精品解析：山东省临沂市罗庄区2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题

学科素养水平联研试题 八年级数学 （时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答题前，请先认真浏览试卷；然后按要求操作； 2．答题时，端正心态，认真审题，认真书写，规范作图，保持卷面整洁！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（） A. B. C. D. 2. 下列各图中，作边边上高，正确的是（ ） A. B. C D. 3. 如图，在纸上画有，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在的平分线上，则（ ） A. 与一定相等 B. 与一定不相等 C. 与一定相等 D. 与一定不相等 4. 下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法. （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则. 上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（ ） A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 5. 如图，是正边形纸片的一部分，其中是正n边形两条边的一部分，若所在的直线相交形成的锐角为，则的值是（） A. B. C. D. 6. 如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行，小庆和小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿折叠，量得；小铁把纸带②沿折叠，发现与重合，与重合．且点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上．则下列判断正确的是（ ） A. 纸带①、②的边线都平行 B. 纸带①、②的边线都不平行 C. 纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行 D. 纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行 7. 如图，已知与，四点在同一条直线上，其中，，，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的高线，与相交于点F．若，且的面积为，则的长度为（     ） A. B. C. D. 9. 如图，的面积为40，平分，于，连接，则的面积为（） A. B. C. D. 25 10. 如图，直线，垂足为O，点A是射线上一点，，以为边在右侧作，且满足，若点B是射线上的一个动点（不与点O重合），连接．作的两个外角平分线交于点C，小明认为点C一定也在的平分线上，你认为对吗？在点B在运动过程中，当线段取最小值时，的度数为（    ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 一个多边形内角和的度数比外角和的度数的倍多度，则多边形的边数为____ 12. 如图，在正六边形中，，，垂足为点．若，则________ 13. 在△ABC中，AB=5， AC=7，则BC边上中线的取值范围是__________ 14. 如图，在中，，，点D、E、F分别在边上，如果，，那么_________ 15. 如图，在中，，点D为的中点，点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为____________时，能够在某一时刻使与全等． 16. 如图，在中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则______度． 三、解答题（本大题共7小题，共72分） 17. 同学们在探索“多边形的内角和”时，利用了“三角形的内角和”．请你在不直接运用结论“n边形的内角和为”计算的条件下，利用“一个三角形的内角和等于180°”，结合图形说明：五边形的内角和为540°． 18. 如图，在正方形网格中，点A、B、C、M、N都在格点上． （1）作关于直线对称的图形． （2）若网格中最小正方形的边长为1，则的面积为_______． （3）在直线上找一点P，使最短． 19. 如图，在中，，．过点A作，垂足，延长至点．使．在边上截取，连接．求证：． 20. 综合与实践 问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在和上分别取点C和D，使得，连接，以为边作等边三角形，则就是的平分线． 请写出平分的依据：____________； 类比迁移： （2）小明根据以上信息研究发现：不一定必须是等边三角形，只需即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线是的平分线，请说明此做法的理由； 拓展实践： （3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 21. 如图，和都是等边三角形，点关于的对称点在边上．     （1）求证：； （2）用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 22. 在中，．点D在边上．且．点E在射线上，． （1）如图，当点E在线段上时，若，求的度数． （2）求与的数量关系． 23. 【实际情境】手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：． 【模型应用】（2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件：①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） 【拓展提升】（3）如图3，在中，，，平分，与交于点E，过点作于点，若，求值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学科素养水平联研试题 八年级数学 （时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答题前，请先认真浏览试卷；然后按要求操作； 2．答题时，端正心态，认真审题，认真书写，规范作图，保持卷面整洁！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断． 【详解】解：根据轴对称图形的定义．A、C、D中的图形是轴对称图形， 故A、C、D不符合题意； B、图形不是轴对称图形，故B符合题意． 故选：B． 2. 下列各图中，作边边上的高，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，据此求解即可． 【详解】解：由三角形的高的概念可知，四个选项中只有D选项中的作图方法是作的边边上的高， 故选：D． 3. 如图，在纸上画有，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在的平分线上，则（ ） A. 与一定相等 B. 与一定不相等 C. 与一定相等 D. 与一定不相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，过点P分别作的垂线，垂足分别为E、F，由角平分线的性质得到，由平行线间间距相等可知，则，而和的长度未知，故二者不一定相等，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点P分别作的垂线，垂足分别为E、F ∵点P在的平分线上， ∴， 由平行线间间距相等可知， ∴， 由于和的长度未知，故二者不一定相等， 故选：A， 4. 下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法. （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则. 上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（ ） A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本作图中，判定三角形全等的依据是边边边，解答即可. 本题考查了作一个角等于已知角的基本作图，熟练掌握作图的依据是解题的关键. 【详解】解：根据上述基本作图，可得， 故可得判定三角形全等的依据是边边边， 故选A. 5. 如图，是正边形纸片的一部分，其中是正n边形两条边的一部分，若所在的直线相交形成的锐角为，则的值是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和外角，掌握正多边形的性质是解题的关键．求出正多边形的每个外角度数，再用外角和除以外角度数即可求解． 【详解】解：如图， 直线相交于点，则， 正多边形的每个内角相等， 正多边形的每个外角也相等， 故选：A． 6. 如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行，小庆和小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿折叠，量得；小铁把纸带②沿折叠，发现与重合，与重合．且点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上．则下列判断正确的是（ ） A. 纸带①、②的边线都平行 B. 纸带①、②边线都不平行 C. 纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行 D. 纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行 【答案】D 【解析】 【分析】对于纸带①，根据对顶角相等可得，利用三角形内角和定理求得，再根据折叠的性质可得，由平行线的判定即可判断；对于纸带②，由折叠的性质得，，，由平角的定义从而可得，，再根据平行线的判定即可判断． 详解】解：对于纸带①， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， ∴与不平行， 对于纸带②，由折叠的性质得，，， 又∵点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 综上所述，纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行， 故选：D． 【点睛】本题考查平行线的判定、对顶角相等、三角形内角和定理、折叠的性质，熟练掌握平行线的判定和折叠的性质是解题的关键． 7. 如图，已知与，四点在同一条直线上，其中，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角性质，证明可得，进而由三角形外角性质可得，即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 8. 如图，是的高线，与相交于点F．若，且的面积为，则的长度为（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 利用证明，得，再根据三角形面积可得的长，从而可得答案． 【详解】解：是的高线， ， ， ， 在和中， ， ， ， 的面积为10， ， ， ， ， 故答案为：A． 9. 如图，的面积为40，平分，于，连接，则的面积为（） A. B. C. D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，等底同高的三角形的面积相等是解题的关键．延长、交于点，由题意证得，证得，，即可证得，，利用即可求得结果． 【详解】解：延长、交于点， 平分，且于点， 在和中， ， ， ，， ，， 的面积为40， ， ． 故选：C． 10. 如图，直线，垂足为O，点A是射线上一点，，以为边在右侧作，且满足，若点B是射线上的一个动点（不与点O重合），连接．作的两个外角平分线交于点C，小明认为点C一定也在的平分线上，你认为对吗？在点B在运动过程中，当线段取最小值时，的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线．熟练掌握角平分线的性质定理和判定定理，垂线段最短，根据角平分线构造垂线，是解题的关键． 连接，过C作于点D，作于点E，作于点G，根据角平分线性质得到，得到，得到平分，得到，求出，当时，最小，．得到． 【详解】解：如图，连接，过C作于点D，作于点E，作于点G， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴平分，则小明的观点正确， ∴， ∵， ∴， ∴当时，最小，． ∴． 故选：B． 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 一个多边形内角和的度数比外角和的度数的倍多度，则多边形的边数为____ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是多边形的外角和是以及多边形的内角和公式，掌握公式是解题的关键．根据多边形的外角和是可得出内角和为，再根据内角和公式可以求得多边形的边数． 【详解】解：设多边形的边数为n． ∵多边形的外角和是，多边形内角和的度数比外角和的度数的倍多度， ∴可得方程， 解得． 多边形的边数为． 故答案为：25 12. 如图，在正六边形中，，，垂足为点．若，则________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查多边形的内角和及平行线的性质，结合已知条件求得的度数是解题的关键．根据题意利用多边形的内角和即可求得，的度数，继而求得的度数，再根据平行线的性质求得的度数，继而求得的度数，最后根据直角三角形的两锐角互余即可求得答案． 【详解】解：六边形是正六边形， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 13. 在△ABC中，AB=5， AC=7，则BC边上的中线的取值范围是__________ 【答案】 【解析】 【分析】延长AE到D，使AE=DE，通过证明△AEC≌△DEB△，可得BD=AC，根据三角形的三边关系，得出即可． 【详解】 解：延长AE到D，使AE=DE，连接BD． ∵AE是中线， ∴BE=CE，∠AEC=∠DEB， ∴△AEC≌△DEB△（SAS）， ∴BD=AC=7，又AE=a， ∴2＜2a＜12， ∴1＜a＜6． 故答案为1＜a＜6． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质和三角形的三边关系，三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 14. 如图，在中，，，点D、E、F分别在边上，如果，，那么_________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识点，根据题意证明得是解题的关键． 根据题意证明得，则可得出答案． 【详解】解：，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在中，，点D为的中点，点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为____________时，能够在某一时刻使与全等． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，等边对等角的性质，根据对应角分情况讨论是本题的难点．设点、的运动时间为，分别表示出、、、，再根据全等三角形对应边相等，分①、是对应边，②、是对应边两种情况讨论求解即可． 【详解】解：，，点为的中点， ，， 设点、的运动时间为， ， ， 若与全等．则有： ①当时，， 解得：， 则， 故点的运动速度为：； ②当时， ， ， ， ． 故点的运动速度为． 所以，点的运动速度为或 故答案为：或． 16. 如图，在中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角定理，等式性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先分别对运用三角形的外角定理，设，则，，则，得到，，同理可求：，所以可得． 【详解】解：如图： ∵，， ∴设，，则，， 由三角形的外角的性质得：，， ∴， 如图： 同理可求：， ∴， ……， ∴， 即， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共72分） 17. 同学们在探索“多边形的内角和”时，利用了“三角形的内角和”．请你在不直接运用结论“n边形的内角和为”计算的条件下，利用“一个三角形的内角和等于180°”，结合图形说明：五边形的内角和为540°． 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】如下图，连接，，将五边形分成三个三角形，然后利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：连接，， 五边形的内角和等于，，的内角和的和， 五边形的内角和． 【点睛】此题考查了三角形的内角和定理，熟练运用三角形内角和定理，并将五边形转化为三个三角形是解答此题的关键． 18. 如图，在正方形网格中，点A、B、C、M、N都在格点上． （1）作关于直线对称的图形． （2）若网格中最小正方形的边长为1，则的面积为_______． （3）在直线上找一点P，使最短． 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作轴对称图形，利用网格求三角形面积，轴对称的性质．熟练掌握作轴对称图形，轴对称的性质是解题的关键． （1）由轴对称的性质作图即可； （2）根据，求解作答即可； （3）记交于，连接，由轴对称的性质可知点即为所作． 【小问1详解】 解：由轴对称的性质作图，如图1，即为所作； 【小问2详解】 解：由题意知，， 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图2，记交于，连接， ∴， ∴， ∴此时最短，点即为所作． 19. 如图，在中，，．过点A作，垂足为，延长至点．使．在边上截取，连接．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题考查的是全等三角形的判定与性质及三角形内角和定理，掌握其性质定理是解决此题的关键．利用三角形内角和定理得的度数，再根据全等三角形的判定与性质可得结论． 【详解】证明：在中，， ， ， ， 在和中， ， ∴． ． 20. 综合与实践 问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在和上分别取点C和D，使得，连接，以为边作等边三角形，则就是的平分线． 请写出平分的依据：____________； 类比迁移： （2）小明根据以上信息研究发现：不一定必须是等边三角形，只需即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线是的平分线，请说明此做法的理由； 拓展实践： （3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）作图见解析； 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的定义与角平分线的性质，作已知角的角平分线，理解题意，熟练的作角的平分线是解本题的关键． （1）先证明，可得，从而可得答案； （2）先证明，可得，可得是的角平分线； （3）先作的角平分线，再在角平分线上截取即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴， ∴是的角平分线； 故答案为： （2）∵，，， ∴， ∴， ∴是角平分线； （3）如图，点即为所求作的点； 21. 如图，和都是等边三角形，点关于的对称点在边上．     （1）求证：； （2）用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析； （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，轴对称的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． （1）证明，再证明即可； （2）由和关于对称，可得，证明，从而可得结论． 小问1详解】 证明：和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴． ∴ ； 【小问2详解】 解：， 理由如下： ∵和关于对称， ∴． ∵， ∴ ∵ ∴． 22. 在中，．点D在边上．且．点E在射线上，． （1）如图，当点E在线段上时，若，求的度数． （2）求与的数量关系． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的发挥及角平分线的定义，掌握三角形内角和是是正确解答的关键． （1）根据角平分线的定义以及三角形内角和定理进行计算即可； （2）分为当E在线段上时及当E在线段延长线上时，两种情况进行讨论，根据角平分线定义，三角形内角和定理以及图形中角的和差关系进行计算即可． 【小问1详解】 解：， ， 在中，， ， ， ∴； 【小问2详解】 解：当E在线段上时，如图， ， ， 在中，设，， ， ， ， 即； 当E在线段延长线上时， 在与中，， ， ， ， 即， ． 综上：或． 23. 【实际情境】手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：． 【模型应用】（2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件：①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） 【拓展提升】（3）如图3，在中，，，平分，与交于点E，过点作于点，若，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）选择②为条件，①为结论，见解析；（3）4 【解析】 【分析】（1）利用证明即可； （2）选择②为条件，①为结论：在取点，使，连接，证明，可得，，再由，可得，从而得到即可解答； 选择①为条件，②为结论：在取点，使，连接，证明，可得，，再由，可得，从而得到即可解答； （3）延长交的延长线于点，先证明，可得，再由平分得出，再证明，从而可以解答． 【详解】解：（1）在和中，∵，，， ∴， ∴； （2）选择②为条件，①为结论 如图，在取点N，使，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 选择①为条件，②为结论 如图，在取点N，使，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）证明：如图，延长交的延长线于点， ， ， 又， ， 在和中 ， ， ， 平分 又 【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$