精品解析：辽宁省大连市甘井子区2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024——2025学年度第一学期期中阶段性学习质量抽测九年级数学 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间共120分钟） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不合题意； C. 不是中心对称图形，故此选项不合题意； D. 是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是中心对称图形．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 2. 用配方法解方程，下列配方正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再方程两边同时加上9，然后利用完全平方公式把方程左边写成完全平方式即可． 【详解】解：， ∴， ∴， 即． 故选：A． 3. 如图，根据二次函数的图象，一元二次方程的解是( ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，根据函数图象得出二次函数图象与轴的交点，即可得出方程的解． 【详解】解：根据函数图象可知，二次函数的图象与轴的交点为， ∴一元二次方程的解是， 故选：C． 4. 一元二次方程x2﹣8x＝﹣17的根的情况是（　　） A. 无实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】先计算出△=-4，然后根据判别式的意义求解． 【详解】解：x2﹣8x＝﹣17， x2﹣8x+17＝0， ∵△＝82﹣4×1×17＝﹣4＜0， ∴方程无实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 5. 已知点，都在反比例函数的图象上．如果，且，则，的大小关系是( ) A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质 根据反比例函数分析出反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，再根据，说明点，在同一个象限，，最后根据反比例函数增减性确定大小即可． 【详解】解：反比例函数， 反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ， 点，在同一个象限， ， 故选：C． 6. 关于二次函数，下列结论不正确的是( ) A. 开口向上 B. 时，随的增大而减小 C. 对称轴是直线 D. 顶点坐标为 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：二次函数， ，该函数图象开口向上，故选项A正确，不符合题意； 抛物线对称轴是直线， 时，随的增大而减小，故选项B错误，符合题意；选项C正确，不符合题意； 顶点坐标为，故选项D正确，不符合题意． 故选：B． 7. 如图，已知点的坐标为，菱形的对角线交于坐标原点，则点的坐标为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，坐标与图形性质，由菱形的性质可知点和点关于原点对称，结合条件可求得点点的坐标． 【详解】解：四边形为菱形， ，， 点为坐标原点， 点和点关于原点对称，点和点关于原点对称， 点的坐标为 点坐标为 故选：D． 8. 利用位似可以设计有立体感的美术字．如图，是某同学以点为位似中心，设计“”中字母“M”美术字的一种方法．若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查位似图形，根据位似图形一定是相似图形，利用相似图形的性质，进行求解即可． 【详解】解：由题意，前后两个位置的图形相似， ∴； 故选B． 9. 数学活动课上，小明为了测量学校旗杆的高度，在他脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆顶端，此时，小明画出如图所示的示意图，并估计他的眼睛与地面的距离为，同时测得，，则旗杆的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的实际应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键． 先根据光的反射定律得出，再证明，根据相似三角形对应边成比例即可得出结论． 【详解】解：已知，，， 故， 根据光的反射定律，， 又， ∴， ∴，即， 解得：， 故选：A． 10. 如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来．在中点的左侧距离中点，处悬挂一个重量已知的物体，在中点右侧用一个弹簧测力计向下拉，使木杆处于水平状态．改变弹簧测力计与中点的距离（单位：），观察弹簧测力计的示数（单位：N）的变化，发现：（单位：N）是（单位：）的函数，部分数据对应如下： L/ … 49 39.2 24.5 19.6 14 … F/N … 2 2.5 4 5 7 … 若弹簧测力计的示数为2.8N，则弹簧测力计与中点的距离为（ ） A. 30.2 B. 32.6 C. 35 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，观察表格可知，的乘积为定值，故成反比例关系，求出函数解析式，进行求出时，的值即可． 【详解】解：观察可知，表格中对应的两个数据的乘积相同： ，为定值， ∴， ∴当时，； 故选C． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的解是______． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， ∴或， ∴，． 故答案为：， 12. 反比例函数的图象经过第一、三象限，则常数的取值范围是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据图象经过第一、三象限，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过第一、三象限， ∴， ∴； 故答案为：． 13. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，连接．若，，则线段的长为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】该题主要考查了旋转的性质，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． 根据旋转可得，，，根据勾股定理求出，再求出即可． 【详解】解：根据旋转可得，，， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布前形成倒立的实像，若物体的高为，小孔O到物体和实像的水平距离，分别为、，则实像的高度为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据，得出，，证明，得出，求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴实像的高度为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，证明． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点是轴上一动点，连接，作线段的垂直平分线，过点作轴的垂线，记，的交点为，改变点的位置，可以得到相应的点，设点的坐标是，则关于的函数解析式为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数关系式，线段垂直平分线的性质和勾股定理，连接，过点作交于点，可知，，，在中由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作交于点， 线段的垂直平分线为， ， 点的坐标是， ，，， 在中，根据勾股定理得：， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 用适当的方法解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）根据配方法解一元二次方程，即可求解； （2）根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴，， 【小问2详解】 解： ∵，，， 方程有两个不相等的实数根． ∴， ，． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． （1）以点为对称中心，画出关于点的对称图形 （2）以点为旋转中心，将顺时针旋转得到，画出，并直接写出的坐标____________． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； 【解析】 【分析】本题考查了坐标系中的作图——旋转变换，熟练掌握坐标系中的旋转变换是解题的关键． （1）依据中心对称性质，即可画出关于点的对称图形； （2）依据点为旋转中心，将顺时针旋转，即可画出，再结合图形写出的坐标即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 如图，即为所求； 由作图可得，的坐标为． 故答案为：． 18. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）求这个反比例函数的关系式； （2）如果以蓄电池为电源的用电器的电流不能超过，那么用电器的可变电阻至少是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）设出反比例函数解析式，把点代入反比例函数解析式中求解即可； （2）根据（1）所求可得I随R增大而减小，因此求出当时，的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：设电流I（单位：A）与电阻R（单位：）得到反比例函数关系式为， 由题意得，点在函数的图象上， ∴， ∴， ∴电流I（单位：A）与电阻R（单位：）得到反比例函数关系式为； 【小问2详解】 解：∵在中，， ∴I随R增大而减小， 当时，则，解得， ∴当时，， ∴如果以蓄电池为电源的用电器的电流不能超过，那么用电器的可变电阻至少是． 19. 某商场销售一种商品，经市场调查发现，每件盈利20元，每星期可卖出300件．为吸引顾客，商场决定在“双十一”期间进行促销活动．若每件商品降价1元，每星期可多卖出20件． （1）为了实现该商品每星期3000元的销售利润，则每件需降价多少元？ （2）该商品每星期的销售利润能否达到6200元？如果能，求出每件盈利；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）每件需降价15元 （2）不能，见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）设每件需降价元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解； （2）设销售利润为元，根据题意得出关于的函数，结合二次函数的性质即可得解． 【小问1详解】 解：设每件需降价元， 由题意可得： 整理得：． 解得：，（不符合题意，舍）． 答：每件需降价15元； 【小问2详解】 解：设销售利润为元， 由题意可得： ∵．， 利润的最大值为6125． ． ∴该商品每星期的销售利润不能达到6200元． 20. 如图，于点，于点，，，，点从点出发，沿方向以每秒3个单位长度速度向终点匀速运动，连接，，过点作交的延长线于点，设点的运动时间为秒． （1）当时，求证：； （2）当时，若与相似，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）线段长为或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定； （1）当时，，，进而得出，结合，即可得证； （2）分情况讨论，①当时，②当时，分别根据相似三角形的性质列出比例式，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意，得， ， 当时，， ，， ，． ， ， ， ， ， 【小问2详解】 ， ． 即． ． ①当时， ． ， ， ． ②当时， ． ． ，． ， 舍． 综上所述：线段长为或 21. 【发现问题】 在2024年巴黎奥运会跳水女子双人10米跳台决赛中，中国选手陈芋汐和全红婵夺得金牌，跳水梦之队实现该项目七连冠．两位选手如同复制粘贴般上演“水花消失术”，令人叹为观止．我们把运动员从跳台上起跳、腾空到入水，近似看成是一条漂亮的抛物线． 【提出问题】 在如图所示的平面直角坐标系中，如果将运动员从点处起跳后的运动路线看作是抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她运动的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）之间有怎样的函数关系． 【分析问题】 小美完成一次试跳，记录仪记录了她运动时的竖直高度水平距离的几组数据如下： 水平距离（） 3 3.6 4.2 4.8 5.2 竖直高度（） 10 10 （1）请把上表中，的各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，画出小美运动的抛物线草图，并求出关于的函数解析式； 【解决问题】 （2）双人10米跳台要求两位运动员同步完成动作．从数学的角度分析，至少要满足竖直距离的最大值及入水时入水点距跳台的水平距离分别相等．小美和小丽完成了一次双人10米跳台训练，小美的数据如上表中所示，小丽的竖直高度与水平距离近似满足函数关系． ①用，分别表示小美，小丽在空中最高点的竖直距离，则____________（填“”“”或“”）； ②在距水面高5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则容易失误．小美和小丽在空中调整好入水姿势时，水平距离恰好都是米，她们本次训练是否会失误，请通过计算说明理由． 【答案】（1）作图见解析；抛物线为； （2）①；②她们本次训练不会失误，理由见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，根据表格数据即可作图；又图象过，故抛物线的对称轴是直线，从而顶点为，可设抛物线为，再结合抛物线过，可得，求出即可判断得解； (2)①依据题意，由小丽的竖直高度y与水平距商x近似满足函数关系为，从而，结合，进而可以判断得解；②依据题意，对于小美而言，其对应抛物线为，再令，则，又对于小丽而言，其对应抛物线为，再令，则，进而可以判断得解． 【详解】解：（1）由题意，根据表格数据可以作图如下 图象过，，抛物线的对称轴为直线，顶点为， 可设抛物线为， 又抛物线过， ， ， 抛物线； （2）①由题意， 小丽的竖直高度与水平距离近似满足函数关系为， ， 又， ， 故答案为：； ②由题意，对于小美而言，其对应抛物线为， 令，则， 又对于小丽而言，其对应抛物线为， 令，则， 她们本次训练不会失误． 22. 【问题背景】 数学课上，我们以等腰直角三角形为背景，利用旋转的性质研究线段和角的关系．老师给出了下面的已知条件：在中，，，点是边上的一动点，点是外任意一点，过点与点作射线，将射线绕点逆时针旋转90°得到射线． 【问题初探】 （1）如图1，点与直角顶点重合，射线交边于点，点在射线上，且满足，连接．求证：，． 【问题深探】 （2）如图2，点在直角边上，射线恰巧经过点，点在射线上，且满足，连接．请直接写出，，之间的数量关系是______________． 【问题拓展】 （3）点在斜边上，且，射线交边于点，射线交边于点． ①如图3，当，，时，求线段的长； ②如图4，连接，请直接写出，，之间的数量关系____________（用含的代数式表示）． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）①；② 【解析】 【分析】（1）利用边角边证，得到，进而根据全等三角形的性质以及已知条件得出．； （2）构造一线三垂直全等，过作交延长线于点，先证（），得到，，在证出，进而得到，再通过（）即可得解； （3）①过点作 于点， 于点，先证，得到，再证，得出，利用建立方程即可得解； ②根据前述思路构造旋转相似，所以作交于点，先证，，进而得出，，在中利用勾股定理将、、转化在一起即可得解． 【详解】（1）证明：，， 又， ． ，， ， ， ， ． （2）如图，过作交延长线于点，则， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， 故答案为：； （3）①方法一： 解：过点作于点，于点， ． ， ． ． ，， ． ，， ， ， ． ． 设， ，， ，，． ． ， ． ，． 方法二： 解：过点作于点，过点作交于点． ， ， ． ． ，． ． ，， ． ， ． ． ． ． ，， ． ，， ，，． ， ②如图，作交于点，则， ， ， 根据四边形内角和可得出， ， ， ， 在中，， ， 即， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 23. 抛物线与轴交于点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）将抛物线顶点的横坐标加1，纵坐标不变，得到抛物线． ①请直接写出______________，______________． ②若点，为抛物线上的点，横坐标分别为，，点，之间(包括端点)的函数图象称为图象，设图象的最高点与最低点的纵坐标分别为，，当时，求的值； ③点为抛物线上的任意一点，其横坐标为，过点作轴交抛物线于点，过点作轴的垂线交抛物线于点，过点作轴的垂线交抛物线于点，设以，，，为顶点的图形面积为且当点在的上方，以，，，为顶点的图形是四边形时，请直接写出此时的取值范围_____________． 【答案】（1） （2）①，；②或或或；③或 【解析】 【分析】（1）把点，点代入抛物线中，即可求解； （2）①抛物线的顶点坐标为，横坐标加，纵坐标不变后得新抛物线的顶点为，据此可得新抛物线的顶点表达式，进而化简即可求解，； ②结合对称轴分当时、、、四类讨论即可； ③由题意可设点，，，．画出示意图，把以，，，为顶点的四边形面积表示出来，代入中，解不等式即可． 【小问1详解】 解：把点，点代入抛物线 得： 解得： 【小问2详解】 ①将抛物线的顶点的横坐标加，纵坐标不变， 得到抛物线的顶点坐标为， 故， ，． 故答案为：，． ②当时，，当时，． ，当时，， 情况一：当时， ，， ， ， 舍去， 情况二：当， ，， ， 舍去， 情况三：当时， ，， ， ， 情况四：当时， ，， ， ， 舍去． 综上所述，或或或； ③由题意可设点，，，． 则当时，如图1所示， 根据梯形面积公式可得： 即 解得： 当时，且点在的上方，如图2所示， 此时， 则 即 解得： 综上所述，或 故答案为：或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，二次函数的平移，二次函数最值的分类讨论，四边形面积的求法，综合性强，难度大，熟悉以上内容并结合分类讨论是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024——2025学年度第一学期期中阶段性学习质量抽测九年级数学 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间共120分钟） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（ ）． A. B. C. D. 2. 用配方法解方程，下列配方正确的是( ) A. B. C. D. 3. 如图，根据二次函数的图象，一元二次方程的解是( ) A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 一元二次方程x2﹣8x＝﹣17的根的情况是（　　） A. 无实数根 B. 有两个相等实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 5. 已知点，都在反比例函数的图象上．如果，且，则，的大小关系是( ) A. B. C. D. 无法确定 6. 关于二次函数，下列结论不正确的是( ) A. 开口向上 B. 时，随增大而减小 C. 对称轴是直线 D. 顶点坐标为 7. 如图，已知点的坐标为，菱形的对角线交于坐标原点，则点的坐标为( ) A. B. C. D. 8. 利用位似可以设计有立体感的美术字．如图，是某同学以点为位似中心，设计“”中字母“M”美术字的一种方法．若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 数学活动课上，小明为了测量学校旗杆的高度，在他脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆顶端，此时，小明画出如图所示的示意图，并估计他的眼睛与地面的距离为，同时测得，，则旗杆的高度为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来．在中点的左侧距离中点，处悬挂一个重量已知的物体，在中点右侧用一个弹簧测力计向下拉，使木杆处于水平状态．改变弹簧测力计与中点的距离（单位：），观察弹簧测力计的示数（单位：N）的变化，发现：（单位：N）是（单位：）的函数，部分数据对应如下： L/ … 49 392 24.5 196 14 … F/N … 2 2.5 4 5 7 … 若弹簧测力计的示数为2.8N，则弹簧测力计与中点的距离为（ ） A. 30.2 B. 32.6 C. 35 D. 36 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的解是______． 12. 反比例函数的图象经过第一、三象限，则常数的取值范围是_______________． 13. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，连接．若，，则线段的长为_______________． 14. 小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布前形成倒立的实像，若物体的高为，小孔O到物体和实像的水平距离，分别为、，则实像的高度为________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点是轴上一动点，连接，作线段的垂直平分线，过点作轴的垂线，记，的交点为，改变点的位置，可以得到相应的点，设点的坐标是，则关于的函数解析式为_______________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 用适当的方法解方程： （1）； （2）． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． （1）以点为对称中心，画出关于点的对称图形 （2）以点为旋转中心，将顺时针旋转得到，画出，并直接写出的坐标____________． 18. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）求这个反比例函数的关系式； （2）如果以蓄电池为电源的用电器的电流不能超过，那么用电器的可变电阻至少是多少？ 19. 某商场销售一种商品，经市场调查发现，每件盈利20元，每星期可卖出300件．为吸引顾客，商场决定在“双十一”期间进行促销活动．若每件商品降价1元，每星期可多卖出20件． （1）为了实现该商品每星期3000元的销售利润，则每件需降价多少元？ （2）该商品每星期的销售利润能否达到6200元？如果能，求出每件盈利；如果不能，请说明理由． 20. 如图，于点，于点，，，，点从点出发，沿方向以每秒3个单位长度速度向终点匀速运动，连接，，过点作交的延长线于点，设点的运动时间为秒． （1）当时，求证：； （2）当时，若与相似，求线段的长． 21. 【发现问题】 在2024年巴黎奥运会跳水女子双人10米跳台决赛中，中国选手陈芋汐和全红婵夺得金牌，跳水梦之队实现该项目七连冠．两位选手如同复制粘贴般上演“水花消失术”，令人叹为观止．我们把运动员从跳台上起跳、腾空到入水，近似看成是一条漂亮的抛物线． 【提出问题】 在如图所示的平面直角坐标系中，如果将运动员从点处起跳后的运动路线看作是抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她运动的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）之间有怎样的函数关系． 【分析问题】 小美完成一次试跳，记录仪记录了她运动时的竖直高度水平距离的几组数据如下： 水平距离（） 3 3.6 4.2 4.8 5.2 竖直高度（） 10 10 （1）请把上表中，的各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，画出小美运动的抛物线草图，并求出关于的函数解析式； 【解决问题】 （2）双人10米跳台要求两位运动员同步完成动作．从数学的角度分析，至少要满足竖直距离的最大值及入水时入水点距跳台的水平距离分别相等．小美和小丽完成了一次双人10米跳台训练，小美的数据如上表中所示，小丽的竖直高度与水平距离近似满足函数关系． ①用，分别表示小美，小丽在空中最高点的竖直距离，则____________（填“”“”或“”）； ②在距水面高5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则容易失误．小美和小丽在空中调整好入水姿势时，水平距离恰好都是米，她们本次训练是否会失误，请通过计算说明理由． 22. 【问题背景】 数学课上，我们以等腰直角三角形为背景，利用旋转的性质研究线段和角的关系．老师给出了下面的已知条件：在中，，，点是边上的一动点，点是外任意一点，过点与点作射线，将射线绕点逆时针旋转90°得到射线． 【问题初探】 （1）如图1，点与直角顶点重合，射线交边于点，点在射线上，且满足，连接．求证：，． 【问题深探】 （2）如图2，点在直角边上，射线恰巧经过点，点在射线上，且满足，连接．请直接写出，，之间的数量关系是______________． 【问题拓展】 （3）点在斜边上，且，射线交边于点，射线交边于点． ①如图3，当，，时，求线段的长； ②如图4，连接，请直接写出，，之间的数量关系____________（用含的代数式表示）． 23. 抛物线与轴交于点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）将抛物线顶点的横坐标加1，纵坐标不变，得到抛物线． ①请直接写出______________，______________． ②若点，为抛物线上的点，横坐标分别为，，点，之间(包括端点)的函数图象称为图象，设图象的最高点与最低点的纵坐标分别为，，当时，求的值； ③点为抛物线上的任意一点，其横坐标为，过点作轴交抛物线于点，过点作轴的垂线交抛物线于点，过点作轴的垂线交抛物线于点，设以，，，为顶点的图形面积为且当点在的上方，以，，，为顶点的图形是四边形时，请直接写出此时的取值范围_____________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $