精品解析：山东省日照市东港区2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题

初二数学阶段性学情检测则（二） 满分：120分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本大题有12个小题，每小题3分，共36分） 1. 点关于x轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 某中学数学兴趣小组的同学在学习了三角形相关知识后，尝试了制作雨伞的实践活动．康康所在的小组设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得，E，F分别是，的中点，且，那么的依据是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，在中，已知点D、E、F分别为边的中点，且的面积是，则阴影部分面积等于（ ） A. B. C. D. 5. 若实数、满足等式，且、恰好是等腰的两条边的边长，则的周长是（ ） A. 6 B. 8 C. 8或10 D. 10 6. 在平面直角坐标系中，若点，点，在坐标轴上找一点C，使得是等腰三角形，这样的点C可以找到的个数是（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 8 7. 如图，在中，，，为的角平分线，若中边上的高为5，则长为（ ） A. 15 B. 12 C. 10 D. 8 8. 如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点和；②分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线交于点；④过点作交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 9. 若是三边的长，化简：（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是等边三角形，点D是下方的一点，，点E和点F分别是和上一点，．若的周长为12，则的周长为（　　） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 11. 小刚在计算一个多边形的内角和时，求得内角和为，检查后发现其中一个内角多算了一次，则这个重复计算的内角度数以及多边形的边数分别为（ ） A. ，6 B. ，8 C. ，6 D. ，8 12. 如图，在第1个中，；在边上任取一点D，延长到A2，使，得到第2个；在边上任取一点E，延长到A3，使，得到第3个；……按此做法继续下去，则第n个三角形中以为顶点的底角度数是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题有4个小题，每小题3分，共12分） 13. 将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状，若∠，则∠______°． 14. 如图，△ABC中，，平分，，垂足为D，如果，，那么的长为________； 15. 如图，在中，垂直平分，若E，F分别是和上的动点，则的最小值是______． 16. 如图，中，，．两内角的平分线交于点，平分交于．（）；（）连接，则平分；（）；（）．其中正确的结论是 ______．（填序号） 三、解答题（本大题有6个小题，共72分） 17. 如图，已知，求证：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中作出关于轴对称的； （2）写出和的坐标； （3）的面积为______； （4）在轴上画出点，使最小（保留作图痕迹）． 19. 如图，，点D在边上，相交于点O． （1）求证：； （2）若，求的度数． 20. 探究与发现：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在底边BC上，AE=AD，连结DE. （1）当∠BAD=60°时，求∠CDE的度数； （2）当点D在BC （点B、C除外） 上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系. 21. 【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，，，求边上的中线的取值范围．经过组内合作交流，小明得到了如下的解决方法：延长到点，使．请根据小明的方法思考： （1）请证明； （2）请直接写出的取值范围 ； 【问题解决】请利用上述方法解决问题． （3）如图2，是的中线，点在的延长线上，，，求证． 22. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，且，满足，是等边三角形， （1）求点，点的坐标； （2）如图，在的外角平分线上有一点： ①连接，当最小时，的长度为　　　　； ②在轴上有一动点使得不变，当时，求点的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学阶段性学情检测则（二） 满分：120分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本大题有12个小题，每小题3分，共36分） 1. 点关于x轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是， 故选：D． 2. 下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，据此求解即可． 【详解】解：A、B、C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以都不是轴对称图形． D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：D． 3. 某中学数学兴趣小组的同学在学习了三角形相关知识后，尝试了制作雨伞的实践活动．康康所在的小组设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得，E，F分别是，的中点，且，那么的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．由E，F分别是，的中点，得出；根据三边对应相等，证明三角形全等即可． 【详解】解：∵E，F分别是的中点，， ∴， 在与中， ， ∴． 故选：D． 4. 如图所示，在中，已知点D、E、F分别为边的中点，且的面积是，则阴影部分面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形中线的性质可得，，结合已知条件即可求解．本题主要考查了三角形的中线的性质，掌握三角形的中线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点D，E分别为边中点， ， ， ∵F是的中点， ∴， ， 的面积等于 ∴ 故选：A． 5. 若实数、满足等式，且、恰好是等腰的两条边的边长，则的周长是（ ） A. 6 B. 8 C. 8或10 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】根据绝对值的非负性，可得，，从而求出、的值，然后分两种情况，进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 分两种情况： 当为等腰三角形的腰，为底时， ， 当为等腰三角形的腰，为底时， ∵， ∴，，不能组成三角形， ∴的周长是． 故选：D． 【点睛】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系，绝对值的非负性．分两种情况进行计算是解题的关键． 6. 在平面直角坐标系中，若点，点，在坐标轴上找一点C，使得是等腰三角形，这样的点C可以找到的个数是（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观．根据等腰三角形两腰相等，分别以A、B为圆心以的长度为半径画圆，与坐标轴的交点即为所求的点C，的垂直平分线与坐标轴的交点也可以满足是等腰三角形． 【详解】解：如图，使得是等腰三角形，这样的点C可以找到8个． 故选：D． 7. 如图，在中，，，为的角平分线，若中边上的高为5，则长为（ ） A. 15 B. 12 C. 10 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】过点D作于E，根据角平分线的性质得到，求出，再结合含的直角三角形的性质推出，进而求出AC即可． 【详解】解：过点D作于E，如图， 则DE为中边上的高，即， ∵，，BD平分， ∴， ∵，， ∴， ∵BD平分， ∴， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了含的直角三角形的性质、角平分线的性质和等角对等边的性质，正确的作出辅助线是解决本题的关键． 8. 如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点和；②分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线交于点；④过点作交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图，熟练掌握角平分线的基本作图思想是解决问题的关键．也考查了平行线的性质以及三角形内角和．由题意可知是的平分线，得到，根据平行线的性质得到，等量代换得到，根据三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：由题意可知是的平分线， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 9. 若是三边的长，化简：（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”判断出，及的符号，再去绝对值符号，合并同类项即可． 【详解】解：是三边的长， ，，， ， 故选B． 10. 如图，是等边三角形，点D是下方的一点，，点E和点F分别是和上一点，．若的周长为12，则的周长为（　　） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题关键，延长至点P，使，连接，根据等边三角形以及等腰三角形的性质可得，通过证明，，可得，利用的周长，即可得出结果． 【详解】解：如图，延长至点P，使，连接， ∵是等边三角形，的周长为12， ． ， ， ， 在和中， ， ， ． ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的周长， 故选：C． 11. 小刚在计算一个多边形的内角和时，求得内角和为，检查后发现其中一个内角多算了一次，则这个重复计算的内角度数以及多边形的边数分别为（ ） A. ，6 B. ，8 C. ，6 D. ，8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查多边形内角和与不等式组的应用，掌握多边形内角和计算公式是解题的关键． 设这个多边形的边数是，重复计算的内角的度数是，根据多边形的内角和公式可知，，因为，，求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数是，重复计算的内角的度数是， ∴ ∵ ∴ 解得： ∵n为整数， ∴， ． 故这个重复计算的内角度数为，这个多边形的边数是8． 故选：B． 12. 如图，在第1个中，；在边上任取一点D，延长到A2，使，得到第2个；在边上任取一点E，延长到A3，使，得到第3个；……按此做法继续下去，则第n个三角形中以为顶点的底角度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出，及的度数，找出规律即可得出第个三角形中以为顶点的底角度数． 【详解】解：在中，，， ， ，是△的外角， ； 同理可得，， 第个三角形中以为顶点的底角度数是． 故选：C． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形外角的性质，根据题意得出，及的度数，找出规律是解答此题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题有4个小题，每小题3分，共12分） 13. 将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状，若∠，则∠______°． 【答案】73 【解析】 【分析】首先根据折叠的性质得出，然后利用求解即可． 【详解】如图， 由折叠可知， ， ， 故答案为：73． 【点睛】本题主要考查几何图形中的角度计算，掌握折叠的性质是解题的关键． 14. 如图，△ABC中，，平分，，垂足为D，如果，，那么的长为________； 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的性质定理，首先根据线段的和差得到，然后根据角平分线的性质定理求解即可，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，，， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在中，垂直平分，若E，F分别是和上的动点，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，垂线段最短等知识，把求最小值转化为求最小值是解题的关键；连接，过B作于G；由垂直平分，得，，则，当B、E、F三点共线，且即重合时，最小，从而最小；利用面积相等关系即可求得最小值． 【详解】解：如图，连接，过B作于G； ∵垂直平分， ∴，， ∴， 当B、E、F三点共线，且即重合时，最小， 从而最小，最小值为线段的长； ∵， ∴． 故答案为：． 16. 如图，中，，．两内角的平分线交于点，平分交于．（）；（）连接，则平分；（）；（）．其中正确的结论是 ______．（填序号） 【答案】（）（）（）（） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义和性质，全等三角形的判定和性质，根据三角形内角和定理求出度数，可得度数，进而求出即可判断（）；过作于，于，于，根据角平分线性质求出，即可判断（）；证，推出，即可判断（）；证明和，得出，，代入即可求出，即可判断（）；正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴（）正确； 过作于，于，于， ∵是和的角平分线交点， ∴，， ∴， ∴在平分线上， ∴（）正确； ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴（）正确； 在与中 ， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴，， 两式相加得，， ∵， ∴， ∴（）正确； 综上，正确的结论是（）（）（）（）， 故答案为：（）（）（）（）． 三、解答题（本大题有6个小题，共72分） 17. 如图，已知，求证：． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】根据证明两个三角形全等，再由三角形的性质可得结论． 【详解】证明：， ，即， 在和中， ， ； ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，尤其是掌握直角三角形特殊的全等判定：，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 18. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中作出关于轴对称的； （2）写出和的坐标； （3）的面积为______； （4）在轴上画出点，使最小（保留作图痕迹）． 【答案】（1）见详解 （2），； （3）； （4）如图，连接与轴的交点为，点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了作图——轴对称变换，以及最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据图像在平面直角坐标系中求坐标即可； （3）根据分割法即可求得的面积； （4）连接与轴的交点为，可使最小． 【小问1详解】 【小问2详解】 根据（1）中的图像，找到点和坐标； ， 【小问3详解】 的面积为： 【小问4详解】 根据题意作图如下： 连接与轴的交点为，可使最小 19. 如图，，点D在边上，相交于点O． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形外角的性质可得，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， 在和中， ∵，， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 20. 探究与发现：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在底边BC上，AE=AD，连结DE. （1）当∠BAD=60°时，求∠CDE的度数； （2）当点D在BC （点B、C除外） 上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系. 【答案】（1）∠EDC=30°.（2）∠CDE =∠BAD.理由见解析. 【解析】 【分析】（1）先根据等腰直角三角形的性质得到∠B=∠C=45°，根据三角形外角的性质和已知各角的度数得出∠ADC=∠B+∠BAD=105°，再根据三角形外角的性质得到∠AED=∠C+∠EDC，则结合题意可得∠ADC-∠EDC=105°-∠EDC=45°+∠EDC，解得∠EDC=30°. （2）由AE=AD，得到∠ADE=∠AED，设∠BAD=x.根据三角形外角的性质得到∠ADC=∠B+∠BAD=45°+x和∠AED=∠C+∠EDC，结合题意得到∠EDC=∠BAD. 【详解】（1）∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC， 则∠B=∠C=45°， 又∵∠ADC是△ABD的外角，∠BAD=60°， ∴∠ADC=∠B+∠BAD=105°. ∵∠AED是△CDE的外角， ∴∠AED=∠C+∠EDC. ∵∠B=∠C，∠ADE=∠AED， ∴∠ADC-∠EDC=105°-∠EDC=45°+∠EDC， 解得：∠EDC=30°. （2）∠CDE=∠BAD. 理由如下： ∵AE=AD， 则∠ADE=∠AED， ∵∠ADC是△ABD的外角， ∴∠ADC=∠B+∠BAD=45°+∠BAD ∵∠AED是△CDE的外角， ∴∠AED=∠EDC +∠C=∠EDC+45°， ∵∠B=∠C=45°，∠ADE=∠AED， ∴∠ADE=∠ADC-∠EDC=45°+∠BAD-∠EDC=45°+∠EDC， 解得：∠EDC =∠BAD，.故∠CDE=∠BAD. 【点睛】本题考查三角形外角的性质和点的运动问题，解题的关键是掌握三角形外角的性质. 21. 【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，，，求边上的中线的取值范围．经过组内合作交流，小明得到了如下的解决方法：延长到点，使．请根据小明的方法思考： （1）请证明； （2）请直接写出的取值范围 ； 【问题解决】请利用上述方法解决问题． （3）如图2，是的中线，点在的延长线上，，，求证． 【答案】（1） 证明：∵为边上的中线， ， 在和中，        ． （2）1，7 （3） 证明：如图：延长到F，使得，即， ∵为边上的中线， ， 在和， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定和性质等知识点，画出辅助线推理论证是解题的关键． （1）根据证明即可； （2）根据三角形三边之间的关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”即可解答； （3）如图：延长到F，使得，即，先证明可得，进而得到；再证明，最后根据全等三角形的性质即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ， ， ，即， ， ， ． 故答案为：1，7． 【小问3详解】 略 22. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，且，满足，是等边三角形， （1）求点，点的坐标； （2）如图，在的外角平分线上有一点： ①连接，当最小时，的长度为　　　　； ②在轴上有一动点使得不变，当时，求点的横坐标． 【答案】（1）， （2）①3；②点Q的横坐标为5或7． 【解析】 【分析】（1）由非负数的性质即可求得a，b的值，从而求得A、B的坐标； （2）①当时，最小，利用含30度直角三角形性质即可求解； ②分两种情况：当点P在点B左侧时，过点P作，证明，则得，过Q作轴于E，利用含30度直角三角形性质即可求解；当点P在点B右侧时，同理可得． 【小问1详解】 解：∵，且， ∴， 即， 解得：， ∴，； 【小问2详解】 解：∵是等边三角形，是的外角平分线， ∴，，， 由A、B的坐标知，； ①当时，最小， 则， ∴； 故答案为：3； ②当点P在点B左侧时，如图，过点P作交于H； 则， ∴是等边三角形， ∴； ∴； ∵， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴； 过Q作轴于E， ∵平分，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 即点Q的横坐标为5； 当点P在点B右侧时，如图，过点P作交延长线于H； 则同理可得：是等边三角形，且，； 同理证明， ∴； 过Q作轴于E，则， ∴， ∴， 即点Q的横坐标为7． 综上，点Q的横坐标为5或7． 【点睛】本题考查了图形与坐标，非负数的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含30度角直角三角形的性质等知识，垂线段最短等知识，构造适当辅助线证明三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $