第4部分第4节简单的三角恒等变换（基础摸查+基础夯实+优化提升）学案-2025届高三数学一轮复习

第4部分第4节《简单的三角恒等变换》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升 基础摸查 【习题导入】 1．若α为第二象限角，sin α＝，则sin 2α等于(　　) A．－ B．－ C. D. 2．若角α满足sin α＋2cos α＝0，则tan 2α等于(　　) A．－ B. C．－ D. 3．cos2－cos2等于(　　) A. B. C. D. 【知识归纳】 1．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)公式S2α：sin 2α＝ . (2)公式C2α：cos 2α＝ ＝ ＝ . (3)公式T2α：tan 2α＝ . 2．常用的部分三角公式 (1)1－cos α＝ ，1＋cos α＝ .(升幂公式) (2)1±sin α＝ .(升幂公式) (3)sin2α＝ ，cos2α＝ ，tan2α＝ .(降幂公式) 【题型展示】 题型一　三角函数式的化简 例1　(1)已知sin α＋cos α＝，则sin2()＝________. (2)若α∈()，tan 2α＝，则tan α等于(　　) A. B. C. D. 跟踪训练1　(1)化简：＝________. (2)若f(α)＝2tan α－，则f()的值是________． 题型二　三角函数式的求值 命题点1　给角求值 例2　计算：(1)sin 10°·sin 30°·sin 50°·sin 70°； (2)－； (3). 命题点2　给值求值 例3　已知sin()＋cos α＝，则sin()等于(　　) A. B. C．－ D．－ 命题点3　给值求角 例4　已知 sin α＝，cos β＝，且α，β为锐角，则α＋2β＝ . 跟踪训练2　(1)已知sin()＝tan 210°，则sin(60°＋α)的值为(　　) A. B．－ C. D．－ (2)已知α∈(0，π)，sin 2α＋cos 2α＝cos α－1，则sin 2α等于(　　) A. B．－ C．－ 或0 D. 题型三　三角恒等变换的综合应用 例5　已知f(x)＝sin()＋2sin()·cos(). (1)求f()的值； (2)若锐角α满足f(α)＝，求sin 2α的值． 跟踪训练3　已知3sin α＝2sin2－1. (1)求sin 2α＋cos 2α的值； (2)已知α∈(0，π)，β∈()，2tan2β－tan β－1＝0，求α＋β的值． 基础夯实 1．已知x∈()，cos(π－x)＝－，则tan 2x等于(　　) A. B．－ C. D．－ 2.已知α，β为锐角，tan α＝，则cos 2α等于(　　) A. B.－ C. D.－ 3.计算：等于(　　) A. B. C. D.－ 4.已知0<α<，－<β<0，cos(α－β)＝－，sin α＝，则sin β＝(　　) A. B.－ C. D.－ 5.设α＝，若β∈()，且tan α＝，则β＝(　　) A. B. C. D. 6.黄金分割比例广泛存在于许多艺术作品中．在三角形中，底与腰之比为黄金分割比的三角形被称作黄金三角形，被认为是最美的三角形，它是两底角为72°的等腰三角形．达·芬奇的名作《蒙娜丽莎》中，在整个画面里形成了一个黄金三角形．如图，在黄金△ABC中，＝，根据这些信息，可得sin 54°等于(　　) A. B. C. D. 7.已知角α的终边与单位圆的交点为P()，且sin α·cos α>0，则＋的值等于(　　) A. B. C. D.3 8．已知sin()＝，则sin 2θ的值为(　　) A. B．－ C. D．－ 9．已知sin()＝，则cos()等于(　　) A．－ B. C．－ D. 10．公元前六世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°，若4m2＋n＝16，则的值为(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 11.(多选)函数f(x)＝sin xcos x的单调递减区间可以是(　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 12．(多选)下列计算结果正确的是(　　) A．cos(－15°)＝ B．sin 15°sin 30°sin 75°＝ C．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝－ D．2sin 18°cos 36°＝ 13．＝ . 14．已知tan 2θ＝－2，<θ<，则＝________. 15.已知sin()＝，则cos()＝________. 16.已知α∈()，若sin()＝，则tan α的值为________. 17.化简：(180°＜α＜360°)＝________. 18.已知0＜α＜，0＜β＜，cos α＝，cos(β＋α)＝. (1)求sin β的值； (2)求的值. 19.已知0<α<<β<π，cos()＝，sin＝. (1)求sin 2β的值； (2)求cos()的值. 20．化简并求值． (1)； (2)()·. 21．(1)已知tan(α＋β)＝，tan()＝，求tan()； (2)已知cos 2θ＝－，<θ<，求sin 4θ，cos 4θ. (3)已知sin(α－2β)＝，cos(2α－β)＝－，且0<β<<α<，求α＋β的值． 优化提升 22.设θ∈R，则“0＜θ＜”是“sin θ＋cos 2θ＞1”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 23.若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈()，β∈()，则α＋β的值是(　　) A. B. C.或 D.或 24．已知α∈()，β∈()，tan α＝，则(　　) A．