专题04 一次函数（易错必刷40题10种题型专项训练）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（北师大版）

专题04一次函数（易错必刷40题10种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 函数关系式 · 函数自变量的取值范围 · 函数的图象 · 一次函数图象上点的坐标特征 · 一次函数图象与几何变换 · 一次函数的应用 · 一次函数的图象 · 一次函数的性质 · 一次函数综合题 · 坐标与图形变化-平移 一．函数关系式（共2小题） 1．某链条每节长为3.5cm，每两节链条相连部分重叠的圆的直径为1.1cm，按照这种连接方式，x节链条总长度为y cm，则y与x的关系式是（　　） A．y＝3.5x B．y＝2.4x C．y＝2.4x+1.1 D．y＝3.5x﹣1.1 2．如图，在矩形中截取两个相同的圆作为圆柱的上、下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成圆柱．设矩形的长和宽分别为y和x，求y关于x的函数解析式 　 　． 二．函数自变量的取值范围（共1小题） 3．函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　） A．x≥1 B．x＞1 C．x≥1且x≠2 D．x≠2 三．函数的图象（共5小题） 4．新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩在后头．骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来．当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追，最后同时到达终点．用S1、S2分别表示乌龟和兔子赛跑的路程，t为赛跑时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（　　） A．B． C．D． 5．甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，设甲乙两人间距离为s（单位：千米），甲行驶的时间为（单位：小时），s与t之间的函数关系如图所示，有下列结论： ①出发1小时时，甲、乙在途中相遇； ②乙开车速度是80千米/小时； ③出发1.5小时时，乙比甲多行驶了60千米； ④出发3小时时，甲乙同时到达终点； 其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．匀速地向一个容器注水，最后把容器注满．在注水的过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OEFG为一折线），那么这个容器的形状可能是下列图中的（　　） A． B． C． D． 7．将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，小水杯中有部分水，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度h（cm）与注水时间t（min）的函数图象大致是（　　） A．B． C．D． 8．如图，边长分别为1和2的两个正方形，其中有一条边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形的面积为S1，小正方形与大正方形重叠部分的面积为S2，若S＝S1﹣S2，则S随t变化的函数图象大致为（　　） A．B． C．D． 四．一次函数的图象（共1小题） 9．已知一次函数y＝kx+b，函数值y随自变量x的增大而减小，且kb＜0，则函数y＝kx+b的图象大致是（　　） A．B．C．D． 五．一次函数的性质（共1小题） 10．已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，当0＜y＜3时，x的取值范围是（　　） A．﹣2＜x＜0 B．﹣2＜x＜2 C．x＞﹣2 D．x≤0 六．一次函数图象上点的坐标特征（共3小题） 11．已知点（﹣4，y1），（2，y2）都在直线y＝﹣x+2上，则y1，y2大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能比较 12．若直线y＝3x+b与两坐标轴所围成的三角形的面积是6个单位，则b的值是　 　． 13．小明根据学习函数的经验，对函数y＝﹣|x|+3的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请你解决相关问题． （1）如表y与x的几组对应值： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … ﹣1 0 1 2 3 2 1 a ﹣1 … ①a＝　 　； ②若A（b，﹣7）为该函数图象上的点，则b＝　 　； （2）如图，在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象； ①该函数有 　 　（填“最大值”或“最小值”）；并写出这个值为 　 　； ②求出函数图象与坐标轴在第二象限内所围成的图形的面积． 七．一次函数图象与几何变换（共2小题） 14．如图，将八个边长为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中，若过原点的直线l将图形分成面积相等的两部分，则将直线l向右平移3个单位长度后所得直线l′的函数解析式为　 　． 15．如图，一次函数y＝（m+1）x+4的图象与x轴的负半轴相交于点A，与y轴相交于点B，且△OAB面积为4． （1）则m＝　 　，点A的坐标为（ 　 　，　 　）． （2）过点B作直线BP与x轴的正半轴相交于点P，且OP＝4OA，求直线BP的解析式； （3）将一次函数y＝（m+1）x+4的图象绕点B顺时针旋转45°，求旋转后的对应的函数表达式． 八．一次函数的应用（共14小题） 16．如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系，已知日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润，下列结论错误的是（　　） A．第24天的销售量为200件 B．第10天销售一件产品的利润是15元 C．第12天与第30天这两天的日销售利润相等 D．第30天的日销售利润是750元 17．物理课上小刚在探究弹簧测力计的“弹簧的长度与受到的拉力之间的关系”时，在弹簧的弹性限度内，通过实验获得下面的一组数据．在弹簧的弹性限度内，若拉力为7.5N，则弹簧长度为（　　） 拉力/N 0 1 2 3 4 5 6 弹簧长度/cm 10.0 12.0 14.0 16.0 18.0 20.0 22.0 A．24 cm B．25 cm C．25.5cm D．26 cm 18．甲从A地去B地，乙从B地去A地，二人同时出发且始终保持匀速行驶，各自到达终点后停止．甲、乙两人之间的距离s（单位：米）与乙行驶的时间t（单位：分钟）之间的关系如图所示，则下列结论不正确的是（　　） A．A，B两地相距3600米 B．出发40分钟，甲与乙相遇 C．乙的速度为40米/分钟 D．a的值为70 19．中国人逢山开路，遇水架桥，靠自己勤劳的双手创造了世界奇迹．雅西高速是连接雅安和西昌的高速公路，被国内外专家学者公认为全世界自然环境最恶劣、工程难度最大、科技含量最高的山区高速公路之一，全长240km．一辆货车和一辆轿车先后从西昌出发驶向雅安，如图，线段OM表示货车离西昌距离y1（km）与时间x（h）之间的函数关系，线段AN表示轿车离西昌距离y2（km）与时间x（h）之间的函数关系，则货车出发 　 　小时后与轿车相遇． 20．某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元． （1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润； （2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元． ①求y关于x的函数关系式； ②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？ （3） 实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m（0＜m＜100）元，且限定商店最多购进A型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案． 21．为了贯彻落实市委市府提出的“精准扶贫”精神．某校特制定了一系列关于帮扶A、B两贫困村的计划．现决定从某地运送152箱鱼苗到A、B两村养殖，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A、B两村的运费如下表： 目的地 车型 A村（元/辆） B村（元/辆） 大货车 800 900 小货车 400 600 （1）求这15辆车中大小货车各多少辆？ （2）现安排其中10辆货车前往A村，其余货车前往B村，设前往A村的大货车为x辆，前往A、B两村总费用为y元，试求出y与x的函数解析式． （3）在（2）的条件下，若运往A村的鱼苗不少于100箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用． 22．某地为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制，即每月用水量不超过12吨（含12吨）时，每吨按政府补贴优惠价收费；每月超过12吨，超过部分每吨按市场调节价收费，小黄家1月份用水24吨，交水费42元．2月份用水20吨，交水费32元． （1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场调节价分别是多少元； （2）设每月用水量为x吨，应交水费为y元，写出y与x之间的函数关系式； （3）小黄家3月份用水26吨，他家应交水费多少元？ 23．快、慢两车分别从相距180千米的甲、乙两地同时出发，沿同一路线匀速行驶，相向而行，快车到达乙地停留一段时间后，按原路原速返回甲地．慢车到达甲地比快车到达甲地早小时，慢车速度是快车速度的一半，快、慢两车到达甲地后停止行驶，两车距各自出发地的路程y（千米）与所用时间x（小时）的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题： （1）请直接写出快、慢两车的速度； （2）求快车返回过程中y（千米）与x（小时）的函数关系式； （3）两车出发后经过多长时间相距90千米的路程？直接写出答案． 24．某市A，B两个蔬菜基地得知四川C，D两个灾民安置点分别急需蔬菜240t和260t的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知A蔬菜基地有蔬菜200t，B蔬菜基地有蔬菜300t，现将这些蔬菜全部调运C，D两个灾民安置点从A地运往C，D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往C，D两处的费用分别为每吨15元和18元．设从B地运往C处的蔬菜为x吨． （1）请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值： C D 总计/t A 　 　 　 　 200 B x 　 　 300 总计/t 240 260 500 （2）设A，B两个蔬菜基地的总运费为w元，求出w与x之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案； （3）经过抢修，从B地到C处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m元（m＞0），其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案． 25．水平放置的容器内原有210毫米高的水，如图，将若干个球逐一放入该容器中，每放入一个大球水面就上升4毫米，每放入一个小球水面就上升3毫米，假定放入容器中的所有球完全浸没水中且水不溢出．设水面高为y毫米． （1）只放入大球，且个数为x大，求y与x大的函数关系式（不必写出x大的范围）； （2）仅放入6个大球后，开始放入小球，且小球个数为x小 ①求y与x小的函数关系式（不必写出x小范围）； ②限定水面高不超过260毫米，最多能放入几个小球？ 26．洋洋和妮妮分别从学校和公园同时出发，沿同一条路相向而行．洋洋开始跑步中途改为步行，到达公园恰好用了30min．妮妮骑单车以300m/min的速度直接回学校．两人离学校的路程y（m）与各自离开出发地的时间x（min）之间的函数图象如图所示． （1）学校与公园之间的路程为 　 　m，洋洋步行的速度为 　 　m/min； （2）求妮妮离学校的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）求两人相遇的时间． 27．在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，各种状态如图甲所示，其中，弹簧测力计在状态②和④显示的读数分别为10N和5N．整个过程中，弹簧测力计读数F与圆柱体下降高度h的关系图象如图乙所示． （1）图乙中，点A对应状态 　 　，点B对应状态 　 　，（“状态”后填写图形序号）a＝　 　，b＝　 　； （2）已知弹簧测力计在状态③时显示的读数为8N，求圆柱体浸入水中的高度． 28．上游A地与下游B地相距80km，一艘游船计划先从A地出发顺水航行到达B地，然后立即返回A地．已知航行过程中，水流速度和该船的静水速度都不变．如图是这艘游船离A地的距离y（km）与航行时间x（小时）之间关系图象．已知船顺水航行、逆水航行的速度分别是船在静水中的速度与水流速度的和与差． （1）求y与x的函数表达式； （2）一艘货船在A地下游24km处，货船与A处的游船同时前往B地，已知货船的静水速度为6km/时．求货船在前往B地的航行途中与游船相遇的时间． 29．甲、乙两辆汽车沿同一路线赶赴距出发地300千米的目的地，乙车比甲车晚出发1小时（从甲车出发时开始计时）．图中折线OABD、线段EF分别表示甲、乙两车所行路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系对应的图象（线段AB表示甲出发不足1小时因故停车检修）．请根据图象所提供的信息，解决如下问题： （1）求乙车行驶的路程y与时间x的函数关系式； （2）求甲车发生故障时，距离出发地多少千米； （3）请直接写出第一次相遇后，经过多长时间两车相距30千米？ 九．一次函数综合题（共10小题） 30．如图，已知点A（﹣1，0）和点B（1，2），在y轴上确定点P，使得△ABP为直角三角形，则满足条件的点P共有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 31．一次函数y＝x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，在x轴上取一点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的点C的坐标为　 　． 32．如图，直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于点A（4，0）、B（0，4），点P在x轴上运动，连接PB，将△OBP沿直线BP折叠，点O的对应点记为O′． （1）求k、b的值； （2）若点O′恰好落在直线AB上，求△OBP的面积； （3）将线段PB绕点P顺时针旋转45°得到线段PC，直线PC与直线AB的交点为Q，在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得△PBQ为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 33．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C（2，m）为直线y＝x+2上一点，直线y＝﹣x+b过点C． （1）求m和b的值； （2）直线y＝﹣x+b与x轴交于点D，动点P从点D开始以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动．设点P的运动时间为t秒． ①若点P在线段DA上，且△ACP的面积为10，求t的值； ②是否存在t的值，使△ACP为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 34．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+8分别交x轴、y轴于点A、B，将正比例函数y＝2x的图象沿y轴向下平移3个单位长度得到直线l，直线l分别交x轴、y轴于点C、D，交直线AB于点E． （1）直接写出直线l对应的函数表达式； （2）在直线AB上存在点F（不与点E重合），使BF＝BE，求点F的坐标； （3）在x轴上是否存在点P，使∠PDO＝2∠PBO？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 35．如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过AB中点D的直线CD交x轴于点C，且经过第一象限的点E（6，4）． （1）求A，B两点的坐标及直线CD的函数表达式； （2）连接BE，求△DBE的面积； （3）连接DO，在坐标平面内找一点F，使得以点C，O，F为顶点的三角形与△COD全等，请直接写出点F的坐标． 36．如图，直线y＝﹣x+4和直线y＝2x+1相交于点A，分别与y轴交于B，C两点． （1）求点A的坐标； （2）在x轴上有一动点P（a，0），过点P作x轴的垂线，分别交函数y＝﹣x+4和y＝2x+1的图象于点D，E，若DE＝6，求a的值． （3）在（2）的条件下，点Q为x轴负半轴上任意一点，直接写出△DEQ为等腰三角形时Q点的坐标． 37．如图，在平面直角坐标系中，已知直线PA是一次函数y＝x+m（m＞0）的图象，直线PB是一次函数y＝﹣3x+n（n＞m）的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点． （1）用m、n分别表示点A、B、P的坐标； （2）若四边形PQOB的面积是，且CQ＝AO，试求点P的坐标，并求出直线PA与PB的函数表达式； （3）在（2）的条件下，是否存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 38．【模型建立】 （1）如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA； 【模型应用】 （2）如图2，已知直线l1：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1绕点A逆时针旋转45°至直线l2；求直线l2的函数表达式； （3）如图3，平面直角坐标系内有一点B（3，﹣4），过点B作BA⊥x轴于点A、BC⊥y轴于点C，点P是线段AB上的动点，点D是直线y＝﹣2x+1上的动点且在第四象限内．试探究△CPD能否成为等腰直角三角形？若能，求出点D的坐标，若不能，请说明理由． 39．如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与坐标轴交于A，B两点，与正比例函数y2＝k′x（k′≠0）交于点C（﹣2，4），OA＝6． （1）求一次函数y1＝kx+b（k≠0）的表达式及△BOC的面积； （2）在线段AB上是否存在点P，使△OAP是以OA为底的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 一十．坐标与图形变化-平移（共1小题） 40．如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB＝90°，BC＝5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0）．将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y＝2x﹣6上时，线段BC扫过的面积为（　　） A．4 B．8 C．16 D．8 $$专题04一次函数（易错必刷40题10种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 函数关系式 · 函数自变量的取值范围 · 函数的图象 · 一次函数图象上点的坐标特征 · 一次函数图象与几何变换 · 一次函数的应用 · 一次函数的图象 · 一次函数的性质 · 一次函数综合题 · 坐标与图形变化-平移 一．函数关系式（共2小题） 1．某链条每节长为3.5cm，每两节链条相连部分重叠的圆的直径为1.1cm，按照这种连接方式，x节链条总长度为y cm，则y与x的关系式是（　　） A．y＝3.5x B．y＝2.4x C．y＝2.4x+1.1 D．y＝3.5x﹣1.1 【答案】C 【解答】解：由题意得： 1节链条的长度＝3.5cm， 2节链条的总长度＝[3.5+（3.5﹣1.1）]cm， 3节链条的总长度＝[3.5+（3.5﹣1.1）×2]cm， ..． ∴x节链条总长度y＝[3.5+（3.5﹣1.1）×（x﹣1）]＝（2.4x+1.1）（cm）， ∴y与x的关系式为：y＝2.4x+1.1． 故选：C． 2．如图，在矩形中截取两个相同的圆作为圆柱的上、下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成圆柱．设矩形的长和宽分别为y和x，求y关于x的函数解析式 　y＝x　． 【答案】y＝x． 【解答】解：由题意得： ＝y﹣， ∴y＝， 即y＝x， 故答案为：y＝x． 二．函数自变量的取值范围（共1小题） 3．函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　） A．x≥1 B．x＞1 C．x≥1且x≠2 D．x≠2 【答案】C 【解答】解：依题意得：x﹣1≥0且x﹣2≠0， 解得x≥1且x≠2． 故选：C． 三．函数的图象（共5小题） 4．新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩在后头．骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来．当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追，最后同时到达终点．用S1、S2分别表示乌龟和兔子赛跑的路程，t为赛跑时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A．此函数图象中，S2先达到最大值，即兔子先到终点，不符合题意； B．此函数图象中，S2第2段随时间增加其路程一直保持不变，与“当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追”不符，不符合题意； C．此函数图象中，乌龟和兔子同时到达终点，符合题意； D．此函数图象中，S1先达到最大值，即乌龟先到终点，不符合题意． 故选：C． 5．甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，设甲乙两人间距离为s（单位：千米），甲行驶的时间为（单位：小时），s与t之间的函数关系如图所示，有下列结论： ①出发1小时时，甲、乙在途中相遇； ②乙开车速度是80千米/小时； ③出发1.5小时时，乙比甲多行驶了60千米； ④出发3小时时，甲乙同时到达终点； 其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：由图象可得，当t＝1时，s＝0， 即出发1小时时，甲乙在途中相遇，故①正确， 甲的速度是：120÷3＝40千米/时，则乙的速度是：120÷1﹣40＝80千米/h，故②正确； 出发1.5小时时，乙比甲多行驶路程是：1.5×（80﹣40）＝60千米，故③正确； 在1.5小时时，乙到达终点，甲在3小时时到达终点，故④错误， 故选：C． 6．匀速地向一个容器注水，最后把容器注满．在注水的过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OEFG为一折线），那么这个容器的形状可能是下列图中的（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：从图中可以看出，OE上升最快，EF上升较慢，FG上升较快， 所以容器的底部容积最小，中间容积最大，上面容积较大， 故选：B． 7．将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，小水杯中有部分水，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度h（cm）与注水时间t（min）的函数图象大致是（　　） A．B． C．D． 【答案】B 【解答】解：将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，小玻璃杯内的水原来的高度一定大于0，则可以判断A、D一定错误，用一注水管沿大容器内壁匀速注水，水开始时不会流入小玻璃杯，因而这段时间h不变，当大杯中的水面与小杯水平时，开始向小杯中流水，h随t的增大而增大，当水注满小杯后，小杯内水面的高度h不再变化． 故选：B． 8．如图，边长分别为1和2的两个正方形，其中有一条边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形的面积为S1，小正方形与大正方形重叠部分的面积为S2，若S＝S1﹣S2，则S随t变化的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由题意得：S的最小值是3，S的最大值是4， 所以函数图象中的横线应该更高一些， 故选：A． 四．一次函数的图象（共1小题） 9．已知一次函数y＝kx+b，函数值y随自变量x的增大而减小，且kb＜0，则函数y＝kx+b的图象大致是（　　） A．B． C．D． 【答案】C 【解答】解：∵一次函数y＝kx+b，y随着x的增大而减小， ∴k＜0， ∴一次函数y＝kx+b的图象经过第二、四象限； ∵kb＜0， ∴b＞0， ∴图象与y轴的交点在x轴上方， ∴一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限． 故选：C． 五．一次函数的性质（共1小题） 10．已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，当0＜y＜3时，x的取值范围是（　　） A．﹣2＜x＜0 B．﹣2＜x＜2 C．x＞﹣2 D．x≤0 【答案】A 【解答】解：由一次函数y＝kx+b的图象可知， 当0＜y＜3时，﹣2＜x＜0， 故选：A． 六．一次函数图象上点的坐标特征（共3小题） 11．已知点（﹣4，y1），（2，y2）都在直线y＝﹣x+2上，则y1，y2大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能比较 【答案】A 【解答】解：∵k＝﹣＜0， ∴y随x的增大而减小． ∵﹣4＜2， ∴y1＞y2． 故选：A． 12．若直线y＝3x+b与两坐标轴所围成的三角形的面积是6个单位，则b的值是　±6　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：直线y＝3x+b与两坐标轴的交点为（0，b）、（﹣，0） 则直线y＝3x+b与两坐标轴所围成的三角形的面积：•|b|•|﹣|＝6 解得：b＝6，b＝﹣6， 则b的值是±6． 故答案为：±6 13．小明根据学习函数的经验，对函数y＝﹣|x|+3的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请你解决相关问题． （1）如表y与x的几组对应值： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … ﹣1 0 1 2 3 2 1 a ﹣1 … ①a＝　0　； ②若A（b，﹣7）为该函数图象上的点，则b＝　±10　； （2）如图，在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象； ①该函数有 　最大值　（填“最大值”或“最小值”）；并写出这个值为 　3　； ②求出函数图象与坐标轴在第二象限内所围成的图形的面积． 【答案】（1）①0； ②±10； （2）图象详见解答部分；①最大值，3； ②． 【解答】解：（1）①当x＝3时，求得a＝0， 故答案为：0； ②若A（b，﹣7）为该函数图象上的点， ∴﹣|x|+3＝﹣7， 解得b＝±10； 故答案为：±10． （2）函数图象如图所示： ①由图知，该函数有最大值3， 故答案为：最大值，3； ②由图知，函数图象与x轴负半轴的交点为（﹣3，0），与y轴正半轴的交点为（0，3）， ∴函数图象在第二象限内所围成的图形的面积为：3×3×＝． 七．一次函数图象与几何变换（共2小题） 14．如图，将八个边长为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中，若过原点的直线l将图形分成面积相等的两部分，则将直线l向右平移3个单位长度后所得直线l′的函数解析式为　y＝x﹣　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作AB⊥OB于B，过A作AC⊥OC于C， ∵正方形的边长为1， ∴OB＝3， ∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分， ∴两边分别是4， ∴三角形ABO面积是5， ∴OB•AB＝5， ∴AB＝， ∴OC＝， 由此可知直线l经过（，3）， 设直线l为y＝kx， 则3＝k， k＝， ∴直线l解析式为y＝x， ∴直线l向右平移3个单位长度后所得直线l′的函数解析式为y＝（x﹣3），即y＝x﹣， 故答案为：y＝x﹣． 15．如图，一次函数y＝（m+1）x+4的图象与x轴的负半轴相交于点A，与y轴相交于点B，且△OAB面积为4． （1）则m＝　1　，点A的坐标为（ 　﹣2　，　0　）． （2）过点B作直线BP与x轴的正半轴相交于点P，且OP＝4OA，求直线BP的解析式； （3）将一次函数y＝（m+1）x+4的图象绕点B顺时针旋转45°，求旋转后的对应的函数表达式． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由一次函数y＝（m+1）x+4，令x＝0，则y＝4， ∴B（0，4）， ∴OB＝4， ∵S△OAB＝4， ∴×OA×OB＝4， 解得OA＝2， ∴A（﹣2，0）， 把点A（﹣2，0）代入y＝（m+1）x+4，得m＝1， 故答案为：1；﹣2，0； （2）∵OP＝4OA，OA＝2， ∴P（8，0）， 设直线BP的解析式为y＝kx+b， 将（8，0），（0，4）代入得， 解得k＝﹣，b＝4， ∴直线BP的解析式为y＝﹣x+4； （3）设直线AB绕点B顺时针旋转 45°得到直线BE，如图，过点A作AF⊥AB交BE 于点F，作FH⊥x轴于H． 则∠AHF＝∠BOA＝90°，AF＝BA，∠FAH＝∠ABO， ∴△AOB≌△FHA（AAS）， ∴FH＝AO＝2，AH＝BO＝4， ∴HO＝6， ∴F（﹣6，2）， 设直线BE的解析式为y＝mx+n，则 把点F和点B的坐标代入，可得 ， 解得， ∴直线BE的解析式为y＝x+4． 八．一次函数的应用（共14小题） 16．如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系，已知日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润，下列结论错误的是（　　） A．第24天的销售量为200件 B．第10天销售一件产品的利润是15元 C．第12天与第30天这两天的日销售利润相等 D．第30天的日销售利润是750元 【答案】C 【解答】解：A、根据图①可得第24天的销售量为200件，故正确； B、设当0≤t≤20，一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为z＝kt+b， 把（0，25），（20，5）代入得：， 解得：， ∴z＝﹣t+25， 当t＝10时，y＝﹣10+25＝15， 故正确； C、当0≤t≤24时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系为y＝k1t+b1， 把（0，100），（24，200）代入得：， 解得：， ∴y＝， 当t＝12时，y＝150，z＝﹣12+25＝13， ∴第12天的日销售利润为：150×13＝1950（元），第30天的日销售利润为：150×5＝750（元）， 750≠1950，故C错误； D、第30天的日销售利润为：150×5＝750（元），故正确． 故选：C． 17．物理课上小刚在探究弹簧测力计的“弹簧的长度与受到的拉力之间的关系”时，在弹簧的弹性限度内，通过实验获得下面的一组数据．在弹簧的弹性限度内，若拉力为7.5N，则弹簧长度为（　　） 拉力/N 0 1 2 3 4 5 6 弹簧长度/cm 10.0 12.0 14.0 16.0 18.0 20.0 22.0 A．24 cm B．25 cm C．25.5cm D．26 cm 【答案】B 【解答】解：根据题意可设，拉力和弹簧长度的关系式为：y＝kx+b， ∵点（0，10），（1，12）在函数图象上， ∴， 解得：． ∴当拉力为7.5N时，即x＝7.5时，y＝2×7.5+10＝25． 故选：B． 18．甲从A地去B地，乙从B地去A地，二人同时出发且始终保持匀速行驶，各自到达终点后停止．甲、乙两人之间的距离s（单位：米）与乙行驶的时间t（单位：分钟）之间的关系如图所示，则下列结论不正确的是（　　） A．A，B两地相距3600米 B．出发40分钟，甲与乙相遇 C．乙的速度为40米/分钟 D．a的值为70 【答案】D 【解答】解：当t＝0时，s＝3600， ∴A，B两地相距3600米， ∴A正确，不符合题意； 当t＝40时，s＝0， ∴出发40分钟，甲与乙相遇， ∴B正确，不符合题意； 当t＝90时，乙到达A地， ∴乙的速度为3600÷90＝40（米/分钟）， ∴C正确，不符合题意； ∴当t＝40时，甲、乙两人相遇， ∴甲的速度为（3600﹣40×40）÷40＝50（米/分钟）， ∵当t＝a时，甲到达B地， ∴a＝3600÷50＝72， ∴D不正确，符合题意； 故选：D． 