精品解析：天津市津南区多校联考2024-2025学年上学期九年级期中数学试卷

2024-2025学年天津市津南区多校联考九年级（上） 期中数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如所示图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A B. C. D. 2. 下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 将一元二次方程化成一般形式后，其中的二次项系数，一次项系数，常数项分别是（ ） A. ，7， B. 2，，10 C. ，，10 D. 2，， 4. 用配方法解方程，配方后的方程是（　　） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，抛物线经过变换后得到抛物线，则这个变换可以是（ ） A. 向左平移2个单位 B. 向右平移2个单位 C 向上平移3个单位 D. 向下平移3个单位 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 7. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为 B. 顶点坐标为 C. 函数的最大值是－3 D. 函数的最小值是－3 9. 据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（ ） A. B. C D. 10. 如图，在中，，将绕点B逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，当点恰好落在边上时，连接，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 某超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天销售500千克，经市场调查反映：若每千克涨价1元，每天销售量减少20千克，设每千克涨价x（单位：元），且，每天售出商品的利润为y（单位：元），则y与x的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 12. 二次函数的图象如图所示，下列结论： ①；②；③；④为任意实数，则． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 在平面直角坐标系中，点A关于原点O成中心对称的点的坐标为 _____． 14. 如图，五角星围绕中心旋转，至少旋转______（度）能与自身重合． 15. 抛物线的顶点坐标为____________． 16. 若二次函数的图象与轴有公共点．则的取值范围是____________． 17. 在某足球联赛中，参赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛90场，设有x个队参加比赛，可以列方程为____________． 18. 如图，正方形的边长为4，对角线相交于点O，将绕着点B顺时针旋转得到，点A，D的对应点是点E，F，交于点G，连接交于点H，连接．则的长_______________． 三、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解下列关于x的方程： （1）； （2）； （3）． 20. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 21. 已知抛物线的对称轴为直线，请你解答下列问题： （1）求m的值及顶点坐标； （2）求抛物线与x轴交点坐标，并画出函数图像； （3）当时，y随x的增大而___________（填“增大”或“减小”）； （4）当时，x的取值范围是______________． 22. 如图，P为正方形内一点，，将绕点C逆时针旋转得到， （1）旋转中心是______．旋转角为______度． （2）求的长度． 23. 学校要围一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为36米的篱笆恰好围成（如图所示），设矩形的一边AB的长为x米（要求AB＜AD），矩形ABCD的面积为S平方米． （1）求S与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （2）要想使花圃的面积最大，AB边的长应为多少米？最大面积为多少平方米? 24. 如图，在正方形中，点E为上一点，把绕点A顺时针旋转至位置，，，求线段的长度． 25. 已知抛物线（为常数，）与轴交于点，，顶点为，且过点． （1）求抛物线解析式和点的坐标； （2）若点在直线下方的抛物线上（与点不重合）运动时，且满足的面积最大时，求点坐标及面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年天津市津南区多校联考九年级（上） 期中数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如所示图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键． 【详解】解：A．原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； B．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．原图不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； D．原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意． 故选：A． 2. 下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，熟记定义解答即可． 【详解】解：A、当时是一元二次方程，故不是一元二次方程； B、整理后得，不含二次项，故不是一元二次方程； C、符合定义，故是一元二次方程； D、含有分式，故不是一元二次方程； 故选：C． 3. 将一元二次方程化成一般形式后，其中的二次项系数，一次项系数，常数项分别是（ ） A. ，7， B. 2，，10 C. ，，10 D. 2，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式及相关概念，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式为． 【详解】解：将一元二次方程化成一般形式为， 其中的二次项系数，一次项系数，常数项分别是2，，， 故选：D． 4. 用配方法解方程，配方后的方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先把5移到方程的右边，然后方程两边都加9，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式． 【详解】解：， 移项得， 配方得， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：先整理成一元二次方程的一般形式；②把常数项移到等号的右边；③把二次项的系数化为1；④等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 5. 在平面直角坐标系中，抛物线经过变换后得到抛物线，则这个变换可以是（ ） A. 向左平移2个单位 B. 向右平移2个单位 C. 向上平移3个单位 D. 向下平移3个单位 【答案】B 【解析】 【详解】先确定两个抛物线的顶点坐标，再利用点平移的规律确定抛物线平移的情况． 【分析】解：抛物线的顶点坐标为， 抛物线的顶点坐标为， 抛物线向右平移2单位得到抛物线， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的平移，由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解决问题的关键． 6. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根． 【详解】解：， ，即， ，，， ， 一元二次方程的根的情况是有两个不相等的实数根， 故选：A． 7. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式是解题的关键．把、、2分别代入，计算出对应的函数值，然后比较大小即可． 【详解】解：∵，，为二次函数图象上的三点， ∴； ； ， ∴． 故选：B． 8. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为 B. 顶点坐标为 C. 函数的最大值是－3 D. 函数的最小值是－3 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图象及性质进行判断即可． 【详解】二次函数的对称轴为，顶点坐标为 ∵ ∴二次函数图象开口向下，函数有最大值，为 ∴A、B、D选项错误，C选项正确 故选：C 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键． 9. 据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可． 【详解】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x， 根据题意得，． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 10. 如图，在中，，将绕点B逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，当点恰好落在边上时，连接，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的旋转可得，根据等边对等角可得，即可求解． 【详解】解：∵将绕点B逆时针旋转得到， ∴， ∴， 故选项B正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的旋转，等边对等角，熟练掌握以上性质是解题的关键． 11. 某超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天销售500千克，经市场调查反映：若每千克涨价1元，每天销售量减少20千克，设每千克涨价x（单位：元），且，每天售出商品的利润为y（单位：元），则y与x的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到超市每天销售千克，每千克盈利元，根据每天售出商品的利润为：每天的销售量每千克的盈利即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：超市每天销售千克，每千克盈利元， 则， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际问题，正确理解题意是解题的关键． 12. 二次函数的图象如图所示，下列结论： ①；②；③；④为任意实数，则． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口，当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定抛物线对称轴的位置，当与同号时，对称轴在轴左侧，当与异号时，对称轴在轴右侧；常数项决定抛物线与轴的交点． 【详解】解：抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ，， 抛物线的对称轴为直线， ， ， ，故①错误，不符合题意； ， ，故②正确，符合题意； 由图象可得，3关于直线对称的点为， 当时，，故③错误，不符合题意； 由图象可得，当时，最大， 对任意实数，有，即，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的有②④，共2个， 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 在平面直角坐标系中，点A关于原点O成中心对称的点的坐标为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】关于原点成中心对称的点的横纵坐标互为相反数，据此解答即可． 【详解】解：点A关于坐标原点O中心对称的点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了关于原点成中心对称的点坐标特点，熟知关于原点成中心对称的点的横纵坐标互为相反数，是解题的关键． 14 如图，五角星围绕中心旋转，至少旋转______（度）能与自身重合． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转对称图形的概念与特征，求出最小旋转角即可． 【详解】解：根据已知图形可知，图形是旋转对称图形，最小旋转角为：， 图形绕中心至少旋转与自身重合； 故答案为：． 【点睛】此题考查了旋转对称图形，熟练掌握旋转对称图形的概念与特征是解答此题的关键． 15. 抛物线的顶点坐标为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线顶点式的性质，掌握顶点式的顶点坐标为是解题关键． 【详解】解：抛物线， 顶点坐标为， 故答案为：． 16. 若二次函数的图象与轴有公共点．则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程的关系，抛物线与轴的交点个数由决定，当时，抛物线与轴有两个交点，当时，抛物线与轴有一个交点，当时，抛物线与轴没有交点． 【详解】解：二次函数的图象与轴有公共点， ，即， 解得：， 故答案为：． 17. 在某足球联赛中，参赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛90场，设有x个队参加比赛，可以列方程为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，由球队总数×每支球队需赛的场数，把相关数值代入即可． 【详解】解：设有x个队参赛，根据题意，可列方程为： ， 故答案为：． 18. 如图，正方形的边长为4，对角线相交于点O，将绕着点B顺时针旋转得到，点A，D的对应点是点E，F，交于点G，连接交于点H，连接．则的长_______________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，，以点B为原点，所在的直线为y轴，x轴建立平面直角坐标系，求出直线解析式为，同理得到直线解析式为，利用勾股定理求出，由旋转的性质得到，则，设，则，解方程求出，同理可得直线解析式为，则，同理可得直线的解析式为，联立，解得则,即可得到。 【详解】解：如图所示，以点B为原点，所在的直线为y轴，x轴建立平面直角坐标系， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 同理可得直线解析式为， 在中，， 由旋转的性质可得， ∴； 设， ∴， ∴或（舍去）， ∴， 同理可得直线解析式为， 在中，当时，， ∴， 同理可得直线的解析式为， 联立，解得 ∴, ∴， 故答案为：。 