精品解析：辽宁省朝阳市重点高中2024-2025学年高一上学期12月联考数学试题

2024—2025学年高一上学期十二月联考 数学试题 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】列举出集合B中的元素，由并集的定义求. 【详解】集合，， 则. 故选：C. 2. 命题:“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题可得到结果. 【详解】因为原命题为全称命题，根据全称命题的否定是特称命题，并且需要否定结论， 所以原命题“，”的否定为“，”， 故选：D. 3. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由不等式的性质逐个判断即可. 【详解】对于AC，当时，AC显然错误； 对于B，取满足，显然，显然不成立，故错误； 对于D，由， 因为，所以， 所以，故D正确. 故选：D 4. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） ①与；②与； ③与；④与. A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ①④ 【答案】C 【解析】 【分析】整理函数解析式并求其定义域，逐项进行比较，可得答案. 【详解】对于①，由函数可得，解得，则其定义域为， 由函数可得，解得，则其定义域为，故①不符合题意； 对于②，函数的定义域为，函数的定义域为，故②符合题意； 对于③，函数的定义域为，函数的定义域为，故③不符合题意； 对于④，函数的定义域为，函数的定义域为，故④符合题意. 故选：C 5. 命题“”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由存在量词命题为真求得的范围，再根据“必要不充分条件”即可确定选项. 【详解】由，可得在上能成立， 因，故得. 由题意知，是选项的范围的真子集即可. 故选：D. 6. 已知关于的不等式的解集为，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解含参数的一元二次不等式得到和的值，再代入中，结合均值不等式求解最值即可. 【详解】不等式可化为， 因为，所以，所以不等式的解集为， 所以，，则， 因为，所以，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以. 故选：D． 7. 设，，，则a，b，c的大小顺序是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用幂函数与对数函数单调性即可得解. 【详解】因为，，， 又因为在上单调递增，所以，即， 因为，所以， 又因为在上单调递增，所以，即， 综上：. 故选：D. 8. 已知是定义在上的偶函数，且对任意，有，当时，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 函数有3个零点 D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数对称性和奇偶性，可得的周期可判断A；根据解析式及周期，代入数据可判断B；分别作出和的图象可判断C；根据函数周期及奇偶性，化简整理，可判断D. 【详解】对于A，因为，且为偶函数， 所以 ， 即4是的一个周期，故A正确； 对于B，由4是一个周期，知，， 所以，故B错误； 对于C，令，可得， 作函数和的图象如下图所示， 由图可知，两个函数图象有3个交点，故C正确； 对于D，当时，， 则，故D正确． 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 方程组的解集是 B. 若集合中只有一个元素，则 C. “”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 D. 已知集合，则满足条件的集合的个数为4 【答案】CD 【解析】 【分析】根据一元一次方程组的解是有序数对可判断A；对参数是否为零进行分类讨论可得或可判断B；利用韦达定理可判断C；由可得是集合的子集可判断D. 【详解】对于A，因为，解得，所以解集为，故A错误； 对于B，当时，，解得，此时集合，满足题意； 当时，需满足，可得，因此或，故B错误； 对于C，由可知一元二次方程的判别式， 即该方程有两根，且两根之积，即两根异号，所以充分性成立； 若一元二次方程有一正一负根，可知两根之积为负， 即，也即，所以必要性成立，故C正确； 对于D，由可知是集合的子集， 所以集合可以是，，，共4个，故D正确. 故选：CD. 10. 已知正数a，b满足，下列说法正确的是（ ） A. ab的最大值为1 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为2 【答案】BCD 【解析】 分析】根据条件利用基本不等式逐项求解即可. 【详解】正数a，b满足， 对于，解得，当且仅当时取等号，A错误； 对于B，， 当且仅当时取等号，B正确； 对于C，， 当且仅当，即时取等号，C正确； 对于，且，所以， 当且仅当时取等号，D正确． 故选：BCD 11. 对于函数下列说法正确的是（ ） A. 当时，的最小值为0 B. 当时，存在最小值 C. 当时，在上单调递增 D. 的零点个数为，则函数的值域为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，写出此时函数解析式，得到当时，取得最小值，最小值为0； 对于B，举出反例；对于C，两分段均单调递增，但端点处，左端点的函数值不一定小于右端点的函数值，故③错误； 对于D，分类讨论，结合零点存在性定理得到函数的值域为. 【详解】选项A：时，，又因为，，故函数最小值为0（当时取到），选项正确； 选项B：不妨设，此时， 当时， 当时， 故，此时函数不存在最小值，选项错误； 选项C：在上单调递增，且， 当时，在上单调递增，且， 当时，，故当时，在R上不单调递增，选项错误； 选项D：在上单调递增， 当时，设，显然单调递增， 又，故存在使得， 当时，无解，即在上无零点， 此时有两个零点，0和，故此时， 当时，在上有1个零点， 此时有两个零点，0和，故此时， 当时，，由A知，此时有1个零点，即， 当时，在上无零点，在上也无零点， 此时，则函数的值域为，选项正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式对恒成立，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】分和两种情况讨论，当时只需即可求出参数的取值范围. 【详解】当时，，符合题意，所以； 当，只需，解得， 综上实数的取值范围为. 故答案为：. 13. 函数是上的增函数，且的图象经过点和，则不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】由函数的单调性性和经过和，确定自变量取值范围，再解不等式即可. 【详解】因为的图象经过点和，所以，. 又，所以，即． 因为函数是上的增函数， 所以，即，即， 所以， 故答案为：. 14. 已知函数若，则函数的零点个数为______；若函数的最小值为a，则实数a的值为______. 【答案】 ①. 1 ②. 或 【解析】 【分析】讨论与0，1的大小关系，判断在和两区间和上的单调性与最小值，根据的最小值列方程求出答案． 【详解】（1）当时，， 当时，由，得，解得， 当时，由，得，，无解， 所以函数的零点为，即函数的零点个数为1； （2）①若，即时，则， 所以在上单调递减，最小值为； 在上的最小值为． 因为函数最小值为，所以． ②当，即时，则， 所以在上先减后增，最小值； 在上的最小值为． 因为函数最小值为，所以， 解得，不合题意，舍去． ③当，即时，则， 所以在上先减后增，最小值为； 在上的最小值为． 因为函数最小值为，所以， 解得或（舍去）． 综上可得或. 故答案为：1；或. 【点睛】关键点点睛：由分段函数求参数问题，解题的关键是讨论与0，1的大小关系，判断在和两区间和上的单调性与最小值． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设集合，. （1）若，求；； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求出集合和集合的取值，再根据集合的运算求出结果； （2）根据“”是“”的充分不必要条件，得到是的真子集，即可得到结果. 【小问1详解】 当时，， ， 所以， 或， 则或； 【小问2详解】 因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 对于集合，不等式，即， 解得，所以， 因为是B的真子集，， 所以，解得， 所以实数m的取值范围是. 16. 某国产车企业在自动驾驶技术方面日益成熟，近期拟推出一款高阶智驾新车型，并决定大量投放市场.已知该车型年固定研发成本为3000万元，每生产百辆，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每辆车的售价为9万元，且生产的车辆当年能全部销售完. （1）求出年利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润=销售量×售价成本） （2）年产量为多少百辆时，该企业所获年利润最大？并求出最大年利润. 【答案】（1） （2）当年产量为百辆时，该企业所获利润最大，且最大利润为万元. 【解析】 【分析】（1）根据利润=销售量×售价成本，即可得利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式； （2）分别根据配方法和基本不等式求出每段函数的最大值，再比较大小即可. 【小问1详解】 当时，， 当时，. 综上所述， 【小问2详解】 当时，， 所以当时，； 当时，， 当且仅当，即时等号成立. 所以当时，. 所以当，即当年产量为百辆时，该企业所获利润最大，且最大利润为万元. 17. 已知，函数是奇函数，. （1）求实数a的值； （2）若，，使得，求实数k的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义，建立方程，结合对数运算，经过验根，可得答案； （2）整理是函数解析式，利用复合函数单调性，求得函数在对应区间上的最小值，由题意化简不等式，可得答案. 【小问1详解】 由函数是奇函数，则， 可得，，，解得， 由，则， 当时，，可得，，解得， 所以函数的定义域为，经检验，符合题意. 【小问2详解】 由函数，则函数在上单调递增， 所以函数在上的最小值； 由函数，且当时，， 则在上的最小值. 由，，使得，则， 即，解得. 18. 已知函数. （1）判断在区间上的单调性，并用定义证明； （2）判断的奇偶性，并求在区间上的值域； （3）解不等式. 【答案】（1）在区间上的单调递增，证明见解析 （2）为奇函数，理由见解析，在区间的值域为； （3） 【解析】 【分析】（1）定义法判断函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论； （2）由题可得函数的定义域，并得到，可判断函数的奇偶性，并根据函数单调性得到函数值域； （3）先根据定义域得到，分和两种情况，变形得到和，标根法求出不等式的解集，得到答案. 【小问1详解】 在区间上的单调递增，证明如下： 任取，且， 则， 因为，且， 所以，故， 所以，故在区间上的单调递增； 【小问2详解】 为奇函数，理由如下： 的定义域为， ，故为奇函数， 由于在区间上单调递增，故在上单调递增， 又，， 故在上值域为； 【小问3详解】 的定义域为， 令，解得， 由得， 当，即时， 可得， 整理得，所以， 所以， 所以， 其中的根为或， 由数轴标根法得到不等式解为或， 又，所以或， 当，即或时， 由得， 所以， 其中的根为或， 同理得到不等式解为或或， 又或， 所以或， 故不等式的解为 19. 已知函数对一切实数，，都有成立，且，. （1）求的值； （2）求的解析式； （3）若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用赋值法进行求解即可； （2）利用赋值法进行求解即可； （3）根据指数函数的性质、绝对值的性质，结合换元法、一元二次方程根的分布性质进行求解即可. 【小问1详解】 在中， 令，得， 因，解得； 【小问2详解】 在中， 令，得即， 所以，； 【小问3详解】 由（2）可知：， 由，可得， 即得：，其中，即， 令，函数图象如下图所示： 则有， 因为关于x的方程有三个不同的实数解， 所以方程有两个不相等的实根，不妨设为， 由函数的图象可知：，或， 设，由二次函数的图象可得： ，或， 解得或，所以， 故实数k 的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年高一上学期十二月联考 数学试题 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题:“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组函数是同一个函数是（ ） ①与；②与； ③与；④与. A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ①④ 5. 命题“”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于的不等式的解集为，则的最大值是（ ） A B. C. D. 7. 设，，，则a，b，c的大小顺序是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的偶函数，且对任意，有，当时，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 函数有3个零点 D. 当时， 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 方程组解集是 B. 若集合中只有一个元素，则 C. “”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 D. 已知集合，则满足条件的集合的个数为4 10. 已知正数a，b满足，下列说法正确的是（ ） A. ab的最大值为1 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为2 11. 对于函数下列说法正确的是（ ） A. 当时，的最小值为0 B. 当时，存在最小值 C. 当时，上单调递增 D. 零点个数为，则函数的值域为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式对恒成立，则实数的取值范围为______. 13. 函数是上的增函数，且的图象经过点和，则不等式的解集为______. 14. 已知函数若，则函数的零点个数为______；若函数的最小值为a，则实数a的值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设集合，. （1）若，求；； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 16. 某国产车企业在自动驾驶技术方面日益成熟，近期拟推出一款高阶智驾新车型，并决定大量投放市场.已知该车型年固定研发成本为3000万元，每生产百辆，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每辆车的售价为9万元，且生产的车辆当年能全部销售完. （1）求出年利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润=销售量×售价成本） （2）年产量为多少百辆时，该企业所获年利润最大？并求出最大年利润. 17. 已知，函数是奇函数，. （1）求实数a的值； （2）若，，使得，求实数k的取值范围. 18. 已知函数. （1）判断在区间上的单调性，并用定义证明； （2）判断的奇偶性，并求在区间上的值域； （3）解不等式. 19. 已知函数对一切实数，，都有成立，且，. （1）求的值； （2）求的解析式； （3）若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$