第4部分第7节正、余弦定理（基础摸查+基础夯实+优化提升）学案-2025届高三数学一轮复习

第4部分第7节《正余弦定理》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升 基础摸查 【习题导入】 1．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC等于(　　) A. B. C. D. 2．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为4，a＝2，B＝30°，则c等于(　　) A．8 B．4 C． D． 3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝30°，b＝，c＝2，则C＝ . 【知识归纳】 1．正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝ ＝ ＝2R a2＝ ； b2＝ ； c2＝ 变形 (1)a＝2Rsin A， b＝ ， c＝ ； (2)sin A＝， sin B＝ ， sin C＝ ； (3)a∶b∶c＝____________ cos A＝ ； cos B＝ ； cos C＝ 2．三角形解的判断 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A< a<b a≥b a>b 解的个数 一解 两解 一解 一解 3．三角形中常用的面积公式 (1)S＝aha(ha表示边a上的高)； (2)S＝ ＝ ＝ ； (3)S＝ (r为三角形的内切圆半径)． 常用结论： 在△ABC中，常有以下结论： (1)∠A＋∠B＋∠C＝π. (2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (3)a>b⇔A>B⇔sin A>sin B，cos A<cos B. (4)sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin ＝cos ；cos ＝sin . (5)三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. (6)三角形中的面积S＝. 【题型展示】 题型一　利用正弦定理、余弦定理解三角形 例1　(12分)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝. (1)若C＝，求B；[切入点：二倍角公式化简] (2)求的最小值．[关键点：找到角B与角C，A的关系] 跟踪训练1　记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)． (1)证明：2a2＝b2＋c2； (2)若a＝5，cos A＝，求△ABC的周长． 题型二　正弦定理、余弦定理的简单应用 命题点1　三角形的形状判断 例2　(1)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，＝sin2，则△ABC的形状为(　　) A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 (2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c－acos B＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状为(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 命题点2　三角形的面积 例3　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知4a＝c，cos C＝. (1)求sin A的值； (2)若b＝11，求△ABC的面积． 命题点3　与平面几何有关的问题 例4　如图，已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，b(1＋cos C)＝csin∠ABC且△ABC的外接圆面积为. (1)求边c的长； (2)若a＝5，延长CB至M，使得cos∠AMC＝，求BM. 跟踪训练2　(1)在①b2＋ac＝a2＋c2；②cos B＝bcos A；③sin B＋cos B＝这三个条件中任选一个填在下面的横线中，并解决该问题． 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ，A＝，b＝，求△ABC的面积． (2)(多选)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的是(　　) A．若acos A＝bcos B，则△ABC一定是等腰三角形 B．若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC是等腰三角形 C．若＝＝，则△ABC一定是等边三角形 D．若B＝60°，b2＝ac，则△ABC是直角三角形 (3)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，在①c(sin A－sin C)＝(a－b)(sin A＋sin B)；②2bcos A＋a＝2c；③acsin B＝a2＋c2－b2三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答． ①若 ，求角B的大小； ②求sin A＋sin C的取值范围； ③如图所示，当sin A＋sin C取得最大值时，若在△ABC所在平面内取一点D(D与B在AC两侧)，使得线段DC＝2，DA＝1，求△BCD面积的最大值． 基础夯实 1．在△ABC中，C＝60°，a＋2b＝8，sin A＝6sin B，则c等于(　　) A. B. C．6 D．5 2.在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝(　　) A.1 B. C. D.3 3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝b，A－B＝，则角C＝(　　) A. B. C. D. 4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2acos C－3bcos C＝3ccos B，则角C的大小为(　　) A. B. C. D. 5．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin B＋sin C)2＝sin2A＋(2－)sin Bsin C，sin A－2sin B＝0，则sin C等于 (　　) A. B. C. D. 6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2cos B(acos C＋ccos A)＝b，lg sin C＝lg 3－lg 2，则△ABC的形状为(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a＋b)(sin A－sin B)＝(b＋c)sin C，a＝7，则△ABC外接圆的直径为(　　) A．14 B．7 C. D. 8．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若asin B＝bcos A，且b＝2，c＝2，则a的值为(　　) A．2 B．2 C．2－2 D．1 9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则等于(　　) A. B. C. D．2 10.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知acos B＋bcos A＝3ccos C，asin A－csin C＋bsin A＝0，则＝(　　) A. B. C. D. 11.已知△ABC中，A＝，B＝，a＝1，则b等于(　　) A.2 B.1 C. D. 12.(多选)已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是(　　) A.若tan A＋tan B＋tan C＞0，则△ABC是锐角三角形 B.若acos A＝bcos B，则△ABC是等腰三角形 C.若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC是等腰三角形 D.若＝＝，则△ABC是等边三角形 13．已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD.当取得最小值时，BD＝ . 14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为 ． 15.已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝2，c＝3，A＝2B，则a＝________. 16.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五的“田域类”中写道：问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.意思是已知三角形沙田的三边长分别为13里，14里，15里，求三角形沙田的面积.则该沙田的面积为________平方里. 17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin Csin(A＋C)＝2csin Asin2 ，则角B的大小为________；若a＋c＝6，△ABC的面积为2，则b的值为________. 18.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B＝150°. (1)若a＝c，b＝2，求△ABC的面积； (2)若sin A＋sin C＝，求C. 19.在①cos C(acos B＋bcos A)＝csin C，②asin＝csin A，③(sin B－sin A)2＝sin2C－sin Bsin A这三个条件中任选一个，补充在下面问题中. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，当________时，求sin A·sin B的最大值. 20．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcos C＝(2a－c)cos B. (1)求B； (2)若b＝3，sin C＝2sin A，求△ABC的面积． 21．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知bsin()＝asin B. (1)求角A的大小； (2)若b，a，c成等比数列，判断△ABC的形状． 优化提升 22．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin Asin Bsin C＝，△ABC的面积为2，则下列选项错误的是(　　) A．abc＝16 B．若a＝，则A＝ C．△ABC外接圆的半径R＝2 D．≥32sin C 23.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＋c2－bc＝a2，bc＝a2，则角C的大小是(　　) A.或 B. C. D. 24．(多选)对于△ABC，有如下判断，其中正确的是(　　) A．若cos A＝cos B，则△ABC为等腰三角形 B．若A>B，则sin A>sin B C．若a＝8，c＝10，B＝60°，则符合条件的△ABC有两个 D．若sin2A＋sin2B<sin2C，则△ABC是钝角三角形 25．(多选)已知△ABC满足sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶，且△ABC的面积S△ABC＝，则下列命题正确的是(　　) A．△ABC的周长为5＋ B．△ABC的三个内角A，B，C满足关系A＋B＝2C C．△ABC的外接圆半径为 D．△ABC的中线CD的长为 26.已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，a＝3，则△ABC的周长的最大值为________. 27．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csin A＝acos C，c＝2，ab＝8，则a＋b的值是 ． 28．在△ABC中，已知AB＝4，AC＝7，BC边的中线AD＝，那么BC＝ . 29.如图，△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知a2＋c2＝b2＋ac，则B＝ .若线段AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，且BC＝4，DE＝.则△BCE的面积为 ． 30.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2. (1)若2sin C＝3sin A，求△ABC的面积； (2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由. 参考答案： 基础摸查 【习题导入】 1．C　2.A　3.45°或135° 【知识归纳】 1.　　b2＋c2－2bccos A　c2＋a2－2cacos B　a2＋b2－2abcos C (1)2Rsin B　2Rsin C　(2)　 (3)sin A∶sin B∶sin C 　　 3．(2)absin C　acsin B bcsin A　(3)r(a＋b＋c) 【题型展示】 跟踪训练1 (1)证明　方法一　 由sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)， 可得sin Csin Acos B－sin Ccos Asin B ＝sin Bsin Ccos A－sin Bcos Csin A， 结合正弦定理＝＝， 可得accos B－bccos A ＝bccos A－abcos C， 即accos B＋abcos C ＝2bccos A(*)． 由余弦定理可得 accos B＝， abcos C＝， 2bccos A＝b2＋c2－a2， 将上述三式代入(*)式整理， 得2a2＝b2＋c2. 方法二　因为A＋B＋C＝π， 所以sin Csin(A－B) ＝sin(A＋B)·sin(A－B) ＝sin2Acos2B－cos2Asin2B ＝sin2A(1－sin2B)－ (1－sin2A)·sin2B ＝sin2A－sin2B， 同理有sin Bsin(C－A)＝sin(C＋A)·sin(C－A)＝sin2C－sin2A. 又sin Csin(A－B) ＝sin Bsin(C－A)， 所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A， 即2sin2A＝sin2B＋sin2C， 故由正弦定理可得2a2＝b2＋c2. (2)解　由(1)及a2＝b2＋c2－2bccos A得，a2＝2bccos A，所以2bc＝31. 因为b2＋c2＝2a2＝50， 所以(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝81， 得b＋c＝9， 所以△ABC的周长l＝a＋b＋c＝14. 例2 (1)A (2)D 例3 解　(1)由正弦定理 ＝， 得sin A＝. 因为cos C＝，所以sin C＝， 又＝， 所以sin A＝＝. (2)由(1)知sin A＝， 因为a＝<c，所以0<A<， 所以cos A＝， 所以sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋sin Ccos A＝×＋× ＝. 因为＝，即＝， 所以c＝4， 所以S△ABC＝bcsin A ＝×11×4×＝22. 例4 解　(1)设△ABC的外接圆半径为R，由题意πR2＝， 解得R＝. 由题意及正弦定理可得 sin∠ABC(1＋cos C) ＝sin Csin∠ABC， 因为sin∠ABC≠0， 所以1＋cos C＝sin C， 即2sin＝1， 因为0<C<π， 所以C－∈， 故C－＝， 即C＝. 故c＝2Rsin C＝2××＝7. (2)因为a＝5，c＝7，C＝， 故cos C＝＝， 得b2－5b－24＝0， 解得b＝8(b＝－3舍去)． 在△ABC中，由余弦定理可得 cos∠ABC＝＝， 所以sin∠ABC＝. 由cos∠AMC＝得 sin∠AMC＝. 故sin∠BAM ＝sin(∠ABC－∠AMC) ＝sin∠ABCcos∠AMC－cos∠ABCsin∠AMC＝， 在△ABM中，由正弦定理可得 ＝， 则BM＝×＝5. 跟踪训练2 (1)解　若选①， 则由b2＋ac＝a2＋c2， 得ac＝a2＋c2－b2. 由余弦定理得 cos B＝＝＝. 因为B∈(0，π)， 所以B＝. 由正弦定理得＝， 即＝，解得a＝. 因为C＝π－A－B ＝π－－＝， 所以sin C＝sin ＝sin ＝sin cos ＋cos sin  ＝， 所以S△ABC＝absin C＝×××＝. 若选②，因为cos B＝bcos A， A＝，b＝， 所以cos B＝bcos A＝cos ＝. 因为B∈(0，π)， 所以B＝. 由正弦定理得＝， 即＝，解得a＝. 因为C＝π－A－B ＝π－－＝， 所以sin C＝sin ＝sin ＝sin cos ＋cos sin  ＝， 所以S△ABC＝absin C ＝×××＝. 若选③，则由sin B＋cos B＝， 得sin＝， 所以sin＝1. 因为B∈(0，π)， 所以B＋∈， 所以B＋＝，所以B＝. 由正弦定理得＝， 即＝，解得a＝. 因为C＝π－A－B ＝π－－＝， 所以sin C＝sin ＝sin ＝sin cos ＋cos sin  ＝， 所以S△ABC＝absin C ＝×××＝. (2)BC (3)解　①若选①， 因为c(sin A－sin C) ＝(a－b)(sin A＋sin B)， 由正弦定理得 c(a－c)＝(a－b)(a＋b)， 整理得a2＋c2－b2＝ac， 所以cos B＝＝＝， 又0<B<π，所以B＝. 若选②， 因为2bcos A＋a＝2c， 由余弦定理得 2b·＋a＝2c， 化简得，a2＋c2－b2＝ac， 所以cos B＝＝＝， 又0<B<π，所以B＝. 若选③， 因为acsin B＝a2＋c2－b2， 由余弦定理得 acsin B＝2accos B， 化简得tan B＝， 又0<B<π，所以B＝. ②由①得，A＋C＝， 则0<A<， sin A＋sin C＝sin A＋sin ＝sin A＋cos A ＝sin， 又<A＋<， 所以<sin≤1， 则sin A＋sin C的取值范围是. ③当sin A＋sin C取得最大值时， A＋＝， 解得A＝， 又B＝， 所以△ABC为等边三角形， 令∠ACD＝θ，∠ADC＝α，AB＝AC＝BC＝a， 则由正弦定理可得＝， 所以sin α＝asin θ. 又由余弦定理得，a2＝22＋12－2×2×1×cos α， 所以a2cos2θ＝a2－a2sin2θ＝cos2α－4cos α＋4， 所以acos θ＝2－cos α. S△BCD＝×a×2sin ＝acos θ＋asin θ ＝(2－cos α)＋sin α ＝＋sin≤＋1， 当且仅当α＝∠ADC＝时等号成立， 所以△BCD面积的最大值为＋1. 基础夯实 1．B　 2.D 3.B 4.A 5.C 6．C 7.D　 8.B　 9.A　 10.A 11.D 12.ACD 13.－1 14. 15. 16.84 17.　2 18.解　(1)由题设及余弦定理得 28＝3c2＋c2－2×c2×cos 150°， 解得c＝－2(舍去)或c＝2，从而a＝2. 因此△ABC的面积为 ×2×2×sin 150°＝. (2)在△ABC中，A＝180°－B－C＝30°－C， 所以sin A＋sin C＝sin(30°－C)＋sin C ＝sin(30°＋C)， 故sin(30°＋C)＝. 而0°<C<30°，所以30°<30°＋C<60°， 所以30°＋C＝45°，故C＝15°. 19.解　若选①，由正弦定理得 cos C(sin Acos B＋sin Bcos A) ＝sin Csin C， 即cos Csin(A＋B)＝sin Csin C， ∵sin C≠0，∴tan C＝， ∵C∈(0，π)，∴C＝. ∴A＋B＝， ∴sin A·sin B＝sin A·sin ＝sin A· ＝sin A·cos A＋sin2A ＝sin 2A＋(1－cos 2A) ＝sin＋， ∵A∈，∴2A－∈， ∴当A＝时，sin A·sin B取得最大值为. 若选②，由正弦定理得 sin Asin ＝sin Csin A， ∵sin A≠0，∴cos ＝sin C＝2sin cos ， ∵cos ≠0，∴sin ＝， ∵C∈(0，π)，∴C＝. 余下同①. 若选③，由正弦定理得(b－a)2＝c2－ba， 即a2＋b2－c2＝ba，∴cos C＝＝＝， ∵C∈(0，π)，∴C＝. 余下同①. 20．解　(1)由正弦定理，得sin Bcos C＝2sin Acos B－cos Bsin C， 即sin Bcos C＋cos Bsin C ＝2sin Acos B， ∴sin(B＋C)＝2sin Acos B， ∴sin A＝2sin Acos B， 又∵sin A≠0，∴cos B＝， ∵B为三角形内角，∴B＝. (2)∵sin C＝2sin A，∴由正弦定理得c＝2a， ∴由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋4a2－2a2＝9，即3a2＝9， ∴a＝，c＝2， ∴△ABC的面积为S＝acsin B＝××2×＝. 21．解　(1)∵bsin＝asin B，由诱导公式得bcos A＝asin B， 由正弦定理得 sin Bcos A＝sin Asin B， ∵sin B≠0，∴cos A＝sin A， 即tan A＝， ∵A∈(0，π)，∴A＝. (2)∵b，a，c成等比数列，∴a2＝bc， 由余弦定理得cos A＝＝＝， 即b2＋c2－bc＝bc， ∴(b－c)2＝0，∴b＝c， 又由(1)知A＝， ∴△ABC为等边三角形． 优化提升 22．B 23.A 24．ABD 25．ABD 26.9 27．6 28．9 29.　2 30.解　(1)因为2sin C＝3sin A，所以2c＝3a，又因为c＝a＋2，所以2(a＋2)＝3a，则a＝4，b＝a＋1＝5，c＝a＋2＝6， 所以cos C＝＝，所以C为锐角，则sin C＝＝， 因此S△ABC＝absin C＝×4×5×＝. (2)显然c>b>a，若△ABC为钝角三角形，则C为钝角， 故由余弦定理可得cos C＝ ＝＝ <0，又a>0， 故解得0<a<3. 又由三角形三边关系可得a＋a＋1>a＋2，可得a>1，故1<a<3. 又a为正整数，故a＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $$