精品解析：河北省秦皇岛市昌黎县2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

2024—2025学年度第一学期期中质量检测 九年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 某学校规定学期体育成绩满分10分，其中平时测试、期中考试、期末考试三项得分依次按的比例计入学期体育成绩．佳硕三项成绩分别是8分、8分、9分，则学期体育成绩为（ ） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 2. 把一元二次方程配方，得，则c和m的值分别是（ ） A. c＝5，m＝4 B. c＝10，m＝6 C. c＝﹣5，m＝﹣4 D. c＝3，m＝8 3. 若两个相似三角形的对应中线之比为，则它们的对应高之比为（ ） A. B. C. D. 4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则下列选项正确的是（　　） A. sinA＝ B. cosA＝ C. cosB＝ D. tanB＝ 5. 已知水库的拦水坝斜坡的坡度为，则这个拦水坝的坡角为（ ）度． A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 6. 关于x的方程（为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（ ） A. 两个正根 B. 两个负根 C. 一个正根，一个负根 D. 无实数根 7. 某社团统计成员一周的活动时间情况，列出了方差的计算公式：，则的值是（ ） A. 1 B. 5 C. D. 8. 某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置AB绕点O旋转到的位置，已知AO＝4米，若栏杆的旋转角，则栏杆点A升高的高度为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 9. 如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，且位似比为1∶2，下列结论不正确的是（　　） A. AC∥DF B. C. BC是△OEF的中位线 D. S△ABC：S△DEF =1：2 10. 如图，有甲、乙、丙三个矩形，其中相似的是（ ） A. 甲与丙 B. 甲与乙 C. 乙与丙 D. 三个矩形都不相似 11. 如图，测量小玻璃管口径的量具，的长为12cm，被分为60等份．如果小玻璃管口正好对着量具上20等份处（），那么小玻璃管口径是（ ） A. 8cm B. 10cm C. 20cm D. 60cm 12. 在中，，用直尺和圆规在上确定点，使，根据作图痕迹判断，正确的是 （ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 若一组数据2，3，，5，6，7的众数为7，则这组数据的中位数为______． 14. 关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为______． 15. 如图，菱形中，于点，分别交及的延长线交于点、，且，则的值为______． 16. 如图，若和的面积分别为、，则_____（用“>”、“=”或“<”来连接）． 三、解答题（共72分） 17. （1）解方程； （2）． 18. 在中，，，，求的长． 19. 山东淄博烧烤火遍中国，吸引各地游客，某烧烤店2月份的利润10万元，要使4月份的利润达到万元，求平均每月增长的百分率． 20. 如图，为了推广全民健身活动，九（1）班同学到某小区随机调查了名居民，把每周锻炼身体时间统计制成条形统计图，其中每周锻炼3小时的人数被污染，班长只记得中位数是2小时，只要再调查1名居民且锻炼时间不低于3小时，中位数就会变大． （1）求的值，并补全条形统计图； （2）求众数和平均数（若除不尽，结果保留一位小数）． 21. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根， （1）求k的取值范围； （2）若k为符合条件的最小整数，求此方程的根． 22. 已知如图，是的中线，且，E为上一点，． （1）求证：； （2）若，，试求线段的长． 23. 如图1是某工厂生产的某种多功能儿童车，根据需要可变形为滑板车或三轮车，图2、图3是其示意图，已知前后车轮半径相同，车杆的长为60cm，点D是的中点，前支撑板，后支撑板，车杆与所成的． （1）如图2，当支撑点E在水平线上时，支撑点E与前轮轴心B之间的距离的长； （2）如图3，当座板与地面保持平行时，问变形前后两轴心的长度有没有发生变化？若不变，请通过计算说明；若变化，请求出变化量．（参考数据：，，） 24. 【问题背景】如图1，点，，在同一直线上，，易证：； （1）在图1中，当点为中点时，求证：； 【拓展应用】如图2，矩形中，，点是的中点，连接．将沿着折叠后得，延长交于，连接． （2）求证：； （3）若，，求线段长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期期中质量检测 九年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 某学校规定学期体育成绩满分10分，其中平时测试、期中考试、期末考试三项得分依次按的比例计入学期体育成绩．佳硕三项成绩分别是8分、8分、9分，则学期体育成绩为（ ） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是加权平均数的计算，直接利用加权平均数公式进行计算即可． 【详解】解：依题意得： （分）， 则佳硕这学期的体育成绩是分， 故选B 2. 把一元二次方程配方，得，则c和m的值分别是（ ） A. c＝5，m＝4 B. c＝10，m＝6 C. c＝﹣5，m＝﹣4 D. c＝3，m＝8 【答案】A 【解析】 【分析】将配方，即可求出m和 c的值． 【详解】，配方得： ， ∴ ，即． 故选A． 【点睛】本题考查一元二次方程的配方，熟练掌握配方的步骤是解答本题的关键． 3. 若两个相似三角形的对应中线之比为，则它们的对应高之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的对应边成比例，对应边包括角平分线、中线、高以及边长和周长等，据此作答即可． 【详解】解：依题意，因为两个相似三角形的对应中线之比为， 所以它们的对应高之比为， 故选：A． 4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则下列选项正确的是（　　） A. sinA＝ B. cosA＝ C. cosB＝ D. tanB＝ 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理求出AB，再根据锐角三角函数的定义求出sinA，cosA，cosB和tanB即可． 【详解】解： 由勾股定理得：， 所以，，，， 即只有选项B正确，选项A、选项C、选项D都错误． 故选：B． 【点睛】本题主要是考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，熟练掌握每个锐角三角函数的定义，是求解该类问题的关键． 5. 已知水库的拦水坝斜坡的坡度为，则这个拦水坝的坡角为（ ）度． A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 【答案】A 【解析】 【分析】根据坡度是坡角的正切值，利用特殊角的三角函数值求出坡角的度数 【详解】解：∵水库的拦水坝斜坡的坡度为1:， ∴坡角的正切值就是1:，即， ∴坡角的度数为30度， 故选A 【点睛】本题考查了坡度的意义，熟记特殊角三角函数值是解题关键 6. 关于x的方程（为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（ ） A. 两个正根 B. 两个负根 C. 一个正根，一个负根 D. 无实数根 【答案】C 【解析】 【分析】先将方程整理为一般形式，再根据根的判别式得出方程由两个不等的实数根，然后又根与系数的关系判断根的正负即可． 【详解】解：， 整理得：， ∴， ∴方程有两个不等的实数根， 设方程两个根为、， ∵， ∴两个异号，而且负根的绝对值大． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系：， 7. 某社团统计成员一周的活动时间情况，列出了方差的计算公式：，则的值是（ ） A. 1 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查方差的定义及加权平均数的计算公式，解题的关键是掌握方差的计算公式及公式中各个符号的含义． 【详解】解：由题意知，这组数据为、、、、、、、、、， ∴这组数据的平均数为， 故选D． 8. 某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置AB绕点O旋转到的位置，已知AO＝4米，若栏杆的旋转角，则栏杆点A升高的高度为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】过点作于C，解直角三角形得到米即为所求． 【详解】解：如图所示，过点作于C， ∴， ∴，即， ∴米， ∴栏杆点A升高的高度为米， 故选D． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键在于能够正确作出辅助线构造直角三角形求解． 9. 如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，且位似比为1∶2，下列结论不正确的是（　　） A. AC∥DF B. C. BC是△OEF的中位线 D. S△ABC：S△DEF =1：2 【答案】D 【解析】 【分析】根据位似图形的性质、中位线的定义、相似多边形的性质判断即可； 【详解】解：∵位似图形的对应线段平行且比相等；位似图形的任意一对对应点到位似中心的距离比等于位似比； ∴AC∥DF，AB∶DE=OA∶OD=1∶2，即A、B选项正确； ∵BC∥EF，BC∶EF=1∶2， ∴BC是△OEF的中位线；即C选项正确； ∵位似图形是相似图形， ∴△ABC∽△DEF， ∵相似多边形的面积比等于相似比的平方， ∴S△ABC：S△DEF =1：4，即D选项错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查位似图形的性质、相似多边形的性质和中位线的定义；掌握位似图形的性质是解题关键． 10. 如图，有甲、乙、丙三个矩形，其中相似的是（ ） A. 甲与丙 B. 甲与乙 C. 乙与丙 D. 三个矩形都不相似 【答案】A 【解析】 【分析】如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形，据此作答． 【详解】解：三个矩形的角都是直角，甲、乙、丙相邻两边的比分别为4：6＝2：3，1.5：2＝3：4，2：3， ∴甲和丙相似， 故选：A． 【点睛】本题主要考查相似多边形的概念，解题关键是证明对应边成比例． 11. 如图，测量小玻璃管口径的量具，的长为12cm，被分为60等份．如果小玻璃管口正好对着量具上20等份处（），那么小玻璃管口径是（ ） A. 8cm B. 10cm C. 20cm D. 60cm 【答案】A 【解析】 【分析】易知，利用相似三角形的相似比，列出方程求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故选A． 【点睛】此题考查了相似三角形的应用，正确掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 12. 在中，，用直尺和圆规在上确定点，使，根据作图痕迹判断，正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】要使，则，即可推出，则是边的垂线即可，由此求解即可． 【详解】解：当是的垂线时，． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 根据作图痕迹可知， A选项中，是的角平分线，不符合题意； B选项中，不与垂直，不符合题意； 选项中，是的垂线，符合题意； 选项中，不与垂直，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，作垂线，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的判定条件． 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 若一组数据2，3，，5，6，7的众数为7，则这组数据的中位数为______． 【答案】5.5 【解析】 【分析】本题考查利用众数求未知量，求中位数，根据众数为7，得到，将数据排序后，中间2位的平均数即为所求． 【详解】解：∵一组数据2，3，，5，6，7的众数为7， ∴， ∴这组数据为：2，3，5，6，7，7； ∴中位数为：； 故答案为：5.5 14. 关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，一元二次方程的定义，把，代入方程，结合一元二次方程的二次项系数不为0，进行求解即可. 【详解】解：把，代入方程，得：， 解得：， ∵， ∴； 故答案为： 15. 如图，菱形中，于点，分别交及的延长线交于点、，且，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，相似三角形的判定和性质，连接，证明，求出的值，平行线分线段成比例，得到的值，进而得到的值，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：连接，设交于点， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为： 16. 如图，若和的面积分别为、，则_____（用“>”、“=”或“<”来连接）． 【答案】= 【解析】 【分析】过A点作,过F点作，可证，得到，再根据面积公式计算即可得到答案. 【详解】解：过A点作,过F点作. . 在与中. . . . ,. . 故答案:= 【点睛】本题主要考查了三角形的全等判定和性质，以及三角形的面积公式，灵活运用全等三角形的判定和性质是解题的关键. 三、解答题（共72分） 17. （1）解方程； （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，解一元二次方程，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）根据特殊角三角函数值的混合计算法则求解即可． 【详解】（1）解：整理得， ， ， 方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：，； （2） ． 18. 在中，，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，等角对等边，过点作于点，可得，进而由可得，再根据可得，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作于点， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴在中，， ∵， ， ， ∵在中，， ， ， ． 19. 山东淄博烧烤火遍中国，吸引各地游客，某烧烤店2月份的利润10万元，要使4月份的利润达到万元，求平均每月增长的百分率． 【答案】每个月增长的百分率为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，平均增长率问题，设平均每月增长的百分率为，由题意得：，解方程计算即可． 【详解】解：设平均每月增长的百分率为，由题意得：， 解得，（舍去）， 答：每个月增长的百分率为． 20. 如图，为了推广全民健身活动，九（1）班同学到某小区随机调查了名居民，把每周锻炼身体时间统计制成条形统计图，其中每周锻炼3小时的人数被污染，班长只记得中位数是2小时，只要再调查1名居民且锻炼时间不低于3小时，中位数就会变大． （1）求的值，并补全条形统计图； （2）求众数和平均数（若除不尽，结果保留一位小数）． 【答案】（1）49，见解析 （2）2； 【解析】 【分析】本题考查了中位数，众数，平均数的计算 （1）根据题意，每周锻炼1小时有10人，每周锻炼2小时有15人，每周锻炼3小时有x人，每周锻炼4小时有10人，每周锻炼5小时有5人，根据中位数是2小时，只要再调查1名居民且锻炼时间不低于3小时，分类计算即可． （2）根据众数和平均数的定义计算即可． 【小问1详解】 根据题意，每周锻炼1小时有10人，每周锻炼2小时有15人，每周锻炼3小时有x人，每周锻炼4小时有10人，每周锻炼5小时有5人， ∵中位数是2小时， 故中位数是第25个数据2小时或第中位数是第24个数据，第25个数据的平均数为2小时， ∵只要再调查1名居民且锻炼时间不低于3小时，中位数就会变大． ∴中位数是第26个数据或第25个数据，第26个数据的平均数，中位数都大于2小时， 当中位数是第25个数据2小时，数据；增加一个数据后，中位数是第25、26个数的平均数，大于2小时，符合题意； 当第中位数是第24个数据，第25个数据的平均数为2小时，数据； 增加一个数据后，中位数是第25个，为2小时，没有变大，不符合题意； 故， 此时每周锻炼3小时的人数为，补图如下： 【小问2详解】 根据题意，每周锻炼1小时有10人，每周锻炼2小时有15人，每周锻炼3小时有9人，每周锻炼4小时有10人，每周锻炼5小时有5人， 故众数2小时， 平均数为． 21. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根， （1）求k的取值范围； （2）若k为符合条件的最小整数，求此方程的根． 【答案】（1），且； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，配方法解一元二次方程． （1）根据二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围； （2）由（1）中k的取值范围得出符合条件的k的最大整数值，代入原方程，利用因式分解法即可求出x的值． 【小问1详解】 解：∵关于x的方程有两个实数根， ∴， 解得：，且； 【小问2详解】 解：∵，且，k为符合条件的最小整数， ∴， 故， 则， 故， 则， 解得：，． 22. 已知如图，是的中线，且，E为上一点，． （1）求证：； （2）若，，试求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用等腰三角形的性质，由得，再根据等角的补角相等求出，结合已知即可证得结论； （2）根据相似三角形的性质可得，求出，结合已知代入计算即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵是的中线，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用已知相等角，等角的补角相等，证明三角形相似是解题的关键． 23. 如图1是某工厂生产的某种多功能儿童车，根据需要可变形为滑板车或三轮车，图2、图3是其示意图，已知前后车轮半径相同，车杆的长为60cm，点D是的中点，前支撑板，后支撑板，车杆与所成的． （1）如图2，当支撑点E在水平线上时，支撑点E与前轮轴心B之间的距离的长； （2）如图3，当座板与地面保持平行时，问变形前后两轴心的长度有没有发生变化？若不变，请通过计算说明；若变化，请求出变化量．（参考数据：，，） 【答案】（1）36cm； （2）变化了，长度增加了4cm． 【解析】 【分析】（1）如图1，过点D作于点F，由题意知，根据三角函数的定义即可得到结论； （2）如图2，过点D作于M，过点E作于点N，由题意知四边形是矩形，求得，解直角三角形即可得到结论． 【小问1详解】 解：如图1，过点D作于点F， 由题意知， ∴，， ∴． 【小问2详解】 如图2，过点D作于M，过点E作于点N， 由题意知四边形是矩形， ∴， 在中， ，， 在中，， ∴由勾股定理可得， 则， 原来， ， ∴变形前后两轴心的长度增加了． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是结合题意构建出合适的直角三角形，并熟练掌握三角函数的应用． 24. 【问题背景】如图1，点，，在同一直线上，，易证：； （1）在图1中，当点为中点时，求证：； 【拓展应用】如图2，矩形中，，点是的中点，连接．将沿着折叠后得，延长交于，连接． （2）求证：； （3）若，，求线段长． 【答案】（1） 证明：， ， 点为中点， ， 又， ； （2） 证明：由折叠可得，，，， ∴， ，， 由（1）得， ， 即； （3） 【解析】 【分析】（1）由相似三角形的性质推出，等量代换得到，利用相似三角形的判定定理即可证明结论成立； （2）证明，推出，再证明，即可证明结论成立； （3）利用三角函数的定义求得，在中，利用勾股定理列式得到，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在中，，， ∴， ∵点为中点， ∴， 在中，， 由（2）得， ∴， 解得或， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，解一元二次方程以及全等三角形的判定和性质等知识．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $