第6节函数y＝Asin(ωx＋φ)（基础摸查+基础夯实+优化提升）学案-2025届高三数学一轮复习

第4部分第6节《函数y＝Asin(ωx＋φ)》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升 基础摸查 【习题导入】 1．为了得到函数y＝2sin 3x的图象，只要把函数y＝2sin()图象上所有的点(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 2．函数y＝2sin()的振幅、频率和初相分别为(　　) A．2，， B．2，， C．2，， D．2，，－ 3．某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系式f(t)＝2sin()，其中f(t)的单位为m，t的单位是h，则12点时潮水的高度是________m. 【知识归纳】 1．简谐运动的有关概念 已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝_____ f＝＝ ωx＋φ φ 2.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特征点 ωx＋φ 0 π 2π x y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径 常用结论： 1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”． 2．函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标． 【题型展示】 题型一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换 例1　(1)将函数f(x)＝sin()(ω＞0)的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是(　　) A. B. C. D. (2)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin()的图象，则f(x)等于(　　) A．sin() B．sin() C．sin() D．sin() 跟踪训练1 (1)将函数y＝tan()(ω>0)的图象分别向左、向右各平移个单位长度后，所得的两个图象对称中心重合，则ω的最小值为(　　) A. B．2 C．3 D．6 　(2)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin()，为了得到曲线C2，则对曲线C1的变换正确的是(　　) A．先把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向右平移个单位长度 B．先把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向左平移个单位长度 C．先把横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向右平移个单位长度 D．先把横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向左平移个单位长度 题型二　由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 例2　(1)已知函数f(x)＝2cos (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f()＝______. (2)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)＋b的大致图象如图所示，将函数f(x)的图象上点的横坐标拉伸为原来的3倍后，再向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的单调递增区间为(　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 跟踪训练2　(1)已知函数g(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，将函数g(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数f(x)的图象，则f()＝________. (2)设函数f(x)＝cos()在[－π，π]上的图象大致如图，则f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝cos() B．f(x)＝cos() C．f(x)＝cos() D．f(x)＝cos() 题型三　三角函数图象、性质的综合应用 命题点1　图象与性质的综合应用 例3　已知函数f(x)＝sin 2ωx＋cos 2ωx(ω>0)的零点构成一个公差为的等差数列，把f(x)的图象沿x轴向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则(　　) A．g(x)在[]上单调递减 B．点()是g(x)的一个对称中心 C．g(x)是奇函数 D．g(x)在区间[]上的值域为[0,2] 命题点2　函数零点(方程根)问题 例4　已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在()上有两个不同的实数根，则m的取值范围是____________． 命题点3　三角函数模型 例5　(多选)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图1)，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图2)．一半径为2米的筒车水轮如图3所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图3中点P0)开始计时，则下列结论正确的是(　　) A．点P再次进入水中时用时30秒 B．当水轮转动50秒时，点P处于最低点 C．当水轮转动150秒时，点P距离水面2米 D．点P第二次到达距水面(1＋)米时用时25秒 跟踪训练3　(1)时钟花是原产于南美热带雨林的藤蔓植物，其开放与闭合与体内的一种时钟酶有关．研究表明，当气温上升到20 ℃时，时钟酶活跃起来，花朵开始开放；当气温上升到28 ℃时，时钟酶的活性减弱，花朵开始闭合，且每天开闭一次．已知某景区一天内5～17时的气温T(单位： ℃)与时间t(单位：h)近似满足关系式T＝20－10sin()，则该景区这天时钟花从开始开放到开始闭合约经历(　　) A．1.4 h B．2.4 h C．3.2 h D．5.6 h (2)已知函数f(x)＝sin πωx－cos πωx(ω>0)在(0,1)内恰有3个极值点和4个零点，则实数ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. (3)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，把函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，得到函数y＝g(x)的图象，则下列说法正确的是(　　) A．g()为偶函数 B．g(x)的最小正周期是π C．g(x)的图象关于直线x＝对称 D．g(x)在区间()上单调递减 基础夯实 1.将函数y＝sin()的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，所得到的图象的解析式是（　　） A.y＝sin x B.y＝cos x C.y＝sin 4x D.y＝cos 4x 2.已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）的部分图象如图所示，则φ的值为（　　） A.－ B. C.－ D. 3.人的心脏跳动时，血压在增加或减少，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值.设某人的血压满足函数式p（t）＝101＋25sin（160πt），其中p（t）为血压（单位：mmHg），t为时间（单位：min），则下列说法正确的是（　　） A.收缩压和舒张压均高于相应的标准值 B.收缩压和舒张压均低于相应的标准值 C.收缩压高于标准值，舒张压低于标准值 D.收缩压低于标准值，舒张压高于标准值 4．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为(　　) A．y＝－cos 2x B．y＝cos 2x C．y＝sin() D．y＝sin() 5．已知函数f(x)＝cos()，先将其图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变)，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则(　　) A．g(x)的最小正周期是2π B．g(x)的最小值为－2 C．g(x)在(0，π)上单调递增 D．g(x)的图象关于点()对称 6．已知函数f(x)＝－sin2ωx(ω>0)的最小正周期为π，若将其图象沿x轴向右平移a(a>0)个单位长度，所得图象关于直线x＝对称，则实数a的最小值为(　　) A．π B. C. D. 7．为了得到y＝sin()的图象，只需将y＝sin x图象上每一点的纵坐标不变(　　) A．每一点的横坐标变为原来的，再向右平移个单位长度 B．每一点的横坐标变为原来的4倍，再向右平移个单位长度 C．先向右平移个单位长度，再把每一点的横坐标变为原来的4倍 D．先向右平移个单位长度，再把每一点的横坐标变为原来的 8．函数f(x)＝sin()的图象是由函数g(x)的图象向左平移φ个单位长度得到的，若g()＝－f()，则φ的值为(　　) A. B. C. D. 9.已知直线y＝－2与函数f（x）＝2sin()（其中ω＞0）的相邻两交点间的距离为π，则函数f（x）的单调递增区间为（　　） A.，k∈Z B.，k∈Z C.，k∈Z D.，k∈Z 10.（多选）将函数y＝sin()·cos()的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的取值可能是（　　） A.－ B.－ C. D. 11.（多选）函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（x）＝（　　） A.2sin() B.2sin() C.2cos() D.2cos() 12．(多选)血压(BP)是指血液在血管内流动时作用于单位面积血管壁的侧压力，它是推动血液在血管内流动的动力．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压．在未使用抗高血压药的前提下，18岁以上成人的收缩压≥140 mmHg或舒张压≥90 mmHg，则说明该成人有高血压．设从未使用抗高血压药的陈华今年45岁，从某天早晨6点开始计算(即早晨6点时，t＝0 h)，他的血压p(t)(mmHg)与经过的时间t(h)满足关系式p(t)＝115＋20sin()，则下列选项中正确的是(　　) A．当天早晨6～7点，陈华的血压逐渐上升 B．当天早晨9点时陈华的血压为125 mmHg C．当天陈华没有高血压 D．当天陈华的收缩压与舒张压之差为40 mmHg 13．已知函数f(x)＝2sin()，将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)在[0,2π]上的单调递减区间为________． 14．函数y＝sin(2x＋φ)的图象向右平移个单位长度后所得函数图象关于y轴对称，则φ＝________. 15.将函数y＝3sin()的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是　　　　. 16.已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin()，则为了得到曲线C1，首先要把C2上各点的横坐标变为原来的　　　　倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右至少平移　　　　个单位长度.（本题所填数字要求为正数） 17.已知函数f（x）＝cos()，其中x∈，若f（x）的值域是，则m的取值范围是　　　　. 18.已知函数f（x）＝－cos()＋1－2sin2x. （1）用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数f（x）在[0，π]上的图象； （2）先将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）图象的对称中心. 19.已知函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）＋1，函数f（x）的图象上两相邻对称轴之间的距离为，　　　　. （1）在①函数f（x）的图象的一条对称轴为直线x＝－，②函数f（x）的图象的一个对称中心为点，③函数f（x）的图象经过点这三个条件中任选一个补充至横线上，然后确定函数的解析式； （2）若动直线x＝t，t∈[0，π]与函数f（x）和函数g（x）＝2sin xcos x的图象分别交于P，Q两点，求线段PQ长度的最大值及此时t的值. （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 20．求范围和图象： (1)y＝sin x的函数图象先向左平移个单位长度，然后横坐标变为原来的，得到f(x)的图象，求f(x)在上的取值范围； (2)如图所示， 请用“五点法”列表，并画出函数y＝2sin在一个周期内的图象． 2x＋ x y 21．已知函数f(x)＝sin ωx＋2cos2＋m的最小值为－2. (1)求函数f(x)的最大值； (2)把函数y＝f(x)的图象向右平移个单位长度，可得函数y＝g(x)的图象，且函数y＝g(x)在上单调递增，求ω的最大值． 优化提升 22.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象如图，则f(x)的解析式和S＝f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＋f(2 023)的值分别为(　　) A．f(x)＝sin 2πx＋1，S＝2 023 B．f(x)＝sin 2πx＋1，S＝2 023  C．f(x)＝sin x＋1，S＝2 024  D．f(x)＝sin x＋1，S＝2 024 23．已知函数f(x)＝2sin()sin()＋sin x，将函数f(x)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，然后再向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得的图象关于y轴对称，则φ的值为(　　) A. B．－ C. D. 24.设函数f（x）＝sin()（ω＞0）的部分图象如图所示，且满足f（2）＝0.则f（x）的最小正周期为（　　） A. B.16 C. D. 25．信息传递多数是以波的形式进行传递，其中必然会存在干扰信号(如y＝Asin(ωx＋φ) ，某种“信号净化器”可产生形如y＝A0sin(ω0x＋φ0)的波，只需要调整参数(A0，ω0，φ0)，就可以产生特定的波(与干扰波波峰相同，方向相反的波)来“对抗”干扰．现有波形信号的部分图象，想要通过“信号净化器”过滤得到标准的正弦波(标准正弦函数图象)，应将波形净化器的参数分别调整为(　　) A．A0＝，ω0＝4，φ0＝ B．A0＝－，ω0＝4，φ0＝ C．A0＝1，ω0＝1，φ0＝0 D．A0＝－1，ω0＝1，φ0＝0 26．若函数f(x)＝cos 2x＋sin()在(0，α)上恰有2个零点，则α的取值范围为(　　) A. B. C. D. 27.已知函数f（x）＝2cos （ωx＋φ）的部分图象如图所示，则满足条件＞0的最小正整数x为　　　　. 28．如图为函数f(x)＝Asin(2x＋φ)的部分图象，对于任意的x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，若f(x1)＝f(x2)，都有f(x1＋x2)＝，则φ＝________. 29．风车发电是指把风的动能转化为电能．如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为120°.现有一座风车，塔高60米，叶片长度为30米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且6秒旋转一圈，风车开始旋转时，某叶片的一个端点P在风车的最低点(P离地面30米)，设点P离地面的距离为S(米)，转动时间为t(秒)，则S与t之间的函数解析式为________，一圈内点P离地面的高度不低于45米的时长为________秒． 30.已知函数f（x）＝sin()＋＋b. （1）若函数f（x）的图象关于直线x＝对称，且ω∈[0，3]，求函数f（x）的单调递增区间； （2）在（1）的条件下，当x∈时，函数f（x）有且只有一个零点，求实数b的取值范围. 参考答案： 基础摸查 【习题导入】 1．D　2.A　3.1 【知识归纳】 1. 2.　　 　 3．|φ|　　　　A　A 【题型展示】 例1 (1)C (2)B 跟踪训练1 (1)A (2)C 例2 (1)－ (2)C 跟踪训练2 (1)1 (2)B 例3 B 例4 (－2，－1) 例5 BCD 跟踪训练3 (1)B (2)A (3)B 基础夯实 1.A 2.B 3.C 4．C 5．C 6．B 7．C　 8.A　 9.B 10.ACD 11.BC 12.ABD 13.　 14.－ 15.x＝－ 16.2　 17. 18.解　（1）f（x）＝－cos＋1－2sin2x＝sin 2x＋cos 2x＝2sin. 列表如下： x 0 π f（x） 1 2 0 －2 0 1 描点、连线，函数f（x）在区间[0，π]上的图象如图. （2）将函数f（x）＝2sin的图象向右平移个单位后得到y＝2sin＝2sin的图象，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g（x）＝2sin的图象. 由－＝kπ（k∈Z）得x＝2kπ＋（k∈Z），故g（x）图象的对称中心为 （k∈Z）. 19.解　（1）函数f（x）的图象上两相邻对称轴之间的距离为，得该函数的最小正周期 T＝2×＝π， ∴ω＝＝＝2， 此时f（x）＝2sin（2x＋φ）＋1. 若选①函数f（x）的图象的一条对称轴为直线x＝－，则－＋φ＝＋kπ（k∈Z），得φ＝＋kπ（k∈Z）. ∵|φ|<，∴当k＝－1时，φ＝， 此时f（x）＝2sin＋1. 若选②函数f（x）的图象的一个对称中心为点，则＋φ＝kπ（k∈Z）， 得φ＝kπ－（k∈Z）. ∵|φ|<，∴当k＝1时，φ＝， 此时f（x）＝2sin＋1. 若选③函数f（x）的图象经过点， 则f＝2sin＋1＝0， 得sin＝－. ∵|φ|<，∴<＋φ<， ∴＋φ＝，解得φ＝， 此时f（x）＝2sin＋1. （2）由（1）可知，函数f（x）的解析式为 f（x）＝2sin＋1. 令h（x）＝f（x）－g（x） ＝2sin＋1－2sin xcos x ＝2＋1－sin 2x ＝cos 2x＋1≥0， ∴|PQ|＝h（t）＝cos 2t＋1. ∵t∈[0，π]，∴2t∈[0，2π]， 当2t＝0或2t＝2π，即当t＝0或t＝π时，线段PQ的长取到最大值2. 20．解　(1)由题设，可得f(x)＝sin，当x∈时， 2x＋∈， 所以f(x)∈. (2) 2x＋ 0 π 2π x － y 0 2 0 －2 0 所以y＝2sin的图象如图． 21．解　(1)f(x)＝sin ωx＋2cos2＋m＝sin ωx＋cos ωx＋1＋m＝2sin＋1＋m， ∵函数f(x)的最小值为－2， ∴－2＋1＋m＝－2，解得m＝－1， 则f(x)＝2sin， ∴函数f(x)的最大值为2. (2)由(1)可知，把函数f(x)＝2sin的图象向右平移个单位长度， 可得函数y＝g(x)＝2sin ωx的图象． ∵y＝g(x)在上单调递增， ∴函数g(x)的周期T＝≥， ∴ω≤4，即ω的最大值为4. 优化提升 22．D 23．A 24.A 25．B 26．B 27.2 28. 29．S＝60－30cos t(t>0)　4 30.解　（1）∵函数f（x）＝sin＋＋b， 且函数f（x）的图象关于直线x＝对称， ∴2ω·＋＝kπ＋（k∈Z），且ω∈[0，3]，∴ω＝1. 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋（k∈Z）， 解得kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z）， ∴函数f（x）的单调递增区间为 （k∈Z）. （2）由（1）知f（x）＝sin＋＋b. ∵x∈，∴2x＋∈. 当2x＋∈，即x∈时，函数f（x）单调递增；当2x＋∈， 即x∈时，函数f（x）单调递减. 又f（0）＝f，∴当f>0≥f或f＝0时，函数f（x）有且只有一个零点， 即sin≤－b－<sin或1＋＋b＝0， ∴b∈∪. 故实数b的取值范围为 ∪. 学科网（北京）股份有限公司 $$