精品解析：山东省烟台市莱州市2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024-2025学年度第一学期期中学业水平检测 九年级数学试题 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡，试题卷共6页，共3道大题，24道小题，满分120分．考试时间为120分钟． 2．答题前，请将自己的班级、姓名、座号填写在相应的位置上． 一、选择题（本题共10个小题，下列每小题均给出标号为A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的）． 1. 在中， ，， ，则下列三角函数值正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求正弦，余弦，正切，掌握直角三角形中边角关系是解题的关键． 根据直角三角形三角函数关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴为直角三角形 在中，，， ∴， A．，故选项计算错误，不符合题意； B．，故选项计算错误，不符合题意； C．，故选项计算正确，符合题意； D．，故选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 2. 在平面直角坐标系中，将抛物线 先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后所得到的抛物线的解析式为 （   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：抛物线的顶点坐标是（0，0），先向左平移1个单位，再向下平移3个单位是，则对应的二次函数关系式是， 故选C. 3. 如图，梯子地面的夹角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列叙述正确的是（ ） A. 的值越小，梯子越陡 B. 的值越小，梯子越陡 C. 梯子的长度决定倾斜程度 D. 梯子倾斜程度与的函数值无关 【答案】B 【解析】 【分析】根据锐角三角函数的增减性即可得到答案． 【详解】解：A选项，sinA的值越小，∠A越小，梯子越平缓，故错误； B选项，cosA的值越小，∠A就越大，梯子越陡，故正确； C选项，梯子的长度不能决定倾斜程度，故错误； D选项，梯子倾斜程度与的函数值有关，故错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性：对于正弦和正切函数，函数值随角度的增大而增大；对于余弦函数，函数值随角度的增大而减小． 4. 二次函数的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图像与性质可直接进行排除选项． 【详解】由二次函数可得：开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线； 故选C． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 5. 如图，的顶点都在边长相等的小正方形的顶点上，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作CD⊥AB，根据等面积法求解出CD，然后在Rt△ADC中运用勾股定理求出AD，从而根据余弦定义求解即可． 【详解】如图所示，作CD⊥AB于D点， 由题意可得，，，， ∴，， 在Rt△ADC中，， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查求角的余弦值，理解余弦的定义，并灵活构造直角三角形是解题关键． 6. 已知二次函数，当y随x的增大而增大时，x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将函数解析式化为顶点式，根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解： ∴图象的开口向上，对称轴为直线， 当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大， 故选：B． 【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，二次函数化为顶点式，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 7. 已知关于的方程的两个根分别是，，若点是二次函数的图象与轴的交点，过作轴交抛物线于另一交点，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点、根与系数的关系、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据根与系数的关系求出、的值，从而求出二次函数的解析式，令，得，根据轴，得轴，得点的纵坐标为，从而求出点的坐标，进而求出的长． 【详解】解：，， ，， ，， ， 令，， ， 轴， ∴轴， 点的纵坐标为， 把代入， 得， 解得，， ， ； 解法2：由题可知与轴交于点，， 对称轴为直线， 点在轴上，则到对称轴的距离为1， 、关于直线对称轴，则； 故选：A． 8. 某游乐场一个不等臂跷跷板AB长 5.6 米，支撑柱 OH 垂直地面，如图 1，当 AB的一端A着地时，AB与地面的夹角的正切值为；如图2，当AB 的另一端 B 着地时，AB 与地面夹角的正弦值为，则支撑柱 OH的长为（ ） A. 0.4 米 B. 0.8 米 C. 米 D. 1.2 米 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦的定义得到OH=OA，OB=3OH，根据题意列式计算即可． 【详解】解：在Rt△AOH中，tanA=， 设OH=3x，AH=4x， ∴OA==5x， ∴OH=OA， sinB=， ∴OB=3OH， ∵AB=5.6米， ∴OH+3OH=5.6， 解得：OH=1.2（米）， 故选：D． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 9. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先联立两个函数求出交点坐标，然后由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致． 【详解】解：由，解得或， ∴一次函数与二次函数的交点为，， A、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误，不符合题意； B、由抛物线可知，，由直线可知，，由一次函数与二次函数可知，两图象交于点，则交点在y轴的右侧，故本选项错误，不符合题意； C、由抛物线可知，，由直线可知，，两图象的一个交点在x轴上，另一个交点在第四选项，故本选项正确，符合题意； D、由抛物线可知，，由直线可知，，a的取值矛盾，故本选项错误，不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 10. 二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，点是该抛物线上一点，若点是抛物线上任意一点，有下列结论：①；②若，则；③若，则；④若方程有两个实数根和，且，则．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，也考查了二次函数的性质．由顶点坐标，根据对称轴方程求得，进而得到，代入即可判断①；根据抛物线的对称性即可判断②；当时，，当，则，即可判断③；方程有两个实数根和，可得抛物线与直线交点的坐标，和，，再由抛物线与轴的两个交点坐标分别为和，即可判断④． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ∴ 二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为， ，且， ，， ， 于是①的结论正确； ②点关于直线的对称点为， 当，则或， 于是②错误； ③当时，， 当，则， 于是③错误； ④方程有两个实数根和，且， 抛物线与直线交点的坐标，和，， 抛物线时，或3， 即抛物线与轴的两个交点坐标分别为和， ， 于是④正确． 综上，正确的有①④，共两个． 故选：B． 二、填空题（本题共6个小题） 11. 若二次函数的图象经过原点，则m＝__________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据二次函数图象过原点，把代入解析式，求出m的值，还需要考虑二次项系数不能为零． 【详解】解：根据二次函数图象过原点，把代入解析式， 得，整理得，解得， ∵， ∴， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题考查二次函数图象的性质，需要注意解出的解要满足二次项系数不能为零的隐藏条件． 12. 如图，已知直线分别与轴和轴相交于点和点，且直线的解析式为，于点，与轴正半轴的夹角为，则等于______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数和一次函数的知识，根据题意，直线的解析式为，求出，的坐标，得到，的值，根据，得到的角度，根据，三角形的内角和，求出，即可． 【详解】解：直线的解析式为， ∴当，；当，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中有，两点，如果抛物线与线段没有公共点，则a的取值范围是_______． 【答案】或 【解析】 【分析】分别将M，N坐标代入函数解析式，根据抛物线开口大小与a的关系求解． 【详解】解：点M在抛物线上时，将代入得， 时，抛物线开口变小，符合题意， 点N在抛物线上时，将代入得， 解得， 时，抛物线开口变大，符合题意． 结合，可知a的取值范围是或 故答案为：或． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 14. 如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，BC是建筑物底端的一个平台，斜坡CD的坡度（或坡比）为i＝1：0.75，坡长为10米，DE为地平面（A，B，C，D，E均在同一平面内），则平台距地面的高度为_____． 【答案】8米 【解析】 【分析】延长AB交ED的延长线于F，过C作CG⊥EF于G，由斜坡的坡度i＝1：0.75易得出，设CG＝4x米，则DG＝3x米，在Rt△CDG中利用勾股定理，可求出x，即可知CG的长度，即得到答案． 【详解】解：如图，延长AB交ED的延长线于F，过C作CG⊥EF于G， 则BF＝CG， 在Rt△CDG中, i＝＝1：0.75＝，CD＝10米， 设CG＝4x米，则DG＝3x米， 由勾股定理得：， 解得：（舍）， ∴CG＝8（米），DG＝6（米）， ∴BF＝CG＝8米，即平台距地面的高度为8米， 故答案为：8米． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，理解题干中斜坡的坡度i的意义再结合勾股定理解三角形是解答本题的关键． 15. 如图，在菱形中，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，此时的长度最小为MH，再算出MC的长度， 在直角三角形MPC中利用三角函数即可解得MH 【详解】过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，此时的长度最小 ∵菱形中， ∴AB=BC=AC=10，△ABC为等边三角形 ∴∠PBC=30°，∠ACB=60° ∴在直角△PBH中，∠PBH=30° ∴PH= ∴此时得到最小值， ∵AC=10，AM=3, ∴MC=7 又∠MPC=60° ∴MH=MCsin60°= 故答案为： 【点睛】本题主要考查了菱形的性质与三角函数，能够找到最小值时的P点是解题关键. 16. 某电商以每件40元的价格购进某款T恤，以每件60元的价格出售，经统计，“十一”的前一周的销量为500件，该电商在“十一黄金周”期间进行降价销售，经调查，发现该T恤在“十一”前一周销售量的基础上，每降价1元，“十一黄金周”销售量就会增加50件．若要求销售单价不低于成本，且按照物价部门规定销售利润率不高于，那么当电商获得最大利润时，每件T恤的定价为______元． 【答案】52 【解析】 【分析】设销售单价为x元，获利为w元，则降价元，每件的盈利元，每天可售出件，根据题意，得，解得即可． 本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值，最大利润问题，熟练掌握一元二次方程的应用，二次函数的最值是解题的关键． 【详解】解：设销售单价为x元，获利为w元，则降价元，每件的盈利元，每天可售出件，根据题意，得． ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值，且距离对称轴远的函数值越小， ∵按照物价部门规定销售利润率不高于，即售价不能超过元， ∴， ∴当时，w取得最大值， 故答案为：52． 三、解答题（本大题共8个小题，要写出必要的解答过程或推理步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用特殊角三角函数值的混合运算即可得到结果； （2）利用特殊角三角函数值的混合运算即可得到结果. 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【点睛】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键. 18. 如图，AD是△ABC的中线，tan B＝，cos C＝，AC＝.求： （1）BC的长； （2）sin ∠ADC的值． 【答案】（1）BC＝4；（2）sin ∠ADC＝. 【解析】 【详解】（1）如图，作AE⊥BC， ∴CE=AC•cosC=1，∴AE=CE=1，， ∴BE=3AE=3，∴BC=4； （2）∵AD是△ABC的中线，∴DE=1， ∴∠ADC=45°，∴． 19. 如图，已知二次函数的图象经过原点，． （1）写出该函数图象的对称轴，并写出该函数的解析式； （2）若将线段绕点逆时针旋转到，试判断点是否为该函数图象的顶点? 【答案】（1）对称轴为直线；解析式为 （2）点是该函数图象的顶点． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析，坐标与图形变化—旋转； （1）根据抛物线经过，，可得对称轴为直线，进而得出，然后将点代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）作轴与，先根据旋转的性质得，，再根据含度的直角三角形三边的关系得，，则点的坐标为，根据抛物线的顶点式可判断点为抛物线的顶点． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过原点，． ∴对称轴为直线 将点代入抛物线 即， 解得： ∴解析式为 【小问2详解】 点是该函数图象的顶点．理由如下： 如图，作轴于点， 线段绕点逆时针旋转到， ，， 在中，， ， ， 点的坐标为， 点为抛物线的顶点， 20. 在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西54°方向上，港口与灯塔C的距离是80海里，港口B在灯塔C的南偏西方向上，港口与灯塔C的距离是60海里，一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为20海里/小时． （1）货船从A港口航行到B港口需要多少时间； （2）为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为50海里，这艘货船在由A港口向B港口运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于小时才符合航行安全标准，这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？ 【答案】（1）货船从A港口到B港口需要5小时 （2） 这艘船在本次运输中是否符合航行安全标准，理由如下： 如图：过C作交于D， 在上取两点M，N使得（海里） ∵， ∴（海里）， ∴（海里）， ∵且， ∴（海里）， ∴（小时） ∵， ∴这艘货船在本次运输中符合航行安全标准． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理，准确计算． （1）先求出，然后根据勾股定理求出海里，再求出时间即可； （2）过C作交于D，在上取两点M，N使得海里，根据等积法求出海里，根据勾股定理求出海里，根据等腰三角形的性质得出海里，最后求出时间进行比较即可． 【小问1详解】 解：由已知得：， （海里）， （小时）， 答：货船从A港口到B港口需要5小时； 【小问2详解】 略 21. 如图，某同学观察校门口的隔离栏发现，各个栏杆上涂有颜色部分的顶端及点，所在曲线呈抛物线形（栏杆宽度忽略不计）；隔离栏长为，隔离栏被12根栏杆等分成13份，左起第4根栏杆涂色部分的高度． 请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务： （1）请以点为坐标原点，线段所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式． （2）若相邻某两根栏杆涂色部分的高度差为，求这相邻的两根栏杆分别是左起第几根？ 【答案】（1） 平面直角坐标系如图． ； （2）第7根与第8根或第5根与第6根 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确建立平面直角坐标系、求出函数解析式成为解题的关键． （1）如图：建立的平面直角坐标系，设抛物线的表达式为，然后利用待定系数法求解即可； （2）设相邻两栏杆中左边一根栏杆为第m根，然后再代入解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴． 由题意得，，， ∴． ∵图象必过原点， ∴设抛物线的函数表达式为：， 把，分别代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为：． 【小问2详解】 解：由题意，相邻两栏杆的间距是：． 当左边栏杆涂色部分高于右边栏杆涂色部分时，设相邻两根栏杆中左边那根栏杆为第根， 由题意，得：． ∴． ∴第7根与第8根涂色部分的高度差为． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的对称轴在第6根栏杆与第7根栏杆中间． 由抛物线的对称性，可知第5根与第6根涂色部分的高度差也为． 答：相邻的两根栏杆分别是左起第7根与第8根或第5根与第6根． 22. 在综合实践课上，数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题．实践报告如表： 活动课题 测量两幢楼楼顶之间的距离 活动工具 测角仪、皮尺等 测量过程 【步骤一】如图，在楼和楼之间竖直放置测角仪，其中测角仪的底端与两楼的底部，在同一条水平直线上，图中所有点均在同一平面内； 【步骤二】利用测角仪测出楼顶的仰角为，楼顶的仰角为； 【步骤三】利用皮尺测出米，米． 解决问题 根据以上数据计算两幢楼楼顶，之间的距离． 参考数据 根据以上信息计算两幢楼楼顶，之间的距离．（结果精确到） 【答案】两幢楼楼顶，之间的距离约为米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，矩形的判定与性质，过作，交于点，交于点，过作于点，根据题意得四边形是矩形，由测量步骤可得：四边形是矩形，则米，米，米，在中，，，则米，从而求出米，最后由勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作，交于点，交于点，过作于点， ∴，， ∴四边形是矩形， 由测量步骤可得：四边形是矩形， ∵米，米， ∴米，米， ∴米， ∴米， ∵， ∴， ∴米， 在中，，， ∴（米）， ∴（米）， 在中，由勾股定理得：（米）， 答：两幢楼楼顶，之间的距离约为米． 23. 如图（1），在矩形中，，，点是边上一点，连接，过点作的垂线，分别交，于点，．设的长度为，的长度为，的长度为． 小东同学根据学习函数的经验对，随的变化规律进行了探究． 下面是小东同学的探究过程，请补充完整． （1）求关于的函数解析式； （2）按照下表中自变量的值进行取点、画图、测量，分别得到了的几组对应值； 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 6 0 1.5 2.2 2.5 2.6 2.4 2 1.6 1.3 0.9 0 通过计算可知，表格中的值为______；（结果保留根号） （3）在如图（2）所示的平面直角坐标系中，已经画出了与的函数图象．请根据（2）中表格里的数据描点、连线，在同一坐标系中，画出与的函数图象； （4）结合函数图象解决问题：当时，______cm． 【答案】（1）； （2）； （3） 根据（2）中表格里的数据描点、连线，画出与之间的函数关系图如图3， （4）（答案不唯一，两图象交点纵坐标的大约数值）或0或6． 【解析】 【分析】（1）证明，得出，代入数据即可得出答案； （2）由题意可知当时，点P在的中点，即和均为腰长为的等腰直角三角形．在中，过点E作于点H，易证，得出．设，则，，从而由可求出x的值，最后结合勾股定理即可求解； （3）根据（2）中表格里的数据描点、连线即可； （4）由图象求出两个函数图象相交时，x的值即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴． ∵四边形是矩形 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴； 【小问2详解】 解：当时，点P在的中点，则． ∵， ∴和均为腰长为的等腰直角三角形， ∴． 在中，过点E作于点H，如图 ∴，为等腰直角三角形， ∴， ∴． 设，则，， ∴， 解得：， ∴，即的值为； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：根据图象可得，当时，即两个函数图象相交时， ∴或或， ∴或或． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，二次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识．理解题意，求出函数解析式是解题的关键． 24. 如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式及其顶点的坐标； （2）点是直线上的一动点，交抛物线于，当点是线段的中点时，求出点的坐标； （3）设直线交轴于点．在线段的垂直平分线上是否存在点，使得点到直线的距离等于点到原点的距离？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1），顶点； （2）的坐标为或； （3）存在满足条件的点，的坐标为或． 【解析】 【分析】（）由于抛物线与轴交于点，，与轴交于点，利用待定系数法设交点式求解即可； （）先直线的解析式为，设的坐标为，依题意则的坐标为，代入抛物线求解即可； （）依题意设，设的中垂线交于，则，求出和的长度，根据列出方程求解即可； 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点，， ∴设抛物线解析式为，把代入得， ∴， ∴， ∴顶点； 【小问2详解】 解：由，，设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 设的坐标为，依题意则的坐标为， 代入抛物线解析式， 整理得：， ∴，， ∴或， ∴的坐标为或； 【小问3详解】 解：点存在，依题意设， 由（）得直线的解析式为，则它与轴的夹角为， 设的中垂线交于，则， 则，点到的距离为， 又∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴， 解得：， ∴存在满足条件的点，的坐标为或． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数和一次函数解析式，二次函数的图象与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期中学业水平检测 九年级数学试题 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡，试题卷共6页，共3道大题，24道小题，满分120分．考试时间为120分钟． 2．答题前，请将自己的班级、姓名、座号填写在相应的位置上． 一、选择题（本题共10个小题，下列每小题均给出标号为A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的）． 1. 在中， ，， ，则下列三角函数值正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，将抛物线 先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后所得到的抛物线的解析式为 （   ） A. B. C. D. 3. 如图，梯子地面的夹角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列叙述正确的是（ ） A. 的值越小，梯子越陡 B. 的值越小，梯子越陡 C. 梯子的长度决定倾斜程度 D. 梯子倾斜程度与的函数值无关 4. 二次函数的图象是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，的顶点都在边长相等的小正方形的顶点上，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数，当y随x的增大而增大时，x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于的方程的两个根分别是，，若点是二次函数的图象与轴的交点，过作轴交抛物线于另一交点，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 3 8. 某游乐场一个不等臂跷跷板AB长 5.6 米，支撑柱 OH 垂直地面，如图 1，当 AB的一端A着地时，AB与地面的夹角的正切值为；如图2，当AB 的另一端 B 着地时，AB 与地面夹角的正弦值为，则支撑柱 OH的长为（ ） A. 0.4 米 B. 0.8 米 C. 米 D. 1.2 米 9. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，点是该抛物线上一点，若点是抛物线上任意一点，有下列结论：①；②若，则；③若，则；④若方程有两个实数根和，且，则．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题共6个小题） 11. 若二次函数的图象经过原点，则m＝__________． 12. 如图，已知直线分别与轴和轴相交于点和点，且直线的解析式为，于点，与轴正半轴的夹角为，则等于______． 13. 如图，在平面直角坐标系中有，两点，如果抛物线与线段没有公共点，则a的取值范围是_______． 14. 如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，BC是建筑物底端的一个平台，斜坡CD的坡度（或坡比）为i＝1：0.75，坡长为10米，DE为地平面（A，B，C，D，E均在同一平面内），则平台距地面的高度为_____． 15. 如图，在菱形中，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值是______． 16. 某电商以每件40元的价格购进某款T恤，以每件60元的价格出售，经统计，“十一”的前一周的销量为500件，该电商在“十一黄金周”期间进行降价销售，经调查，发现该T恤在“十一”前一周销售量的基础上，每降价1元，“十一黄金周”销售量就会增加50件．若要求销售单价不低于成本，且按照物价部门规定销售利润率不高于，那么当电商获得最大利润时，每件T恤的定价为______元． 三、解答题（本大题共8个小题，要写出必要的解答过程或推理步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，AD是△ABC的中线，tan B＝，cos C＝，AC＝.求： （1）BC的长； （2）sin ∠ADC的值． 19. 如图，已知二次函数的图象经过原点，． （1）写出该函数图象的对称轴，并写出该函数的解析式； （2）若将线段绕点逆时针旋转到，试判断点是否为该函数图象的顶点? 20. 在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西54°方向上，港口与灯塔C的距离是80海里，港口B在灯塔C的南偏西方向上，港口与灯塔C的距离是60海里，一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为20海里/小时． （1）货船从A港口航行到B港口需要多少时间； （2）为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为50海里，这艘货船在由A港口向B港口运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于小时才符合航行安全标准，这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？ 21. 如图，某同学观察校门口的隔离栏发现，各个栏杆上涂有颜色部分的顶端及点，所在曲线呈抛物线形（栏杆宽度忽略不计）；隔离栏长为，隔离栏被12根栏杆等分成13份，左起第4根栏杆涂色部分的高度． 请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务： （1）请以点为坐标原点，线段所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式． （2）若相邻某两根栏杆涂色部分的高度差为，求这相邻的两根栏杆分别是左起第几根？ 22. 在综合实践课上，数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题．实践报告如表： 活动课题 测量两幢楼楼顶之间的距离 活动工具 测角仪、皮尺等 测量过程 【步骤一】如图，在楼和楼之间竖直放置测角仪，其中测角仪的底端与两楼的底部，在同一条水平直线上，图中所有点均在同一平面内； 【步骤二】利用测角仪测出楼顶的仰角为，楼顶的仰角为； 【步骤三】利用皮尺测出米，米． 解决问题 根据以上数据计算两幢楼楼顶，之间的距离． 参考数据 根据以上信息计算两幢楼楼顶，之间的距离．（结果精确到） 23. 如图（1），在矩形中，，，点是边上一点，连接，过点作的垂线，分别交，于点，．设的长度为，的长度为，的长度为． 小东同学根据学习函数的经验对，随的变化规律进行了探究． 下面是小东同学的探究过程，请补充完整． （1）求关于的函数解析式； （2）按照下表中自变量的值进行取点、画图、测量，分别得到了的几组对应值； 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 6 0 1.5 2.2 2.5 2.6 2.4 2 1.6 1.3 0.9 0 通过计算可知，表格中的值为______；（结果保留根号） （3）在如图（2）所示的平面直角坐标系中，已经画出了与的函数图象．请根据（2）中表格里的数据描点、连线，在同一坐标系中，画出与的函数图象； （4）结合函数图象解决问题：当时，______cm． 24. 如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式及其顶点的坐标； （2）点是直线上的一动点，交抛物线于，当点是线段的中点时，求出点的坐标； （3）设直线交轴于点．在线段的垂直平分线上是否存在点，使得点到直线的距离等于点到原点的距离？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $