第4讲 二次根式（课件PPT）-【中考总动员】2024年中考数学讲义（达州专用）

第4讲　二次根式 2024达州数学 目 录 1 素养储备 2 素养积累 3 素养提升 4 素养发展 1 素养储备 二次根式 开平方 二次根式 性质 最简二次根式 常见二次根式化简 运算 分母有理化 估值 非负数 典型问题 返回首页 第4讲　二次根式 首页 总目录 性质 a a －a 注意 a a 返回首页 第4讲　二次根式 首页 总目录 (1)被开方数不含⑥_______ (也就是说最终结果中分母不含根号) (2)被开方数中不含开得尽方的因数或因式 最简二次根式 分母 返回首页 第4讲　二次根式 首页 总目录 运算 返回首页 第4讲　二次根式 首页 总目录 分母有理化 定义：将分子、分母同乘分母的有理化因式，把分母中的根号去掉的运算 类型 估值 返回首页 第4讲　二次根式 首页 总目录 非负数 0 －1 2 典型问题 1 3 11 返回首页 第4讲　二次根式 首页 总目录 2 素养积累 例 1 1.下列式子一定不是二次根式的是(　　) A． B． C． D． 2．若二次根式有意义，则x的取值范围是(　　) A．x≠2 B．x≠1 C．x≥－2 D．x≠1且x≥－2 二次根式的概念及性质 核心知识 1 D D 返回首页 第4讲　二次根式 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 3．(2023·创编) 将下列二次根式化为最简二次根式后，不能与合并 的是(　　) A． B． C． D． [解析] A．＝；B.＝5； C．＝3；D.＝5.故选B. B 返回首页 第4讲　二次根式 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 4．(2022·锦江区) 如果y＝＋2，那么xy的值是_________． 100 返回首页 第4讲　二次根式 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 5．(2022·成都七中) 如图，化简代数式：＝_________． [解析] 由数轴知，b＜a＜0＜2. ∴a＋2＞0，b－2＜0，a－b＞0. ∴原式＝|a＋2|－|b－2|＋|a－b|＝a＋2＋(b－2)＋a－b＝a＋2＋b－2＋a－b＝2a. 2a 返回首页 第4讲　二次根式 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 6．(2021·金牛区) 若等式＝·成立，试化简：|x－4|＋＋|x－2|. [解答] 解：根据题意，得3x＋1≥0，2－x≥0.∴－≤x≤2.∴x－4＜0，x－2≤0.∴原式＝|x－4|＋＋|x－2|＝|x－4|＋|3x＋1|＋|x－2|＝4－x＋3x＋1＋2－x＝x＋7. 返回首页 第4讲　二次根式 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 变式 1.(2022·成都七中) 下列二次根式中，是最简二次根式的是(　　) A． 　 B． 　 C． D． 2．(2021·达州) 已知a，b满足等式a2＋6a＋9＋＝0，则a2 021b2 020＝_________． 3．已知最简二次根式与可以合并，则a＋b的值 为_________． C －3 2 返回首页 第4讲　二次根式 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 二次根式相关概念的解决以隐含条件“被开方数是非负数”与最简二次根式的条件为前提，二次根式具有非负性，它与一个数的偶次方和绝对值为初中三种重要的非负数．同类二次根式可类比同类项学习，它是二次根式加减运算的基础． 返回首页 第4讲　二次根式 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 例 2 1.若(2＋)(2＋m)的积是有理数，则无理数m的值为________． 2．若a＝3－，b＝，则a_________b(用“＞”“＜”或“＝” 填空)． [解析] ∵b＝＝＝3－，∴a＝b. 二次根式的运算 核心知识 2 － ＝ 返回首页 第4讲　二次根式 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 3．化简下列各式：(1)6×(－2)； (2)； (3)；(4)÷. [解答] 解：(1)原式＝－12＝－108. (2)原式＝＝. (3)原式＝＝30. (4)原式＝＝＝. 返回首页 第4讲　二次根式 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 4．计算：(1)＋2； (2)－9＋|2－|. [解答] 解：(1)原式＝2＋2×＝2＝2. (2)原式＝2－9×＋2－＝2－3＋2－＝2－2. 返回首页 第4讲　二次根式 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 5．(2023·甘肃) 计算：÷×2－6. [解答] 解：原式＝3×2－6＝12－6＝6. 返回首页 第4讲　二次根式 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 变式 1.计算：(1)(3＋)(3－)＋； (2)()×－3÷. 解：(1)原式＝32－()2＋＋1－＝9－7＋＋1－＝3＋. (2)原式＝－3＝3＋3－3＝3. 2．计算：(－)×＋|－2|－. 解：原式＝－2＋2－－2＝－3. 返回首页 第4讲　二次根式 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 进行二次根式的混合运算时，熟练掌握运算法则是解题的关键，但也要注意运算方法的选择以简化运算． 返回首页 第4讲　二次根式 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 例 3 海伦—秦九韶公式：如果一个三角形三边长分别为a，b，c，设p＝，则三角形的面积为S＝. 二次根式的应用 核心知识 3 返回首页 第4讲　二次根式 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 (1)用公式计算△ABC的面积； [解答] 解：p＝＝＝， ∴S＝ ＝ ＝ ＝(cm2)． 返回首页 第4讲　二次根式 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 (2)请想一想是否有其他方法？试试看． [解答] 解：过点C作CD⊥AB于点D. 设BD＝x，则AD＝6－x. 在Rt△BCD中，BC2－BD2＝CD2. 在Rt△ACD中，AC2－AD2＝CD2. ∴BC2－BD2＝AC2－AD2， 即42－x2＝52－(6－x)2.解得x＝. ∴CD＝＝＝. ∴S△ABC＝AB·CD＝×6×＝(cm2)． 返回首页 第4讲　二次根式 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 变式 如图，矩形ABCD内三个相邻的正方形 的边长分别为m，n和1. (1)求图中阴影部分的面积(用含m和n的式子表 示)； 解：由题意知，AB＝m＋n＋1，BC＝m. ∴S阴影＝(n＋1)m－n2－12＝－n2＋(n＋1)m－1. 返回首页 第4讲　二次根式 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 (2)若m＝＋2，n＝a－＝－1，求图中阴影部分的面积． 解：∵n＝a－＝－1，∴n2＝＝(－1)2，即n2＝a2－2＋＝6－2，则a2＋＝8－2. ∵m＝＋2， ∴m＝a2＋＋2＋2＝10. 返回首页 第4讲　二次根式 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 ∴－n2＋(n＋1)m－1 ＝－(6－2)＋(－1＋1)×10－1 ＝12－7. ∴图中阴影部分的面积为12－7. 返回首页 第4讲　二次根式 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 二次根式的应用以运算为起点，将有关问题化为二次根式，然后利用二次根式的有关性质进行求解是关键． 返回首页 第4讲　二次根式 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 3 素养提升 例 4 (2022·石室中学) 阅读材料：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当a＞0，b＞0时，有()2＝a－2＋b≥0，∴a＋b≥2，当且仅当a＝b时取等号．请利用上述结论解决以下问题： (1)当x＞0时，代数式的最小值为_________； [解析] 根据公式，得＝x＋3＋≥2＋3＝2×6＋3＝15，当且仅当x＝6时，原式取得最小值15. 15 返回首页 第4讲　二次根式 首页 总目录 (2)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB，△COD 的面积分别为12和27，则四边形ABCD的面积的最小值为_________． [解析]设S△AOD＝x.∵S△AOB＝12，S△COD＝27， ∴＝＝.∴＝. ∴S△BOC＝＝. ∴四边形ABCD的面积为12＋27＋x＋≥39＋2＝39＋2×18＝75.当且仅当x＝18时取等号，即四边形ABCD的面积最小值为75. 75 返回首页 第4讲　二次根式 首页 总目录 利用非负性得出“基本不等式”，然后用此式解决实际问题的最值，其前提是存在某个值能使等号成立． 返回首页 第4讲　二次根式 首页 总目录 4 素养发展 1．(2018·达州) 二次根式中x的取值范围是(　　) A．x＜－2 B．x≤－2 C．x＞－2 D．x≥－2 D 返回首页 第4讲　二次根式 首页 1 2 3 4 总目录 2．(2019·达州) 下列判断正确的是(　　) A．＜0.5 B．若ab＝0，则a＝b＝0 C．＝ D．3a可以表示边长为a的等边三角形的周长 D 返回首页 第4讲　二次根式 首页 1 2 3 4 总目录 3．数轴上A，B，C三点分别对应实数a，b，c，点A，C关于点B对称， 若a＝，b＝3，则下列各数中，与c最接近的数是(　　) A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 D 返回首页 第4讲　二次根式 首页 1 2 3 4 总目录 4．计算：(1)； (2)(＋3)(－2)． 解：(1)原式＝＋6－2＝＋6×－2＝3＋2－4＝1. (2)原式＝3＋3－2－6＝－3. 返回首页 第4讲　二次根式 首页 1 2 3 4 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P7第4讲 ②_____(a≥0)，如＝3； ③______(a＜0)，如＝3 ()3＝④_____，＝⑤_____＝. 开平方：求一个数a的平方根的运算叫开平方．中，a叫被开方数 二次根式：一般地，形如的式子叫二次根式 (1)具有双重非负性，即≥0，a≥0 (2)()2＝①______(a≥0)，如()2＝3 (3)＝|a|＝ 常见二次根式化简：，，，，，，，，如＝＝4 加减法：先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并 乘法：·＝⑦__________(a≥0，b≥0).积的算术平方根：＝·(a≥0，b≥0) 除法：＝⑧__________(a≥0，b＞0).商的算术平方根：＝(a≥0，b＞0) ＝＝＝；＝＝＝ ＝＝＝ 夹逼法：如估算(误差小于0.1)，∵5.52＝30.25，5.62＝31.36，∴≈5.5或5.6 牢记：≈1.414，≈1.732，≈2.236 常见非负数：a2，|a|，(a≥0) 性质：若几个非负数的和为0，则每个非负数值为0，如a2＋|b＋1|＋＝0，则a＝⑨_____，b＝⑩______，c＝⑪______ (1)y＝＋＋3，则x＝⑫______y＝⑬______ (2)7＋的整数部分a＝⑭______，7＋的小数部分b＝ ⑮_________ －4 $$