第4部分第5节三角函数的图像与性质（基础摸查+基础夯实+优化提升）学案-2025届高三数学一轮复习

第4部分第5节《三角函数的图像与性质》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升 基础摸查 【习题导入】 1．若函数y＝2sin 2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则(　　) A．T＝π，A＝1 B．T＝2π，A＝1 C．T＝π，A＝2 D．T＝2π，A＝2 2．函数y＝－tan()的单调递减区间为________． 3．函数y＝3－2cos()的最大值为________，此时x＝________. 【知识归纳】 1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，()， ， ，(2π，0)． (2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，()， ， ，(2π，1)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 周期性 奇偶性 奇函数 单调递增区间 单调递减区间 对称中心 对称轴方程 常用结论： 1．对称性与周期性 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期． (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期． 2．奇偶性 若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则 (1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)． (2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)． 【题型展示】 题型一　三角函数的定义域和值域 例1　(1)函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为________． (2)函数f(x)＝sin()－3cos x的最小值为________． (3)函数y＝的定义域为(　　) A.[] B.[](k∈Z) C.[](k∈Z) D．R 跟踪训练1　(1)函数y＝lg sin x＋的定义域为________________． (2)函数f(x)＝cos x－cos 2x，试判断函数的奇偶性及最大值(　　) A．奇函数，最大值为2 B．偶函数，最大值为2 C．奇函数，最大值为 D．偶函数，最大值为 题型二(1)函数f(x)＝3sin()＋1，φ∈(0，π)，且f(x)为偶函数，则φ＝________，f(x)图象的对称中心为________． 　三角函数的周期性与对称性 例2　(2)已知函数f(x)＝3sin()，则下列说法正确的是(　　) A．图象关于点()对称 B．图象关于点()对称 C．图象关于直线x＝对称 D．图象关于直线x＝对称 跟踪训练2　(1)(多选)已知函数f(x)＝sin()，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)的最大值为 B．f(x)的最小正周期为π C．f()为奇函数 D．f(x)的图象关于直线x＝对称 (2)记函数f(x)＝sin()＋b(ω>0)的最小正周期为T.若<T<π，且y＝f(x)的图象关于点()中心对称，则 f()等于(　　) A．1 B. C. D．3 题型三　三角函数的单调性 命题点1　求三角函数的单调区间 例3　函数f(x)＝sin()的单调递减区间为________． 命题点2　根据单调性求参数 例4　(1)若函数f(x)＝cos()在区间[－a，a]上单调递增，则实数a的最大值为(　　) A. B. C. D. π (2)已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，且在()上单调递增，则满足条件的ω的最大值为________． 跟踪训练3　(1)已知函数f(x)＝sin()(ω>0)，则“函数f(x)在[]上单调递增”是“0<ω<2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)已知函数f(x)＝cos2x－sin2x，则(　　) A．f(x)在()上单调递减 B．f(x)在()上单调递增 C．f(x)在()上单调递减 D．f(x)在()上单调递增 基础夯实 1.下列函数中，是周期函数的为(　　) A.f(x)＝sin |x| B.f(x)＝tan |x| C.f(x)＝|tan x| D.f(x)＝(x－1)0 2.下列函数中，是奇函数的是(　　) A.y＝|cos x＋1| B.y＝1－sin x C.y＝－3sin(2x＋π) D.y＝1－tan x 3．若函数y＝cos()(ω>0)两对称中心间的最小距离为，则ω等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 4．如果函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象关于点()对称，则|φ|的最小值是(　　) A. B. C. D. 5．函数f(x)＝－2tan()的定义域是(　　) A. B. C. D. 6．已知f(x)＝sin2()－，则f(x)是(　　) A．奇函数且最小正周期为π B．偶函数且最小正周期为π C．奇函数且最小正周期为2π D．偶函数且最小正周期为2π 7.如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点()对称，那么|φ|的最小值为(　　) A. B. C. D. 8.若f(x)＝sin()，则(　　) A.f(1)＞f(2)＞f(3) B.f(3)＞f(2)＞f(1) C.f(2)＞f(1)＞f(3) D.f(1)＞f(3)＞f(2) 9．(多选)已知函数f(x)＝sin x－cos x，则下列结论中正确的是(　　) A．f(x)的最大值为 B．f(x)在区间[]上单调递增 C．f(x)的图象关于点()对称 D．f(x)的最小正周期为π 10．(多选)对于函数f(x)＝|sin x|＋cos 2x，下列结论正确的是(　　) A．f(x)的值域为[] B．f(x)在[]上单调递增 C．f(x)的图象不关于直线x＝对称 D．π是f(x)的一个周期 11.(多选)已知函数f(x)＝sin4x－cos4x，则下列说法正确的是(　　) A.f(x)的最小正周期为π B.f(x)的最大值为2 C.f(x)的图象关于y轴对称 D.f(x)在区间[]上单调递增 12.(多选)已知函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|，下列结论正确的是(　　) A.f(x)是偶函数 B.f(x)在区间[]单调递增 C.f(x)在[－π，π]有4个零点 D.f(x)的最大值为2 13．请写出一个最小正周期为π，且在(0,1)上单调递增的函数f(x)＝________. 14．已知函数f(x)＝sin()(0≤φ≤π)在()上单调递减，则φ的取值范围是________． 15.函数y＝的定义域为________. 16.已知函数f(x)＝，则下列说法正确的是________(填序号). ①f(x)的周期是； ②f(x)的值域是{y|y∈R，且y≠0}； ③直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴； ④f(x)的单调递减区间是，k∈Z. 17.已知函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在[]上单调递增，那么常数ω的一个取值为________. 18.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π. (1)当f(x)为偶函数时，求φ的值； (2)若f(x)的图象过()，求f(x)的单调递增区间. 19.已知函数f(x)＝sin(2π－x)sin()－cos2x＋. (1)求f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程； (2)当x∈[]时，求f(x)的最小值和最大值. 20．已知函数f(x)＝cos xsin x＋sin2x. (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)求函数f(x)在区间[]上的最大值和最小值． 21．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使f(x)的解析式唯一确定． (1)求f(x)的解析式； (2)设函数g(x)＝f(x)＋f()，求g(x)在区间[]上的最大值． 条件①：f(x)的最小正周期为π； 条件②：f(x)为奇函数； 条件③：f(x)图象的一条对称轴为直线x＝. 优化提升 22.若函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)在区间()上仅有一条对称轴及一个对称中心，则ω的取值范围为(　　) A.(5，8) B.(5，8] C.(5，11] D.[5，11) 23．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，在区间(0,1)上不可能(　　) A．单调递增 B．单调递减 C．有最大值 D．有最小值 24．已知函数f(x)＝＋3sin πx，则函数f(x)在[－1,3]上的所有零点的和为(　　) A．2 B．4 C．2π D．4π 25．(多选)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)的图象关于点()中心对称，则(　　) A．f(x)在区间()上单调递减 B．f(x)在区间()上有两个极值点 C．直线x＝是曲线y＝f(x)的对称轴 D．直线y＝－x是曲线y＝f(x)的切线 26.(多选)已知函数f(x)＝2sin xcos x－(sin2x－cos2x)，判断下列给出的四个命题，其中正确的为(　　) A.对任意的x∈R，都有f()＝－f(x) B.将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位，得到偶函数g(x) C.函数y＝f(x)在区间()上是减函数 D.“函数y＝f(x)取得最大值”的一个充分条件是“x＝” 27．