热点01 集合与复数（8题型+高分技法+限时提升练）-2025年高考数学【热点·重点·难点】专练（北京专用）

热点01 集合与复数 三年考情分析 2025考向预测 集合： 2022年，第1题，考察集合的补集 2023年，第1题，考察集合的交集 2024年，第1题，考察集合的并集 复数： 2022年，第2题，考察复数的概念及几何意义 2023年，第2题，考察复数的概念及几何意义 2024年，第2题，考察复数的运算 集合： 该内容为北京卷的必考内容，多借助不等式的解集、集合的定义域和值域考査集合的交、 并、补运算，关键要抓住集合元素的属性，特别是分清点集和数集，考查难度较低； 复数： 本节内容是北京卷的必考内容，一般考査复数的概念及几何意义以及复数的运算 题型1元素与集合的关系及应用 应用集合元素的特性解题的要点： （1）集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么． （2）构成集合的元素必须是确定的(确定性)，而且是互不相同的(互异性)，在书写时可以不考虑先后顺序(无序性)． （3）利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用． 1．（2024·北京·三模）已知集合，若，则可能是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】由，得，则，或， 由，得，显然选项ABC不满足，D满足. 故选：D 2．（2023·北京东城·一模）已知集合，且，则a可以为（    ） A．－2 B．－1 C． D． 【答案】B 【详解】∵，∴，∴， 可知，故A、C、D错误；，故B正确. 故选：B 3．（2023·北京海淀·模拟预测）设集合，若，则实数m=（    ） A．0 B． C．0或 D．0或1 【答案】C 【详解】设集合，若， ，或， 当时，，此时； 当时，，此时； 所以或. 故选：C 4．（2025·广东·模拟预测）若，则m可能取值的集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，则， 由，得，此时，符合题意； 或，此时，符合题意；或，则，此时，符合题意， 所以m可能取值的集合为. 故选：B 5．（2023·北京房山·二模）设集合，则（    ） A．当时， B．对任意实数， C．当时， D．对任意实数， 【答案】C 【详解】当时，， 将代入A得：成立，故，即A错误； 若时，此时将代入不成立，即B错误； 当时，此时将代入不成立，即C正确； 若时，此时将代入A得成立，即D错误； 故选：C. 题型2子集（真子集）的个数问题 如果集合A中含有n个元素，则有 （1）A的子集的个数有个． （2）A的非空子集的个数有个． （3）A的真子集的个数有个 （4）A的非空真子集的个数有个． 1．（2020·北京丰台·二模）集合的子集个数为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【详解】解：∵， ∴集合A的子集个数为个， 故选：D. 【点睛】本题考查集合的子集的个数，属于基础题. 2．（2024·贵州遵义·模拟预测）已知集合，，若集合且，则的子集的个数为（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】C 【详解】由条件可知，，，，，，， 所以集合，集合的子集的个数为个. 故选：C 3．（2024·四川成都·模拟预测）若集合，则集合A的真子集有（    ）个. A．7 B．15 C．31 D．63 【答案】C 【详解】由题意可知：集合，共5个元素， 所以集合A的真子集有个. 故选：C. 4．（2025·宁夏·模拟预测）集合的真子集个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得， 所以该集合的真子集个数为. 故选：C 5．（2024·广西南宁·三模）集合子集的个数是 ． 【答案】64 【详解】由题可知，，有6个元素， 所以该集合的子集有个， 故答案为：64． 题型3根据集合之间的关系求参数 由集合间的关系求参数的2种方法： （1）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点． （2）当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用． 1．（2024·北京海淀·二模）已知集合.若，则的最大值为（    ） A．2 B．0 C． D．-2 【答案】C 【详解】由于，所以， 故的最大值为， 故选：C 2．（2024·四川·一模）已知集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】当时，，此时，即可以推出， 若，所以，得到，所以推不出， 即“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 3．（2024·陕西铜川·三模）已知集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以, 所以由数轴得. 即的取值范围为. 故选：D.    4．（2023·陕西渭南·一模）设三元集合，则 . 【答案】1 【详解】依题意，， 所以，所以，， 此时两个集合都是，符合题意. 所以. 故答案为： 5．（2024·河北秦皇岛·三模）若集合，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，即，解得， 所以， 当时，，符合， 当时，由，解得， 所以， 因为，所以，解得. 综上可得的取值范围为. 故选：D 题型4集合的交并补运算 将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系。若集合能一一列举,则用观察法得到不同集合中元素之间的关系;与不等式有关的集合，利用数轴得到不同集合间的关系。 1．（2024·北京海淀·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，， 所以. 故选：B 2．（2024·北京大兴·三模）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】, 又 所以 故选：C 3．（2024·北京西城·三模）设集合，，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由得到，故， 又，所以. 故选：A. 4．（2024·北京顺义·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】不等式的解集为， 所以，又， 所以， 故选：B. 5．（2024·北京·三模）已知，，则（    ） A．空集 B．或 C．或且 D．以上都不对 【答案】A 【详解】， 或或， 所以. 故选：A 题型5根据集合的运算结果求参数 法一：根据集合运算结果确定集合对应区间的端点值之间的大小关系，确定参数的取值范围. 法二：（1）化简所给集合；（2）用数轴表示所给集合； （3）根据集合端点间关系列出不等式（组）；（4）解不等式（组）；（5）检验. 【注意】（1）确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”；（2）千万不要忘记考虑空集。 1．（2024·北京·模拟预测）已知集合，集合，若，则（    ） A．4 B．2 C．0 D．1 【答案】D 【详解】因为，且， 则，所以，解得， 又，所以， 所以. 故选：D 2．（2024·北京西城·二模）已知集合，．若，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，，， 即的最小值为. 故选：C. 3．（2024·陕西商洛·一模）已知集合，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由题意可得，解得． 故选：B. 4．（2024·黑龙江吉林·二模）已知全集，，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 所以， 又全集， 所以. 故选：D. 5．（2024·江苏常州·三模）集合，，若，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由，且， 当时，，则，即， 当时，若，则，解得， 综上，实数的取值范围为． 故答案为：． 题型6复数的运算 利用复数的四则运算计算即可 【注】有如下性质：如果，那么有 1．（2024·北京大兴·三模）已知为纯虚数，则实数（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】D 【详解】因为， 又为纯虚数，所以，解得. 故选：D 2．（2024·北京·三模）若复数为纯虚数，其中，为虚数单位，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】由是纯虚数可知，所以， 故选：A 3．（2024·北京昌平·二模）已知复数，则 ． 【答案】2 【详解】由题意可得， 所以， 所以， 故答案为：2. 4．（2024·北京·三模）若是纯虚数，则实数a的值为 . 【答案】 【详解】， 因为是纯虚数， 所以，得. 故答案为： 5．（2024·北京海淀·二模）若，则 . 【答案】1 【详解】因为， 所以，即， 所以，解得. 故答案为：1. 题型7复数的几何意义 利用复数与点的对应解题的步骤 （1）找对应关系:复数的几何表示法即复数可以用复平面内的点来表示,是解决此类问题的根据. （2）列出方程:此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件,通过解方程(组)或不等式(组)求解. 1．（2024·北京海淀·三模）在复平面内，点对应的复数为，则实数（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】因为对应点为, 所以, 即得. 故选：D. 2．（2024·北京西城·三模）在复平面，复数z对应的点坐标为，则（    ） A．i B．-i C． D． 【答案】B 【详解】z对应的点坐标为，所以， 所以 故选：B. 3．（2024·北京·三模）已知复数，则在复平面上对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】由，得到， 所以，其对应点为，位于第三象限. 故选：C. 4．（2024·北京·三模）在复平面内，复数的共轭复数对应的点的坐标是，则的虚部是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】因为复数的共轭复数对应的点的坐标是，所以， 所以，即的虚部是. 故选：A. 5．（2024·北京通州·二模）在复平面内，复数z对应的点的坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得， 所以， 故选：A. 题型8复数的模长及应用 （1）两个复数不全为实数时不能比较大小,而任意两个复数的模均可比较大小. （2）复数模的意义是表示复数对应的点到原点的距离，公式为． 1．（2024·北京·模拟预测）若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【详解】由，可得， 所以， 故， 故选：C 2．（2024·浙江金华·一模）在复平面中，若复数满足，则（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【详解】∵，∴，∴，∴. 故选：D. 3．（2024·河南·模拟预测）若复数满足为虚数单位，为的共轭复数，则 ． 【答案】5 【详解】由可得； 则可得，因此. 故答案为：5 4．（2025·安徽·一模）设，其中i为虚数单位．则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为，所以．令，解得或， 故“”是“”的充分不必要条件． 故选：A 5．（2024·吉林·模拟预测）复数满足，则 . 【答案】 【详解】设复数， 由，可得复数对应的点在以和为端点的线段的垂直平分线上，所以， 由可得复数对应的点在以和为端点的线段的垂直平分线上，所以， 联立，解得，所以， 经检验，满足， 则. 故答案为：. 1．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得. 故选：C. 2．（2024·北京通州·三模）已知为整数集，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 故选：A. 3．（2024·北京通州·二模）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，，则. 故选：B. 4．（2024·北京朝阳·二模）已知集合则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，， 又， 所以. 故选：B 5．（2024·北京丰台·二模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】集合， ，，. 故选：C 6．（2024·北京东城·一模）如图所示，是全集，是的子集，则阴影部分所表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由韦恩图可知阴影部分所表示的集合是. 故选：D. 7．（2023·北京·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，，， 根据交集的运算可知，. 故选：A 8．（2024·北京·高考真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得. 故选：C. 9．（2024·北京西城·二模）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】复数对应的点的坐标是，所以，， 所以. 故选：D． 10．（2024·北京门头沟·一模）在复平面内，复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【详解】解：因为复数 满足 ， 所以， 所以的虚部为-3， 故选：D 11．（2024·福建·模拟预测）设集合，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知， 当时，无解，得，此时； 当时，解，得，此时，； 当时，解，得，此时，要使，则； 综上所述，. 故选：A 12．（2024·北京东城·二模）若复数满足.则在复平面内，对应的点的坐标是 . 【答案】 【详解】因为，可得， 所以对应的点的坐标是. 故答案为：. 13．（2024·海南·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题可得， 当时，，则，不满足条件； 当时，，要使，则， 当时，，要使，则， 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 14．（2024·吉林长春·一模）若，则 . 【答案】 【详解】由于， 则 所以，，即. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：复数运算的常用技巧在解题中的运用，若，则； 若，则，，. 15．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模），若定义，则中的元素有 个． 【答案】 【详解】因为，， 所以，， 共14个元素. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解题中定义. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点01 集合与复数 三年考情分析 2025考向预测 集合： 2022年，第1题，考察集合的补集 2023年，第1题，考察集合的交集 2024年，第1题，考察集合的并集 复数： 2022年，第2题，考察复数的概念及几何意义 2023年，第2题，考察复数的概念及几何意义 2024年，第2题，考察复数的运算 集合： 该内容为北京卷的必考内容，多借助不等式的解集、集合的定义域和值域考査集合的交、 并、补运算，关键要抓住集合元素的属性，特别是分清点集和数集，考查难度较低； 复数： 本节内容是北京卷的必考内容，一般考査复数的概念及几何意义以及复数的运算 题型1元素与集合的关系及应用 应用集合元素的特性解题的要点： （1）集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么． （2）构成集合的元素必须是确定的(确定性)，而且是互不相同的(互异性)，在书写时可以不考虑先后顺序(无序性)． （3）利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用． 1．（2024·北京·三模）已知集合，若，则可能是（    ） A． B．1 C．2 D．3 2．（2023·北京东城·一模）已知集合，且，则a可以为（    ） A．－2 B．－1 C． D． 3．（2023·北京海淀·模拟预测）设集合，若，则实数m=（    ） A．0 B． C．0或 D．0或1 4．（2025·广东·模拟预测）若，则m可能取值的集合为（ ） A． B． C． D． 5．（2023·北京房山·二模）设集合，则（    ） A．当时， B．对任意实数， C．当时， D．对任意实数， 题型2子集（真子集）的个数问题 如果集合A中含有n个元素，则有 （1）A的子集的个数有个． （2）A的非空子集的个数有个． （3）A的真子集的个数有个 （4）A的非空真子集的个数有个． 1．（2020·北京丰台·二模）集合的子集个数为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 2．（2024·贵州遵义·模拟预测）已知集合，，若集合且，则的子集的个数为（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 3．（2024·四川成都·模拟预测）若集合，则集合A的真子集有（    ）个. A．7 B．15 C．31 D．63 4．（2025·宁夏·模拟预测）集合的真子集个数是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·广西南宁·三模）集合子集的个数是 ． 题型3根据集合之间的关系求参数 由集合间的关系求参数的2种方法： （1）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点． （2）当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用． 1．（2024·北京海淀·二模）已知集合.若，则的最大值为（    ） A．2 B．0 C． D．-2 2．（2024·四川·一模）已知集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．（2024·陕西铜川·三模）已知集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·陕西渭南·一模）设三元集合，则 . 5．（2024·河北秦皇岛·三模）若集合，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型4集合的交并补运算 将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系。若集合能一一列举,则用观察法得到不同集合中元素之间的关系;与不等式有关的集合，利用数轴得到不同集合间的关系。 1．（2024·北京海淀·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·北京大兴·三模）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2024·北京西城·三模）设集合，，则集合（    ） A． B． C． D． 4．（2024·北京顺义·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·北京·三模）已知，，则（    ） A．空集 B．或 C．或且 D．以上都不对 题型5根据集合的运算结果求参数 法一：根据集合运算结果确定集合对应区间的端点值之间的大小关系，确定参数的取值范围. 法二：（1）化简所给集合；（2）用数轴表示所给集合； （3）根据集合端点间关系列出不等式（组）；（4）解不等式（组）；（5）检验. 【注意】（1）确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”；（2）千万不要忘记考虑空集。 1．（2024·北京·模拟预测）已知集合，集合，若，则（    ） A．4 B．2 C．0 D．1 2．（2024·北京西城·二模）已知集合，．若，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·陕西商洛·一模）已知集合，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2024·黑龙江吉林·二模）已知全集，，则集合（    ） A． B． C． D． 5．（2024·江苏常州·三模）集合，，若，则实数m的取值范围为 ． 题型6复数的运算 利用复数的四则运算计算即可 【注】有如下性质：如果，那么有 1．（2024·北京大兴·三模）已知为纯虚数，则实数（   ） A．0 B．1 C． D． 2．（2024·北京·三模）若复数为纯虚数，其中，为虚数单位，则（    ） A． B． C．1 D． 3．（2024·北京昌平·二模）已知复数，则 ． 4．（2024·北京·三模）若是纯虚数，则实数a的值为 . 5．（2024·北京海淀·二模）若，则 . 题型7复数的几何意义 利用复数与点的对应解题的步骤 （1）找对应关系:复数的几何表示法即复数可以用复平面内的点来表示,是解决此类问题的根据. （2）列出方程:此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件,通过解方程(组)或不等式(组)求解. 1．（2024·北京海淀·三模）在复平面内，点对应的复数为，则实数（    ） A．1 B． C．2 D． 2．（2024·北京西城·三模）在复平面，复数z对应的点坐标为，则（    ） A．i B．-i C． D． 3．（2024·北京·三模）已知复数，则在复平面上对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（2024·北京·三模）在复平面内，复数的共轭复数对应的点的坐标是，则的虚部是（    ） A． B．1 C． D． 5．（2024·北京通州·二模）在复平面内，复数z对应的点的坐标为，则（    ） A． B． C． D． 题型8复数的模长及应用 （1）两个复数不全为实数时不能比较大小,而任意两个复数的模均可比较大小. （2）复数模的意义是表示复数对应的点到原点的距离，公式为． 1．（2024·北京·模拟预测）若，则（    ） A． B． C．1 D． 2．（2024·浙江金华·一模）在复平面中，若复数满足，则（   ） A．2 B．1 C． D． 3．（2024·河南·模拟预测）若复数满足为虚数单位，为的共轭复数，则 ． 4．（2025·安徽·一模）设，其中i为虚数单位．则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2024·吉林·模拟预测）复数满足，则 . 1．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·北京通州·三模）已知为整数集，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·北京通州·二模）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·北京朝阳·二模）已知集合则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·北京丰台·二模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·北京东城·一模）如图所示，是全集，是的子集，则阴影部分所表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 7．（2023·北京·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024·北京·高考真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 9．（2024·北京西城·二模）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（    ） A． B． C． D． 10．（2024·北京门头沟·一模）在复平面内，复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C．3 D． 11．（2024·福建·模拟预测）设集合，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．（2024·北京东城·二模）若复数满足.则在复平面内，对应的点的坐标是 . 13．（2024·海南·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围为 . 14．（2024·吉林长春·一模）若，则 . 15．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模），若定义，则中的元素有 个． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$