第4部分第1节任意角、弧度制及三角函数的概念（基础摸查+基础夯实+优化提升）学案-2025届高三数学一轮复习

4部分第1节《任意角、弧度制及三角函数的概念》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升 基础摸查 【习题导入】 1. －660°等于(　　) A．－π rad B．－π rad C．－π rad D．－π rad 2．已知角α的终边经过点P(2，－3)，则sin α＝________，tan α＝________. 3．某次考试时间为120分钟，则从开始到结束，墙上时钟的分针旋转了________弧度． 【知识归纳】 1．角的概念 (1)定义：角可以看成一条射线绕着它的 旋转所成的图形． (2)分类 (3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为 . (4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝_________ ____________． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于 的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示． (2)公式 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝________ 弧长公式 弧长l＝_______ 扇形面积公式 S＝________＝_______ 3．任意角的三角函数 (1)任意角的三角函数的定义： 设P(x，y)是角α终边上异于原点的任意一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)． (2)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图． 常用结论： 1．象限角 2．轴线角 【题型展示】 题型一　角及其表示 例1　(1)在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． (2)若α是第二象限角，则(　　) A．－α是第一象限角 B.是第三象限角 C.＋α是第二象限角 D．2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上 跟踪训练1　(1)若点P(cos θ，sin θ)与点Q(,)关于y轴对称，写出一个符合题意的θ＝________. (2)“α是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型二　弧度制及其应用 例2　某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的)．已知OA＝10，OB＝x(0<x<10)，线段BA，CD与，的长度之和为30，圆心角为θ弧度． (1)求θ关于x的函数表达式； (2)记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值． 跟踪训练2　已知一扇形的圆心角为α(α>0)，弧长为l，周长为C，面积为S，半径为r. (1)若α＝35°，r＝8 cm，求扇形的弧长； (2)若C＝16 cm，求S的最大值及此时扇形的半径和圆心角． 题型三　三角函数的概念 例3　(1)若sin αtan α<0，且>0，则角α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 (2)已知角θ的终边经过点(2a＋1，a－2)，且cos θ＝，则实数a的值是(　　) A．－2 B. C．－2或 D．1 (3)(多选)已知角θ的终边经过点(－2，－)，且θ与α的终边关于x轴对称，则下列选项正确的是(　　) A．sin θ＝－ B．α为钝角 C．cos α＝－ D．点(tan θ，sin α)在第一象限 跟踪训练3　(1)sin 2cos 3tan 4的值(　　) A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在 (2)若角α的终边上有一点P(a,2a)(a≠0)，则2sin α－cos α的值是(　　) A．－ B. C．－ D.或－ (3)若A(1，a)是角θ终边上的一点，且sin θ＝，则实数a的值为________． 基础夯实 1.下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是(　　) A.2kπ＋45°(k∈Z) B.k·360°＋(k∈Z) C.k·360°－315°(k∈Z) D.kπ＋(k∈Z) 2.给出下列四个命题： ①－是第二象限角； ②是第三象限角； ③－400°是第四象限角； ④－315°是第一象限角. 其中正确命题的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 3.已知点P(sin(－30°)，cos(－30°))在角θ的终边上，且θ∈[－2π，0)，则角θ的大小为(　　) A.－ B. C.－ D.－ 4．如果点P(2sin θ，sin θ·cos θ)位于第四象限，那么角θ所在的象限为(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器，顺利将探测器送入预定轨道，经过两次轨道修正，嫦娥五号顺利进入环月轨道飞行，嫦娥五号从椭圆形环月轨道变为近圆形环月轨道，若这时把近圆形环月轨道看作圆形轨道，嫦娥五号距离月球表面400 千米，已知月球半径约为1 738 千米，则嫦娥五号绕月每旋转弧度，飞过的路程约为(取π≈3.14)(　　) A．1 069千米 B．1 119千米 C．2 138千米 D．2 238千米 6.屏风文化在我国源远流长，可追溯到汉代．某屏风工艺厂设计了一款造型优美的扇环形屏风，如图，扇环外环弧长为3.6 m，内环弧长为1.2 m，径长(外环半径与内环半径之差)为1.2 m，若不计外框，则扇环内需要进行工艺制作的面积的估计值为(　　) A．2.58 m2 B．2.68 m2 C．2.78 m2 D．2.88 m2 7.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》中有如下两个问题： [三三]今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？ [三四]又有宛田，下周九十九步，径五十一步.问为田几何？ 翻译为：[三三]现有扇形田，弧长30步，直径长16步.问这块田面积是多少？ [三四]又有一扇形田，弧长99步，直径长51步.问这块田面积是多少？ 则下列说法正确的是(　　) A.问题[三三]中扇形的面积为240平方步 B.问题[三四]中扇形的面积为平方步 C.问题[三三]中扇形的面积为60平方步 D.问题[三四]中扇形的面积为平方步 8.在平面直角坐标系中，，，，是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边.若tan α<cos α<sin α，则P所在的圆弧是(　　) A. B. C. D. 9．与－2 023°终边相同的最小正角是(　　) A．137° B．133° C．57° D．43° 10．在平面直角坐标系中，若角θ的终边经过点P()，则cos θ等于(　　) A. B．－ C. D．－ 11．如图所示的时钟显示的时刻为4：30，此时时针与分针的夹角为α(0<α≤π)．若一个半径为1的扇形的圆心角为α，则该扇形的面积为(　　) A. B. C. D. 12.若角α的终边在直线y＝－x上，则角α的取值集合为(　　) A. B. C. D. 13.(多选)下列结论中正确的是(　　) A.若角α的终边过点P(3k，4k)(k≠0)，则sin α＝ B.若α是第一象限角，则为第一或第三象限角 C.若扇形的周长为6，半径为2，则其圆心角的大小为1弧度 D.若0＜α＜，则sin α＜tan α 14.(多选)在平面直角坐标系xOy中，角α顶点在原点O，以x轴的非负半轴为始边，终边经过点P(1，m)(m＜0)，则下列各式的值恒大于0的是(　　) A. B.cos α－sin α C.sin αcos α D.sin α＋cos α 15.若α＝1 560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________. 16.－2 022°角是第________象限角，与－2 022°角终边相同的最小正角是________，最大负角是________. 17.已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，点(2，－1)在终边上，则cos 2α＝________. 18.在平面直角坐标系xOy中，点P在角的终边上，且|OP|＝2，则点P的坐标为________. 19．已知角α的终边上一点P的坐标为，则角α的最小正值为________． 20.数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边△ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形(如图所示)．若莱洛三角形的周长为2π，则其面积是________． 21．已知＝－，且lg(cos α)有意义． (1)试判断角α所在的象限； (2)若角α的终边上一点M()，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值． 22．如图，在平面直角坐标系Oxy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于点A(1,0)，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动． (1)若点B的横坐标为－，求sin α的值和与角α终边相同的角β的集合； (2)若α∈(0,]，请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式．(注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形) 优化提升 23．已知△ABC为锐角三角形，若角θ的终边过点P(sin A－cos B，cos A－sin C)，则＋＋的值为(　　) A．1 B．－1 C．3 D．－3 24．在北京冬奥会短道速滑混合接力的比赛中，中国队以2分37秒348的成绩获得金牌．如图，短道速滑的比赛场地的内圈半圆的弯道计算半径为8.5 m，直道长为28.85 m，点O为半圆的圆心，点N为弯道与直道的连接点，运动员沿滑道逆时针滑行，在某次短道速滑比赛最后一圈的冲刺中，运动员小夏在弯道上的P点处成功超过所有对手，并领先到达终点Q(终点Q为直道的中点)．若从P点滑行到Q点的距离为31.425 m，则∠PON等于(　　) A. B. C．2 D. 25.赵爽是我国古代数学家、天文学家，约公元222年，赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形．如图所示的是一张弦图，已知大正方形的面积为100，小正方形的面积为20，若直角三角形中较小的锐角为α，则sin αcos α的值为(　　) A. B. C. D. 26．在平面直角坐标系中，若α与β的终边互相垂直，那么α与β的关系式为(　　) A．β＝α＋90° B．β＝α±90° C．β＝α＋90°＋k·360°(k∈Z) D．β＝α±90°＋k·360°(k∈Z) 27在直角坐标系xOy中，角α的始边为x轴的非负半轴，顶点为坐标原点O，已知角α的终边l与单位圆交于点A(0.6，m)，将l绕原点逆时针旋转与单位圆交于点B(x，y)，若tan α＝－，则x＝(　　) A.0.6 B.0.8 C.－0.6 D.－0.8 28．(多选)已知点P(sin x－cos x，－3)在第三象限，则x可能位于的区间是(　　) A. B. C. D. 29.(多选)如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B的坐标为(1，0)，∠BOA＝60°，质点A以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以2 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则(　　) A.经过1 s后，∠BOA的弧度数为＋3 B.经过 s后，扇形AOB的弧长为 C.经过 s后，扇形AOB的面积为 D.经过 s后，A，B在单位圆上第一次相遇 30.一扇形的圆心角为，则此扇形的面积与其内切圆的面积的比值为________. 31.如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P的位置在(0，0)，圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2，1)时，的坐标为________. 32．如图，点P是半径为2的圆O上一点，现将如图放置的边长为2的正方形ABCD(顶点A与P重合)沿圆周逆时针滚动．若从点A离开圆周的这一刻开始，正方形滚动至使点A再次回到圆周上为止，称为正方形滚动了一轮，则当点A第一次回到点P的位置时，正方形滚动了________轮，此时点A走过的路径的长度为________． 参考答案： 基础摸查 【习题导入】 1．C　 2．－　－ 3.－4π 【知识归纳】 1．(1)端点　(2)正角　负角　零角 象限角　(3)－α (4){β|β＝α＋k·360°，k∈Z} 2．(1)半径长　(2)°　|α|r lr　|α|r2 【题型展示】 例1 (1)－675°和－315° (2)D 跟踪训练1 (1) (2)A 例2解　(1)根据题意，可算得＝θx，＝10θ. 因为AB＋CD＋＋＝30，所以2(10－x)＋θx＋10θ＝30， 所以θ＝(0<x<10)． (2)根据题意，可知y＝S扇形AOD－S扇形BOC＝θ·(102－x2)＝×＝(x＋5)(10－x)＝－x2＋5x＋50＝－2＋， 当x＝时，ymax＝. 综上所述，当x＝时，铭牌的截面面积最大，且最大面积为. 跟踪训练2 解　(1)α＝35°＝35× rad ＝π rad， 扇形的弧长l＝αr＝π×8 ＝π(cm)． (2)方法一　由题意知2r＋l＝16， ∴l＝16－2r(0<r<8)， 则S＝lr＝(16－2r)r＝－r2＋8r＝－(r－4)2＋16， 当r＝4(cm)时，Smax＝16(cm2)， l＝16－2×4＝8(cm)，α＝＝2， ∴S的最大值是16 cm2，此时扇形的半径是4 cm，圆心角α＝2 rad. 方法二　S＝lr＝l·2r≤·2＝16， 当且仅当l＝2r，即r＝4(cm)时，S的最大值是16 cm2. 此时扇形的圆心角α＝2 rad. 例3 (1)B　(2)B　(3)ACD 跟踪训练3 (1)A　(2)D (3) 基础夯实 1.C 2.C 3.D 4.B　 5.D　 6.D 7.B 8.C 9．A　 10.D　 11.C　 12.D 13.BCD 14.AB 15.120°或－240° 16.二　138°　－222° 17. 18.(－1，) 19. 20．2π－2 21．解　(1)由＝－， 得sin α<0， 由lg(cos α)有意义，可知cos α>0， 所以α是第四象限角． (2)因为|OM|＝1， 所以2＋m2＝1，解得m＝±. 又α为第四象限角，故m<0， 从而m＝－， sin α＝＝＝＝－. 22．解　(1)由题意知，若点B的横坐标为－，可得B的坐标为，∴sin α＝， 于是α＝＋2kπ，k∈Z， 与角α终边相同的角β的集合为. (2)△AOB的高为1×cos  ， AB＝2sin ， 故S△AOB＝×2sin ×cos  ＝sin α， 故弓形AB的面积S＝·α·12－sin α＝(α－sin α)，α∈. 优化提升 23．B 24．C 25．B 26．D 27.B 28．AD 29.ABD 30. 31.(2－sin 2，1－cos 2) 32．3　(＋2)π 学科网（北京）股份有限公司 $$