α＋β＝ B．α－β＝ C．α＋β＝ D．α＋2β＝ 25. 魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正24 576边形，求出圆周率π约等于，和真正的值相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才被打破．若已知π的近似值还可以表示成4sin 52°，则的值为(　　) A．－ B．－8 C．8 D. 26．f(x)满足：∀x1，x2∈(0,1)且x1≠x2，都有<0.a＝sin 7°sin 83°，b＝，c＝cos2－，则，，的大小顺序为(　　) A.<< B.<< C.<< D.<< 27．(多选)若sin ＝，α∈(0，π)，则(　　) A．cos α＝ B．sin α＝ C．sin()＝ D．sin()＝ 28．已知α，β均为锐角，sin()＝－，sin()＝，则sin(α＋β)＝ ，cos(2α－β)＝ . 29.已知由sin 2x＝2sin xcos x，cos 2x＝2cos2x－1，cos 3x＝cos(2x＋x)可推得三倍角余弦公式cos 3x＝4cos3x－3cos x，已知cos 54°＝sin 36°，结合三倍角余弦公式和二倍角正弦公式可得sin 18°＝________；如图，已知五角星ABCDE是由边长为2的正五边形GHIJK和五个全等的等腰三角形组成的，则·＝________. 30.已知函数f(x)＝sin()＋2sin2x. (1)求f(x)的最小正周期； (2)当x∈[]时，求f(x)的值域. 参考答案： 基础摸查 【习题导入】 1．A　2.D　3.D 【知识归纳】 1．(1)2sin αcos α　(2)cos2α－sin2α　2cos2α－1　1－2sin2α　(3) 2．(1)2sin2　2cos2 (2)2 (3)　　 【题型展示】 例1 (1) (2)A 跟踪训练1 (1) (2)6－ 例2 解　(1)原式＝cos 20°·cos 40°·cos 80° ＝＝＝. (2)原式＝ ＝ ＝＝2. (3)原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝－2. 例3 D 例4 跟踪训练2 (1)A　(2)C 例5 解　(1)由题意得 f(x)＝sin＋2sin·cos ＝sin－2sin·cos ＝sin－2sin·cos ＝sin－sin ＝sin 2xcos －cos 2xsin ＋cos 2x ＝sin 2x＋cos 2x ＝sin， 故f ＝sin＝0. (2)∵α∈， ∴2α＋∈， 又∵f(α)＝， ∴f(α)＝sin＝， 又∵sin＝<， ∴2α＋∈， ∴cos＝－ ＝－， ∴sin 2α＝sin ＝sincos －cossin  ＝×＋×＝. 跟踪训练3 解　(1)因为3sin α＝2sin2－1， 所以3sin α＝－cos α， 所以tan α＝－， 又因为sin 2α＋cos 2α ＝ ＝， 所以sin 2α＋cos 2α ＝＝. (2)因为β∈，所以tan β<0， 因为2tan2β－tan β－1 ＝(2tan β＋1)(tan β－1)＝0， 所以tan β＝－， 又因为α∈(0，π)，tan α＝－， 所以<α<π. 所以tan(α＋β)＝ ＝＝－1， 由得π<α＋β<2π， 所以α＋β＝. 基础夯实 1．D　 2.B 3.A 4.D 5.A 6.B　 7.A 8.B　 9.A　 10.C　 11.AB 12.BD　 13.　 14.－3＋2 15.－ 16. 17.cos α 18.解　(1)由0＜α＜，0＜β＜，cos α＝， cos(β＋α)＝，得sin α＝，sin(β＋α)＝. 所以sin β＝sin[(β＋α)－α] ＝sin(β＋α)cos α－cos(β＋α)sin α ＝×－×＝. (2)因为cos α＝，sin α＝， 所以＝ ＝＝12. 19.解　(1)法一　因为cos ＝coscos β＋sinsin β＝cos β＋sin β＝， 所以cos β＋sin β＝， 所以1＋sin 2β＝，所以sin 2β＝－. 法二　sin 2β＝cos ＝2cos2－1＝－. (2)因为0<α<<β<π， 所以<β－<π，<α＋β<. 所以sin>0，cos(α＋β)<0， 所以sin＝，cos(α＋β)＝－. 所以cos＝cos ＝cos(α＋β)cos ＋sin(α＋β)sin ＝－×＋×＝. 20．解　(1)原式＝ ＝ ＝ ＝＝ ＝＝. (2)原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝32. 21．解　(1)因为tan(α＋β)＝， tan＝， 所以tan ＝tan ＝ ＝＝. (2)由<θ<，得<2θ<π， ∴sin 2θ＝＝， sin 4θ＝2sin 2θcos 2θ ＝2××＝－， cos 4θ＝2cos22θ－1 ＝2×2－1＝－1＝. (3)由0<β<<α<， 得0<2β<，－<－2β<0， 则－<α－2β<. 因为sin(α－2β)＝>0， 所以cos(α－2β)＝ ＝＝. 由0<β<<α<， 得<2α<π，－<－β<0， 则<2α－β<π， 因为cos(2α－β)＝－， 所以sin(2α－β)＝. 因为<α＋β<， 又cos(α＋β) ＝cos[(2α－β)－(α－2β)] ＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β) ＝－×＋×＝， 所以α＋β＝. 优化提升 22.A 23.A 24．B 25．A 26．C 27．AC 28.　 29.　5＋ 30.解　(1)f(x)＝sin 2xcos －cos 2xsin ＋1－cos 2x＝sin 2x－cos 2x＋1＝sin＋1， ∴T＝＝π，即f(x)的最小正周期为π. (2)∵x∈，∴2x－∈， ∴－≤sin≤1， ∴－≤sin＋1≤＋1， ∴f(x)的值域为. 学科网（北京）股份有限公司 $$