三、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解下列关于x的方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据方程特点选取最优解法是解题的关键． （1）方程变形后利用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可； （3）利用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ，； 【小问2详解】 ， ， ， ，； 【小问3详解】 ， ， ， ，． 20. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求m取值范围； （2）若，求m的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据方程的判别式Δ>0可得关于k的不等式，解不等式即得答案； （2）根据一元二次方程根与系数关系，，列式计算即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得：， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ． ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴． 21. 已知抛物线的对称轴为直线，请你解答下列问题： （1）求m的值及顶点坐标； （2）求抛物线与x轴的交点坐标，并画出函数图像； （3）当时，y随x的增大而___________（填“增大”或“减小”）； （4）当时，x的取值范围是______________． 【答案】（1），顶点坐标为 （2）A，B （3）减少 （4） 【解析】 【分析】（1）利用抛物线对称轴公式求出m值，进而求出抛物线解析式，再把抛物线解析式化为顶点式求出对应的顶点坐标即可； （2）根据（1）所求的函数解析式，求出当时，x的值，即可求出抛物线与x轴的交点坐标，再描点，连线画出对应的函数图像即可； （3）（4）利用图像法求解即可. 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴； ∴抛物线解析式为． ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：由（1）得抛物线解析式为． 令，则； 解得， ∴抛物线与轴的交点坐标为，， 函数图像如图所示； 【小问3详解】 解：由函数图象可知，当时，y随x的增大而减小， 故答案为：减小； 【小问4详解】 解：由函数图象可知，当时，． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，求二次函数与x轴的交点坐标，画二次函数图象，二次函数与不等式之间的关系，对于二次函数，其对称轴为直线，对于二次函数，其顶点坐标为；二次函数与x轴交点的横坐标即为方程的解；画二次函数图像一般利用列表，描点，连线的方法；二次函数的增减性与二次项系数有关，熟练掌握相关知识是解题的关键． 22. 如图，P为正方形内一点，，将绕点C逆时针旋转得到， （1）旋转中心是______．旋转角为______度． （2）求的长度． 【答案】（1）C；90 （2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转中心和旋转角的概念求解即可； （2）根据旋转的性质可得是等腰直角三角形，然后利用勾股定理即可求出． 【小问1详解】 解：∵将绕点C逆时针旋转得到， ∴旋转中心是C，旋转角是和， ∵在正方形中， ∴旋转角为90度， 故答案为：C，90； 【小问2详解】 解：由（1）知，旋转角是， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题考查了旋转图形的概念和性质，勾股定理，准确识别旋转角是解题的关键． 23. 学校要围一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为36米的篱笆恰好围成（如图所示），设矩形的一边AB的长为x米（要求AB＜AD），矩形ABCD的面积为S平方米． （1）求S与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （2）要想使花圃的面积最大，AB边的长应为多少米？最大面积为多少平方米? 【答案】（1），；（2）AB边的长为9米时，花圃的面积最大为162平方米． 【解析】 【分析】（1）先用x表示出BC，再根据矩形的面积公式求解关系式，根据限制条件AB＜AD列出不等式求解即可； （2）利用二次函数求最值的方法求解即可． 【详解】解：（1）∵ 四边形ABCD是矩形，AB的长为x米， ∴CD=AB=x（米），AD=BC， ∵矩形除AD边外的三边总长为36米， ∴（米）． ∴． 由题意，， ∴ 即自变量的取值范围是； （2）， ∵－2＜0，且对称轴在的范围内 ， ∴ 当时，S取最大值． 即AB边的长为9米时，花圃的面积最大为162平方米． 【点睛】本题考查二次函数的应用，涉及求二次函数的表达式、求二次函数的最值、解一元一次不等式，理解题意，正确求得二次函数的表达式是解答的关键． 24. 如图，在正方形中，点E为上一点，把绕点A顺时针旋转至的位置，，，求线段的长度． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得，，从而得到，进而得到，再由勾股定理可得，从而得到，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵把绕点A顺时针旋转至的位置， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，图形的旋转，直角三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握勾股定理，图形旋转的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 25. 已知抛物线（为常数，）与轴交于点，，顶点为，且过点． （1）求抛物线解析式和点的坐标； （2）若点在直线下方的抛物线上（与点不重合）运动时，且满足的面积最大时，求点坐标及面积的最大值． 【答案】（1）顶点， （2） 【解析】 【分析】（1）把，代入，求出的值即可得到抛物线的解析式，将抛物线解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标，将代入抛物线求出的值即可得到点的坐标； （2）由题意可设点坐标为，过点作轴于点，交直线于点，待定系数法求出直线的解析式，得到点的坐标为，进而得到，根据得到，最后根据二次函数的性质即可得到答案． 【小问1详解】 解：把，代入， 可得：， 解得， ∴抛物线解析式为， ， ∴顶点， 把代入在得，， 解得：， ∴点； 【小问2详解】 解：由题意可设点坐标为， 如图，过点作轴于点，交直线于点， ， 设直线的解析式为， 将，点代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点坐标为，由题意可知：， ∴点的坐标为， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，取得最大值， ∴的面积的最大值为，此时，点． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数及一次函数解析式、将二次函数解析式化为顶点式、利用二次函数的性质求三角形面积的最大值，采用数形结合的思想解题，是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$