知：两块三角尺（直角三角形ABC和直角三角形ADE，∠BAC＝45°，∠DAE＝30°）按如图1摆放，点E、A、B在同一条直线上，AM、AN分别平分∠BAE和∠CAD． （1）求∠DAC的度数； （2）求∠MAN的度数； （3）将三角尺ADE绕点A按顺时针方向转动至如图2的位置，在转动过程中，∠MAN的度数是否发生变化？如果不变化，请求出∠MAN的度数；如果变化，请说明理由． 【分析】（1）根据题意，数形结合，利用平角定义求解即可得到答案； （2）根据题意，利用角平分线性质，数形结合，用已知角表示出所求角即可得到答案； （3）根据题意，设∠NAD＝x°，利用角平分线性质，数形结合，用已知角表示出所求角即可得到答案． 【解答】解：（1）∵E、A、B在同一条直线上， ∴∠BAE＝180°， ∵∠BAC＝45°，∠DAE＝30°， ∴∠DAC＝180°﹣∠BAC﹣∠DAE＝105°； （2）∵∠BAE＝180°，AM平分∠BAE， ∴， 由（1）知∠DAC＝105°， ∵AN平分∠CAD， ∴， ∴∠MAN＝∠MAE﹣∠DAE﹣∠NAD＝90°﹣30°﹣52.5°＝7.5°； （3）∠MAN的度数在转动过程中不会变化， 设∠NAD＝x°， ∵AN平分∠CAD，则∠CAD＝2x°，∠BAE＝∠EAD+∠DAC+∠CAB＝30°+2x°+45°＝（75+2x）°， ∵AM平分∠BAE， ∴， ∴∠MAN＝∠MAE﹣∠DAE﹣∠NAD＝（37.5+x）°﹣30°﹣x°＝7.5°． 【点评】本题考查求角度，涉及平角定义、角平分线性质和角度和差倍分关系，数形结合，准确表示出角度之间的和差倍分关系是解决问题的关键． 18．（2023秋•渝北区期末）OC，OD，OE在∠AOB内，∠AOC＝2∠BOC，∠AOB＝108°，∠DOE＝66°． （1）如图1，当OE为∠BOC的角平分线时，求∠AOD的度数； （2）如图2，当，求∠BOE的度数． 【分析】（1）根据题意，求得∠BOC、∠AOC的度数，再根据角平分线的定义，求得∠COE的度数，从而得到∠DOC的度数，即可求解； （2）设∠BOE＝x，分别表示出∠AOD和∠COE，根据已知等式列出方程，解之即可． 【解答】解：（1）∵∠AOC＝2∠BOC，∠AOB＝108°， ∴，， ∵OE平分∠BOC， ∴， ∴∠DOC＝∠DOE﹣∠COE＝48°， ∴∠AOD＝∠AOC﹣∠DOC＝24°； （2）由（1）可得：∠AOC＝72°，∠BOC＝36°， 设∠BOE＝x，则∠COE＝36°﹣x， ∴∠COD＝∠DOE﹣∠COE＝30°+x， ∴∠AOD＝∠AOC﹣∠COD＝42°﹣x， 由可得， 解得x＝27，即∠BOE＝27°． 【点评】此题考查了角的和差关系，角平分线的定义，解题的关键是根据题意，找到角的和差关系，学会利用分类讨论的思想求解问题． 19．（2023秋•汉中期末）如图，已知∠AOB＝120°，从∠AOB的顶点O引出一条射线OC，射线OC在∠AOB的内部，将射线OC绕点O逆时针旋转到OD，且∠COD＝60°． （1）如图①，若∠AOD＝90°，试判断∠AOC与∠BOD之间的大小关系并说明理由； （2）如图②，作射线OE，射线OE为∠AOD的平分线，设∠AOC＝α，当0°＜α＜60°时，若射线OC恰好平分∠AOE，求∠BOD的度数． 【分析】（1）根据∠AOC＝∠AOD﹣∠COD＝30°，∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝30°，即可确定两个角的大小； （2）根据角平分线的定义可得∠AOE＝2∠AOC＝2α，∠COD＝∠COE+∠DOE＝3α，根据∠COD＝60°列方程，求出α的值，再根据∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD计算即可． 【解答】解：（1）∠AOC＝∠BOD，理由如下： ∵∠COD＝60°，∠AOD＝90°， ∴∠AOC＝∠AOD﹣∠COD＝30°， 又∵∠AOB＝120° ∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝30°， ∴∠BOD＝∠AOC； （2）∵OC恰好平分∠AOE， ∴∠AOC＝∠EOC＝α， ∴∠AOE＝2∠AOC＝2α， ∵OE为∠AOC的平分线， ∴∠DOE＝∠AOE＝2α， ∴∠COD＝∠COE+∠DOE＝3α， ∵∠COD＝60°， ∴3α＝60°， ∴α＝20°， ∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝120°﹣4α＝40°． 【点评】本题考查了角平分线的定义，角的计算，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． 20．（2024春•莱州市期末）新定义：若∠α的度数是∠β的度数的n倍，则∠α叫做∠β的n倍角． （1）若∠M＝10°21′，请直接写出∠M的4倍角的度数； （2）如图1所示，若∠AOB＝∠BOC＝∠COD，请直接写出图中∠COD的2倍角； （3）如图2所示，若∠AOC是∠AOB的3倍角，∠COD是∠AOB的4倍角，且∠BOD＝90°，求∠BOC的度数． 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）根据题意得出∠AOC＝2∠AOB，∠BOD＝2∠AOB即可； （3）设∠AOB＝α，则∠AOC＝3α，∠COD＝4α，得到∠BOD＝6α，∠BOC＝2α；根据∠BOD＝90°，求得α＝15°，于是结论可得． 【解答】解：（1）∵∠M＝10°21′， ∴4∠M＝4×10°21′＝41°24′； （2）∵∠AOB＝∠BOC＝∠COD， ∴∠AOC＝2∠COD，∠BOD＝2∠COD； ∴图中∠COD的所有2倍角有：∠AOC，∠BOD； （3）∵∠AOC是∠AOB的3倍角，∠COD是∠AOB的4倍角， 设∠AOB＝α， 则∠AOC＝3α，∠COD＝4α， ∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝7α，∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝2α， ∴∠BOD＝∠AOD﹣∠AOB＝6α， ∵∠BOD＝90°， ∴6α＝90°， ∴α＝15°， ∴∠BOC＝2α＝30°． 【点评】此题主要考查了角的计算，度分秒的换算，准确理解并熟练应用题干中的定义是解题的关键． 21．（2023秋•庄河市期末）如图，点O为直线上AB一点，∠COD＝90°，∠BOD＝18°，若OE是∠BOC的平分线， （1）求∠BOE的度数； （2）若点F是平面内一点，连接射线OF，且，求∠COF的度数． 【分析】（1）先利用角的和差关系可得∠BOC＝108°，然后利用角平分线的定义进行计算，即可解答； （2）分两种情况：当射线OF在OA的上方时；当射线OF在OA的下方时；然后分别进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）∵∠COD＝90°，∠BOD＝18°， ∴∠BOC＝∠COD+∠BOD＝108°， ∵OE是∠BOC的平分线， ∴∠BOE∠BOC＝54°， ∴∠BOE的度数为54°； （2）分两种情况： 当射线OF在OA的上方时，如图： ∵∠BOC＝108°， ∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝72°， ∵， ∴∠AOF72°＝24°， ∴∠COF＝∠AOC﹣∠AOF＝72°﹣24°＝48°； 当射线OF在OA的下方时，如图： ∵∠BOC＝108°， ∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝72°， ∵， ∴∠AOF72°＝24°， ∴∠COF＝∠AOC+∠AOF＝72°+24°＝96°； 综上所述：∠COF的度数为48°或96°． 【点评】本题考查了角的计算，角平分线的定义，分两种情况讨论是解题的关键． 22．（2023秋•庐阳区校级期末）若两个角的和为60°，我们称这两个角互为“幸运角”，如图1，2所示：已知∠AOB与∠AOC互为“幸运角”，∠AOB与∠AOD互补，若∠BOC＝10°． （1）求∠AOB的度数． （2）若如图2所示，射线OM在∠AOD内部，且满足∠DOM＝4∠AOM，求∠COM的度数． 【分析】（1）已知∠AOB与∠AOC互为“幸运角”，即∠AOB+∠AOC＝60°，因为∠AOC＝∠AOB+∠BOC，所以∠BOC+2∠AOB＝60°，已知∠BOC＝10°，可得∠AOB的度数； （2）已知∠AOB与∠AOD互补，可得∠AOD的度数，因为∠DOM＝4∠AOM，∠DOM+∠AOM＝∠AOD，可得∠AOM、∠DOM的度数，又因∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝35°，所以∠COM＝∠AOC﹣∠AOM． 【解答】解：（1）∵∠AOB与∠AOC互为“幸运角”， ∴∠AOB+∠AOC＝60°， ∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC， ∴∠BOC+2∠AOB＝60°， ∵∠BOC＝10°， ∴∠AOB＝25°； （2）∵∠AOB与∠AOD互补， ∴∠AOD＝155°， ∵∠DOM＝4∠AOM，∠DOM+∠AOM＝∠AOD， ∴5∠AOM＝∠AOD＝155°， ∴∠AOM＝31°， ∴∠DOM＝124°， ∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝35°， ∴∠COM＝∠AOC﹣∠AOM＝4°． 【点评】本题考查了补角，关键是掌握补角的定义． 23．（2023秋•黄陂区校级期末）将三角板COD的直角顶点O放置在直线AB上． （1）如图，且∠AOC＝40°射线OE平分∠BOC，则∠BOE的大小为 　 　； （2）在（1）的条件下，射线OE平分∠BOC，射线OF平分∠BOD，求∠EOF的度数； （3）若将三角板COD绕点O旋转，射线OE平分∠BOC，射线OF平分∠BOD．请写出∠COD与∠EOF度数的等量关系：　 ． 【分析】（1）根据角平分线的定义以及平角的定义进行计算即可； （2）由平角的定义，角平分线的定义以及角的和差关系即可得出答案； （3）根据角平分线的定义以及图形中角的和差关系进行计算即可． 【解答】解：（1）∵∠AOC＝40°， ∴∠BOC＝180°﹣40°＝140°， ∵OE平分∠BOC， ∴∠BOE＝∠COE∠BOC＝70°， 故答案为：70°； （2）∵∠AOC＝40°，∠COD＝90°， ∴∠BOD＝180°﹣40°﹣90°＝50°， ∵OE平分∠BOC， ∴∠BOE＝∠COE∠BOC＝70°， ∵OF平分∠BOD， ∴∠BOF＝∠DOF∠BOD＝25°， ∴∠EOF＝∠BOE﹣∠BOF ＝70°﹣25° ＝45°， 答：∠EOF＝45°； （3）∵射线OE平分∠BOC，射线OF平分∠BOD． ∴∠BOE＝∠COE∠BOC＝70°，∠BOF＝∠DOF∠BOD， ∴∠EOF＝∠BOE﹣∠BOF ∠BOC∠BOD （∠COD+∠BOD）∠BOD ∠COD， 故答案为：∠EOF∠COD． 【点评】本题考查角平分线的定义以及角的计算，掌握角平分线的定义以及平角的定义是正确解答的前提． 题型三 压轴题 24．（2023秋•赣县区期末）已知∠AOB＝30°，∠BOP＝m∠AOP（m＞0，且OP不与OA重合）． （1）当m＝1时，若射线OP在∠AOB内，请用量角器在图1中画出射线OP，则∠AOP的度数为 　　； （2）当m＝2时，OQ平分∠AOP，求∠BOQ的度数． 【分析】（1）∠BOP＝m∠AOP，当m＝1时，即∠BOP＝∠AOP，OP是角平分线，计算求值即可； （2）∠BOP＝m∠AOP，当m＝2时，即∠BOP＝2∠AOP，OQ平分∠AOP，计算求值即可． 【解答】解：（1）如图所示： ∵∠BOP＝m∠AOP， ∴当m＝1时，∠BOP＝∠AOP， ∴OP是角平分线， ∵∠AOB＝30°， ∴∠AOP∠AOB30°＝15°． 故答案为：15°； （2）∵∠BOP＝m∠AOP， ∴当m＝2时，∠BOP＝2∠AOP， ①当点P在∠AOB内部时， ∵OQ平分∠AOP， ∴∠POQ∠AOP， ∴∠BOQ＝∠BOP+∠POQ＝2∠AOP∠AOP∠AOP， ∵∠AOP+∠BOP＝∠AOB＝30°，∠BOP＝2∠AOP， ∴3∠AOP＝30°， ∴∠AOP＝10°， ∴∠BOQ∠AOP10°＝25°； ②当点P在∠AOB外部时， ∵∠BOP＝2∠AOP， ∴∠AOP＝∠AOB＝30°， ∵OQ平分∠AOP， ∴∠POQ∠AOP30°＝15°， ∴∠BOQ＝∠POQ+∠AOB＝15°+30°＝45°； ∴∠BOQ的度数为25°或45°． 【点评】本题考查了角的计算，熟练掌握角平分线的性质是解本题的关键，综合性较强，难度适中． 25．（2023秋•斗门区期末）如图①，OC是∠AOE内部的一条射线，OB、OD分别平分∠AOC，∠EOC． （1）若∠AOE＝140°，∠COD＝30°，求∠BOC＝　 　； （2）∠AOE与∠BOD的大小有什么关系，写出你的结论并说明理由． （3）如图②，如果OC是∠AOE外部的一条射线，OB、OD分别平分∠AOC，∠EOC．那么（2）中∠AOE与∠BOD的大小关系还成立吗？请说明理由． 【分析】（1）由角平分线的定义得出，进而即可求得∠BOC； （2）由角平分线的定义得出，即∠AOE＝2∠BOD； （3）由角平分线的定义得出得出，根据∠AOE＝∠EOC﹣∠AOC，，进而即可求解． 【解答】解：（1）∵OB、OD分别平分∠AOC，∠EOC， ∴， ∵∠AOE＝140°， ∴， ∵∠COD＝30°， ∴∠BOC＝40°； 故答案为：40°． （2）∵OB、OD分别平分∠AOC，∠EOC． ∴， ∴，即， 即∠AOE＝2∠BOD， （3）∠AOE＝2∠BOD成立，理由如下， ∵OB、OD分别平分∠AOC，∠EOC． ∴， ∴∠AOE＝∠EOC﹣∠AOC，， ∴∠AOE＝2∠BOD． 【点评】本题考查了角平分线，灵活利用角平分线的定义是解题的关键． 26．（2023秋•海陵区校级期末）已知∠AOB＝2∠COD＝140°，OE平分∠AOD． （1）如图①，若∠COE＝10°，求∠AOC的度数； （2）将∠COD绕顶点O按逆时针方向旋转至如图②的位置，∠BOD和∠COE有怎样的数量关系？请说明理由； （3）将∠COD绕顶点O按逆时针方向旋转至如图③的位置，（2）中的关系是否成立？请说明理由． 【分析】（1）利用角的平分线的定义和角的和差求解； （2）设∠AOD＝x°，再利用角的平分线的定义和角的和差求解； （3）设∠AOD＝x°，再利用角的平分线的定义和角的和差求解； 【解答】解：（1）∵∠AOB＝2∠COD＝140°， ∴∠COD∠AOB＝70°， ∴∠DOE＝∠EOC+∠COD＝80°， ∵OE平分∠AOD， ∠AOE＝∠EOD＝80°， ∠AOC＝∠AOE+∠COE＝90°； （2）2∠COE＝∠BOD；理由如下： 设∠AOD＝x°，则∠AOC＝70°﹣x°，∠BOD＝140°﹣x°， ∵OE平分∠AOD， ∴∠AOE＝∠EODx°， ∴∠COE＝∠AOC+∠AOE＝70°﹣x°x°＝70°x°， ∴2∠COE＝140°﹣x°＝∠BOD； （3）不成立，理由如下： 设∠AOD＝x°，则∠AOC＝70°+x°，∠BOD＝360°﹣（140°+x°）＝220°﹣x°， ∵OE平分∠AOD，∴∠AOE＝∠EODx°， ∴∠COE＝∠AOC﹣∠AOE＝70°+x°x°＝70°x°， ∴2∠COE+∠BOD＝140°+x°+220°﹣x°＝360°． 【点评】本题考查了角的平分线的定义及角的和差，理解角的和差是解题的关键． 27．（2023秋•思明区校级期末）如图，点M，O，N在同一条直线上，将一直角三角板的60°锐角顶点放在点O处，一边OA在射线OM上，另一边OB在直线MN的上方．OC平分∠BON，OD平分∠CON． （1）求∠BOD的度数； （2）把三角板绕点O沿逆时针方向旋转，当OB转到射线OM上时停止，若在旋转过程中，∠AOM＝（x﹣120）°，同时在∠BOC内部有一条射线OE，使得，试探究在旋转过程中，射线OE始终是哪个角的平分线？ 【分析】（1）先计算出∠BON＝120°，再根据角平分线的定义求出∠CON的度数，接着计算出∠DON的度数，然后计算∠BON﹣∠DON即可； （2）先计算出∠MOB＝（180﹣x）°，则利用平角的定义得到∠BON＝x°，再根据角平分线的定义得到∠BOCx°，接着计算出∠COE＝（90x）°，然后利用∠MOB+∠BOE计算出∠MOE＝（90x）°，从而得到∠MOE＝∠COE，于是判断射线OE始终是∠MOC的平分线． 【解答】解：（1）根据题意得∠AOB＝60°， ∴∠BON＝120°， ∵OC平分∠BON， ∴∠BOC＝∠NOC∠BON＝60°， ∵OD平分∠CON， ∴∠DON∠CON＝30°， ∴∠BOD＝∠BON﹣∠DON＝120°﹣30°＝90°； （2）如图， ∵∠AOM＝（x﹣120）°，∠AOB＝60°， ∴∠MOB＝60°﹣（x﹣120）°＝（180﹣x）°， ∴∠BON＝180°﹣∠MOB＝x°， ∵OC平分∠BON， ∴∠BOC∠BONx°， ∵∠BOE＝（x﹣90）°， ∴∠COE＝∠BOC﹣∠BOEx°﹣（x﹣90）°＝（90x）°， ∵∠MOE＝∠MOB+∠BOE＝（180﹣x）°+（x﹣90）°＝（90x）°， ∴∠MOE＝∠COE， ∴OE平分∠MOC， 即在旋转过程中，射线OE始终是∠MOC的平分线． 【点评】本题考查了角平分线的定义和角的计算，灵活运用代数的方法进行角度的转换是解决问题的关键． 28．（2023秋•宝安区期末）将一副三角板如图1放置（∠AOB＝90°，∠A＝45°，∠OCD＝90°，∠COD＝30°），在∠BOD、∠AOC（∠BOD≤180°、∠AOC≤180°）内作射线OM、ON，且∠MOB＝2∠DOM，∠NOA＝2∠NOC，将三角板OCD绕着点O顺时针旋转． （1）如图1，当点O、A、C在一条直线上时，∠MON＝　 　； （2）如图2，若旋转角为α（0°＜α＜90°），∠MON的度数是否会发生改变？若不变，求其值；若变化，说明理由． （3）如图3，当三角板OCD旋转到∠AOB内部时，求∠MON的值． 【分析】（1）先根据周角可得：∠BOD+∠AOC＝240°，由∠MOB＝2∠DOM，∠NOA＝2∠NOC可得：∠DOM+∠CON＝80°，最后由角的和可得结论； （2）同理可得结论； （3）根据角的和差，∠COD＝30°可得结论． 【解答】解：（1）如图1，∵∠AOB＝90°，∠COD＝30°， ∴∠BOD+∠AOC＝360°﹣90°﹣30°＝240°， ∵∠MOB＝2∠DOM，∠NOA＝2∠NOC， ∴∠DOM+∠CON240°＝80°， ∴∠MON＝∠DOM+∠COD+∠CON＝80°+30°＝110°； 故答案为：110°； （2）如图2，∠MON的度数不会发生改变， 由（1）可知：∠DOM+∠CON＝80°， ∴∠MON＝∠DOM+∠COD+∠CON＝80°+30°＝110°； （3）∵∠MON＝∠AOB﹣∠BOM﹣∠AON ＝90°﹣2∠DOM﹣2∠CON ＝90°﹣2（∠DOM+∠CON） ＝90°﹣2（30°+∠MON）， ∴3∠MON＝30°， ∴∠MON＝10°． 