精品解析：贵州省六盘水市2024-2025学年上学期期中考试九年级数学试题

六盘水市2024-2025学年度第一学期期中考试试题卷九年级数学 （第一章至第四章第2节） 温馨提示： 1．本试卷包括试题卷和答题卡，所有答案必须填涂或书写在答题卡上规定的位置，否则无效．考试结束后，试题卷与答题卡一并交回； 2．答题前，请认真阅读答题卡上的“注意事项”； 3．本试题卷共6页，满分150分，考试时间为120分钟． 一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分． 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式及其概念，熟练掌握一般形式是解题的关键． 根据一元二次方程的基本概念去判断确定． 【详解】解：∵一元二次方程， ∴二次项系数、一次项系数和常数项分别为， 故选：D． 2. 正方形具有而矩形没有的性质是（　　） A. 对角线互相平分 B. 对边相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形和矩形的性质，熟练掌握正方形和矩形的性质是解题的关键．根据正方形对角线相互垂直平分相等的性质和矩形对角线平分相等性质的比较就可以判断． 【详解】解：根据题意得：正方形对角线相互垂直平分相等，矩形对角线平分相等性质， ∴正方形具有而矩形没有的性质是对角线互相垂直． 故选：D． 3. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐项分析判断即可求解．本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程是一元二次方程． 【详解】解：A、是一元二次方程，故该选项符合题意； B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； C、不是整式方程，故该选项不符合题意； D、含有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； 故选：A． 4. 下列四条线段中，能成为成比例线段的是（　　） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例线段：判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．根据比例线段的定义，分别计算各选项中最小的数与最大的数的积是否等于另外两个数的积可判断四条线段成比例． 【详解】解：A、，所以A选项不符合题意； B、，所以B选项符合题意； C、，所以C选项不符合题意； D、，所以D选项不符合题意； 故选：B． 5. 如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常，随机闭合开关，，中的两个，能让灯泡发光的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列表法与画树状图求概率，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．采用列表法列出所有情况，再根据能让灯泡发光的情况利用概率公式进行计算即可求解． 【详解】解：列表如下： 共有6种等可能的情况，必须闭合开关灯泡才亮，能让灯泡发光的有4种情况， 则能让灯泡发光的概率是． 故选：A． 6. 数学高效学习建设以“信息学奥赛”为抓手，加强对学生兴趣建设的投入，计划三年共投入36万元，已知2022年投入10万元，设投入经费的年平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设投入经费的年平均增长率为，根据“计划三年共投入36万元”列出一元二次方程即可，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：设投入经费的年平均增长率为， 根据题意可得，， 故选：D． 7. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，的坐标分别是，，则顶点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题结合坐标系考查了正方形的性质，关键灵活运用正方形的性质进行线段计算，得出点的坐标．根据、的互相垂直平分，且，即有，问题得解． 【详解】解：连接 ，交于点， ， ， 四边形是正方形， 、的互相垂直平分，且， ，， ∴点坐标， 故选：B． 8. 如图，，，，则的长是（　　） A. 6 B. 8 C. 12 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．由平行线分线段成比例定理得，即可得出结论． 【详解】， ， 即， 解得：， 故选择：B 9. 某校组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件赛程计划安排7天，每天安排3场比赛，设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．设比赛组织者应邀请x队参赛，则每个队参加场比赛，则共有场比赛，可以列出一个一元二次方程， 【详解】∵赛程计划安排7天，每天安排3场比赛， ∴共7×3=21场比赛 设比赛组织者应邀请x队参赛，则由题意可列方程为： 故选择：C 10. 一个不透明的盒子里有若干个红球，在不许将球倒出来数的情况下，为估计红球个数，小颖向其中放入4个黄球并摇匀后，从中随意摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复这一过程，共摸球100次，其中22次摸到黄球，请你估计盒中大约有红球多少个（　　） A. 10个 B. 14个 C. 18个 D. 无法估计 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，设盒中大约有红球个，根据黄球数量总球数黄球所占比例，列方程计算即可得解． 【详解】解：设盒中大约有红球个， 由题意可得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 故盒中大约有红球个， 故选：B． 11. 如图，在菱形中，，点为的中点，于，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键．利用菱形的性质以及，证出是等边三角形，得到，结合得到，最后利用勾股定理求出的长即可得出结论． 【详解】解：菱形， ， 又， 是等边三角形， ， 点为的中点， ， ， ， ， ， 在中，， ． 故选：A． 12. 如图，在矩形中，，，E是边上一点，连接，沿翻折，得到，连接．当长度最小时，的面积是（ ） A B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】连接，如图，根据折叠的性质得到，，当点、、三点共线时，最小，此时的最小值，根据勾股定理得到，得到长度的最小值，设，则，根据勾股定理得到根据三角形的面积公式得到的面积是． 【详解】解：连接，如图， 沿翻折至， ， ，， ， 当点、、三点共线时，最小，此时的最小值， 四边形是矩形， ， ，， ， 长度的最小值， 设，则， ， ， ， ， 解得，， 的面积是， 故选：． 【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，线段的最值问题．本题的综合性强，属于常见的中考压轴题．熟练掌握折叠的性质，勾股定理，是解题的关键． 二、填空题：每小题4分，共16分． 13. 历史上，数学家皮尔逊曾在实验中掷均匀的硬币24000次，正面朝上的次数是12008次，频率约为，则这一枚均匀的硬币正面朝上的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据大量重复试验中事件发生的频率可以表示概率解答即可．本题主要考查了用频率估计概率，熟练掌握大量重复试验中事件发生的频率可以表示概率是解答本题的关键． 【详解】解：依题意，数学家皮尔逊曾在实验中掷均匀的硬币24000次，正面朝上的次数是12008次，频率约为， ∴当重复试验次数足够多时，频率逐渐稳定在左右， 掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是． 故答案为：． 14. 如图，在中，是斜边的中线，，则的长为______． 【答案】##10厘米 【解析】 【分析】本题考查了斜边上的中线等于斜边的一半，因为在中，是斜边的中线，所以，即可作答． 【详解】解：∵在中，是斜边的中线，， ∴， 故答案为：． 15. 若，是一元二次方程的两个根，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由题意可得，，代入计算即可得解． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在中，，，，为斜边上一动点，过作，过作于点，则线段的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短，由勾股定理可得，连接，证明四边形为矩形得出，当时，最短，此时也最短，由等面积法求出的长即可得解． 【详解】解：在中，，，， ∴， 如图，连接， ， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴当时，最短，此时也最短， ∵， ∴， ∴线段的最小值为， 故答案为：． 三、解答题：本大题9小题，共98分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的各种方法，选择恰当的方法解方程是解题的关键． （1）运用因式分解法解方程即可； （2）运用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解： 或 解得，； 【小问2详解】 解：整理，得， 即， 解得，． 18. 人类的性别是由一对性染色体决定，当染色体为时是女性；当染色体为时是男性，右图为一对夫妻的性染色体遗传图谱． （1）这对夫妻“第一胎为男孩”是__________事件（填“不可能”或“必然”或“随机”）“第一胎为女孩”的概率是__________； （2）这对夫妻计划生两个小孩，请用列表或画树状图的方法求出两个小孩是“一男一女”事件的概率． 【答案】（1）随机， （2） 【解析】 【分析】（1）根据事件的分类，概率公式求概率即可求解； （2）根据列表法或画树状图法求概率即可求解． 【小问1详解】 解：这对夫妻“第一胎为男孩”是随机事件，“第一胎为女孩”的概率是 故答案为：随机，； 【小问2详解】 方法一：依题意可列表如下： ② ① 男 女 男 男，男 女，男 女 男，女 女，女 共有4种等可能的结果，其中一男一女的结果有2种， （两个小孩恰好是一男一女） 方法二：依题意可画树状图如下： 共有4种等可能的结果，其中一男一女的结果有2种， （两个小孩恰好是一男一女） 【点睛】本题考查了概率公式求概率，事件的分类，列表法或树状图法求概率，熟练掌握求概率的方法是解题的关键． 19. 如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，依次顺序连接各边中点得到四边形EFGH． （1）猜想四边形EFGH是什么特殊四边形？ （2）对你的猜想给予证明． 【答案】（1）菱形 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）四边形ABCD是矩形，依次顺序连接各边中点得到四边形EFGH是菱形； （2）连接AC，BD，根据中位线的性质得出且EF＝GH，从而四边形EFGH是平行四边形，再根据EF＝EH得出四边形EFGH是菱形． 【小问1详解】 四边形ABCD是矩形，依次顺序连接各边中点得到四边形EFGH是菱形， ∴猜想四边形EFGH是菱形； 【小问2详解】 证明：如图，连接AC，BD， ∵E，F分别是AD，AB中点，∴EF是的中位线， ∴且， 同理，且， ∴且EF＝GH， ∴四边形EFGH是平行四边形， 又∵E，H分别是AD，CD的中点，∴EH是的中位线， ∴且，而四边形ABCD是矩形， ∴BD＝AC， ∴EF＝EH， ∴四边形EFGH是菱形． 【点睛】本题考查中位线和矩形的性质以及平行四边形、菱形的判定定理，熟记平行四边形、菱形、矩形的性质和判定是解题的关键． 20. 已知，如图，在中，，求证： （1） （2）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据成比例线段的性质求解即可； （2）根据成比例线段的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：∵ ∴ ∴； 【小问2详解】 证明：∵ ∴， ∴． 【点睛】此题考查了成比例线段，解题的关键是熟练掌握线段成比例的性质． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的2倍，求a的值． 【答案】（1）见解析 （2）a的值为3 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程，根的判别式为△=，进行化简即可证明； （2）根据根与系数的关系，以及根的倍数关系，列方程，解方程可得答案． 【小问1详解】 证明：， ∵， ∴该方程总有两个实数根． 【小问2详解】 解：设该方程的一个根为x1，则另外一个根为2 x1， 则， 由①得， 代入②可得：， 解之得，， 又因为该方程的两个实数根都是整数， 所以． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，根据题意，灵活运用所学知识是解题的关键． 22. 某公司研发的一款垂直轴风力发电机可以应用在路灯照明、交通监控、通讯基站等．已知该发电机每月可销售300台，每台的利润为2000元，若在每台降价幅度不超过1000元的情况下，每台降价100元，则每月可多销售100台． （1）分析：设每台降价元（为整百数）．请完成下表： 每台利润（元） 月销售量（台） 降价前 ______ ______ 降价后 ______ ______ （2）当该发电机降价多少时，月利润能达到120万元？ 【答案】（1）2000，300，， （2）当该发电机降价500元时，月利润能达到120万元 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用， （1）根据题意完成表格即可； （2）根据表格及题目中的等量关系列方程并解方程即可解决． 【小问1详解】 解：设每台降价元（为整百数），则 每台利润（元） 月销售量（台） 降价前 2000 300 降价后 【小问2详解】设每台发电机应降价元， 由题意，可列方程为， 整理得， 解得，， 每台降价幅度不超过1000， ， 答：当该发电机降价500元时，月利润能达到120万元． 23. 如图，ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，四边形BCED为平行四边形，DE、AC相交于点F．求证： （1）点F为AC的中点； （2）试确定四边形ADCE的形状，并说明理由； （3）若四边形ADCE为正方形，ABC应添加什么条件？并证明你的结论． 【答案】（1）证明见解析；（2）四边形ADCE为菱形，理由见解析；（3）AC=BC，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据三角形的中位线，证出即可； （2）由题意容易证明CE平行且等于AD，AD=CD=BD，所以得到四边形ADCE为菱形； （3）应添加条件AC=BC，证明CD⊥AB且相等即可． 【详解】证明：（1）∵四边形DBEC是平行四边形， ∴DE∥BC， ∵D为AB中点， ∴DF为△ABC的中位线， 即点F为AC的中点； （2）∵平行四边形BDEC， ∴CE平行等于BD． ∵DAB中点， ∴AD=BD， ∴CE平行且等于AD， ∴四边形ADCE平行四边形， 又∵AD=CD=BD， ∴四边形ADCE为菱形； （3）应添加条件AC=BC． 证明：∵AC=BC，D为AB中点， ∴CD⊥AB（三线合一的性质），即∠ADC=90°． ∵四边形BCED为平行四边形，四边形ADCE为平行四边形， ∴DE=BC=AC，∠AFD=∠ACB=90°． ∴四边形ADCE为正方形．（对角线互相垂直且相等的四边形是正方形） 【点睛】此题主要考查平行四边形、正方形的判定． 24. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． （1）通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； （2）若关于的方程（是常数）是“邻根方程”，求的值； （3）若关于的方程（，是常数，且）是“邻根方程”，令，求的最大值． 【答案】（1）是 （2）0或 （3）16 【解析】 【分析】（1）先解方程，再结合新定义可得答案； （2）先解方程，再利用新定义建立方程，再解方程即可； （3）利用根与系数的关系表示出，进一步化简得，整体代入，通过配方可求出t最大值． 【小问1详解】 解：∵ ∴ 解得：，， ∵，符合邻根方程定义， ∴是邻根方程； 【小问2详解】 解：∵关于x的方程是邻根方程 ∴解方程可得：， ∴， ∴， 故或； 小问3详解】 解：∵关于x的方程（a、b是常数）是邻根方程，设两个根分别为、， ∴， 由根与系数的关系：， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， 答：t的最大值为16． 【点睛】本题考查一元二次方程、根与系数的关系、解含绝对值方程、整体代入法、配方确定最值等知识点，熟练掌握各种方法是解题的关键． 25. （1）如图①，在正方形中，是上一点，连接，过点作交的延长线于点．求证：； （2）如图②，在正方形中，是上一点，是上一点，如果，请利用（1）的结论证明：； （3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图③，在四边形中，，，，是上一点，且，，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）四边形的面积为27 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据正方形的性质得出，，证明即可得证； （2）过点作交的延长线于点，由全等三角形的性质可得，，，再证明得出，即可得证； （3）过点作于点，交延长线于，证明四边形是正方形，设正方形的边长为，根据勾股定理计算得出，即可得解． 【详解】（1）证明：四边形为正方形， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）证明：如解图①，过点作交的延长线于点， 由（1）可知： ∴，，， ， ，即， 在和中， ， ， ， ； （3）解：如解图②，过点作于点，交延长线于， ，， ， ，，， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 由（2）可得：， 设正方形的边长为， ， ，，， 在中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ， 四边形的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 六盘水市2024-2025学年度第一学期期中考试试题卷九年级数学 （第一章至第四章第2节） 温馨提示： 1．本试卷包括试题卷和答题卡，所有答案必须填涂或书写在答题卡上规定的位置，否则无效．考试结束后，试题卷与答题卡一并交回； 2．答题前，请认真阅读答题卡上的“注意事项”； 3．本试题卷共6页，满分150分，考试时间为120分钟． 一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分． 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A. B. C. D. 2. 正方形具有而矩形没有的性质是（　　） A. 对角线互相平分 B. 对边相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直 3. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列四条线段中，能成为成比例线段的是（　　） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 5. 如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常，随机闭合开关，，中的两个，能让灯泡发光的概率是（　　） A. B. C. D. 6. 数学高效学习建设以“信息学奥赛”为抓手，加强对学生兴趣建设的投入，计划三年共投入36万元，已知2022年投入10万元，设投入经费的年平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，的坐标分别是，，则顶点的坐标是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，，，，则长是（　　） A. 6 B. 8 C. 12 D. 20 9. 某校组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件赛程计划安排7天，每天安排3场比赛，设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式是（　　） A. B. C. D. 10. 一个不透明的盒子里有若干个红球，在不许将球倒出来数的情况下，为估计红球个数，小颖向其中放入4个黄球并摇匀后，从中随意摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复这一过程，共摸球100次，其中22次摸到黄球，请你估计盒中大约有红球多少个（　　） A. 10个 B. 14个 C. 18个 D. 无法估计 11. 如图，在菱形中，，点为的中点，于，则的长为（　　） A. B. C. D. 12. 如图，在矩形中，，，E是边上一点，连接，沿翻折，得到，连接．当长度最小时，的面积是（ ） A. B. C. D. 2 二、填空题：每小题4分，共16分． 13. 历史上，数学家皮尔逊曾在实验中掷均匀的硬币24000次，正面朝上的次数是12008次，频率约为，则这一枚均匀的硬币正面朝上的概率是______． 14. 如图，在中，是斜边的中线，，则的长为______． 15. 若，是一元二次方程的两个根，则______． 16. 如图，在中，，，，为斜边上一动点，过作，过作于点，则线段的最小值为______． 三、解答题：本大题9小题，共98分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 18. 人类的性别是由一对性染色体决定，当染色体为时是女性；当染色体为时是男性，右图为一对夫妻的性染色体遗传图谱． （1）这对夫妻“第一胎为男孩”是__________事件（填“不可能”或“必然”或“随机”）“第一胎为女孩”的概率是__________； （2）这对夫妻计划生两个小孩，请用列表或画树状图的方法求出两个小孩是“一男一女”事件的概率． 19. 如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，依次顺序连接各边中点得到四边形EFGH． （1）猜想四边形EFGH是什么特殊四边形？ （2）对你的猜想给予证明． 20. 已知，如图，中，，求证： （1） （2）． 21. 已知关于x一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的2倍，求a的值． 22. 某公司研发的一款垂直轴风力发电机可以应用在路灯照明、交通监控、通讯基站等．已知该发电机每月可销售300台，每台的利润为2000元，若在每台降价幅度不超过1000元的情况下，每台降价100元，则每月可多销售100台． （1）分析：设每台降价元（整百数）．请完成下表： 每台利润（元） 月销售量（台） 降价前 ______ ______ 降价后 ______ ______ （2）当该发电机降价多少时，月利润能达到120万元？ 23. 如图，ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，四边形BCED为平行四边形，DE、AC相交于点F．求证： （1）点F为AC的中点； （2）试确定四边形ADCE的形状，并说明理由； （3）若四边形ADCE为正方形，ABC应添加什么条件？并证明你的结论． 24. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． （1）通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； （2）若关于的方程（是常数）是“邻根方程”，求的值； （3）若关于的方程（，是常数，且）是“邻根方程”，令，求的最大值． 25. （1）如图①，在正方形中，是上一点，连接，过点作交的延长线于点．求证：； （2）如图②，在正方形中，是上一点，是上一点，如果，请利用（1）的结论证明：； （3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图③，在四边形中，，，，是上一点，且，，，求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$