19．中国人逢山开路，遇水架桥，靠自己勤劳的双手创造了世界奇迹．雅西高速是连接雅安和西昌的高速公路，被国内外专家学者公认为全世界自然环境最恶劣、工程难度最大、科技含量最高的山区高速公路之一，全长240km．一辆货车和一辆轿车先后从西昌出发驶向雅安，如图，线段OM表示货车离西昌距离y1（km）与时间x（h）之间的函数关系，线段AN表示轿车离西昌距离y2（km）与时间x（h）之间的函数关系，则货车出发 　1.8　小时后与轿车相遇． 【答案】1.8． 【解答】解：设线段OM的函数关系式为y1＝k1x（k1为常数，且k1≠0）． 将坐标M（4，240）代入y1＝k1x， 得4k1＝240， 解得k1＝60， ∴y1＝60x（0≤x≤4）； 设线段AN的函数关系式为y2＝k2x+b（k2、b为常数，且k2、b≠0）． 将坐标B（1.5，75）和N（3，240）代入y2＝k2x+b， 得， 解得， ∴y2＝110x﹣90， 当y2＝0时，得110x﹣90＝0，解得x＝， ∴线段AN的函数关系式为y2＝110x﹣90（≤x≤3）． 当两车相遇时，y1＝y2，得60x＝110x﹣90，解得x＝1.8， ∴货车出发1.8小时后与轿车相遇． 故答案为：1.8． 20．某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元． （1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润； （2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元． ①求y关于x的函数关系式； ②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？ （3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m（0＜m＜100）元，且限定商店最多购进A型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；根据题意得 解得 答：每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元． （2）①据题意得，y＝100x+150（100﹣x），即y＝﹣50x+15000， ②据题意得，100﹣x≤2x，解得x≥33， ∵y＝﹣50x+15000，﹣50＜0， ∴y随x的增大而减小， ∵x为正整数， ∴当x＝34时，y取最大值，则100﹣x＝66， 即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大． （3）据题意得，y＝（100+m）x+150（100﹣x），即y＝（m﹣50）x+15000， 33≤x≤70 ①当0＜m＜50时，y随x的增大而减小， ∴当x＝34时，y取最大值， 即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大． ②m＝50时，m﹣50＝0，y＝15000， 即商店购进A型电脑数量满足33≤x≤70的整数时，均获得最大利润； ③当50＜m＜100时，m﹣50＞0，y随x的增大而增大， ∴当x＝70时，y取得最大值． 即商店购进70台A型电脑和30台B型电脑的销售利润最大． 21．为了贯彻落实市委市府提出的“精准扶贫”精神．某校特制定了一系列关于帮扶A、B两贫困村的计划．现决定从某地运送152箱鱼苗到A、B两村养殖，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A、B两村的运费如下表： 目的地 车型 A村（元/辆） B村（元/辆） 大货车 800 900 小货车 400 600 （1）求这15辆车中大小货车各多少辆？ （2）现安排其中10辆货车前往A村，其余货车前往B村，设前往A村的大货车为x辆，前往A、B两村总费用为y元，试求出y与x的函数解析式． （3）在（2）的条件下，若运往A村的鱼苗不少于100箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设大货车用x辆，小货车用y辆，根据题意得： 解得：． ∴大货车用8辆，小货车用7辆． （2）y＝800x+900（8﹣x）+400（10﹣x）+600[7﹣（10﹣x）]＝100x+9400．（3≤x≤8，且x为整数）． （3）由题意得：12x+8（10﹣x）≥100， 解得：x≥5， 又∵3≤x≤8， ∴5≤x≤8且为整数， ∵y＝100x+9400， k＝100＞0，y随x的增大而增大， ∴当x＝5时，y最小， 最小值为y＝100×5+9400＝9900（元）． 答：使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、5辆小货车前往A村；3辆大货车、2辆小货车前往B村．最少运费为9900元． 22．某地为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制，即每月用水量不超过12吨（含12吨）时，每吨按政府补贴优惠价收费；每月超过12吨，超过部分每吨按市场调节价收费，小黄家1月份用水24吨，交水费42元．2月份用水20吨，交水费32元． （1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场调节价分别是多少元； （2）设每月用水量为x吨，应交水费为y元，写出y与x之间的函数关系式； （3）小黄家3月份用水26吨，他家应交水费多少元？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设每吨水的政府补贴优惠价为a元，市场调节价为b元． 根据题意得， 解得：． 答：每吨水的政府补贴优惠价为1元，市场调节价为2.5元． （2）∵当0≤x≤12时，y＝x； 当x＞12时，y＝12+（x﹣12）×2.5＝2.5x﹣18， ∴所求函数关系式为：y＝． （3）∵x＝26＞12， ∴把x＝26代入y＝2.5x﹣18，得：y＝2.5×26﹣18＝47（元）． 答：小黄家三月份应交水费47元． 23．快、慢两车分别从相距180千米的甲、乙两地同时出发，沿同一路线匀速行驶，相向而行，快车到达乙地停留一段时间后，按原路原速返回甲地．慢车到达甲地比快车到达甲地早小时，慢车速度是快车速度的一半，快、慢两车到达甲地后停止行驶，两车距各自出发地的路程y（千米）与所用时间x（小时）的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题： （1）请直接写出快、慢两车的速度； （2）求快车返回过程中y（千米）与x（小时）的函数关系式； （3）两车出发后经过多长时间相距90千米的路程？直接写出答案． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）慢车的速度＝180÷（﹣）＝60千米/时， 快车的速度＝60×2＝120千米/时； （2）快车停留的时间：﹣×2＝（小时）， +＝2（小时），即C（2，180）， 设CD的解析式为：y＝kx+b，则 将C（2，180），D（，0）代入，得 ， 解得， ∴快车返回过程中y（千米）与x（小时）的函数关系式为y＝﹣120x+420（2≤x≤）； （3）相遇之前：120x+60x+90＝180， 解得x＝； 相遇之后：120x+60x﹣90＝180， 解得x＝； 快车从甲地到乙地需要180÷120＝小时， 快车返回之后：60x＝90+120（x﹣﹣） 解得x＝ 综上所述，两车出发后经过或或小时相距90千米的路程． 24．某市A，B两个蔬菜基地得知四川C，D两个灾民安置点分别急需蔬菜240t和260t的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知A蔬菜基地有蔬菜200t，B蔬菜基地有蔬菜300t，现将这些蔬菜全部调运C，D两个灾民安置点从A地运往C，D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往C，D两处的费用分别为每吨15元和18元．设从B地运往C处的蔬菜为x吨． （1）请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值： C D 总计/t A 　（240﹣x）　 　（x﹣40）　 200 B x 　（300﹣x）　 300 总计/t 240 260 500 （2）设A，B两个蔬菜基地的总运费为w元，求出w与x之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案； （3）经过抢修，从B地到C处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m元（m＞0），其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）填表如下： C D 总计/t A （240﹣x） （x﹣40） 200 B x （300﹣x） 300 总计/t 240 260 500 依题意得：20（240﹣x）+25（x﹣40）＝15x+18（300﹣x） 解得：x＝200 两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值为200． （2）w与x之间的函数关系为：w＝20（240﹣x）+25（x﹣40）+15x+18（300﹣x）＝2x+9200 由题意得： ∴40≤x≤240 ∵在w＝2x+9200中，2＞0 ∴w随x的增大而增大 ∴当x＝40时，总运费最小 此时调运方案为： （3）由题意得w＝（2﹣m）x+9200 ∴0＜m＜2，（2）中调运方案总费用最小； m＝2时，在40≤x≤240的前提下调运方案的总费用不变； 2＜m＜15时，x＝240总费用最小，其调运方案如下： 25．水平放置的容器内原有210毫米高的水，如图，将若干个球逐一放入该容器中，每放入一个大球水面就上升4毫米，每放入一个小球水面就上升3毫米，假定放入容器中的所有球完全浸没水中且水不溢出．设水面高为y毫米． （1）只放入大球，且个数为x大，求y与x大的函数关系式（不必写出x大的范围）； （2）仅放入6个大球后，开始放入小球，且小球个数为x小 ①求y与x小的函数关系式（不必写出x小范围）； ②限定水面高不超过260毫米，最多能放入几个小球？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）根据题意得：y＝4x大+210； （2）①当x大＝6时，y＝4×6+210＝234， ∴y＝3x小+234； ②依题意，得3x小+234≤260， 解得：， ∵x小为自然数， ∴x小最大为8，即最多能放入8个小球． 26．洋洋和妮妮分别从学校和公园同时出发，沿同一条路相向而行．洋洋开始跑步中途改为步行，到达公园恰好用了30min．妮妮骑单车以300m/min的速度直接回学校．两人离学校的路程y（m）与各自离开出发地的时间x（min）之间的函数图象如图所示． （1）学校与公园之间的路程为 　4000　m，洋洋步行的速度为 　100　m/min； （2）求妮妮离学校的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）求两人相遇的时间． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）结合题意和图象可知，线段CD为妮妮路程与时间函数图象，折线O﹣A﹣B为洋洋的路程与时间图象， 则学校与公园之间的路程为4000米，洋洋步行的速度＝＝100m/min， 故答案为：4000，100； （2）妮妮骑自行车从公园回学校所需时间为4000÷300＝（分钟）， ∴妮妮离学校的路程y关于x的函数解析式为y＝4000﹣300x（0≤x≤）； （3）当x＝10时，妮妮离学校的路程y＝4000﹣300x＝4000﹣300×10＝1000（米）， 由图可知x＝10时，洋洋离学校的路程是2000米， ∴两人相遇是在洋洋慢跑途中， 由4000﹣300x＝x得：x＝8， ∴两人相遇的时间为8min． 27．在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，各种状态如图甲所示，其中，弹簧测力计在状态②和④显示的读数分别为10N和5N．整个过程中，弹簧测力计读数F与圆柱体下降高度h的关系图象如图乙所示． （1）图乙中，点A对应状态 　②　，点B对应状态 　④　，（“状态”后填写图形序号）a＝　10　，b＝　5　； （2）已知弹簧测力计在状态③时显示的读数为8N，求圆柱体浸入水中的高度． 【答案】（1）②，④，10，5； （2）2.4cm． 【解答】解：（1）如图②，当圆柱体刚要浸入水中时，弹簧测力计的读数由10N开始减小； 如图④，当圆柱体刚刚完全浸入水中时，弹簧测力计的读数减小至5N并保持不变． 故答案为：②，④，10，5． （2）当4≤h≤10时，设F＝kh+b（k、b为常数，且k≠0）． 将坐标A（4，10）和B（10，5）代入F＝kh+b， 得， 解得， ∴F＝﹣h+（4≤h≤10）． 当F＝8时，得﹣h+＝8， 解得h＝6.4， 6.4﹣4＝2.4（cm）， ∴圆柱体浸入水中的高度是2.4cm． 28．上游A地与下游B地相距80km，一艘游船计划先从A地出发顺水航行到达B地，然后立即返回A地．已知航行过程中，水流速度和该船的静水速度都不变．如图是这艘游船离A地的距离y（km）与航行时间x（小时）之间关系图象．已知船顺水航行、逆水航行的速度分别是船在静水中的速度与水流速度的和与差． （1）求y与x的函数表达式； （2）一艘货船在A地下游24km处，货船与A处的游船同时前往B地，已知货船的静水速度为6km/时．求货船在前往B地的航行途中与游船相遇的时间． 【答案】（1）y＝；（2）2h． 【解答】解：∵上游A地与下游B地相距80km， ∴当x＝4时，y＝80． ①当0≤x＜4时，设y＝k1x， ∵当x＝4时，y＝80， ∴4k1＝80，解得k1＝20， ∴y＝20x； ②当4≤x≤9时，设y＝k2x+b， ∵当x＝4时，y＝80；当x＝9时，y＝0， ∴，解得， ∴y＝﹣16x+144； 综上，y＝． （2）设游船在静水中的速度为x km/h，水流速度为y km/h， 根据题意，得，解得， ∴游船在静水中的速度为18km/h，水流速度为2km/h， ∴游船前往B地的航行速度为18+2＝20（km/h），货船前往B地的航行速度为6+2＝8（km/h）． 设t h时货船在前往B地的航行途中与游船相遇，则20t＝24+8t，解得t＝2， ∴货船在前往B地的航行途中与游船相遇的时间为2h． 29．甲、乙两辆汽车沿同一路线赶赴距出发地300千米的目的地，乙车比甲车晚出发1小时（从甲车出发时开始计时）．图中折线OABD、线段EF分别表示甲、乙两车所行路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系对应的图象（线段AB表示甲出发不足1小时因故停车检修）．请根据图象所提供的信息，解决如下问题： （1）求乙车行驶的路程y与时间x的函数关系式； （2）求甲车发生故障时，距离出发地多少千米； （3）请直接写出第一次相遇后，经过多长时间两车相距30千米？ 【答案】（1）y与x的函数关系式为y＝60x﹣60（1≤x≤6）； （2）甲车发生故障时，距离出发地50千米． （3）第一次相遇后，经过小时或小时或小时两车相距30千米． 【解答】解：（1）设乙车所行路程y与时间x的函数关系式为y＝k1x+b1， 把（1，0）和（6，300）代入，得， 解得：， ∴y与x的函数关系式为y＝60x﹣60（1≤x≤6）； （2）由图可得，交点C表示第二次相遇，C点的横坐标为4.75， 此时y＝60×4.75﹣60＝225， 则C点坐标为（4.75，225）， 设线段BC对应的函数关系式为y＝k2x+b2， 把（4.75，225）、（5.5，300）代入， 得， 解得：， 故y与x的函数关系式为y＝100x﹣250， 则当x＝3时，y＝100×3﹣250＝50． 可得：点B的纵坐标为50， ∴甲车发生故障时，距离出发地50千米． （3）∵AB表示因故停车检修， ∴交点的纵坐标为50， 令y＝50，则60x﹣60＝50， 解得x＝； ∴60x﹣60﹣50＝30或60x﹣60﹣（100x﹣250）＝30或100x﹣250﹣（60x﹣60）＝30，解得x＝或x＝4或x＝5.5； ∴﹣＝； 4﹣＝； 5.5﹣＝； ∴第一次相遇后，经过小时或小时或小时两车相距30千米． 九．一次函数综合题（共10小题） 30．如图，已知点A（﹣1，0）和点B（1，2），在y轴上确定点P，使得△ABP为直角三角形，则满足条件的点P共有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【解答】解：①以A为直角顶点，可过A作直线垂直于AB，与y轴交于一点，这一点符合点P的要求； ②以B为直角顶点，可过B作直线垂直于AB，与y轴交于一点，这一点也符合P点的要求； ③以P为直角顶点，与y轴共有2个交点． 所以满足条件的点P共有4个． 故选：B． 31．一次函数y＝x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，在x轴上取一点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的点C的坐标为　（﹣8，0）（3，0）（2，0）（，0）　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：当x＝0时，y＝4， 当y＝0时，x＝﹣3， 即A（﹣3，0），B（0，4）， OA＝3，OB＝4， 由勾股定理得：AB＝5， 有三种情况：①以A为圆心，以AB为半径交x轴于两点，此时AC＝AB＝5， C的坐标是（2，0）和（﹣8，0）； ②以B为圆心，以AB为半径交x轴于一点（A除外），此时AB＝BC，OA＝OC＝3， C的坐标是（3，0）； ③作AB的垂直平分线交x轴于C，设C的坐标是（a，0），A（﹣3，0），B（0，4）， ∵AC＝BC，由勾股定理得：（a+3）2＝a2+42， 解得：a＝， ∴C的坐标是（，0）， 故答案为：（﹣8，0）（3，0）（2，0）（，0）． 32．如图，直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于点A（4，0）、B（0，4），点P在x轴上运动，连接PB，将△OBP沿直线BP折叠，点O的对应点记为O′． （1）求k、b的值； （2）若点O′恰好落在直线AB上，求△OBP的面积； （3）将线段PB绕点P顺时针旋转45°得到线段PC，直线PC与直线AB的交点为Q，在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得△PBQ为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵点A（4，0）、B（0，4）在直线y＝kx+b上， ∴， 解得：k＝﹣1，b＝4； （2）存在两种情况： ①如图1，当P在x轴的正半轴上时，点O′恰好落在直线AB上，则OP＝O'P，∠BO'P＝∠BOP＝90°， ∵OB＝OA＝4， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∴AB＝4，∠OAB＝45°， 由折叠得：∠OBP＝∠O'BP，BP＝BP， ∴△OBP≌△O'BP（AAS）， ∴O'B＝OB＝4， ∴AO'＝4﹣4， Rt△PO'A中，O'P＝AO'＝4﹣4＝OP， ∴S△BOP＝OB•OP＝＝8﹣8； ②如图所示：当P在x轴的负半轴时， 由折叠得：∠PO'B＝∠POB＝90°，O'B＝OB＝4， ∵∠BAO＝45°， ∴PO'＝PO＝AO'＝4+4， ∴S△BOP＝OB•OP＝＝8+8； （3）分4种情况： ①当BQ＝QP时，如图2，P与O重合，此时点P的坐标为（0，0）； ②当BP＝PQ时，如图3， ∵∠BPC＝45°， ∴∠PQB＝∠PBQ＝22.5°， ∵∠OAB＝45°＝∠PBQ+∠APB， ∴∠APB＝22.5°， ∴∠ABP＝∠APB， ∴AP＝AB＝4， ∴OP＝4+4， ∴P（4+4，0）； ③当PB＝PQ时，如图4，此时Q与C重合， ∵∠BPC＝45°， ∴∠PBA＝∠PCB＝67.5°， △PCA中，∠APC＝22.5°， ∴∠APB＝45+22.5°＝67.5°， ∴∠ABP＝∠APB， ∴AB＝AP＝4， ∴OP＝4﹣4， ∴P（4﹣4，0）； ④当PB＝BQ时，如图5，此时Q与A重合，则P与A关于y轴对称， ∴此时P（﹣4，0）； 综上，点P的坐标是（0，0）或（4+4，0）或（4﹣4，0）或（﹣4，0）． 33．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C（2，m）为直线y＝x+2上一点，直线y＝﹣x+b过点C． （1）求m和b的值； （2）直线y＝﹣x+b与x轴交于点D，动点P从点D开始以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动．设点P的运动时间为t秒． ①若点P在线段DA上，且△ACP的面积为10，求t的值； ②是否存在t的值，使△ACP为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）把点C（2，m）代入直线y＝x+2中得：m＝2+2＝4， ∴点C（2，4）， ∵直线y＝﹣x+b过点C， 4＝﹣+b，b＝5； （2）①由题意得：PD＝t， y＝x+2中，当y＝0时，x+2＝0， x＝﹣2， ∴A（﹣2，0）， y＝﹣x+5中，当y＝0时，﹣x+5＝0， x＝10， ∴D（10，0）， ∴AD＝10+2＝12，即0≤t≤12， ∵△ACP的面积为10， ∴•4＝10， t＝7， 则t的值7秒； ②存在，分三种情况： i）当AC＝CP时，如图1，过C作CE⊥AD于E， ∴PE＝AE＝4， ∴PD＝12﹣8＝4， 即t＝4； ii）当AC＝AP时，如图2， AC＝AP1＝AP2＝＝4， ∴DP1＝t＝12﹣4， DP2＝t＝12+4； iii）当AP＝PC时，如图3， ∵OA＝OB＝2 ∴∠BAO＝45° ∴∠CAP＝∠ACP＝45° ∴∠APC＝90° ∴AP＝PC＝4 ∴PD＝12﹣4＝8，即t＝8； 综上，当t＝4秒或（12﹣4）秒或（12+4）秒或8秒时，△ACP为等腰三角形． 34．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+8分别交x轴、y轴于点A、B，将正比例函数y＝2x的图象沿y轴向下平移3个单位长度得到直线l，直线l分别交x轴、y轴于点C、D，交直线AB于点E． （1）直接写出直线l对应的函数表达式； （2）在直线AB上存在点F（不与点E重合），使BF＝BE，求点F的坐标； （3）在x轴上是否存在点P，使∠PDO＝2∠PBO？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝2x﹣3， （2）F（﹣4，11）， （3）P（﹣4，0），P（4，0）． 【解答】解：（1）∵l是y＝2x向下平移3个单位所得， ∴l：y＝2x﹣3， （2）∵， 解得：， ∴E（4，5）， ∵BF＝BE，且F不与E重合， ∴F在y轴左侧， 又∵y＝﹣+8， ∴当x＝0时，y＝8， ∴B（0，8）， ∵B是EF的中点， ∴＝0，＝8， ∴xF＝﹣4，yF＝11， ∴F（﹣4，11）． （3） 由图可知，作PG＝PD，G在y轴上， ∴∠PGO＝∠PDO， 又∵∠PDO＝2∠PBO，∠PGO＝∠PBO+∠BPG， ∴∠BPG＝∠PBG＝∠PDO， ∴BG＝PG＝PD， ①P在x轴正半轴， ∵l：y＝2x﹣3， ∴当x0时，y＝﹣3，即D（0，﹣3）， ∴OD＝3， ∴OG＝OD＝3， 则BG＝8﹣3＝5＝PG， ∴OP＝＝4， ∴P（4，0）． ②若P在x轴负半轴，与①同理， P（﹣4，0）． 综上所述P（4，0），（﹣4，0）． 35．如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过AB中点D的直线CD交x轴于点C，且经过第一象限的点E（6，4）． （1）求A，B两点的坐标及直线CD的函数表达式； （2）连接BE，求△DBE的面积； （3）连接DO，在坐标平面内找一点F，使得以点C，O，F为顶点的三角形与△COD全等，请直接写出点F的坐标． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）一次函数y＝﹣x+4，令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝4， ∴A（0，4），B（4，0）， ∵D是AB的中点， ∴D（2，2）， 设直线CD的函数表达式为y＝kx+b，则 ，解得， ∴直线CD的函数表达式为y＝x+1； （2）y＝x+1，令y＝0，则x＝﹣2， ∴C（﹣2，0）， ∴BC＝2＝4＝6， ∴△DBE的面积＝△BCE的面积﹣△BCD的面积＝×6×（4﹣2）＝6； （3）如图所示，当点F在第一象限时，点F与点D重合，即点F的坐标为（2，2）； 当点F在第二象限时，点F的坐标为（﹣4，2）； 当点F在第三象限时，点F的坐标为（﹣4，﹣2）； 当点F在第四象限时，点F的坐标为（2，﹣2）． 36．如图，直线y＝﹣x+4和直线y＝2x+1相交于点A，分别与y轴交于B，C两点． （1）求点A的坐标； （2）在x轴上有一动点P（a，0），过点P作x轴的垂线，分别交函数y＝﹣x+4和y＝2x+1的图象于点D，E，若DE＝6，求a的值． （3）在（2）的条件下，点Q为x轴负半轴上任意一点，直接写出△DEQ为等腰三角形时Q点的坐标． 【答案】（1）A（1，3）； （2）a的值为﹣1或3； （3）点Q的坐标为（﹣﹣1，0）或（﹣﹣1，0）或（﹣+3，0）． 【解答】解：（1）令﹣x+4＝2x+1，解得x＝1， ∴y＝﹣1+4＝3， ∴A（1，3）； （2）由题意可知，D（a，﹣a+4），E（a，2a+1）， ∴DE＝|2a+1﹣（﹣a+4）|＝6， 解得a＝﹣1或a＝3， ∴a的值为﹣1或3； （3）设点Q的横坐标为b，b＜0， 当a＝﹣1时，D（﹣1，5），E（﹣1，﹣1）， 若△DEQ是等腰三角形，分以下三种情况： DE＝DQ时，＝6， 解得b＝﹣﹣1或b＝﹣1（不合题意，舍去）； ED＝EQ时，＝6， 解得b＝﹣﹣1或b＝﹣1（不合题意，舍去）； QD＝QE，此时x轴上不存在符合题意的点D，舍去； 当a＝3时，D（3，1），E（3，7）， 若△DEQ是等腰三角形，分以下三种情况： DE＝DQ时，＝6， 解得b＝﹣+3或b＝+3（不合题意，舍去）； ED＝EQ时，＝6，无解； QD＝QE，此时x轴上不存在符合题意的点D，舍去； 故点Q的坐标为（﹣﹣1，0）或（﹣﹣1，0）或（﹣+3，0）． 37．如图，在平面直角坐标系中，已知直线PA是一次函数y＝x+m（m＞0）的图象，直线PB是一次函数y＝﹣3x+n（n＞m）的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点． （1）用m、n分别表示点A、B、P的坐标； （2）若四边形PQOB的面积是，且CQ＝AO，试求点P的坐标，并求出直线PA与PB的函数表达式； （3）在（2）的条件下，是否存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）A（﹣m，0），B（，0），P（，）； （2）PA：y＝x+4，PB：y＝﹣3x+6； （3）（，）或（﹣，）或（﹣，﹣）． 【解答】解：（1）在直线y＝x+m中，令y＝0，得x＝﹣m． ∴点A（﹣m，0）． 在直线y＝﹣3x+n中，令y＝0，得x＝． ∴点B（，0）． 由，得， ∴点P（，）； （2）∵CQ＝AO， ∴（n﹣m）÷m＝， 整理得3m＝2n， ∴n＝m， ＝＝m， 而S四边形PQOB＝S△PAB﹣S△AOQ＝（+m）×（m）﹣m×m＝m2＝， 解得m＝±4， ∵m＞0， ∴m＝4， ∴n＝m＝6， ∴P（，）． ∴PA的函数表达式为y＝x+4， PB的函数表达式为y＝﹣3x+6； （3）存在． 过点P作直线PM平行于x轴，过点B作AP的平行线交PM于点D1，过点A作BP的平行线交PM于点D2，过点A、B分别作BP、AP的平行线交于点D3． ①∵PD1∥AB且BD1∥AP， ∴PABD1是平行四边形，此时PD1＝AB， ∵P（，）． ∵m＝4，A（﹣m，0），B（，0）． ∴A（﹣4，0），B（2，0）． ∴AB＝6， ∴D1（，）； ②∵PD2∥AB且AD2∥BP， ∴PBAD2是平行四边形，此时PD2＝AB， ∴D2（﹣，）； ③∵BD3∥AP且AD3∥BP，此时BPAD3是平行四边形． ∵BD3∥AP且B（2，0）， ∴＝x﹣2，同理可得＝﹣3x﹣12， 由，得， ∴D3（﹣，﹣）． 综上：存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形，点D的坐标为（，）或（﹣，）或（﹣，﹣）． 38．【模型建立】 （1）如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA； 【模型应用】 （2）如图2，已知直线l1：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1绕点A逆时针旋转45°至直线l2；求直线l2的函数表达式； （3）如图3，平面直角坐标系内有一点B（3，﹣4），过点B作BA⊥x轴于点A、BC⊥y轴于点C，点P是线段AB上的动点，点D是直线y＝﹣2x+1上的动点且在第四象限内．试探究△CPD能否成为等腰直角三角形？若能，求出点D的坐标，若不能，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图1所示： ∵AD⊥ED，BE⊥ED， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°， 又∵∠ACD+∠ACB+∠BEC＝180°，∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BEC＝90°， 又∵∠ACD+∠DAC＝90°， ∴∠DAC＝∠ECB， 在△CDA和△BEC中， ， ∴△CDA≌△BEC（AAS）； （2）过点B作BC⊥AB交AC于点C，CD⊥y轴交y轴 于点D，如图2所示： ∵CD⊥y轴，x轴⊥y轴， ∴∠CDB＝∠BOA＝90°， 又∵BC⊥AB， ∴∠ABC＝90°， 又∵∠ABO+∠ABC+∠CBD＝180°， ∴∠ABO+∠CBD＝90°， 又∵∠BAO+∠ABO＝90°， ∴∠BAO＝∠CBD， 又∵∠BAC＝45°， ∴∠ACB＝45°， ∴AB＝CB， 在△ABO和∠BCD中， ， ∴△ABO≌∠BCD（AAS）， ∴AO＝BD，BO＝CD， 又∵直线l1：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴点A、B两点的坐标分别为（﹣2，0），（0，3）， ∴AO＝2，BO＝3， ∴BD＝2，CD＝3， ∴点C的坐标为（﹣3，5）， 设l2的函数表达式为y＝kx+b（k≠0）， 点A、C两点在直线l2上，依题意得： ， 解得：， ∴直线l2的函数表达式为y＝﹣5x﹣10； （3）能成为等腰直角三角形，依题意得， ①若点P为直角时，如图3甲所示： 设点P的坐标为（3，m），则PB的长为4+m， ∵∠CPD＝90°，CP＝PD， ∠CPM+∠CDP+∠PDH＝180°， ∴∠CPM+∠PDH＝90°， 又∵∠CPM+∠DPM＝90°， ∴∠PCM＝∠PDH， 在△MCP和△HPD中， ， ∴△MCP≌△HPD（AAS）， ∴CM＝PH，PM＝HD， ∴点D的坐标为（7+m，﹣3+m）， 又∵点D在直线y＝﹣2x+1上， ∴﹣2（7+m）+1＝﹣3+m， 解得：m＝， 即点D的坐标为（，﹣）； ②若点C为直角时，如图3乙所示： 设点P的坐标为（3，n），则PB的长为4+n， CA＝CD， 同理可证明△PCM≌△CDH（AAS）， ∴PM＝CH，MC＝HD， ∴点D的坐标为（4+n，﹣7）， 又∵点D在直线y＝﹣2x+1上， ∴﹣2（4+n）+1＝﹣7， 解得：n＝0， ∴点P与点A重合，点M与点O重合， 即点D的坐标为（4，﹣7）； ③若点D为直角时，如图3丙所示： 设点P的坐标为（3，k），则PB的长为4+k， CD＝PD， 同理可证明△CDM≌△PDQ（AAS）， ∴MD＝PQ，MC＝DQ， ∴点D的坐标为（，）， 又∵点D在直线y＝﹣2x+1上， ∴﹣2×＝， 解得：k＝， ∴点P与点A重合，点M与点O重合， 即点D的坐标为（，﹣）； 综合所述，点D的坐标为（，﹣）或（4，﹣7）或（，﹣）． 39．如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与坐标轴交于A，B两点，与正比例函数y2＝k′x（k′≠0）交于点C（﹣2，4），OA＝6． （1）求一次函数y1＝kx+b（k≠0）的表达式及△BOC的面积； （2）在线段AB上是否存在点P，使△OAP是以OA为底的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），△BOC面积为3； （2）存在，P（3，）． 【解答】解：（1）∵OA＝6得， ∴A（6，0）， 将C（﹣2，4），A（6，0）分别代入 y1＝kx+b 得： ， 解得： 所以一次函数的表达式为 ； 把x＝0代入 可得： y＝3， ∴B（0，3）， 把（﹣2，4）代入y2＝k′x可得： k′＝﹣2， ∴y2＝﹣2x ∴S△BOC＝， （2）存在，点P的坐标为（3，）； ， 理由如下：作OA的垂直平分线交x轴于点D，与直线AB的交点就是点P， ∴OD＝OA＝3， 把x＝3代入可得：y＝， ∴P（3，）． 一十．坐标与图形变化-平移（共1小题） 40．如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB＝90°，BC＝5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0）．将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y＝2x﹣6上时，线段BC扫过的面积为（　　） A．4 B．8 C．16 D．8 【答案】C 【解答】解：如图所示． ∵点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0）， ∴AB＝3． ∵∠CAB＝90°，BC＝5， ∴AC＝4． ∴A′C′＝4． ∵点C′在直线y＝2x﹣6上， ∴2x﹣6＝4，解得 x＝5． 即OA′＝5． ∴CC′＝5﹣1＝4． ∴S▱BCC′B′＝4×4＝16 （面积单位）． 即线段BC扫过的面积为16面积单位． 故选：C． 声明： $$