【点评】本题考查的是角的计算，角的和与差的运用，正确的读图确定各角的关系是解题的关键，这是一道难度较大的题目． 29．（2023秋•东莞市期末）如图甲，已知线段AB＝20cm，CD＝4cm，线段CD在线段AB上运动，E，F分别是AC，BD的中点． （1）若AC＝6cm，则EF＝　 　cm； （2）当线段CD在线段AB上运动时，试判断EF的长度是否发生变化？如果不变，请求出EF的长度，如果变化，请说明理由； （3）①对于角，也有和线段类似的规律．如图乙，已知∠COD在∠AOB内部转动，OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD，若∠AOB＝150°，∠COD＝30°，求∠EOF； ②请你猜想∠EOF，∠AOB和∠COD会有怎样的数量关系，直接写出你的结论． 【分析】（1）依据AB＝20cm，CD＝4cm，AC＝6cm可得DB＝10cm，再根据E、F分别是AC、BD的中点，即可得到CEAC＝3cm，DFDB＝5cm，进而得出EF＝3+4+5＝12（cm）； （2）依据E、F分别是AC、BD的中点，可得ECAC，DFDB，再根据EF＝EC+CD+DF进行计算，即可得到EF（20+4）＝12（cm）； （3）①依据OE、OF分别平分∠AOC在∠BOD，可得∠COE∠AOC，∠DOF∠BOD，再依据∠EOF＝∠COE+∠COD+∠DOF进行计算，即可得到结果；②的证明和①一样． 【解答】解：（1）∵AB＝20cm，CD＝4cm，AC＝6cm， ∴DB＝10cm， ∵E、F分别是AC、BD的中点， ∴CEAC＝3cm，DFDB＝5cm， ∴EF＝3+4+5＝12（cm）． 故答案为：12． （2）EF的长度不变．理由： ∵E、F分别是AC、BD的中点， ∴ECAC，DFDB， ∴EF＝EC+CD+DE ． ∵AB＝20cm，CD＝4cm， ∴EF（cm）． （3）①：∵OE、OF分别平分∠AOC和∠BOD， ∴∠COE∠AOC，∠DOF∠BOD， ∴∠EOF＝∠EOC+∠COD+∠DOF ． ②；过程同①． 【点评】本题主要考查角平分线、线段的中点的定义及线段的和差关系的运用，关键在于认真的进行计算，熟练运用相关的性质定理． 30．（2023秋•于洪区期末）【提出问题】 已知点O是直线AB上一点，∠COD＝90°，射线OE是∠AOD的平分线． （1）如图1，若∠BOD＝110°，求∠COE的度数． 请补充完成下列解答过程： 解：∵∠AOB＝180°，∠BOD＝110°， ∴∠AOD＝　 °． ∵∠COD＝90°， ∴∠AOC＝∠COD﹣∠AOD＝　 　°． ∵OE是∠AOD的平分线， ∴∠AOE＝　 　∠AOD＝　 　°． ∴∠COE＝∠AOC+　 　＝　 °． 【类比分析】 （2）如图2，设∠COE＝α，求∠BOD的度数（用含α的代数式表示）． 【变式探索】 （3）如图3，若3∠COE﹣2∠BOD＝78°，求∠COE的度数． 【分析】（1）根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论； （2）根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论； （3）根据题意列方程即可得到结论． 【解答】解：（1）∵∠AOB＝180°，∠BOD＝110°， ∴∠AOD＝70°． ∵∠COD＝90°， ∴∠AOC＝∠COD﹣∠AOD＝20°． ∵OE是∠AOD的平分线， ∴∠AOE∠AOD＝35°． ∴∠COE＝∠AOC+∠AOE＝55°． 故答案为：70，20，，35，∠AOE，55． （2）∵∠COD＝90°，∠COE＝α， ∴∠EOD＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣α， ∵OEOE是∠AOD的平分线， ∴∠AOD＝2∠EOD＝2（90°﹣α）＝180°﹣2α， ∵∠AOB＝180°， ∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝180°﹣（180°﹣2α）＝2α， （3）设∠DOE＝x°，根据题意得：3（x+90）﹣2（180﹣2x）＝78， 解得： x ＝24， ∴∠COE＝114°． 【点评】本题考查了角平分线的定义、平角的定义及角的和与差，能根据图形确定所求角和已知各角的关系是解此题的关键． 31．（2023秋•渑池县期末）如图．已知∠MON＝140°，∠AOC与∠BOC互余，OC平分 ∠MOB． （1）在图①中．若∠AOC＝40°，则∠BOC＝　 　°．∠NOB＝　 　°； （2）在图①中，设∠AOC＝α，∠NOB＝β，请探究α与β之间的数量关系（必须写出推理的主要过程，但每一步后面不必写出理由）； （3）在图①中，当∠AOB绕着点O顺时针转动到如图②的位置时，（2）中α与β之间的数量关系是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出此时α与β之间的数量关系． 【分析】（1）应用余角的定义进行计算及角度的计算即可得出答案； （2）根据余角的定义可得∠AOC+∠BOC＝90°，即可得出∠BOC＝90°﹣∠AOC＝90°﹣α，根据角平分线的定义可得∠BOM＝2∠BOC＝2×（90°﹣α）＝180°﹣2α，由∠NOB＝∠MON﹣∠BOM＝140°﹣（180°﹣2α），代入计算即可得出答案； （3）根据余角的定义可得∠AOC+∠BOC＝90°，即可得出∠BOC＝90°﹣∠AOC＝90°﹣α，根据角平分线的定义可得∠BOM＝2∠BOC＝2×（90°﹣α）＝180°﹣2α，由∠NOB+∠MON＝∠BOM，代入计算即可得出答案． 【解答】解：（1）根据题意可得， ∵∠AOC+∠BOC＝90°， ∴∠BOC＝90°﹣∠AOC＝90°﹣40°＝50°， ∵OC平分∠MOB， ∴∠BOM＝2∠BOC＝2×50°＝100°， ∴∠NOB＝∠MON﹣∠BOM＝140°﹣100°＝40°； 故答案为：50，40； （2）∵∠AOC+∠BOC＝90°， ∴∠BOC＝90°﹣∠AOC＝90°﹣α， ∵OC平分∠MOB， ∴∠BOM＝2∠BOC＝2×（90°﹣α）＝180°﹣2α， ∴∠NOB＝∠MON﹣∠BOM＝140°﹣（180°﹣2α）， ∴β＝140°﹣180°+2α， ∴β＝2α﹣40°； （3）不成立． ∵∠AOC+∠BOC＝90°， ∴∠BOC＝90°﹣∠AOC＝90°﹣α， ∵OC平分∠MOB， ∴∠BOM＝2∠BOC＝2×（90°﹣α）＝180°﹣2α， ∴∠NOB+∠MON＝∠BOM， ∴β+140＝180°﹣2α， ∴β+2α＝40°． 【点评】本题主要考查了余角和补角及角平分线定义，熟练掌握余角和补角及角平分线定义进行求解是解决本题的关键． 32．（2023秋•青岛期末）如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线． （1）如图1，当∠AOB是直角，∠BOC＝60°时，求∠MON的度数是多少？ （2）如图2，当∠AOB＝α，∠BOC＝60°时，尝试发现∠MON与α的数量关系． （3）如图3，当∠AOB＝α，∠BOC＝β时，猜想：∠MON与α、β有数量关系吗？直接写出结论即可． 【分析】（1）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC求出即可； （2）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC求出即可； （3）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC求出即可． 【解答】解：（1）如图1，∵∠AOB＝90°，∠BOC＝60°， ∴∠AOC＝90°+60°＝150°， ∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC， ∴∠MOC∠AOC＝75°，∠NOC∠BOC＝30°， ∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝75°﹣30°＝45°． （2）如图2，∠MONα， 理由是：∵∠AOB＝α，∠BOC＝60°， ∴∠AOC＝α+60°， ∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC， ∴∠MOC∠AOCα+30°，∠NOC∠BOC＝30°， ∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOCα． （3）如图3，∠MONα，与β的大小无关． 理由：∵∠AOB＝α，∠BOC＝β， ∴∠AOC＝α+β． ∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线， ∴∠MOC∠AOC（α+β）， ∠NOC∠BOCβ， ∴∠AON＝∠AOC﹣∠NOC＝α+ββ＝αβ． ∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC （α+β）βα， 即∠MONα． 【点评】本题考查了角平分线定义和角的有关计算，关键是求出∠AOC、∠MOC、∠NOC的度数和得出∠MON＝∠MOC﹣∠NOC． 33．（2024春•高青县期末）【实践活动】 如图1，将一副三角板的直角顶点重合摆放． （1）∠ACE与∠BCD的大小关系是∠ACE 　 　∠BCD．（填“＞”“＝”或“＜”） （2）∠ACB与∠DCE之间的数量关系是 　 　． 【拓展探究】 （3）如图2，若∠ACD≠∠BCE，且∠ACD+∠BCE＝180°，探索∠ACB与∠DCE之间的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）依题意得∠ACD＝90°，∠ECB＝90°，进而得∠ACE+∠DCE＝90°，∠DCE+∠BCD＝90°，然后根据同角的余角相等可得出答案； （2）由∠ACD＝90°，∠ECB＝90°得∠ACE+∠DCE＝90°，∠DCE+∠BCD＝90°，则∠ACE+2∠DCE+∠BCD＝180°，然而∠ACB+∠DCE＝∠ACE+2∠DCE+∠BCD＝180°；据此可得∠ACB与∠DCE之间的数量关系； （3）先由∠ACD+∠BCE＝180°得∠ACE+2∠DCE+∠BCD＝180°，进而得∠ACB+∠DCE＝∠ACE+2∠DCE+∠BCD＝180°，据此可得∠ACB与∠DCE之间的数量关系． 【解答】解：（1）依题意得：∠ACD＝90°，∠ECB＝90°， ∴∠ACE+∠DCE＝90°，∠DCE+∠BCD＝90°， ∴∠ACE＝∠BCD． 故答案为：＝． （2）∠ACB与∠DCE之间的数量关系：∠ACB+∠DCE＝180°，理由如下： ∵∠ACD＝90°，∠ECB＝90°， ∴∠ACE+∠DCE＝90°，∠DCE+∠BCD＝90°， ∵∠ACE+∠DCE+∠DCE+∠BCD＝90°+90°， ∴∠ACE+2∠DCE+∠BCD＝180°， 又∵∠ACB＝∠ACE+∠DCE+∠BCD， ∴∠ACB+∠DCE＝∠ACE+∠DCE+∠BCD+∠DCE＝∠ACE+2∠DCE+∠BCD＝180°； （3）∠ACB与∠DCE之间的数量关系是：∠ACB+∠DCE＝180°，理由如下： ∵∠ACD＝∠ACE+∠DCE，∠BCE＝∠DCE+∠BCD， 又∵∠ACD+∠BCE＝180°， ∴∠ACE+∠DCE+∠DCE+∠BCD＝180°， 即：∠ACE+2∠DCE+∠BCD＝180°， ∴∠ACB+∠DCE＝∠ACE+∠DCE+∠BCD+∠DCE＝∠ACE+2∠DCE+∠BCD＝180°． 【点评】此题主要考查了角的计算，同角的余角相等，准确识图，理解同角的余角相等，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． 34．（2023秋•启东市期末）已知：∠AOB和∠COD是直角． （1）如图1，当射线OB在∠COD内部时，则∠AOD和∠BOC之间的关系为 　 ； （2）如图2，当射线OA，射线OB都在∠COD外部时，过点O作射线OE，射线OF，满足，，求∠EOF的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，在平面内是否存在射线OG，使得∠GOF：∠GOE＝4：5，若不存在，请说明理由，若存在，求出∠GOE的度数． 【分析】（1）因为射线OB在∠COD内部，∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD可得； （2）因为射线OA，射线OB都在∠COD外部，可得∠AOD+∠BOC＝180°，因为，，可得∠BOE+∠AOF的度数，又因∠EOF＝∠FOA+∠AOB+∠BOE，可得∠EOF的度数； （3）分射线OG在∠EOF内部、射线OG在∠EOF外部两种情况． 【解答】解：（1）∵射线OB在∠COD内部， ∴∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD＝180°， 故答案为：∠AOD+∠BOC＝180°； （2）∵射线OA，射线OB都在∠COD外部， ∴∠AOD+∠BOC＝180°， ∵，，即∠AOF∠AOD， ∴4∠BOE+4∠AOF＝180°，即∠BOE+∠AOF＝45°， ∵∠AOB＝90°， ∴∠EOF＝∠FOA+∠AOB+∠BOE＝135°； （3）设∠GOF＝4x，则∠GOE＝5x， ①当射线OG在∠EOF内部时， 4x+5x＝135°， 解得：x＝15°， 此时∠GOE＝75°， ②当射线OG在∠EOF外部时， 4x+5x＝360°﹣135°， 解得：x＝25°， 此时∠GOE＝125°， ∴∠GOE＝75°或∠GOE＝125°． 【点评】本题考查了角的计算，关键是注意分类讨论． 35．（2023秋•青羊区校级期末）如图所示，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC． （1）如图1，若∠AOC＝30°，求∠DOE的度数． （2）在图1中，若∠AOC＝α，直接写出∠DOE的度数：　 （用含α的代数式表示）． （3）将图1中的∠COD绕顶点O顺时针开始旋转． ①当∠COD旋转至如图2的位置时，请探究∠AOD与∠BOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； ②过点O的一条射线OF，使得OC恰好平分∠BOF，在图1和图2中分别探究∠AOF与∠DOE的度数之间的关系，请直接写出结论． 【分析】（1）利用平角的定义可得∠BOC＝150°，由角平分线的定义得，则∠DOE＝∠COD﹣∠COE． （2）利用平角的定义可得∠BOC＝180°﹣α，由角平分线的定义得∠BOE＝∠COE∠BOC＝90°，，则∠DOE＝∠COD﹣∠COE． （3）①当∠COD旋转至题图2的位置时，设∠AOC＝β，同理可得∠DOE，则∠AOC＝2∠DOE，即2∠DOE﹣∠AOC＝0，由∠AOD＝360°﹣（∠AOC+∠COD）＝270°﹣∠AOC，2∠BOE＝180°﹣2∠DOE，两式相减即可得到结果； ②在图1中，反向延长OC得到射线 OC'，由对顶角和角平分线的性质易得∠BOF＝2∠AOC，于是∠AOF＝180°﹣∠BOF＝180°﹣2∠AOC，由（2）可知∠AOC＝2∠DOE，进而∠AOF＝180°﹣4∠DOE，即∠AOF+4∠DOE＝180°；在图1中，由角平分线的性质和平角的定义易得∠AOF+2∠BOC＝180°，即2∠BOC＝180°﹣∠AOF，由∠AOC＝2∠DOE知∠AOF+∠FOC＝2∠DOE，于是2∠AOF+2∠BOC＝4∠DOE，将2∠BOC＝180°﹣∠AOF代入上式，化简即可得到结果． 【解答】解：（1）∵∠AOC＝30°， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝150°， ∵OE平分∠BOC， ∴， ∵∠COD是直角，即∠COD＝90°， ∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝15°． （2）∵∠AOC＝α， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣α， ∵OE平分∠BOC， ∴∠BOE＝∠COE∠BOC＝90°， ∵∠COD是直角，即∠COD＝90°， ∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣90°． 故答案为：． （3）①∠AOD﹣2∠BOE＝90°．理由如下： 当∠COD旋转至题图2的位置时， 设∠AOC＝β，则∠BOC＝180°﹣β， ∵OE平分∠BOC， ∴∠BOE＝∠COE∠BOC＝90°β， ∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣90°， ∴∠AOC＝2∠DOE，即2∠DOE﹣∠AOC＝0， ∵∠AOD＝360°﹣（∠AOC+∠COD）＝270°﹣∠AOC， ∵∠BOE＝∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝90°﹣∠DOE， ∴2∠BOE＝180°﹣2∠DOE， ∴∠AOD﹣2∠BOE＝270°﹣∠AOC﹣180°+2∠DOE＝90°； ②在图1中，∠AOF+4∠DOE＝180°．理由如下： 由已知，过点O的一条射线OF，使得OC恰好平分∠BOF，反向延长OC得到射线 OC'，如图， 则OC'平分∠BOF， ∴∠BOC'＝∠FOC'， 又∵∠AOC＝∠BOC′， ∴∠BOF＝2∠AOC， ∴∠AOF＝180°﹣∠BOF＝180°﹣2∠AOC， 由（2）知，若∠AOC＝α，则， ∴∠AOC＝2∠DOE， ∴∠AOF＝180°﹣2∠AOC＝180°﹣4∠DOE，即∠AOF+4∠DOE＝180°； 在图2中，4∠DOE﹣∠AOF＝180°．理由如下： 如图， ∵OC平分∠BOF， ∴， 又∵∠AOF+∠BOF＝180°， ∴∠AOF+2∠BOC＝180°，即2∠BOC＝180°﹣∠AOF， 由①知，∠AOC＝2∠DOE， ∴∠AOF+∠FOC＝2∠DOE， ∴∠AOF+∠BOC＝2∠DOE， ∴2∠AOF+2∠BOC＝4∠DOE， 将2∠BOC＝180°﹣∠AOF代入，得2∠AOF+180°﹣∠AOF＝4∠DOE， 整理得4∠DOE﹣∠AOF＝180°． 【点评】本题主要考查角的运算、角平分线的定义，解题关键是正确运用相关定义，利用角的和差倍分关系进行计算． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$