已知三角函数f(x)满足：①f(3－x)＝－f(x)；②f(x)＝f(1－x)；③函数f(x)在()上单调递减．写出一个同时具有上述性质①②③的函数f(x)＝________________. 28．已知sin x＋cos y＝，则sin x－sin2y的最大值为________． 29．已知函数f(x)＝sin x＋|cos x|，写出函数f(x)的一个单调递增区间________；当x∈[0，a]时，函数f(x)的值域为[1,2]，则a的取值范围是________． 30.已知函数f(x)＝2sin()＋a＋1. (1)求函数f(x)的单调递增区间； (2)当x∈[]时，f(x)的最大值为4，求a的值； (3)在(2)的条件下，求满足f(x)＝1，且x∈[－π，π]的x的取值集合. 参考答案： 基础摸查 【习题导入】 1．A 2.(k∈Z) 3．5　＋2kπ(k∈Z) 【知识归纳】 1．(1)(π，0)　 (2)(π，－1)　 2．{x|x≠kπ＋}　[－1,1]　[－1,1] R　2π　2π　π　奇函数　偶函数 　[2kπ－π，2kπ] [2kπ，2kπ＋π]　(kπ，0) 　x＝kπ＋　x＝kπ 【题型展示】 例1 (1) (2)－4 (3)C 跟踪训练1 (1) (2)D 例2 (1)　，k∈Z (2)C 跟踪训练2 (1)ABD (2)A 例3 ，k∈Z 例4 (1)A 跟踪训练3 (1)A　(2)C 基础夯实 1.C 2.C 3.A　 4.B 5．D　 6.A　 7.A 8.A 9．AB 10．ACD 11.ACD 12.AD 13．tan x(答案不唯一) 14.≤φ≤π 15.(k∈Z) 16.④ 17.(答案不唯一) 18.解　因为f(x)的最小正周期为π， 所以T＝＝π，即ω＝2. 所以f(x)＝sin(2x＋φ). (1)当f(x)为偶函数时，φ＝＋kπ(k∈Z)， 因为0＜φ＜，所以φ＝. (2)当f(x)的图象过点时， sin＝， 即sin＝. 又因为0＜φ＜，所以＜＋φ＜π. 所以＋φ＝，即φ＝. 所以f(x)＝sin. 令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)， 得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z). 所以f(x)的单调递增区间为 (k∈Z). 19.解　(1)由题意， 得f(x)＝(－sin x)(－cos x)－cos2 x＋ ＝sin xcos x－cos2x＋ ＝sin 2x－(cos 2x＋1)＋ ＝sin 2x－cos 2x＋ ＝sin＋， 所以f(x)的最小正周期T＝＝π； 令2x－＝kπ＋(k∈Z)， 得x＝＋(k∈Z)， 故所求图象的对称轴方程为 x＝＋(k∈Z). (2)当0≤x≤时，－≤2x－≤， 由函数图象(图略)可知， －≤sin≤1. 即0≤sin＋≤. 故f(x)的最小值为0，最大值为. 20．解　(1)f(x)＝cos xsin x＋sin2x＝sin 2x－cos 2x＋ ＝sin＋， ∴函数f(x)的最小正周期为＝π， 令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，则－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， ∴函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z. (2)∵x∈， ∴2x－∈， 则sin∈[－1,1]， ∴f(x)∈， ∴函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－. 21．解　(1)选择条件①②： 由条件①及已知得T＝＝π，所以ω＝2. 由条件②f(0)＝0，即sin φ＝0，解得φ＝kπ(k∈Z)． 因为|φ|<，所以φ＝0，所以f(x)＝sin 2x.经检验φ＝0符合题意． 选择条件①③： 由条件①及已知得T＝＝π， 所以ω＝2. 由条件③得2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，解得φ＝kπ(k∈Z)． 因为|φ|<，所以φ＝0.所以f(x)＝sin 2x. (2)由题意得g(x)＝sin 2x＋sin， 化简得g(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin.因为0≤x≤，所以≤2x＋≤， 所以当2x＋＝，即x＝时， g(x)取最大值. 优化提升 22.B 23．B 24．B 25．AD 26.ACD 27．2sin(答案不唯一) 28. 29.　 30.解　(1)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， 所以f(x)的单调递增区间为 ，k∈Z. (2)因为当x＝时，f(x)取得最大值， 即f＝2sin ＋a＋1＝a＋3＝4. 解得a＝1. (3)由f(x)＝2sin＋2＝1， 可得sin＝－， 则2x＋＝＋2kπ，k∈Z或2x＋＝＋2kπ，k∈Z， 即x＝＋kπ，k∈Z或x＝＋kπ，k∈Z， 又x∈[－π，π]， 可解得x＝－，－，，， 所以x的取值集合为. 学科网（北京）股份有限公司 $$