6.8余角和补角（5大题型题分练）（题型专练）数学新教材浙教版七年级上册

（浙教版）七年级上册数学《第6章 图形的初步知识》 6.8 余角和补角 知识点一 互余和互补的概念 名称 概念 数学语言 图示 互 为 余 角 如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角. 若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互余，∠1是∠2 的余角，∠2也是∠1的余角. 互 为 补 角 如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角. 若∠3+∠4=180°， 则∠3与∠4互补，∠3是∠4 的补角，∠4也是∠3 的补角. 【注意】 （1）两个角互余或互补是两个角之间的数量关系，与它们的位置无关。 （2）若两个角互余，则这两个角一定都是锐角；若两个角互补，则这两个角可能都是直角，也可能一个是锐角，另一个是钝角。 知识点二 余角和补角的性质 、 ◆1、同角（等角）的余角相等. 几何语言：（1）如果∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，那么∠2=∠3；（同角的余角相等） （2）如果∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°，且∠1=∠3，那么∠2=∠4；（等角的余角相等） ◆2、同角（等角）的补角相等 . 几何语言：（1）如果∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°，那么∠2=∠3；（同角的补角相等） （2） 如果∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°，且∠1=∠3，那么∠2=∠4；（等角的补角相等） （3） 知识点三 方向角 ★1、方向角：一般地，方向角是以第一个方向（正南或正北）为角的始边向第二个方向（东或西）转动所形成的角.如图,射线OA 的方向是北偏东30°,射线OB 的方向是南偏西60°. ★2、特殊角的表示：东北方向表示北偏东45°,西北方向表示北偏西45°,东南方向表示南偏东45° ,西南方向表示南偏西45°. 【注意】 方向角通常先写北或南，再写偏东或偏西，如“北偏东30°”一般不写成“东偏北60°”. 题型一 余角的定义及其性质运用 解题技巧提炼 1、余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角． 2、余角的性质：同角（等角）的余角相等． 1．（2024•惠城区二模）已知∠1与∠2互余，∠1＝42°，则∠2的度数为（　　） A．38° B．48° C．58° D．138° 2．（2024秋•裕华区校级期中）如图所示，∠AOB，∠COD都是以O为顶点的直角，能解释∠AOC＝∠BOD的理由是（　　） A．同角的余角相等 B．平角的定义 C．角平分线的定义 D．同角的补角相等 3．（2024秋•裕华区校级期中）已知∠α＝37°，则∠α的余角度数是（　　） A．43° B．53° C．143° D．153° 4．（2023秋•南浔区期末）已知∠1与∠2互余，若∠2＝29°20'，则∠1的度数等于（　　） A．61°40' B．60°80' C．60°40' D．29°20' 5．（2023秋•肥西县月考）若∠α与∠β互余，且∠α＝3∠β，则∠β＝（　　） A．22°30' B．22°50' C．25° D．45° 6．（2024•临邑县模拟）如果一个角是它的余角的一半，则这个角的度数是（　　） A．45° B．30° C．60° D．25° 7．（2024•雁塔区校级模拟）若∠α＝54°32'，则∠α的余角的大小是 　 　． 8．（2024秋•栾城区期中）已知∠α＝60°32'，∠α与∠β互余，则∠β＝ 　 　． 9．（2023春•秦都区期中）如图，已知∠AOE与∠BOE互为余角，∠BOC＝40°，且OE平分∠AOC，求∠BOE的度数． 10．（2023春•钢城区期末）如图，点A，O，B在同一直线上，∠AOC＝120°，OD是∠AOC的平分线，且∠DOE＝90°． （1）求∠BOE的度数； （2）写出图中所有与∠AOD互余的角是 　 　． 11．（2023秋•阳曲县期末）如图（甲），∠AOC和∠BOD都是直角． （1）如果∠DOC＝25°，∠AOB的度数为 　 　． （2）图（甲）中相等的角有 　 　．如果∠DOC≠25°，它们 　 　（填“相等”或“不等”） （3）在图（乙）中利用能够画直角的工具再画一个与∠COB相等的角． 12．（2023秋•五莲县期末）如图，已知点O为直线AB上一点，∠BOC＝110°，∠COD＝90°，OM平分∠AOC． （1）求∠MOD的度数； （2）若∠BOP与∠AOM互余，求∠COP的度数． 题型二 补角的定义及其性质运用 解题技巧提炼 1、补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角． 2、补角的性质：同角（等角）的补角相等． 1．（2023秋•安新县期末）如果∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，则∠3与∠1的关系是（　　） A．∠3＝∠1 B．∠3＝90°+∠1 C．∠3＝90°﹣∠1 D．∠3＝180°﹣∠1 2．（2024秋•邢台期中）已知∠a＝35°30′12″，则它的补角为（　　） A．144°29′48″ B．54°29′48″ C．144°30′48″ D．154°29′48″ 3．（2023秋•朝阳区期末）已知∠α与∠β互为补角，并且∠α的2倍比∠β大30°，则∠α，∠β分别为（　　） A．70°，110° B．40°，50° C．75°，115° D．50°，130° 4．（2024秋•桥西区校级期中）若∠B与∠C互补，∠C＝150°，则∠B＝　 　． 5．（2023秋•玄武区期末）如图，O是直线AB上的一点，OC是一条射线，OD是∠AOC的角平分线，∠COE＝∠BOE，当∠COD与∠BOE互补时，则∠AOC＝　 　°． 6．（2022春•闵行区期末）在平面上，∠AOB和∠AOC有公共的顶点O，且有一条边重合，如果∠AOB＝65°，∠AOC＝25°，那么，∠BOC的补角的度数是 　． 7．（2023秋•仁怀市期末）如图所示，已知∠AOD＝30°，OD平分∠AOC，∠AOB与∠BOC互补． （1）求∠BOC的度数； （2）点M为∠AOB内一点，且∠BOC＝3∠COM，求∠BOM的度数． 8．（2023秋•洪山区校级期末）如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线． （1）若∠AOB＝46°，∠DOE＝37°，求∠BOD的度数； （2）若∠AOD与∠BOD互补，且∠DOE＝24°，求∠AOC的度数． 9．（2023秋•望花区期末）已知∠AOB与∠BOC互为补角，OD平分∠BOC． （1）如图1，若∠AOB＝80°，请分别求出∠BOC与∠AOD的度数； （2）如图2，若∠AOB＝140°，请直接写出∠AOD的度数． 题型三 余角与补角的计算问题 解题技巧提炼 综合运用余角与补角的性质来解决角度的计算问题. 1．（2023秋•绵阳期末）若一个角的余角是它的补角的，则这个角的度数是（　　） A．30° B．60° C．120° D．150° 2．（2024春•莘县期末）已知∠A与∠B互为余角，∠C与∠B互为补角，则∠C比∠A大（　　） A．45° B．90° C．135° D．180° 3．（2024春•秦都区校级月考）已知∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，且∠3＝3∠1，则∠2的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 4．（2023秋•梁溪区期末）如果∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，则下列表示∠β的余角的式子中：①90°﹣∠β；②∠α﹣90°；③180°﹣∠α；④（∠α﹣∠β）．正确的是（　　） A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①② 5．（2024秋•市南区校级期中）已知一个角的余角是这个角的4倍，那么这个角的度数是 　 　． 6．（2023秋•文山市期末）一个角的补角等于这个角的余角的4倍，这个角是　 　． 7．（2023秋•汝南县期末）如果一个角的余角的3倍比这个角的补角少24°，那么这个角的度数为 　　 ． 8．（2023秋•老河口市期末）已知一个锐角的补角比这个角的余角的3倍大30°，求这个角的度数． 9．（2023秋•吉林期末）一个角的补角比这个角的4倍大15°，求这个角的度数． 10．（2023秋•甘肃期末）如图，O为直线DA上一点，OE是∠AOB的平分线，∠FOB＝90°． （1）∠AOF的余角是　 ； （2）∠DOB的补角是　 　； （3）若∠EOF＝20°，求∠AOF的度数． 11．（2024春•榆次区校级月考）如图，点O是直线AB上的一个点，从点O引两条射线OC、OD，使∠BOC、∠BOD、∠AOD的度数之比为1：2：3，那么： （1）求∠BOD及∠BOC余角的度数． （2）∠AOD与∠AOC的度数之比为 　 ． 12．（2023秋•和平区校级期末）如图，∠AOB＝∠COD＝90°，OC平分∠AOB，∠BOD＝3∠DOE． （1）图中与∠COB互余的角是 　 ，图中与∠COB互补的角是 　 　． （2）求∠COE的度数． 题型四 方位角及其应用 解题技巧提炼 方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角； 1.方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向． 2.用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．） 3.画方向角：以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线． 1．（2024秋•沙坪坝区校级期中）如图，学校A在点P的北偏东32°方向上，图书馆B在点P的南偏东46°方向上，则∠APB的度数为（　　） A．102° B．100° C．104° D．103° 2．（2024秋•北林区校级期中）以广场为观测点，学校在广场北偏西30°的方向上，图中正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2023秋•偃师市期末）如图所示，点B在点O的北偏东60°的方向上，射线OB与射线OA所成的角是110°，则射线OA的方向是（　　） A．北偏西30° B．北偏西50° C．北偏西60° D．西偏北60° 4．（2024•威县校级三模）如图，从点O处观测点A，点D的方向，下列说法中错误的是（　　） A．点A在点O的北偏东30°方向上 B．点D在点O的东南方向上 C．点A在点O的北偏东60°方向上 D．点D在点O的南偏东45°方向上 5．（2023秋•宣化区期末）如图，某海域有三个小岛A，B，O，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东60°的方向上，观测到小岛B在它南偏东38°的方向上，则∠AOB的度数是 　 　． 6．（2024•环江县校级开学）如图，射线OA表示方向是 　 　． 7．（2023秋•惠城区校级期末）如图，射线OA的方向是北偏东15°，射线OB的方向是北偏西40°，∠AOB＝∠AOC，射线OD是OB的反向延长线． （1）射线OC的方向是　 　； （2）求∠COD的度数； （3）若射线OE平分∠COD，求∠AOE的度数． 8．（2023秋•老河口市期末）如图，以点O为观测点，射线OE，OS，OW，ON分别表示正东、正南、正西、正北方向． （1）射线OA表示 　 　方向； （2）画出表示下列方向的射线： ①射线OB，表示南偏东60°； ②射线OC，表示南偏西50°； ③射线OD，表示西北方向； （3）图中∠COD＝　 °； （4）图中∠AON的补角是 　 ． 9．（2023秋•江夏区期末）如图：货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它的南偏东59°的方向上，同时，在它的北偏东37°、南偏西12°、西北方向上又分别发现了客轮B，货轮C和海岛D． （1）求∠BOE的补角的度数． （2）①求∠WOD+∠AOB的度数． ②求∠BOD﹣∠WOC的度数． 10．如图1，货轮停靠在O点，发现灯塔A在它的东北（东偏北45°或北偏东45°）方向上．货轮B在码头O的西北方向上． （1）仿照表示灯塔方位的方法，画出表示货轮B方向的射线；（保留作图痕迹，不写作法） （2）如图2，两艘货轮从码头O出发，货轮C向东偏北15°的OC的方向行驶，货轮D向北偏西15°的OD方向航行，求∠COD的度数； （3）另有两艘货轮从码头O出发，货轮E向东偏北x°的OE的方向行驶，货轮F向北偏西x°的OF方向航行，请直接用等式表示∠MOE与∠FOQ之间所具有的数量关系是　 　． 题型五 角度计算的综合题 解题技巧提炼 角度计算的综合题是综合运算角的和差倍分进行相关的计算，有时要用到方程思想和分类讨论的思想. 1．（2023秋•宁乡市期末）如图所示，已知∠AOC＝2∠BOC，∠AOC的余角比∠BOC小30°． （1）求∠AOC的度数； （2）过点O作射线OD，使得∠AOC＝5∠AOD，请你求出∠COD的度数． 2．（2023春•蓬莱区期末）如图，∠AOB＝∠DOC＝90°，OE平分∠AOD，反向延长射线OE至F． （1）∠AOD和∠BOC 　 　；（填“互余”“相等”“互补”或“没有特殊关系”） （2）OF是∠BOC的平分线吗？为什么？ （3）反向延长射线OA至G，∠COG与∠FOG的度数比为2：5，求∠AOD的度数． 3．（2023秋•渑池县期末）如图．已知∠MON＝140°，∠AOC与∠BOC互余，OC平分∠MOB． （1）在图①中．若∠AOC＝40°，则∠BOC＝　 　°．∠NOB＝　 　°； （2）在图①中，设∠AOC＝α，∠NOB＝β，请探究α与β之间的数量关系（必须写出推理的主要过程，但每一步后面不必写出理由）； （3）在图①中，当∠AOB绕着点O顺时针转动到如图②的位置时，（2）中α与β之间的数量关系是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出此时α与β之间的数量关系． 4．（2023秋•东莞市校级期末）已知：点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠BOC＝110°． （1）如图1，求∠AOC的度数； （2）如图2，过点O作射线OD，使∠COD＝90°，作∠AOC的平分线OM，求∠MOD的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，作射线OP，若∠BOP与∠AOM互余，请画出图形，并求∠COP的度数． 5．（2023秋•德惠市期末）已知∠AOB＝90°，顶点O在直线CD上，∠AOC＜90°，OE，OE是∠BOC的平分线． （1）当点A，B在直线CD的同侧时，如图1： ①若∠AOE＝10°，则∠BOD＝　 　°； 若∠AOE＝20°，则∠BOD＝　 　°； ②若∠AOE＝n°（0＜n＜45），则∠BOD＝　 　°（用n表示）； （2）当A，B在直线CD的异侧时，如图2： ①猜想∠AOE与∠BOD之间的数量关系，并说明理由； ②若∠BOD＝120°，直接写出∠AOE的度数． 6．（2023秋•闽清县期末）已知∠AOB．在∠AOB内部画射线OC，得到三个角，分别为∠AOC，∠BOC，∠AOB．若这三个角中有一个角是另外一个角的两倍，则称射线OC为∠AOB二倍角线． （1）一个角的平分线 　 　这个角的“二倍角线”（填“是”或“不是”）； （2）如图①，若∠AOB＝90°，∠BOC＜∠AOC，OC为∠AOB的二倍角线，求∠AOC的度数； （3）如图②，将一块三角板AOB的直角顶点O放在直线MN上，且三角板AOB绕着点O转动，若OC是∠AOB的二倍角线，OB是∠CON的二倍角线，请直接写出∠BON的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ （浙教版）七年级上册数学《第6章 图形的初步知识》 6.8 余角和补角 知识点一 互余和互补的概念 名称 概念 数学语言 图示 互 为 余 角 如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角. 若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互余，∠1是∠2 的余角，∠2也是∠1的余角. 互 为 补 角 如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角. 若∠3+∠4=180°， 则∠3与∠4互补，∠3是∠4 的补角，∠4也是∠3 的补角. 【注意】 （1）两个角互余或互补是两个角之间的数量关系，与它们的位置无关。 （2）若两个角互余，则这两个角一定都是锐角；若两个角互补，则这两个角可能都是直角，也可能一个是锐角，另一个是钝角。 知识点二 余角和补角的性质 、 ◆1、同角（等角）的余角相等. 几何语言：（1）如果∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，那么∠2=∠3；（同角的余角相等） （2）如果∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°，且∠1=∠3，那么∠2=∠4；（等角的余角相等） ◆2、同角（等角）的补角相等 . 几何语言：（1）如果∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°，那么∠2=∠3；（同角的补角相等） （2） 如果∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°，且∠1=∠3，那么∠2=∠4；（等角的补角相等） （3） 知识点三 方向角 ★1、方向角：一般地，方向角是以第一个方向（正南或正北）为角的始边向第二个方向（东或西）转动所形成的角.如图,射线OA 的方向是北偏东30°,射线OB 的方向是南偏西60°. ★2、特殊角的表示：东北方向表示北偏东45°,西北方向表示北偏西45°,东南方向表示南偏东45° ,西南方向表示南偏西45°. 【注意】 方向角通常先写北或南，再写偏东或偏西，如“北偏东30°”一般不写成“东偏北60°”. 题型一 余角的定义及其性质运用 解题技巧提炼 1、余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角． 2、余角的性质：同角（等角）的余角相等． 1．（2024•惠城区二模）已知∠1与∠2互余，∠1＝42°，则∠2的度数为（　　） A．38° B．48° C．58° D．138° 【分析】根据互为余角的定义得∠1+∠2＝90°，再根据∠1＝42°即可求出∠2的度数． 【解答】解：∵∠1与∠2互余， ∴∠1+∠2＝90°， ∵∠1＝42°， ∴∠2＝90°﹣∠1＝90°﹣42°＝48°． 故选：B． 【点评】此题主要考查了互为余角的定义，角的计算，理解互为余角的定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． 2．（2024秋•裕华区校级期中）如图所示，∠AOB，∠COD都是以O为顶点的直角，能解释∠AOC＝∠BOD的理由是（　　） A．同角的余角相等 B．平角的定义 C．角平分线的定义 D．同角的补角相等 【分析】根据题意易得：∠AOC+∠BOC＝90°，∠COB+∠DOB＝90°，然后根据同角的余角相等可得∠AOC＝∠DOB，即可解答． 【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝90°， ∴∠AOC+∠BOC＝90°，∠COB+∠DOB＝90°， ∴∠AOC＝∠DOB（同角的余角相等）， 故选：A． 【点评】本题考查了余角和补角，角的概念，准确熟练地进行计算是解题的关键． 3．（2024秋•裕华区校级期中）已知∠α＝37°，则∠α的余角度数是（　　） A．43° B．53° C．143° D．153° 【分析】如果两个角的和是90°，那么这两个互为余角，由此计算即可． 【解答】解：若∠α＝37°，则∠α的余角为90°﹣37°＝53°， 故选：B． 【点评】本题考查了余角和补角，熟练掌握互为余角的定义是解题的关键． 4．（2023秋•南浔区期末）已知∠1与∠2互余，若∠2＝29°20'，则∠1的度数等于（　　） A．61°40' B．60°80' C．60°40' D．29°20' 【分析】根据互余两角之和为90°计算，即可求解． 【解答】解：∵∠1与∠2互余，∠2＝29°20'， ∴∠1＝90°﹣∠2＝60°40'， 故选：C． 【点评】本题考查了余角的知识，属于基础题，掌握互余两角之和等于90°是解答本题的关键． 5．（2023秋•肥西县月考）若∠α与∠β互余，且∠α＝3∠β，则∠β＝（　　） A．22°30' B．22°50' C．25° D．45° 【分析】根据∠α与∠β互余，可得∠α+∠β＝90°，与∠α＝3∠β组成二元一次方程组即可求解． 【解答】解：由题意得：∠α+∠β＝90°，∠α＝3∠β． 解得：∠β＝22.5°＝22°30′． 故选：A． 【点评】本题主要考查余角的定义、角的换算，熟练掌握余角的定义以及角的换算是解决本题的关键． 6．（2024•临邑县模拟）如果一个角是它的余角的一半，则这个角的度数是（　　） A．45° B．30° C．60° D．25° 【分析】设这个角为x，然后依据这个角是它的余角的一半列方程求解即可． 【解答】解：设这个角为x． 根据题意得：x（90﹣x）， 解得：x＝30°． 故选：B． 【点评】本题主要考查的是补角和余角，依据题意列出方程是解题的关键． 7．（2024•雁塔区校级模拟）若∠α＝54°32'，则∠α的余角的大小是 　 　． 【分析】如果两个角的和是90°，那么这两个角互为余角，据此计算即可． 【解答】解：∵∠α＝54°32'， ∴∠α的余角是90°﹣54°32'＝89°60'﹣54°32'＝35°28'， 故答案为：35°28'． 【点评】本题考查了余角和补角，熟练掌握互为余角的定义是解题的关键． 8．（2024秋•栾城区期中）已知∠α＝60°32'，∠α与∠β互余，则∠β＝ 　 　． 【分析】利用余角的定义，度分秒的换算法则计算． 【解答】解：∠β＝90°﹣∠α＝90°﹣60°32′＝29°28′． 故答案为：29°28′． 【点评】本题考查了余角的定义和度分秒的换算，解题的关键是掌握余角的定义和度分秒的换算法则． 9．（2023春•秦都区期中）如图，已知∠AOE与∠BOE互为余角，∠BOC＝40°，且OE平分∠AOC，求∠BOE的度数． 【分析】由题意易得∠AOC的度数然后根据角平分线定义求得∠COE的度数，再利用角的和差即可求得答案． 【解答】解：∵∠AOE，∠BOE互为余角， ∴∠AOE+∠BOE＝90°， 即∠AOB＝90°， ∵∠BOC＝40°， ∴∠AOB+∠BOC＝130°， 即∠AOC＝130°， ∵OE平分∠AOC， ∴∠COE∠AOC＝65°， ∴∠BOE＝∠COE﹣∠BOC＝65°﹣40°＝25°． 【点评】本题主要考查余角的定义及角平分线的定义，利用余角定义及已知条件求得∠AOC的度数是解题的关键． 10．（2023春•钢城区期末）如图，点A，O，B在同一直线上，∠AOC＝120°，OD是∠AOC的平分线，且∠DOE＝90°． （1）求∠BOE的度数； （2）写出图中所有与∠AOD互余的角是 　 　． 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，再根据补角的定义得到∠BOE＝30°； （2）根据余角的定义即可解答； 【解答】解：（1）∵OD平分∠AOC，∠AOC＝120°， ∴， ∵∠DOE＝90°， ∴∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝150°， ∵∠AOE+∠BOE＝180°， ∴∠BOE＝30°． （2）∵∠DOE＝90°， ∴∠AOD+∠BOE＝90°， ∵OD是∠AOC的平分线， ∴， ∴∠COD+∠COE＝90°， ∴与∠AOD互余的角是∠COE和∠BOE， 故答案为：∠COE和∠BOE． 【点评】本题考查了角平分线的定义，补角的定义，余角的定义，掌握角平分线的定义是解题的关键． 11．（2023秋•阳曲县期末）如图（甲），∠AOC和∠BOD都是直角． （1）如果∠DOC＝25°，∠AOB的度数为 　 　． （2）图（甲）中相等的角有 　 　．如果∠DOC≠25°，它们 　 　（填“相等”或“不等”） （3）在图（乙）中利用能够画直角的工具再画一个与∠COB相等的角． 【分析】（1）利用余角的定义可求得∠AOD＝65°，从而可求解； （2）结合图形，利用余角的性质进行分析即可； （3）利用等角的余角相等进行求解即可． 【解答】解：（1）∵∠AOC和∠BOD都是直角，∠DOC＝25°， ∴∠AOC＝∠BOD＝90°， ∴∠AOD＝∠AOC﹣∠DOC＝65°， ∴∠AOB＝∠BOD+∠AOD＝155°， 故答案为：155°； （2）∵∠AOC和∠BOD都是直角， ∴∠AOD+∠DOC＝90°，∠BOC+∠DOC＝90°， ∴∠AOD＝∠BOC； 如果∠DOC≠25°，它们仍相等； 故答案为：∠AOD＝∠BOC，相等； （3）如图乙， 以AB为边画∠AOB＝90°，再以OC为边画∠COD＝90°，由同角的余角相等得∠AOD＝∠BOC． 12．（2023秋•五莲县期末）如图，已知点O为直线AB上一点，∠BOC＝110°，∠COD＝90°，OM平分∠AOC． （1）求∠MOD的度数； （2）若∠BOP与∠AOM互余，求∠COP的度数． 【分析】（1）由已知角度结合平角的定义可求解∠AOD，∠AOC的度数，再利用角平分线的定义可求解； （2）根据余角的定义，平角的定义可求解∠MOP的度数，再利用角平分线的定义结合角的和差可求解． 【解答】解：（1）∵∠BOC＝110°，∠COD＝90°， ∴∠BOC+∠COD＝110°+90°＝200°， ∵∠AOB＝180°， ∴∠AOD＝20°，∠AOC＝180°﹣110°＝70°， ∵OM平分∠AOC， ∴∠AOM∠AOC＝35°， ∴∠MOD＝∠AOM+∠AOD＝35°+20°＝55°； （2）∵∠BOP与∠AOM互余， ∴∠BOP+∠AOM＝90°， ∵∠AOB＝180°， ∴∠MOP＝180°﹣90°＝90°， ∵OM平分∠AOC， ∴∠COM∠AOC＝35°， ∴∠COP＝∠MOP﹣∠COM＝90°﹣35°＝55°． 【点评】本题主要考查余角的定义，角平分线的定义及角的计算，灵活运用角的和差求解相关角的度数是解题的关键． 【点评】本题主要考查余角，解答的关键是明确同角的余角相等． 题型二 补角的定义及其性质运用 解题技巧提炼 1、补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角． 2、补角的性质：同角（等角）的补角相等． 1．（2023秋•安新县期末）如果∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，则∠3与∠1的关系是（　　） A．∠3＝∠1 B．∠3＝90°+∠1 C．∠3＝90°﹣∠1 D．∠3＝180°﹣∠1 【分析】根据∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，可得∠1+∠2＝90°①，∠2+∠3＝180°②，通过求差，可得∠3与∠1的关系． 【解答】解：∵∠1与∠2互余，∠2与∠3互补， ∴∠1+∠2＝90°①，∠2+∠3＝180°②， ②﹣①得，∠3﹣∠1＝180°﹣90°＝90°， 变形为：∠3＝90°+∠1， 故选：B． 【点评】本题考查互为余角、互为补角的意义，利用等式的性质进行恒等变形，是寻找关系的一般方法． 2．（2024秋•邢台期中）已知∠a＝35°30′12″，则它的补角为（　　） A．144°29′48″ B．54°29′48″ C．144°30′48″ D．154°29′48″ 【分析】根据补角及角度的运算可进行求解． 【解答】解：由题意得：180°﹣35°30′12″＝144°29′48″， 所以∠α的补角为144°29′48″， 故选：A． 【点评】本题主要考查余角和补角及度分秒的换算，熟练掌握补角的意义及角度的运算是解题的关键． 3．（2023秋•朝阳区期末）已知∠α与∠β互为补角，并且∠α的2倍比∠β大30°，则∠α，∠β分别为（　　） A．70°，110° B．40°，50° C．75°，115° D．50°，130° 【分析】根据补角的定义可得∠α＝180°﹣∠β，然后根据∠α的2倍比∠β大30°列得方程并解得∠β的度数，再将其代入∠α＝180°﹣∠β中计算即可． 【解答】解：∵∠α与∠β互为补角， ∴∠α＝180°﹣∠β， ∵∠α的2倍比∠β大30°， ∴2（180°﹣∠β）﹣∠β＝30°， 解得：∠β＝110°， 则∠α＝180°﹣110°＝70°， 故选：A． 【点评】本题考查补角的定义，结合已知条件列得正确的方程是解题的关键． 4．（2024秋•桥西区校级期中）若∠B与∠C互补，∠C＝150°，则∠B＝　 　． 【分析】根据度数之和为180度的两个角互补求出∠B的度数． 【解答】解：∵∠B与∠C互补，∠C＝150°， ∴∠B＝180°﹣∠C＝180°﹣150°＝30°， 故答案为：30°． 【点评】本题主要考查了余角与补角，关键是掌握余角和补角有关的计算． 5．（2023秋•玄武区期末）如图，O是直线AB上的一点，OC是一条射线，OD是∠AOC的角平分线，∠COE＝∠BOE，当∠COD与∠BOE互补时，则∠AOC＝　 　°． 【分析】OD是∠AOC的角平分线，∠COE＝∠BOE，∠COD与∠BOE互补，可以推出∠BOE＝3∠COD，从而可求∠COD． 【解答】解：∵OD是∠AOC的角平分线， ∴∠COD＝∠AOD， ∵∠AOE+∠BOE＝180°， 当∠COD与∠BOE互补时， ∴∠AOE＝∠COD， ∴∠COE＝3∠COD， ∵∠COE＝∠BOE， ∴∠BOE＝3∠COD， ∵∠AOE+∠BOE＝180°， ∴4∠COD＝180°， ∴∠COD＝45°， ∴∠AOC＝90°． 故答案为：90． 【点评】本题考查有关角的计算，关键是由条件推出∠BOE＝3∠COD． 6．（2022春•闵行区期末）在平面上，∠AOB和∠AOC有公共的顶点O，且有一条边重合，如果∠AOB＝65°，∠AOC＝25°，那么，∠BOC的补角的度数是 　． 【分析】分两种情况讨论：①∠AOC在∠AOB的内部，∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC；②∠AOC在∠AOB的外部，∠BOC＝∠AOB+∠AOC． 【解答】解：①当∠AOC在∠AOB的内部时，如图（1）， ∵∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC， ∴∠BOC＝65°﹣25°＝40°， ∴∠BOC的补角为180°﹣40°＝140°； ②当∠AOC在∠AOB的外部时，如图（2）， ∵∠BOC＝∠AOB+∠AOC， ∴∠BOC＝65°+25°＝90°， ∴∠BOC的补角为180°﹣90°＝90°． 故答案为：140°或90°． 【点评】此题考查了角的计算，解题的关键是：分两种情况讨论：①∠AOC在∠AOB的内部，∠COB的度数＝∠AOB﹣∠AOC，②∠AOC在∠AOB的外部，∠COB的度数＝∠AOB+∠AOC． 7．（2023秋•仁怀市期末）如图所示，已知∠AOD＝30°，OD平分∠AOC，∠AOB与∠BOC互补． （1）求∠BOC的度数； （2）点M为∠AOB内一点，且∠BOC＝3∠COM，求∠BOM的度数． 【分析】（1）由角平分线的定义可求解∠AOC＝60°，结合补角的定义可得2∠BOC+∠AOC＝180°，计算可求解∠BOC的度数； （2）由∠BOC＝3∠COM可求解∠COM的度数，再分两种情况：当点M在∠BOC内部时，当点M在∠BOC内外部时，分别计算可求解． 【解答】解：（1）∵∠AOD＝30°，OD平分∠AOC， ∴∠AOC＝2∠AOD＝60°， ∵∠AOB与∠BOC互补， ∴∠AOB+∠BOC＝180°， ∵∠AOB＝∠AOC+∠BOC， ∴2∠BOC+∠AOC＝180°， 即2∠BOC+60°＝180°， 解得∠BOC＝60°； （2）∵∠BOC＝3∠COM，∠BOC＝60°， ∴∠COM＝20°， 当点M在∠BOC内部时，∠BOM＝∠BOC﹣∠COM＝60°﹣20°＝40°； 当点M在∠BOC内外部时，∠BOM＝∠BOC+∠COM＝60°+20°＝80°． 综上，∠BOM的度数为40°或80°． 【点评】本题主要考查余角和补角，角平分线的定义，角的计算，求解∠AOC的度数是解题的关键． 8．（2023秋•洪山区校级期末）如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线． （1）若∠AOB＝46°，∠DOE＝37°，求∠BOD的度数； （2）若∠AOD与∠BOD互补，且∠DOE＝24°，求∠AOC的度数． 【分析】（1）先根据角平分线的定义求出∠BOC和∠DOC的度数，再根据∠DOB＝∠BOC+∠DOC即可求解； （2）先根据互补的定义求出∠AOD+∠BOD＝180°，再利用角的加减运算即可求解． 【解答】解：（1）∵OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线， ∴∠AOB＝∠BOC＝46°，∠DOE＝∠DOC＝37°， ∴∠BOD＝∠BOC+∠DOC＝46°+37°＝83°； （2）由题意可知：∠AOD+∠BOD＝180°， ∵OD是∠COE的平分线，∠DOE＝24°， ∴∠COD＝∠DOE＝24°， 设∠AOB＝x， ∵OB是∠AOC的平分线， ∴∠AOC＝2x，∠BOC＝x， ∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝2x+24°，∠BOD＝∠BOC+∠DOC＝x+24°， ∵∠AOD+∠BOD＝180°， ∴2x+24°+x+24°＝180°， 解得：x＝44°， ∴∠AOC＝2×44°＝88°． 【点评】本题主要考查了角平分线的定义，补角的性质，掌握角平分线的定义和补角的性质是解题的关键． 9．（2023秋•望花区期末）已知∠AOB与∠BOC互为补角，OD平分∠BOC． （1）如图1，若∠AOB＝80°，请分别求出∠BOC与∠AOD的度数； （2）如图2，若∠AOB＝140°，请直接写出∠AOD的度数． 【分析】（1）由补角的定义解得∠BOC＝100°，再根据角平分线的定义解出∠BOD＝50°，最后由∠AOD＝∠AOB+∠BOD解答； （2）分两种情况讨论，当点C在∠AOB的内部或外部分别画出相应图形，再由补角的定义解得∠BOC的度数，结合角平分线性质解出∠BOD的度数，最后根据角的和差解答． 【解答】解：（1）∠BOC互为补角， 所以∠AOB+∠BOC＝180°， 因为∠AOB＝80°， 所以∠BOC＝180°﹣∠AOB＝180°﹣80°＝100°， 因为OD平分∠BOC， 所以， 所以∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝80°+50°＝130°． （2）分两种情况讨论， 如图1， 因为∠AOB与∠BOC互为补角， 所以∠AOB+∠BOC＝180°， 因为∠AOB＝140°， 所以∠BOC＝180°﹣∠AOB＝180°﹣140°＝40°， 因为OD平分∠BOC， 所以， 所以∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝140°+20°＝160°． 如图2， 因为∠AOB与∠BOC互为补角， 所以∠AOB+∠BOC＝180°， 因为∠AOB＝140°， 所以∠BOC＝180°﹣∠AOB＝180°﹣140°＝40°， 因为OD平分∠BOC， 所以， 所以∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD＝140°﹣20°＝120°， 综上所述，∠AOD的度数为120°或160°． 【点评】本题考查角度的和差，涉及角平分线的性质、分类讨论等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 题型三 余角与补角的计算问题 解题技巧提炼 综合运用余角与补角的性质来解决角度的计算问题. 1．（2023秋•绵阳期末）若一个角的余角是它的补角的，则这个角的度数是（　　） A．30° B．60° C．120° D．150° 【分析】设这个角为α，则它的余角为90°﹣α，它的补角为180°﹣α，根据题意列出关系式，求出α的值即可 【解答】解：设这个角为α，则它的余角为90°﹣α，它的补角为180°﹣α． 由题意得，90°﹣α（180°﹣α）， 解得：α＝30°． 故这个角的度数为30°． 故选：A． 【点评】本题考查了余角和补角的知识，解题的关键是掌握互余和补角的定义． 2．（2024春•莘县期末）已知∠A与∠B互为余角，∠C与∠B互为补角，则∠C比∠A大（　　） A．45° B．90° C．135° D．180° 【分析】根据余角补角定义可得∠A+∠B＝90°，∠B+∠C＝180°，于是得到结论． 【解答】解：∵∠A+∠B＝90°，∠B+∠C＝180°， ∴∠C﹣∠A＝90°， 即∠C比∠A大90°， 故选：B． 【点评】此题主要考查了余角和补角，关键是掌握如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角． 3．（2024春•秦都区校级月考）已知∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，且∠3＝3∠1，则∠2的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【分析】根据余角和补角的定义可得∠1＝90°﹣∠2，∠3＝180°﹣∠2，从而可得180°﹣∠2＝3（90°﹣∠2），然后进行计算即可解答． 【解答】解：∵∠1与∠2互余，∠2与∠3互补， ∴∠1＝90°﹣∠2，∠3＝180°﹣∠2， ∵∠3＝3∠1， ∴180°﹣∠2＝3（90°﹣∠2）， 解得：∠2＝45°， 故选：B． 【点评】本题考查了余角和补角，角的计算，根据题目的已知条件并结合相关定义进行分析是解题的关键． 4．（2023秋•梁溪区期末）如果∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，则下列表示∠β的余角的式子中：①90°﹣∠β；②∠α﹣90°；③180°﹣∠α；④（∠α﹣∠β）．正确的是（　　） A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①② 【分析】根据∠α与∠β互补，得出∠β＝180°﹣∠α，∠α＝180°﹣∠β，求出∠β的余角是90°﹣∠β，90°﹣∠β表示∠β的余角；∠α﹣90°＝90°﹣∠β，即可判断②；180°﹣∠α＝∠β，根据余角的定义即可判断③；求出（∠α﹣∠β）＝90°﹣∠β，即可判断④． 【解答】解：∵∠α与∠β互补， ∴∠β＝180°﹣∠α，∠α＝180°﹣∠β， ∴90°﹣∠β表示∠β的余角，∴①正确； ∠α﹣90°＝180°﹣∠β﹣90°＝90°﹣∠β，∴②正确； 180°﹣∠α＝∠β，∴③错误； （∠α﹣∠β）（180°﹣∠β﹣∠β）＝90°﹣∠β，∴④正确； 故选：B． 【点评】本题考查了对余角和补角的理解和运用，注意：∠α与∠β互补，得出∠β＝180°﹣∠α，∠α＝180°﹣∠β；∠β的余角是90°﹣∠β，题目较好，难度不大． 5．（2024秋•市南区校级期中）已知一个角的余角是这个角的4倍，那么这个角的度数是 　 　． 【分析】设这个角的度数为α，则它的余角度数为（90°﹣α），然后根据已知条件列出方程4α＝90°﹣α，由此解出α即可． 【解答】解：设这个角的度数为α，则它的余角度数为（90°﹣α）， ∴依题意得：4α＝90°﹣α， 解得：α＝18°， ∴这个角的度数为18°， 故答案为：18°． 【点评】此题主要考查了互为余角的定义，理解互为余角的定义是解决问题的关键． 6．（2023秋•文山市期末）一个角的补角等于这个角的余角的4倍，这个角是　 　． 【分析】设这个角为x，则这个角的补角＝（180°﹣x），余角＝（90°﹣x），根据题意可得出方程，解出即可． 【解答】解：设这个角为x，则这个角的补角＝（180°﹣x），余角＝（90°﹣x）， 由题意得，180°﹣x＝4（90°﹣x）， 解得：x＝60°． 故答案为：60°． 【点评】本题考查了余角和补角的知识，注意掌握互余的两角之和为90度，互补的两角之和为180°． 7．（2023秋•汝南县期末）如果一个角的余角的3倍比这个角的补角少24°，那么这个角的度数为 　　 ． 【分析】设这个角为x，根据余角和补角的概念列出方程，解方程即可． 【解答】解：设这个角为x， 由题意得，180°﹣x﹣24°＝3（90°﹣x）， 解得x＝57°． 故答案为：57°． 【点评】本题主要考查余角和补角，若两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和等于180°，则这两个角互补． 8．（2023秋•老河口市期末）已知一个锐角的补角比这个角的余角的3倍大30°，求这个角的度数． 【分析】根据余角、补角的定义即可解答． 【解答】解：设这个锐角等于x°． 根据题意，得180﹣x＝3（90﹣x）+30． 解得x＝60． 答：这个锐角的度数是60°． 【点评】本题考查余角、补角，掌握余角、补角的定义是解题的关键． 9．（2023秋•吉林期末）一个角的补角比这个角的4倍大15°，求这个角的度数． 【分析】设这个角的度数为x，它的补角为180°﹣x，从而根据题意可列出方程，解出即可得出答案． 【解答】解：设这个角的度数为x，它的补角为180°﹣x， 180°﹣x＝4x+15°，解得：x＝33°， 所以这个角的度数是33°． 【点评】本题考查了补角的知识，一元一次方程，根据题意正确列出方程是解答本题的关键． 10．（2023秋•甘肃期末）如图，O为直线DA上一点，OE是∠AOB的平分线，∠FOB＝90°． （1）∠AOF的余角是　 ； （2）∠DOB的补角是　 　； （3）若∠EOF＝20°，求∠AOF的度数． 【分析】（1）根据平角定义可得∠AOF+∠BOD＝90°，再根据余角定义可得答案； （2）根据如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角可得答案； （3）首先计算出∠BOE的度数，进而可得∠AOE的度数，再根据角的和差关系可得答案． 【解答】解：（1）∵∠BOF＝90°， ∴∠AOF+∠BOD＝180°﹣90°＝90°， ∴∠AOF的余角是∠BOD， 故答案为：∠BOD； （2）∠DOB的补角是∠AOB， 故答案为：∠AOB； （3）∵∠EOF＝20°，∠FOB＝90°， ∴∠BOE＝70°， ∵OE是∠AOB的平分线， ∴∠AOE＝∠BOE＝70°， ∵∠EOF＝20°， ∴∠AOF＝50°． 【点评】此题主要考查了余角和补角，以及角的计算，关键是掌握余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角． 11．（2024春•榆次区校级月考）如图，点O是直线AB上的一个点，从点O引两条射线OC、OD，使∠BOC、∠BOD、∠AOD的度数之比为1：2：3，那么： （1）求∠BOD及∠BOC余角的度数． （2）∠AOD与∠AOC的度数之比为 　 ． 【分析】（1）根据平角定义可得∠BOD+∠AOD＝180°，从而根据已知可得∠AOD＝108°，∠BOD＝72°，然后根据已知易得：∠BOC＝36°，从而利用余角的定义可得进行计算即可解答； （2）利用平角定义可得∠AOC＝144°，然后利用（1）的结论进行计算即可解答． 【解答】解：（1）∵∠BOD：∠AOD＝2：3，∠BOD+∠AOD＝180°， ∴∠AOD＝180°108°，∠BOD＝180°72°， ∵∠BOC：∠BOD＝1：2， ∴∠BOC∠BOD＝36°， ∴∠BOC的余角＝90°﹣∠BOC＝54°， ∴∠BOD的度数为72°，∠BOC余角的度数为54°； （2）∵∠BOC＝36°， ∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝144°， ∵∠AOD＝108°， ∴∠AOD：∠AOC＝108°：144°＝3：4， 故答案为：3：4． 【点评】本题考查了余角和补角，角的概念，角的计算，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 12．（2023秋•和平区校级期末）如图，∠AOB＝∠COD＝90°，OC平分∠AOB，∠BOD＝3∠DOE． （1）图中与∠COB互余的角是 　 ，图中与∠COB互补的角是 　 　． （2）求∠COE的度数． 【分析】（1）利用余角的定义与补角的定义进行判断即可； （2）由（1）可知∠COB＝∠BOD＝45°，再结合条件可求得∠BOE的度数，从而可求解． 【解答】解：（1）∵∠AOB＝∠COD＝90°， ∴∠AOC+∠COB＝90°，∠BOD+∠COB＝90°， ∴∠COB的余角为：∠AOC，∠BOD； ∵OC平分∠AOB， ∴∠AOC＝∠COB＝45°， ∴∠BOD＝45°， ∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝135°， ∴∠AOD+∠COB＝180°， 即与∠COB互补的角是∠AOD； 故答案为：∠AOC和∠BOD，∠AOD； （2）由（1）得：∠COB＝∠BOD＝45°， ∵∠BOD＝3∠DOE， ∴∠DOE＝15°， ∴∠BOE＝∠BOD﹣∠DOE＝30°， ∴∠COE＝∠COB+∠BOE＝75°． 【点评】本题主要考查余角与补角，角平分线的定义，解答的关键是明确互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180°． 题型四 方位角及其应用 解题技巧提炼 方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角； 1.方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向． 2.用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．） 3.画方向角：以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线． 1．（2024秋•沙坪坝区校级期中）如图，学校A在点P的北偏东32°方向上，图书馆B在点P的南偏东46°方向上，则∠APB的度数为（　　） A．102° B．100° C．104° D．103° 【分析】利用方向角的定义以及平角的定义即可求出∠APB的度数． 【解答】解：∵学校A在点P的北偏东32°方向上，图书馆B在点P的南偏东46°方向上， ∴∠APB＝180°﹣32°﹣46°＝102°； 故选：A． 【点评】此题主要考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键． 2．（2024秋•北林区校级期中）以广场为观测点，学校在广场北偏西30°的方向上，图中正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据地图上的方向：上北下南，左西右东及角度依次判断即可． 【解答】解：A、选项图片中学校在广场北偏东60°的方向上，不符合题意； B、选项图片中学校在广场北偏东30°的方向上，不符合题意； C、选项图片中学校在广场北偏西30°的方向上，符合题意； D、选项图片中学校在广场北偏西60°的方向上，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了方向角，掌握方向角的定义是关键． 3．（2023秋•偃师市期末）如图所示，点B在点O的北偏东60°的方向上，射线OB与射线OA所成的角是110°，则射线OA的方向是（　　） A．北偏西30° B．北偏西50° C．北偏西60° D．西偏北60° 【分析】求出射线OA与正北方向的夹角，即可选择． 【解答】解：∵点B在点O的北偏东60°的方向上， ∴射线OB与正北方向的夹角是60°， ∴射线OA与正北方向的夹角为：110°﹣60°＝50°． 故选：B． 【点评】本题考查方向角的概念，关键是掌握方向角的概念：从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角． 4．（2024•威县校级三模）如图，从点O处观测点A，点D的方向，下列说法中错误的是（　　） A．点A在点O的北偏东30°方向上 B．点D在点O的东南方向上 C．点A在点O的北偏东60°方向上 D．点D在点O的南偏东45°方向上 【分析】根据方向角的定义，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、点A在点O的北偏东60°方向上，故A符合题意； B、点D在点O的东南方向上，故B不符合题意； C、点A在点O的北偏东60°方向上，故C不符合题意； D、点D在点O的南偏东45°方向上，故D不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键． 5．（2023秋•宣化区期末）如图，某海域有三个小岛A，B，O，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东60°的方向上，观测到小岛B在它南偏东38°的方向上，则∠AOB的度数是 　 　． 【分析】根据已知条件可直接确定∠AOB的度数． 【解答】解：∵OA是表示北偏东60°方向的一条射线，OB是表示南偏东38°方向的一条射线， ∴∠AOB＝180°﹣60°﹣38°＝82°， 故答案为：82°． 【点评】本题考查了方向角及角的计算．解题的关键是明确方向角中角之间的关系，以及角的和差计算． 6．（2024•环江县校级开学）如图，射线OA表示方向是 　 　． 【分析】根据题意可知射线OA所指方向为东北方向或北偏东45°． 【解答】解：射线OA所指方向为东北方向或北偏东45°． 故答案为：东北方向或北偏东45°． 【点评】此题主要考查了方向角，准确识图，熟练掌握方向角的定义是解决问题的关键． 7．（2023秋•惠城区校级期末）如图，射线OA的方向是北偏东15°，射线OB的方向是北偏西40°，∠AOB＝∠AOC，射线OD是OB的反向延长线． （1）射线OC的方向是　 　； （2）求∠COD的度数； （3）若射线OE平分∠COD，求∠AOE的度数． 【分析】（1）先求出∠AOB＝55°，再求得∠NOC的度数，即可确定OC的方向； （2）根据∠AOB＝55°，∠AOC＝∠AOB，得出∠BOC＝110°，进而求出∠COD的度数； （3）根据射线OE平分∠COD，即可求出∠COE＝35°再利用∠AOC＝55°求出答案即可． 【解答】解：（1）∵OB的方向是北偏西40°，OA的方向是北偏东15°， ∴∠NOB＝40°，∠NOA＝15°， ∴∠AOB＝∠NOB+∠NOA＝55°， ∵∠AOB＝∠AOC， ∴∠AOC＝55°， ∴∠NOC＝∠NOA+∠AOC＝70°， ∴OC的方向是北偏东70°； 故答案为：北偏东70°； （2）∵∠AOB＝55°，∠AOC＝∠AOB， ∴∠BOC＝110°． 又∵射线OD是OB的反向延长线， ∴∠BOD＝180°． ∴∠COD＝180°﹣110°＝70°． （3）∵∠COD＝70°，OE平分∠COD， ∴∠COE＝35°． ∵∠AOC＝55°． ∴∠AOE＝90°． 【点评】此题主要考查了方向角的表达即方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东（西）多少度． 8．（2023秋•老河口市期末）如图，以点O为观测点，射线OE，OS，OW，ON分别表示正东、正南、正西、正北方向． （1）射线OA表示 　 　方向； （2）画出表示下列方向的射线： ①射线OB，表示南偏东60°； ②射线OC，表示南偏西50°； ③射线OD，表示西北方向； （3）图中∠COD＝　 °； （4）图中∠AON的补角是 　 ． 【分析】（1）根据角度即可得出方位角； （2）根据方位角的大小画出射线即可； （3）根据∠COD＝180°﹣∠COS﹣∠NOD计算即可； （4）根据补角的定义解答即可． 【解答】解：（1）射线OA表示北偏东30°， 故答案为：北偏东30°； （2）如图所示， （3）∠COD＝180°﹣∠COS﹣∠NOD＝180°﹣50°﹣45°＝85°， 故答案为：85； （4）∵∠AON+∠AOS＝180°， ∴∠AON与∠AOS互补； ∵∠AON＝30°，∠BOW＝60°+90°＝150°， ∴∠AON+∠BOW＝180°， ∴∠AON与∠BOW互补， ∴∠AON的补角是∠AOS和∠BOW， 故答案为：∠AOS和∠BOW． 【点评】本题考查了方位角和补角的知识，解题的关键是熟记方位角的定义以及补角的定义． 9．（2023秋•江夏区期末）如图：货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它的南偏东59°的方向上，同时，在它的北偏东37°、南偏西12°、西北方向上又分别发现了客轮B，货轮C和海岛D． （1）求∠BOE的补角的度数． （2）①求∠WOD+∠AOB的度数． ②求∠BOD﹣∠WOC的度数． 【分析】（1）根据题意得出∠DON＝∠WOD＝45°，∠COS＝12°，∠BON＝37°，∠AOS＝59°，求出∠BOE的度数，再求出答案即可； （2）①先求出∠AOB的度数，再求出答案即可； ②先求出∠BOD和∠WOC的度数，再求出答案即可． 【解答】解：∵货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它的南偏东59°的方向上，同时，在它的北偏东37°、南偏西12°、西北方向上又分别发现了客轮B，货轮C和海岛D， ∴∠DON＝∠WOD＝45°，∠COS＝12°，∠BON＝37°，∠AOS＝59°， （1）∵∠BON＝37°，∠NOE＝90°， ∴∠BOE＝∠NOE﹣∠BON＝90°﹣37°＝53°， ∴∠BOE的补角的度数是180°﹣53°＝127°； （2）①∵∠BON＝37°，∠AOS＝59°， ∴∠AOB＝180°﹣（∠BON+∠AOS）＝84°， ∵∠WOD＝45°， ∴∠WOD+∠AOB＝45°+84°＝129°； ②∵∠BON＝37°，∠DON＝45°， ∴∠BOD＝∠BON+∠DON＝37°+45°＝82°， ∵∠WOS＝90°，∠COS＝12°， ∴∠WOC＝∠WOS﹣∠COS＝90°﹣12°＝78°， ∴∠BOD﹣∠WOC＝82°﹣78°＝4°． 【点评】本题考查了余角与补角和角的和差计算，求出各个角的度数是解此题的关键． 10．如图1，货轮停靠在O点，发现灯塔A在它的东北（东偏北45°或北偏东45°）方向上．货轮B在码头O的西北方向上． （1）仿照表示灯塔方位的方法，画出表示货轮B方向的射线；（保留作图痕迹，不写作法） （2）如图2，两艘货轮从码头O出发，货轮C向东偏北15°的OC的方向行驶，货轮D向北偏西15°的OD方向航行，求∠COD的度数； （3）另有两艘货轮从码头O出发，货轮E向东偏北x°的OE的方向行驶，货轮F向北偏西x°的OF方向航行，请直接用等式表示∠MOE与∠FOQ之间所具有的数量关系是　 　． 【分析】（1）依据货轮B在码头O的西北方向上进行作图即可； （2）依据角的和差关系进行计算，即可得出∠COD的度数； （3）依据角的和差关系进行计算，即可得到∠MOE与∠FOQ之间所具有的数量关系． 【解答】解：（1）如图1所示，射线OB的方向就是西北方向，即货轮B所在的方向． （2）由已知可知，∠MOQ＝90°，∠COQ＝15°， 所以∠MOC＝∠MOQ﹣∠COQ＝75°． 又因为∠DOM＝15°， 所以∠COD＝∠MOC+∠DOM＝90°． （3）如图2，∵∠EOQ＝∠MOF＝x°， ∴∠EOF＝∠MOQ＝90°， 又∵∠MOP＝90°， ∴∠POF＝∠MOE， ∵∠POF+∠FOQ＝180°， ∴∠MOE+∠FOQ＝180°． 故答案为：∠MOE+∠FOQ＝180°． 【点评】本题主考查了方向角，用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西． 题型五 角度计算的综合题 解题技巧提炼 角度计算的综合题是综合运算角的和差倍分进行相关的计算，有时要用到方程思想和分类讨论的思想. 1．（2023秋•宁乡市期末）如图所示，已知∠AOC＝2∠BOC，∠AOC的余角比∠BOC小30°． （1）求∠AOC的度数； （2）过点O作射线OD，使得∠AOC＝5∠AOD，请你求出∠COD的度数． 【分析】（1）设∠BOC＝x，则∠AOC＝2x，根据，∠AOC的余角比∠BOC小30°列方程求解即可； （2）分两种情况：①当射线OD在∠AOC内部②当射线OD在∠AOC外部，分别求出∠COD的度数即可． 【解答】解：（1）设∠BOC＝x，则∠AOC＝2x， 依题意列方程90°﹣2x＝x﹣30°， 解得：x＝40°， 即∠AOC＝40°×2＝80°． （2）由（1）得，∠AOC＝80°， ①当射线OD在∠AOC内部时，∠AOD＝16°， 则∠COD＝∠AOC﹣∠AOD＝80°﹣16°＝64°； ②当射线OD在∠AOC外部时，∠AOD＝16°， 则∠COD＝∠AOC+∠AOD＝80°+16°＝96°． 【点评】本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是掌握互余两角之和为90°，互补两角之和为180°． 2．（2023春•蓬莱区期末）如图，∠AOB＝∠DOC＝90°，OE平分∠AOD，反向延长射线OE至F． （1）∠AOD和∠BOC 　 　；（填“互余”“相等”“互补”或“没有特殊关系”） （2）OF是∠BOC的平分线吗？为什么？ （3）反向延长射线OA至G，∠COG与∠FOG的度数比为2：5，求∠AOD的度数． 【分析】（1）根据周角与∠AOB，∠DOC的差得结论； （2）根据OE平分∠AOD，再利用角的和差关系，推角相等，从而得OF是∠BOC的平分线； （3）设∠COG＝2x，∠FOG＝5x，利用平角列方程求x的度数，进而得∠AOD的度数． 【解答】解：（1）∠AOD和∠BOC 互补． ∵∠AOD+∠BOC ＝360°﹣∠AOB﹣∠DOC ＝360°﹣90°﹣90° ＝180°． ∴∠AOD和∠BOC互补． 故答案为：互补． （2）∵OE平分∠AOD， ∴∠EOD＝∠EOA， ∴∠BOF＝180°﹣90°﹣∠EOA＝90°﹣∠EOA， ∠COF＝180°﹣90°﹣∠EOD＝90°﹣∠EOD， ∴∠BOF＝∠COF． ∴OF是∠BOC的平分线． （3）设∠COG＝2x，∠FOG＝5x， ∴∠FOC＝∠BOF＝3x． ∵∠AOB+∠BOF+∠FOC+∠COG＝180°， ∴90°+3x+3x+2x＝180°， 解得，x＝（）°． ∴∠AOD＝180﹣6×（）°＝112.5°． 【点评】本题考查判断角的数量关系，求角的度数，掌握角平分线的定义，角的和差计算，已知条件出现角的度数之比，设出未知数是解题的关键． 3．（2023秋•渑池县期末）如图．已知∠MON＝140°，∠AOC与∠BOC互余，OC平分∠MOB． （1）在图①中．若∠AOC＝40°，则∠BOC＝　 　°．∠NOB＝　 　°； （2）在图①中，设∠AOC＝α，∠NOB＝β，请探究α与β之间的数量关系（必须写出推理的主要过程，但每一步后面不必写出理由）； （3）在图①中，当∠AOB绕着点O顺时针转动到如图②的位置时，（2）中α与β之间的数量关系是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出此时α与β之间的数量关系． 【分析】（1）应用余角的定义进行计算及角度的计算即可得出答案； （2）根据余角的定义可得∠AOC+∠BOC＝90°，即可得出∠BOC＝90°﹣∠AOC＝90°﹣α，根据角平分线的定义可得∠BOM＝2∠BOC＝2×（90°﹣α）＝180°﹣2α，由∠NOB＝∠MON﹣∠BOM＝140°﹣（180°﹣2α），代入计算即可得出答案； （3）根据余角的定义可得∠AOC+∠BOC＝90°，即可得出∠BOC＝90°﹣∠AOC＝90°﹣α，根据角平分线的定义可得∠BOM＝2∠BOC＝2×（90°﹣α）＝180°﹣2α，由∠NOB+∠MON＝∠BOM，代入计算即可得出答案． 【解答】解：（1）根据题意可得， ∵∠AOC+∠BOC＝90°， ∴∠BOC＝90°﹣∠AOC＝90°﹣40°＝50°， ∵OC平分∠MOB， ∴∠BOM＝2∠BOC＝2×50°＝100°， ∴∠NOB＝∠MON﹣∠BOM＝140°﹣100°＝40°； 故答案为：50，40； （2）∵∠AOC+∠BOC＝90°， ∴∠BOC＝90°﹣∠AOC＝90°﹣α， ∵OC平分∠MOB， ∴∠BOM＝2∠BOC＝2×（90°﹣α）＝180°﹣2α， ∴∠NOB＝∠MON﹣∠BOM＝140°﹣（180°﹣2α）， ∴β＝140°﹣180°+2α， ∴β＝2α﹣40°； （3）不成立． ∵∠AOC+∠BOC＝90°， ∴∠BOC＝90°﹣∠AOC＝90°﹣α， ∵OC平分∠MOB， ∴∠BOM＝2∠BOC＝2×（90°﹣α）＝180°﹣2α， ∴∠NOB+∠MON＝∠BOM， ∴β+140＝180°﹣2α， ∴β+2α＝40°． 【点评】本题主要考查了余角和补角及角平分线定义，熟练掌握余角和补角及角平分线定义进行求解是解决本题的关键． 4．（2023秋•东莞市校级期末）已知：点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠BOC＝110°． （1）如图1，求∠AOC的度数； （2）如图2，过点O作射线OD，使∠COD＝90°，作∠AOC的平分线OM，求∠MOD的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，作射线OP，若∠BOP与∠AOM互余，请画出图形，并求∠COP的度数． 【分析】（1）根据补角的概念即可得出答案； （2）先根据角平分线求出∠AOM的大小，再根据余角的概念求出∠AOD的大小，即可求出∠MOD的大小； （3）分OP在直线AB的上方和下方两种情况讨论即可． 【解答】解：（1）∵∠BOC＝110°，∠AOB＝180°， ∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝70°． （2）由（1）知∠AOC＝70°， ∵OM平分∠AOC， ∴， 又∵∠OD＝90°， ∴∠MOD＝∠COD﹣∠COM＝55°． （3）由（2）知∠AOM＝35°， ∵∠BOP与∠AOM互余， ∴∠BOP+∠AOM＝90°， ∴∠BOP＝90°﹣∠AOM＝90°﹣35°＝55°， ①当射线OP在∠BOC内部时， ∠COP＝∠BOC﹣∠BOP＝110°﹣55°＝55°， ②当射线OP在∠BOC外部时， ∠COP＝∠BOC+∠BOP＝110°+55°＝165°， 综上所述，∠COP的度数为55°或165°． 【点评】本题主要考查角的计算，关键是要牢记余角和补角的概念，以及角平分线的概念． 5．（2023秋•德惠市期末）已知∠AOB＝90°，顶点O在直线CD上，∠AOC＜90°，OE，OE是∠BOC的平分线． （1）当点A，B在直线CD的同侧时，如图1： ①若∠AOE＝10°，则∠BOD＝　 　°； 若∠AOE＝20°，则∠BOD＝　 　°； ②若∠AOE＝n°（0＜n＜45），则∠BOD＝　 　°（用n表示）； （2）当A，B在直线CD的异侧时，如图2： ①猜想∠AOE与∠BOD之间的数量关系，并说明理由； ②若∠BOD＝120°，直接写出∠AOE的度数． 【分析】（1）∠BOD＝180°﹣∠BOC； （2）分别写出∠AOE与∠BOD，可得其数量关系． 【解答】解：（1）①∵∠AOE＝10°，∠AOB＝90°， ∴∠BOE＝80°， ∵OE是∠BOC的平分线， ∴∠COE＝∠BOE＝80°， ∴∠BOD＝180°﹣2×80°＝20°， ∵∠AOE＝20°，∠AOB＝90°， ∴∠BOE＝70°， ∵OE是∠BOC的平分线， ∴∠COE＝∠BOE＝70°， ∴∠BOD＝180°﹣2×70°＝40°， 故答案为：20，40， ②∵∠AOB＝90°，∠AOE＝n°， ∴∠BOE＝∠AOB﹣∠AOE＝90°﹣n°， ∵OE是∠BOC的平分线， ∴∠BOC＝2∠BOE＝180°﹣2n°， ∴∠BOD＝180°﹣（180°﹣2n°）＝2n°， 故答案为：2n； （2）①∠BOD＝2∠AOE， ∵OE平分∠COB， ∴∠COE＝∠BOE∠BOC， ∵∠AOE＝∠AOC+∠COE＝90°﹣∠BOC+∠COE＝90°﹣∠COE， ∠BOD＝180°﹣∠COB＝180°﹣2∠COE， ∴∠BOD＝2∠AOE， ②． 【点评】本题考查了角的计算，关键是计算正确． 6．（2023秋•闽清县期末）已知∠AOB．在∠AOB内部画射线OC，得到三个角，分别为∠AOC，∠BOC，∠AOB．若这三个角中有一个角是另外一个角的两倍，则称射线OC为∠AOB二倍角线． （1）一个角的平分线 　 　这个角的“二倍角线”（填“是”或“不是”）； （2）如图①，若∠AOB＝90°，∠BOC＜∠AOC，OC为∠AOB的二倍角线，求∠AOC的度数； （3）如图②，将一块三角板AOB的直角顶点O放在直线MN上，且三角板AOB绕着点O转动，若OC是∠AOB的二倍角线，OB是∠CON的二倍角线，请直接写出∠BON的度数． 【分析】（1）根据“二倍角线”的定义，即可求解； （2）根据“二倍角线”的定义，可得∠AOC＝2∠BOC，即可求解； （3）分9种情况结合“二倍角线”的定义，即可求解． 【解答】解：（1）一个角的平分线是这个角的“二倍角线”； 故答案为：是； （2）依题意得：∠AOC＝2∠BOC， ∵∠AOC+∠BOC＝∠AOB＝90°， ∴∠AOC＝60°； （3）当∠AOC＝∠BOC，∠BON＝∠BOC时， ； 当∠AOC＝∠BOC，∠BON＝2∠BOC时， ∠BON＝2∠AOC＝∠AOB＝90°； 当∠AOC＝∠BOC，2∠BON＝∠BOC时， ； 当∠AOC＝2∠BOC，∠BON＝∠BOC时， ； 当2∠AOC＝∠BOC，∠BON＝∠BOC时， ； 当∠AOC＝2∠BOC，∠BON＝2∠BOC时， ； 当∠AOC＝2∠BOC，2∠BON＝∠BOC时， ； 当2∠AOC＝∠BOC，2∠BON＝∠BOC时， ； 当2∠AOC＝∠BOC，∠BON＝2∠BOC时， ； 终上所述，∠BON的度数为15°或30°或60°或22.5°或45°或90°或120°． 【点评】本题主要考查了有关角平分线的计算，理解新定义是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$