第4部分第3节两角和与差的三角函数公式（基础摸查+基础夯实+优化提升）学案-2025届高三数学一轮复习

第4部分第3节《两角和与差的三角函数公式》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升 基础摸查 【习题导入】 1．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于(　　) A．－ B. C．－ D. 2．已知α∈()，且sin α＝，则tan()的值为 ． 3．若将sin x－cos x写成2sin(x－φ)的形式，其中0≤φ<π，则φ＝ . 【知识归纳】 1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 (1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝ ； (2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝ ； (3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝ ； (4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝ ； (5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝ ； (6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝ . 2．辅助角公式 asin α＋bcos α＝ ，其中sin φ＝，cos φ＝. 知识拓展： 两角和与差的公式的常用变形： (1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β. (2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β. (3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)． tan αtan β＝1－＝－1. 【题型展示】 题型一　两角和与差的三角函数公式 例1　(1)已知tan α＝1＋m，tan β＝m，且α＋β＝，则实数m的值为(　　) A．－1 B．1 C．0或－3 D．0或1 (2)计算：等于(　　) A．－ B. C．－ D. 跟踪训练1　(1)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2cos()sin β，则(　　) A．tan(α－β)＝1 B．tan(α＋β)＝1 C．tan(α－β)＝－1 D．tan(α＋β)＝－1 (2)已知0<α<，sin()＝，则的值为(　　) A. B. C. D. 题型二　两角和与差的公式逆用与辅助角公式 例2　(1)若3sin α－sin β＝，α＋β＝，则sin α＝ ，cos 2β＝ . (2)在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝，则tan Atan B的值为(　　) A. B. C. D. 跟踪训练2　(1)满足等式(1＋tan α)(1＋tan β)＝2的数组(α，β)有无穷多个，试写出一个这样的数组________． (2)已知sin()＝，则sin x＋sin()等于(　　) A．1 B．－1 C. D. 题型三　角的变换问题 例3　(1)已知α，β为锐角，sin α＝，cos(α＋β)＝－.则sin(2α＋β)的值为 ． (2)已知sin θ＋sin()＝1，则sin()等于(　　) A. B. C. D. 跟踪训练3　(1)若tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，则tan(α＋β)＝ ，tan α＝ . (2)已知α，β∈()，sin(α＋β)＝－，sin()＝，则cos()＝________. 基础夯实 1．cos 24°cos 36°－sin 24°cos 54°等于(　　) A．cos 12° B．－cos 12° C．－ D. 2．已知sin α＋cos α＝，则sin()等于(　　) A．± B. C．－ D．－ 3.若α∈()，tan 2α＝，则tan α＝(　　) A. B. C. D. 4.若sin()＝，则sin()＝(　　) A.－ B. C.－ D. 5.若α∈()，且3cos 2α＝sin()，则sin 2α的值为(　　) A.－ B. C.－ D. 6．已知α∈()，若tan()＝－2，则cos()等于(　　) A. B. C．－ D．－ 7.sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝(　　) A.1 B. C. D.－ 8．若2cos 80°＝cos 20°＋λsin 20°，则λ等于(　　) A．－ B．－1 C．1 D. 9．已知2cos()＝sin α，则sin αcos α等于(　　) A．－ B. C．－ D. 10．已知sin α＝，且α为锐角，tan β＝－3，且β为钝角，则α＋β的值为(　　) A. B. C. D. 11.若tan θ＝－2，则＝(　　) A.－ B.－ C. D. 12.(多选)下列各式中，值为的是(　　) A. 　　 B.tan 15°cos215° C.cos2－sin2 　　 D. 13．cos 15°sin 10°cos 20°＋cos 10°cos 70°－2cos 45°sin 15°sin 10°sin 70°的值为______． 14．已知α，β∈()，且tan α＋tan β＋tan αtan β＝，则α＋β＝ . 15.sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝________. 16.已知sin()＝，α∈()，则cos()的值为________. 17.tan 25°－tan 70°＋tan 70°tan 25°＝________. 18.已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－. (1)求cos 2α的值； (2)求tan β的值. 19.已知cos()＝－，sin()＝，且＜α＜π，0＜β＜，求cos(α＋β). 20．已知α，β∈()，且 (1)求α＋β的值； (2)证明：0<α－β<，并求sin(α－β)的值． 21．在①tan(π＋α)＝3；②sin(π－α)－2sin()＝cos(－α)；③3sin()＝cos()中任选一个条件，补充在下面问题中，并解决问题． 已知0<β<α<， ，cos(α＋β)＝－. (1)求sin()； (2)求β. 优化提升 22．已知3sin x－4cos x＝5sin(x＋φ)，则φ所在的象限为(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 23．设sin()＝2cos αsin ，则的值为(　　) A. B. C．2 D．4 24．(多选)已知α，β，γ∈()，sin β＋sin γ＝sin α，cos α＋cos γ＝cos β，则下列说法正确的是(　　) A．cos(β－α)＝ B．cos(β－α)＝ C．β－α＝ D．β－α＝－ 25．(多选)下列结论正确的是(　　) A．sin(α－β)sin(β－γ)－cos(α－β)cos(γ－β)＝cos(α－γ) B．3sin x＋3cos x＝3sin() C．f(x)＝sin ＋cos 的最大值为 D．sin 50°(1＋tan 10°)＝1 26.(多选)下列四个选项中，化简正确的是(　　) A.cos(－15°)＝ B.cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°＝0 C.cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)·sin(25°＋α)＝ D.sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝ 27.已知sin 10°＋mcos 10°＝2cos 140°，则m＝________. 28．若＝－3，则＝________. 29．在平面直角坐标系Oxy中，先将线段OP绕原点O按逆时针方向旋转角θ，再将旋转后的线段OP的长度变为原来的ρ(ρ>0)倍得到OP1，我们把这个过程称为对点P进行一次T(θ，ρ)变换得到点P1，例如对点(1,0)进行一次T()变换得到点(0,3)．若对点A(1,0)进行一次T()变换得到点A1，则A1的坐标为 ；若对点B()进行一次T(θ，ρ)变换得到点B1(－3，－4)，对点B1再进行一次T(θ，ρ)变换得到点B2，则B2的坐标为 ． 30.如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点在坐标原点，以x轴非负半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆O分别交于A，B两点，x轴的非负半轴与单位圆O交于点M，已知S△OAM＝，点B的纵坐标是. (1)求cos(α－β)的值； (2)求2α－β的值. 参考答案： 基础摸查 【习题导入】 1．D　2.－ 3.　 【知识归纳】 1．(1)cos αcos β＋sin αsin β (2)cos αcos β－sin αsin β (3)sin αcos β－cos αsin β (4)sin αcos β＋cos αsin β (5)　(6) 2.sin(α＋φ) 【题型展示】 例1 (1)C　(2)B 跟踪训练1 (1)C　(2)C 例2 (1)　 (2)B 跟踪训练2 (1)(答案不唯一) (2)A 例3 (1)－ (2)B 跟踪训练3 (1)－1　 (2)－ 基础夯实 1．D　 2.C　 3.A 4.D 5.C 6．C 7.B 8.A　 9.D　 10.B 11.C 12.ACD 13.　 14.－ 15.sin(α＋γ) 16.－ 17.－1 18.解　(1)因为α为锐角，所以cos α≠0， 因为tan α＝，所以cos 2α＝cos2α－sin2α ＝＝＝＝. (2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)， 因为cos(α＋β)＝－， 所以sin(α＋β)＝ ＝＝， 所以tan(α＋β)＝－3， 所以tan β＝tan[(α＋β)－α] ＝＝＝3. 19.解　由已知，得＜α－＜π，0＜－β＜， ∴sin＝，cos＝， ∴cos ＝cos ＝coscos ＋sinsin ＝×＋×＝. 则cos(α＋β)＝2cos2－1＝－. 20．解　(1)因为α，β∈， 所以cos α>0，cos β>0， 由 解得cos α＝，cos β＝， 所以sin α＝＝， sin β＝＝， cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝， 因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝. (2)因为α＋β＝， sin ＝ >sin α＝>sin β＝， 且函数y＝sin x在上单调递增， 所以0<β<α<，所以0<α－β<， 所以sin (α－β) ＝sin αcos β－cos αsin β ＝×－× ＝. 21．解　(1)若选①， tan(π＋α)＝tan α＝＝3， 又因为sin2α＋cos2α＝1,0<α<， 所以sin α＝，cos α＝， 所以sin＝sin αcos －cos αsin ＝×－×＝. 若选②，因为 sin(π－α)－2sin ＝cos(－α)， 化简得sin α＝3cos α， 又因为sin2α＋cos2α＝1,0<α<，所以sin α＝，cos α＝， 所以sin＝sin αcos －cos αsin ＝×－×＝. 若选③，因为3sin＝cos，化简得3cos α＝sin α， 又因为sin2α＋cos2α＝1,0<α<，所以sin α＝，cos α＝， 所以sin＝sin αcos －cos αsin ＝×－× ＝. (2)因为0<β<α<，且cos(α＋β)＝－，所以<α＋β<π， 所以sin(α＋β)＝ ＝， 所以sin β＝sin[(α＋β)－α]＝×－×＝， 又因为0<β<，所以β＝. 优化提升 22．D 23．B 24．BD 25．CD 26.BCD 27.－ 28．2 29．(－1，)　 30.解　(1)由题意知，|OA|＝|OM|＝1， 因为S△OAM＝|OA|·|OM|sin α＝， 所以sin α＝，又α为锐角， 所以cos α＝. 因为点B是钝角β的终边与单位圆O的交点，且点B的纵坐标是， 所以sin β＝，cos β＝－， 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－. (2)因为sin α＝，cos α＝，cos(α－β)＝－，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝－， 所以sin(2α－β)＝sin[α＋(α－β)]＝sin αcos(α－β)＋cos αsin(α－β)＝－， 因为α为锐角，sin α＝＞， 所以α∈，所以2α∈， 又β∈，所以2α－β∈， 所以2α－β＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $$