精品解析：河北省保定市唐县第一中学2025届高三上学期12月期末数学试题

高三数学考试 试卷满分150分 考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 正四棱锥中，，二面角的大小为，则该四棱锥的体积为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 4. 已知展开式各项系数之和为64，则展开式中的系数为（ ） A. 31 B. 30 C. 29 D. 28 5. 在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为 A. 30 B. 36 C. 60 D. 72 6. 函数（，，）的部分图象如图所示，图象上的所有点向左平移个单位长度得到函数的图象.若对任意的都有，则图中的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列的通项公式，在其相邻两项之间插入个，得到新的数列，记的前项和为，则使成立的的最小值为（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 31 8. 已知点、是椭圆的左、右焦点，点M为椭圆B上一点，点关于的角平分线的对称点N也在椭圆B上，若，则椭圆B的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 一组样本数据的方差，则这组样本数据的总和为60 B. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 C. 若一个样本容量为8的样本的平均数是5，方差为2.现样本中又加入一个新数据5，此时样本的平均数不变，方差变大 D. 若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为16 10. 已知直线和圆相交于M，N两点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 的最小值为3 C. 的最小值为 D. 圆上到直线的距离为的点恰好有三个，则 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，若函数，都为偶函数，令，则下列结论正确的有（ ） A. 的图象关于对称 B. 的图象关于点对称 C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是__________ ． 13. 在中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点．设，，记，则__________；若，的面积为，则当__________时，取得最小值． 14. 已知函数，，若关于的不等式有解，则的最小值是__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或步骤） 15. 某社区对安全卫生进行问卷调查，请居民对社区安全卫生服务给出评价（问卷中设置仅有满意、不满意）.现随机抽取了90名居民，调查情况如下表： 男居民 女居民 合计 满意 25 60 不满意 a 2a 合计 90 （1）利用分层抽样的方法从对安全卫生服务评价为不满意的居民中随机抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中男、女居民各有1人的概率； （2）试通过计算判断能否在犯错误的概率不超过0.05的情况下认为男居民与女居民对社区安全卫生服务的评价有差异? 附：． 16. 如图，在三棱柱中，平面平面，为的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）若，，求的面积； （2）若角为钝角，求的取值范围. 18. 已知抛物线：经过点，直线：与的交点为A，B，且直线与倾斜角互补. （1）求抛物线在点处的切线方程； （2）求的值； （3）若，求面积的最大值. 19. 已知正项数列的前项和为，首项. （1）若，求数列的通项公式； （2）若函数，.正项数列满足：. （i）讨论单调性; （ii）证明：； （iii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学考试 试卷满分150分 考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解法得，由对数函数的性质可得，再由交集的定义求解即可. 【详解】解：由，可得， 所以； 由，可得，解得， 所以； 所以. 故选：B. 2. 若，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】先由复数乘除法运算结合共轭复数的概念求出即可由复数的坐标表示得解. 【详解】由题可得， 所以，所以在复平面内对应的点坐标为， 所以在复平面内对应的点位于第三象限. 故选：C. 3. 正四棱锥中，，二面角的大小为，则该四棱锥的体积为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出辅助线，得到为二面角的平面角，所以，从而求出四棱锥的高，由棱锥体积公式求出答案. 【详解】连接，相交于点，则为正方形的中心， 故⊥底面， 取的中点，连接，则，， 故为二面角的平面角，所以， 故， 所以该四棱锥的体积为. 故选：D 4. 已知展开式各项系数之和为64，则展开式中的系数为（ ） A. 31 B. 30 C. 29 D. 28 【答案】C 【解析】 【分析】先由赋值法得到关于a的方程求出a，接着求出二项式展开式中含和的项即可求出展开式中含的项，进而得解. 【详解】令得，解得， 二项式的展开式的通项公式为且， 所以当时，；当时，， 所以二项式展开式中含的项为， 所以二项式展开式中的系数为. 故选：C. 5. 在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为 A. 30 B. 36 C. 60 D. 72 【答案】C 【解析】 【分析】记事件位男生连着出场，事件女生甲排在第一个，利用容斥原理可知所求出场顺序的排法种数为，再利用排列组合可求出答案． 【详解】记事件位男生连着出场，即将位男生捆绑，与其他位女生形成个元素，所以，事件的排法种数为， 记事件女生甲排在第一个，即将甲排在第一个，其他四个任意排列，所以，事件的排法种数为， 事件女生甲排在第一位，且位男生连着，那么只需考虑其他四个人，将位男生与其他个女生形成三个元素，所以，事件的排法种数为种， 因此，出场顺序的排法种数 种，故选C． 【点睛】本题考查排列组合综合问题，题中两个事件出现了重叠，可以利用容斥原理 来等价处理，考查计算能力与分析问题的能力，属于中等题． 6. 函数（，，）的部分图象如图所示，图象上的所有点向左平移个单位长度得到函数的图象.若对任意的都有，则图中的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】易得，再由平移变换得到函数的图象过点，进而求得周期，然后代入点求得的解析式即可. 【详解】解：由，得. 的图象上的所有点向左平移个单位长度后得的图象， 由题意知为奇函数，所以其图象关于原点对称，得函数的图象过点. 设的最小正周期为，则，所以，故. 又，，且，可得， 所以，. 故选：A. 7. 已知数列的通项公式，在其相邻两项之间插入个，得到新的数列，记的前项和为，则使成立的的最小值为（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 31 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意分析得的项的情况，求出当时和当时的，找出的最小值. 【详解】由题意得数列的前项依次为： ，个，，个，，个，，个，，， 当时， ， 当时， ， 所以使成立的的最小值为. 故选：B. 8. 已知点、是椭圆的左、右焦点，点M为椭圆B上一点，点关于的角平分线的对称点N也在椭圆B上，若，则椭圆B的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线的对称性质和椭圆的性质得，再结合题设得，进而求出，再结合椭圆的定义以及余弦定理即可求解. 【详解】由题意可知，， 且，， 所以， 因为，所以， 所以即， 又，所以， 所以由余弦定理得， 整理得，所以即. 故选：B. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键1是抓住角平分线的对称性之和椭圆的几何性质求出，关键2是利用和的关系求出，再在中结合余弦定理即可求解. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 一组样本数据的方差，则这组样本数据的总和为60 B. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 C. 若一个样本容量为8的样本的平均数是5，方差为2.现样本中又加入一个新数据5，此时样本的平均数不变，方差变大 D. 若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为16 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，由题意可得样本容量为20，平均数是3，从而可得样本数据的总和，即可判断；对于B，根据百分位数的定义，求出第70百分位数，即可判断；对于C，由题意可求得新数据的平均数及方差，即可判断,对于D，根据标准差为8，可得方差为64，从而可得新数据的方差及标准差，即可判断； 【详解】对于A，由方差的公式可知，该组数据的平均数是3，这组样本数据的总和为，A正确； 对于B，数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23共10个数， 从小到大排列为12，13，14，15，17，19，23，24，27，30，由于， 故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数，即， 所以第70百分位数是23.5，故B错误； 对于C，某8个数的平均数为5，方差为2，现又加入一个新数据5， 设此时这9个数的平均数为，方差为，则，故C错误． 对于D，样本数据，，，的标准差为8，故数据，，，的标准差为，故D正确； 故选：AD． 10. 已知直线和圆相交于M，N两点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 的最小值为3 C. 的最小值为 D. 圆上到直线的距离为的点恰好有三个，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据直线的定点、圆的相乘、向量数量积运算、直线和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，直线，即， 由解得，所以定点坐标为，A正确， 对于B，圆的圆心为，半径为， 点与圆心的距离为， 所以的最小值为，此时直线垂直于轴，故此时无最小值， 故B错误， 对于C，设，则， 当，即直线方程为时， 取得最小值为，所以C正确， 对于D，若圆上到直线的距离为的点恰好有三个， 则圆心到直线的距离为， 所以， 整理得，所以D错误. 故选：AC 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，若函数，都为偶函数，令，则下列结论正确的有（ ） A. 的图象关于对称 B. 的图象关于点对称 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数奇偶性可求得函数的图象关于对称，的图象关于点成中心对称，即可判断AB；又可知，所以，即可；经计算可知，又，，即可得是等差数列，由前项和公式即可判断D. 【详解】根据题意为偶函数可得， 即可知，所以函数的图象关于对称，即A正确； 由是偶函数可得为奇函数， 所以满足，即， 因此的图象关于点成中心对称，所以B错误； 由可知，所以； 即，所以的图象关于点成中心对称， 因此，故C正确； 易知，， 由可得， 联立可得， 所以， 即，， 所以是以为首项，公差的等差数列， 所以，故D错误. 故选：AC. 【点睛】方法点睛：求解函数性质综合问题时，往往借助函数奇偶性、对称性、周期性等性质进行推理证明，结合对称轴、对称中心等实现求和计算即可. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是__________ ． 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得“，”为真命题，则，解得即可. 【详解】命题“，”为假命题， 命题：“，”为真命题． ，，解得． 实数的取值范围是． 故答案为：． 13. 在中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点．设，，记，则__________；若，的面积为，则当__________时，取得最小值． 【答案】 ①. ##0.5 ②. 2 【解析】 【分析】利用平面向量基本定理得到，得到，求出；由三角形面积公式得到，结合和平面向量数量积公式，基本不等式得到的最小值，此时，由余弦定理得到. 【详解】由题意得 ， 故，故； 由三角形面积公式得， 故， 其中， 故 ， 当且仅当，即时，等号成立， 此时 ， 故. 故答案为：，2 14. 已知函数，，若关于的不等式有解，则的最小值是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】参变分离可得有解，令，，利用导数求出，即可求出参数的取值范围，从而得解. 【详解】由得，显然， 所以有解， 令，则， 令，则，所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以，则，即的最小值是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是参变分离得到有解，再构造函数，利用导数求出. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或步骤） 15. 某社区对安全卫生进行问卷调查，请居民对社区安全卫生服务给出评价（问卷中设置仅有满意、不满意）.现随机抽取了90名居民，调查情况如下表： 男居民 女居民 合计 满意 25 60 不满意 a 2a 合计 90 （1）利用分层抽样的方法从对安全卫生服务评价为不满意的居民中随机抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中男、女居民各有1人的概率； （2）试通过计算判断能否在犯错误的概率不超过0.05的情况下认为男居民与女居民对社区安全卫生服务的评价有差异? 附：． 【答案】（1） （2） 由， 所以在犯错的概率不超过0.05的前提下， 可以认为男居民与女居民对社区安全卫生服务的评价有差异. 【解析】 【分析】（1）根据总人数解得，完善列联表，根据分层抽样比例关系计算得到人数，再计算概率得到答案. （2）计算，对比临界值表得到答案. 【小问1详解】 由已知，解得， 所以列联表如下： 男 女 合计 满意 35 25 60 不满意 10 20 30 合计 45 45 90 用分层抽样抽取6人，则男居民应抽取2人，女居民应抽取4人， 所以所抽取的2人中男、女居民各有1人的概率为； 【小问2详解】 略 16. 如图，在三棱柱中，平面平面，为的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 因为为的中点，且， 所以在中，有，且， 又平面平面，且平面平面， 所以平面， 又平面，则， 由，得， 因为， 所以由勾股定理，得， 又平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明，可证明结论； （2）如图建立空间直角坐标系，求出平面与平面法向量，后由空间向量知识可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，以为原点，建立空间直角坐标系， 可得， 所以， 设平面的法向量为， 由，令，得，所以. 由（1）知，平面， 所以平面的一个法向量为， 记平面与平面的夹角为 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）若，，求的面积； （2）若角为钝角，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正、余弦定理以及三角恒等变换可得，利用余弦定理可得，即可得； （2） 利用正弦定理以及三角恒等变换可得,即可得解； 【小问1详解】 因为， 所以由余弦定理得， 所以由正弦定理得， 又因为， 所以，因为，所以， 因为，所以， 因为，， 所以由余弦定理得， 所以，所以， 所以的面积. 【小问2详解】 因为角为钝角，所以，所以， 因为，所以， 代入得, 因为，所以，即， 所以的取值范围为. 18. 已知抛物线：经过点，直线：与的交点为A，B，且直线与倾斜角互补. （1）求抛物线在点处的切线方程； （2）求的值； （3）若，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意先求出抛物线标准方程，再结合导数的几何意义求出在P点的切线斜率，从而得出切线方程. （2）将直线与抛物线方程联立，由题意因为直线与倾斜角互补，则直线与斜率互为相反数，即，结合韦达定理可求出k的值. （3）先分别表示出线段AB的长度以及顶点P到线段AB的距离，从而得出的面积表达式，再求出面积的最大值. 【小问1详解】 由题意可知，，所以，所以抛物线的方程为， 即，则， 则抛物线在P点的切线斜率为， 则切线方程为， 故切线方程为. 【小问2详解】 如图所示： 设，，将直线的方程代入， 得，所以，， 因为直线与倾斜角互补， 所以， 即， 所以， 即，所以. 【小问3详解】 由（1）（2）可知，，所以，， 则， 因为，所以，即， 又点到直线的距离为， 所以， 因为 ， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以面积最大值为. 【点睛】思路点睛：本题首先考查了抛物线切线方程的问题，这类题型需要将抛物线方程看作函数，通过函数导数的几何意义对方程求导，得出切线斜率，进而求出切线方程；在第（2）小问中直线PA与PB倾斜角互补的条件正确转化为斜率和为0的条件是解题的关键；第（3）小问中使用了底边和高表示出三角形面积，以及最后求面积最大值使用到了基本不等式，要明确基本不等式等号的成立条件. 19. 已知正项数列的前项和为，首项. （1）若，求数列的通项公式； （2）若函数，.正项数列满足：. （i）讨论单调性; （ii）证明：； （iii）证明：. 【答案】（1） （2）（i）函数在上单调递减，在上单调递增； （ii）证明：因为，即， 于是， 即，即， 当时， ， 当时，因此， 所以 ； （iii）证明：由已知， 所以，得， 当时，，于是， 当时，， 又，所以，恒有， 当时，， 由，得当时，，则当时， ， 从而 ， 于是， 所以. 【解析】 【分析】（1）由，利用等差数列定义求出通项公式； （2）（i）利用导数证明不等式的单调性；（ii）由（i）放缩得，再利用分组求和法求解可得答案；（iii）由（ii）（i）推理证得及，再利用裂项相消法求和推理即得. 【小问1详解】 正项数列中，，，， 当时，， 两式相减得， 即， 而，则， 因此数列是首项为1，公差为2的等差数列， 所以数列的通项公式为； 【小问2详解】 （i）令，求导得， 当时，，当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增； （ii）略； （iii）略. 【点睛】思路点睛：给出与的递推关系，求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $