专题02 高一上期末真题精选（压轴46题10个考点专练）-2024-2025学年高一数学上学期期末考点大串讲（沪教版2020必修第一册）

专题02 高一上期末真题精选（压轴46题10个考点专练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 集合及其运算中的新定义题 · 基本不等式及其应用 · 指数（对数）型复合函数中的零点问题 · 指数（对数）型复合函数中的恒成立问题 · 指数（对数）型复合函数中的能成立问题 · 指数（对数）型复合函数中的新定义问题 · 根据函数单调性与奇偶性解不等式（小题） · 根据函数单调性与奇偶性解不等式（大题，含指数，对数型复合函数） 根据函数单调性与奇偶性解不等式（抽象函数） · 新定义题（解答题） 压轴一：集合及其运算中的新定义题（共4小题） 1．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，为高斯函数，表示不超过实数的最大整数，例如，.记，，则集合，的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】交集的概念及运算、求指数函数在区间内的值域、函数新定义 【分析】根据题意分别求出集合，然后利用集合的交集运算从而求解. 【详解】由题意得，所以， 因为，所以，所以，所以，， 当时，，，此时， 当时，，，此时， 当时，，此时， 综上：，所以，故C正确. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：根据高斯函数对分情况讨论具体的取值求出集合，从而求解. 2．（23-24高一上·上海·期末）已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当（其中正整数、且）或（其中正整数、且）．现有如下两个命题：①；②集合．则下列判断正确的是（    ） A．①对②对 B．①对②错 C．①错②对 D．①错②错 【答案】A 【知识点】集合新定义、常用数集或数集关系应用 【分析】根据集合的定义即可判断①是假命题，根据集合的定义先判断，，再由，有，，且，所以，可判断 ②是真命题. 【详解】因为若，则当且仅当其中且，或其中且， 且集合是由某些正整数组成的集合， 所以，， 因为，满足其中且，所以， 因为，且，，所以， 因为，，，所以，故①对； 下面讨论元素与集合的关系， 当时，； 当时，，，，所以； 当时，，，，所以； 当时，，，，所以；依次类推， 当时，，，， 所以，则，故②对. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题解题的关键在于判断，，，，再根据集合的定义求解. 3．（23-24高一上·上海·期末）已知A、B为非空数集，为平面上的一些点构成的集合，集合，集合，给定下列四个命题，其中真命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】判断两个集合的包含关系、根据集合的包含关系求参数、集合新定义 【分析】运用元素和集合的关系判断即可. 【详解】设，， 若，此时，，B错误； 若，此时，，错误，A错误； 若，则,则， 且，若，真包含A,故D正确，C错误. 故选：D． 4．（20-21高一上·上海黄浦·期末）已知非空集合S的元素都是整数，且满足：对于任意给定的x，y∈S (x、y可以相同)，有x+y∈S且x-y∈S. （1）集合S能否为有限集，若能，求出所有有限集，若不能，请说明理由； （2）证明：若3∈S且5∈S，则S=Z. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【知识点】判断两个集合是否相等、集合新定义 【解析】（1）若，分析和可得答案； （2）集合S的元素都是整数，利用已知得到非空集合S是所有整数构成的集合.然后再由，， 得到，且可得答案. 【详解】（1）能，理由如下： 若，且，由题意知的所有整数倍的数都是中的元素，所以是无限集；若，且，则，符合题意，且是有限集，所以集合S能为有限集，即. （2）证明： 因为非空集合S的元素都是整数，且, 由，，所以，所以， 所以，，，， ，，，， 所以非空集合S是所有整数构成的集合. 由，，所以，因为， 所以，，， ， 所以2的所有整数倍的数都是中的元素， 即， 且，所以也是集合中的元素， 即， ， 综上所述，. 【点睛】本题考查对集合性质的理解，关键点是理解，考查了学生分析问题、解决问题的能力，以及推理能力. 压轴二：基本不等式及其应用（共4小题） 1．（24-25高一上·上海·期中）若正实数x、y、z满足，则当最大时，的最大值是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【知识点】求二次函数的值域或最值、基本不等式求和的最小值、条件等式求最值 【分析】由条件等式求出，将化成，利用基本不等式可求得其最大值，得出等号成立条件：和，代入所求式，整理成二次函数，即可求出其最大值. 【详解】由，可得， 则， 因，， 当且仅当时，即时，等号成立， 此时，取得最大值为3. 由， 即当时，取得最大值. 故选：A. 2．（21-22高二上·上海宝山·期末）若实数、满足，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】直接利用换元法以及基本不等式，求出结果． 【详解】解：设， 由于， 所以， 由于，(当且仅当时取等号) 所以(当且仅当时取等号)，(当且仅当时取等号)， 故， ， 所以， 整理得：． 故的取值范围为的取值范围． 故答案为：． 3．（20-21高一上·上海宝山·期末）已知为正实数，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值 【解析】先将分式的分子分母同除以，然后采用换元的方法令，根据基本不等式的变形求解出原式的最小值，再根据分析原式的最大值，由此求解出原式的取值范围. 【详解】因为，令，因为，所以， 所以原式，又因为，所以， 所以，所以原式， 取等号时，即， 又因为时，， 综上可知原式的取值范围是， 故答案为：. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 4．（20-21高二上·江苏扬州·期中）设二次函数（，，为常数）．若不等式的解集为，则的最大值为 ． 【答案】 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、基本（均值）不等式的应用 【解析】由不等式恒成立可得且，取可得，令，则可得，再利用基本不等式即可求解. 【详解】，则为， 是二次函数，， 要使不等式的解集为，则应满足， 可得且， 当时，可得，即，令， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题考查一元二次不等式恒成立和基本不等式的综合应用，解题的关键是根据不等式恒成立得出，，，继而将不等式转化为，方可利用基本不等式求解. 压轴三：指数（对数）型复合函数中的零点问题（共4小题） 1．（23-24高一上·上海宝山·期末）已知（），函数在区间上有最大值4和最小值1. (1)求的值； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）、函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）根据二次函数的单调性及取值情况列方程求解即可得的值； （2）将不等式，转化为在上恒成立，利用函数取值即可求得实数k的取值范围； （3）原方程化为，令，得到方程，通过二次方程实根分布，可得的不等式组，即可求得的范围． 【详解】（1）函数， 因为，对称轴为，所以在区间上是增函数， 所以，即，解得. 故. （2）由（1）得， 则不等式为在上恒成立， 即在上恒成立， 又时，，则， 所以，则. 故实数k的取值范围. （3）方程，代入， 得，， 化简整理得， 令，则， 则方程有两个不相等的实数根等价于关于的一元二次方程有两个大于且不相等的实数根， 所以，即或， 解得或. 所以的取值范围是． 2．（22-23高一上·上海松江·期末）已知函数在时有最大值和最小值，设. (1)求实数，的值； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数、指数函数图像应用、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】（1）根据题意得，再根据二次函数单调性列方程求解即可； （2）由题知在上恒成立，设，进而得，在上恒成立，再求最值即可得答案； （3）用换元法化简方程为一元二次方程的形式，结合指数型函数的图象、一元二次方程根的分布的知识求得的取值范围. 【详解】（1）解：， 因为，当时，，为常函数，不满足题意； 所以，，在上单调递增， 因为函数在时有最大值和最小值， 所以，解得， 所以，. （2）解：由（1）知，， 因为不等式在上恒成立， 所以在上恒成立， 设，则， 所以，，在上恒成立， 所以，在上恒成立， 因为，所以， 所以，当时，取得最大值，最大值为， 所以， ，在上恒成立，则， 所以的取值范围是. （3）解：方程等价于， 即，， 令，则方程化为，， 因为方程有三个不同的实数解， 所以，画出的图像如下图所示， 所以，，有两个根､，且或，. 记， 所以，，即，此时 或得，此时无解， 综上， ，即实数的取值范围 【点睛】本题第三问解题的关键在于令，进而结合题意，数形结合得，，有两个根､，且或，，再根据零点存在性定理求解即可. 3．（23-24高一上·上海·期末）已知，. (1)若，求的取值范围； (2)若函数恰有两个零点，求实数a的取值范围； 【答案】(1) (2) 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、求cosx（型）函数的最值、根据函数零点的个数求参数范围、对数函数图象的应用 【分析】（1）解对数不等式即可得答案； （2）画出的图象，数形结合即可得a的取值范围； 【详解】（1）由题意得，即， 解得，即. （2）如图，可知      ， 时，，    因为函数恰有两个零点， 所以直线与曲线恰有两个公共点， 所以，解得； 4．（20-21高一上·上海·期末）已知函数（其中，且）的图象关于原点对称. （1）求，的值； （2）当时， ①判断在区间上的单调性（只写出结论即可）； ②关于的方程在区间上有两个不同的解，求实数的取值范围. 【答案】（1）或；（2）①在区间上单调递增；②. 【知识点】由函数对称性求函数值或参数、根据零点所在的区间求参数范围、对数型复合函数的单调性 【分析】（1）由图象关于原点对称知：，结合函数解析式可得，即可求参数. （2）由已知得，①为，的构成的复合函数，由它们在上均单调递增，即知的单调性；②由①整理方程得在区间上有两个不同的解，令，有，结合基本不等式求其最值，进而确定的取值范围. 【详解】（1）由题意知：，整理得，即，对于定义域内任意都成立， ∴，解得或. （2）由知：，故 ①，由，在上均单调递增， ∴在区间上的单调递增. ②由①知，可得，即在区间上有两个不同的解，令， ∴当且仅当时等号成立，而在上递减，在上递增，且时. ∴. 【点睛】关键点点睛： （1）利用函数的对称性，结合解析式列方程求参数值； （2）根据对数型复合函数的构成判断单调性，应用参变分离、换元思想，将方程转化为在上存在不同的对应相同的值，求参数范围. 压轴四：指数（对数）型复合函数中的恒成立问题（共5小题） 1．（22-23高一上·上海徐汇·期末）已知定义在R上的奇函数满足：，且当时，，若对于任意，都有，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】函数不等式恒成立问题、对数的运算、由对称性求函数的解析式、函数奇偶性的应用 【分析】先由题给条件求得函数的单调区间对称轴对称中心，进而将转化为关于实数的不等式组，解之即可求得实数的取值范围. 【详解】定义在R上的奇函数满足，则，则， 又由可得，， 则函数的最小正周期为4， 由，可得函数有对称轴， 当时，，单调递增， 由奇函数图像关于原点对称可得， 当时，，单调递增， 则函数在单调递增，又函数有对称轴， 则函数在单调递减， 又在内，由， 即，可得， 又函数有对称轴，则时，， 则在内，由，可得， 令，，由任意，都有， 又，则的值域是的子集， ①当，即时，在单调递减， 则，则，不等式组无解，不符合题意； ②当，即时，在时取最小值， 在时取最大值，则 则，则，解之得； ③当，即时，在时取最小值， 在时取最大值，则 则，则，解之得； ④当，即时，在单调递增， 则，则，解之得， 综上，实数的取值范围为 故答案为： 【点睛】分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容.分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力. 2．（22-23高一上·上海松江·期末）已知，我们定义函数表示不小于的最小整数，例如：，. (1)若，求实数的取值范围； (2)求函数的值域，并求满足的实数的取值范围； (3)设，，若对于任意的，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)值域为， (3) 【知识点】函数不等式恒成立问题、函数新定义、求对数型复合函数的值域、求二次函数的值域或最值 【分析】（1）根据给定定义，直接列式求解作答. （2）由对数函数的单调性求出的值域，进而列出不等式，求出x值范围作答. （3）利用对勾函数求出在上的值域，再建立恒成立的不等式，借助二次函数性质分类讨论求解作答. 【详解】（1）由表示不小于x的最小整数，，得， 所以实数x的取值范围是. （2）函数定义域为，而函数在上单调递增，值域为， 因此，即有，所以函数的值域为； 显然，，由，得， 则有，而时，不等式不成立，则，必有，即， 因此，，解得，所以实数的取值范围. （3）当时，，函数在上单调递减，在是单调递增， 因此函数在上单调递增，在是单调递减，，而， 于是在上的值域为，，， 依题意，，，即，， 当时，，显然当时，，则，， 当时，，而恒成立，则，， 所以实数的取值范围. 【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答. 3．（21-22高一上·上海浦东新·期末）已知函数满足且为奇函数. (1)求的值； (2)判断在区间上的单调性； (3)当时，若对于任意的，总有成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【知识点】函数不等式恒成立问题、由奇偶性求参数、对数型复合函数的单调性 【分析】（1）先由是奇函数得到，从而由不恒为求得即可； （2）利用复合函数的单调性的性质，先判断得在上单调递减，再通过讨论的范围即判断函数的单调性； （3）构造函数，将问题转化为，再结合（2）中结论判断得的单调性，从而得解. 【详解】（1）因为是奇函数， 所以，即， 则，得， 则，由于不恒为，故，即， 当时，，不满足题意，舍去； 当时，，由得或，所以的定义域关于原点对称， 又有，故是奇函数，满足题意； 综上：. （2）由（1）知， 令，易知其在上单调递减，且， 所以当时，在上单调递增，则在上单调递减； 当时，在上单调递减，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增. （3）对于任意的，总有成立，即恒成立， 令，则， 因为当时，由（2）知在区间上单调递增， 又易知在上单调递增，所以在上单调递增， 故， 所以，即. 4．（20-21高一上·上海·期末）已知函数 （1）当，时，解关于的方程； （2）若函数是定义在上的奇函数，求函数解析式； （3）在（2）的前提下，函数满足，若对任意且，不等式恒成立，求实数m的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【知识点】基本不等式求和的最小值、指数函数最值与不等式的综合问题 【分析】（1）将，代入，可转化为关于的二次方程，解方程进而可得的值； （2）利用奇函数的性质直接求解； （3）化简可得，代入不等式分离参数，转化为函数求最值，利用换元法及基本不等式直接求最值. 【详解】（1）当，时，． 即， 解得：或（舍去），∴； （2）若函数是定义在上的奇函数， 则，即 即恒成立， 解得：，，或， 经检验，满足函数的定义域为， ． （3）当时，函数满足， ∴，则 不等式恒成立， 即恒成立 即恒成立， 设，则，即，恒成立， 由平均值不等式可得：当时，取最小值． 故，即实数m的最大值为． 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 5．（20-21高一上·上海徐汇·期末）已知函数（），. （1）若函数在区间上有零点，求实数的取值范围； （2）写出的定义域，并求的最小值； （3）若对于任意的定义域中的实数、、、、，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）定义域为，最小值；（3）. 【知识点】根据指对幂函数零点的分布求参数范围、零点存在性定理的应用、指数函数最值与不等式的综合问题、求已知指数型函数的最值 【解析】（1）令，因为，所以，可将函数转化为关于的二次函数，利用二次函数的性质求出其最大值和最小值，利用零点存在定理即可求的取值范围； （2）由即可求的定义域，可化为 ，令，则，利用其单调性即可求出的最小值； （3）由题意可得，由（2）可以求出的最小值和最大值，代入解不等式即可求解. 【详解】（1）令，因为，所以， 所以， 所以当时， 当时，， 因为函数在区间上有零点，则在上有零点， 可得，解得： 所以实数的取值范围是， （2）由可得， 令，则 在单调递减，在单调递增， 所以当时最小为， 当时，，当时， 所以， ， 所以的定义域为，最小值为； （3）因为对于任意定义域中的实数、、、、， 恒成立可得， 由（2）知， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围是： 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 压轴五：指数（对数）型复合函数中的能成立问题（共3小题） 1．（21-22高一上·上海普陀·期末）已知函数 (1)求证：用单调性定义证明函数是上的严格减函数； (2)已知“函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于定义域内任何恒成立”.试用此结论判断函数的图像是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标；若不存在，说明理由； (3)若对任意，都存在及实数，使得，求实数的最大值. 【答案】(1)见解析； (2)存在，为； (3)2. 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由函数对称性求函数值或参数、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】(1)先设，然后利用作差法比较与的大小即可判断； 假设函数的图像存在对称中心， (2)结合函数的对称性及恒成立问题可建立关于，的方程，进而可求，； (3)由已知代入整理可得，的关系，然后结合恒成立可求的范围，进而可求． 【详解】（1）设，则， ∴， ∴函数是上的严格减函数； （2）假设函数的图像存在对称中心， 则恒成立， 整理得恒成立， ∴， 解得，， 故函数的对称中心为； （3）∵对任意,，都存在,及实数，使得， ∴， 即， ∴， ∴， ∵,，∴,， ∵,，∴,,， ∴，即， ∴， ∴，即的最大值为2． 2．（20-21高一上·上海徐汇·期末）已知，定义表示不小于的最小整数，例如． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，且，求实数的取值范围； （3）设，，若对于任意的，都有，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3）． 【知识点】函数新定义、函数不等式恒成立问题 【解析】（1）根据函数定义可直接得出； （2）由可得，则，即，讨论和求解； （3），可得在的值域为，则不等式化为对于任意恒成立，讨论和求解. 【详解】（1）根据的定义可得若，则， 故的取值范围为； （2）因为，所以，，， 即，所以， 当时，，无解， 当时，，，解得， 综上，的取值范围； （3）， 时函数的值域为， 所以对于任意恒成立， 当时，，，，， 当时，，，，， 综上，. 【点睛】本题考查函数新定义问题，考查函数不等式恒成立问题，解题的关键是正确理解新定义，正确进行不等关系的转化. 3．（22-23高三上·上海长宁·期中）已知，，其中，且函数为奇函数； (1)若函数的图像过点A（1，1），求实数m和n的值； (2)当时，不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围； (3)设函数，若对任意，总存在唯一的使得成立，求实数m的取值范围； 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）、由奇偶性求参数、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）运用奇函数的定义可得，再由图象经过点，解方程可得； （2）问题转化为在，上恒成立．构造函数，研究单调性求最值即可； （3）求得当时，；当时，．分别讨论，，，运用基本不等式和单调性，求得的范围． 【详解】（1）函数为奇函数， 可得，即，，则， 由的图象过，可得（1），即， 解得，； （2）当时，，易知，， ∴，记，则在，递增． 理由：设，则 ， 由，可得，，， 则，即， 可得在，递增； ∴， ∴实数a的取值范围； （3）当时，； 当时，． ①时，时，； 时，不满足条件，舍去； ②当时，时，，， 时，，，， 由题意可得，，，可得，即； 综上可得； ③当时，时，，， 时，，，， 由题意可得，，， 可得，可令，则在上递减，， ，可得，即， 综上可得， 所以的取值范围是． 压轴六：指数（对数）型复合函数中的新定义问题（共5小题） 1．（22-23高一上·上海·期末）记号表示不超过实数的最大整数，若，则的值为（    ） A．4898 B．4899 C．4900 D．4901 【答案】D 【知识点】函数图象的应用、幂函数图象的判断及应用、函数新定义 【分析】根据题意，由和互为反函数，其图象关于对称，把函数的值转化为边长为的正方形内整点的个数，结合有两个，即可求解. 【详解】根据题意，可得表示轴，及函数所成围成区域的整点的个数， 设函数和，可得函数和互为反函数， 两个函数的图象关于对称， 由函数对称性，可得轴，，与函数围成的区域 所以轴，及围成的区域所包含的整数点一样多， 如图所示，把和分别看成横轴和纵轴， 则函数表示边长为的正方形内整点的个数的之和， 其中有两个，所以整点的个数为， 即. 故选：D. 2．（22-23高一上·上海徐汇·期末）设函数，的定义域分别为、，且.若对任意的，都有，则称为在上的一个“延拓函数”.已知函数（），若为在上一个延拓函数，且是偶函数，则函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由奇偶性求函数解析式、求指数函数解析式 【分析】由题意函数，为在上一个延拓函数，求出，然后利用偶函数推出函数的解析式． 【详解】解：， 为在上的一个延拓函数， 则当时，， 因为是偶函数 当时，， 综上． 故选：B． 3．（20-21高一上·上海·期末）定义在上的函数、是严格增函数，﹐若对任意，存在，使得成立，则称是在上的“追逐函数”，已知，下列四个函数： ①；②；③；④ 其中是在上的“追逐函数”的是（　　） A．①②④ B．①②③ C．①④ D．①② 【答案】D 【知识点】判断指数函数的单调性、研究对数函数的单调性、根据指对幂函数零点的分布求参数范围、函数新定义 【解析】根据新定义进行判断，即判断在上严格递增，，且存在，使．且是任意的实数．可作出函数图象，作直线与它们相交，观察可得． 【详解】在上，与四个选项中的函数都是严格单调递增的，且． 其中时，，因此只要则不存在，使得成立，④不是上的“追逐函数”， 对于函数，由于与在时有两个交点，因此的图象向下平行1个单位所得图象与的图象仍然有两个交点，其中一个交点为，另一交点横坐标设为，显然，但，取，不存在，使得，③不是上的“追逐函数”， 对和，作出它们的图象，同时作出的图象，如图，再作直线，直线与的交点横坐标为，与的交点的横坐标为，满足，同样直线与的交点的横坐标为，也满足，因此①②是上的“追逐函数”， 故选：D． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义，解题关键是理解新定义，用已学函数知识解决新定义问题．解题方法是根据新定义的理解判断，也可转化为直线与函数图象交点问题，利用数形结合思想求解． 4．（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知集合M是具有以下性质的函数的全体：对于任意s，都有，，且．给出下列四个结论： ①函数属于M；           ②函数属于M； ③若，则在区间上是严格增函数； ④若，则对任意给定的正数s，一定存在某个正数t，使得当时，恒有． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域、比较对数式的大小、函数新定义 【分析】由指数和对数的运算性质，结合集合的性质，可判断①②；由函数的单调性的定义和集合的性质，可判断③④． 【详解】函数，由，可得， 由，，可得， 即有，故①正确； 函数，当时，， 由．，可得， ，即，故②错误； 由．，不妨设，可得，则，即， 则在区间上是严格增函数，故③正确； 若，由上面的结论可得在区间上是严格增函数， 则对任意给定的正数，一定存在某个正数，使得当,时，恒有，故④正确． 故答案为：①③④． 5．（22-23高一上·上海徐汇·期末）已知函数，，若存在常数，对任意，存在唯一的，使得，则称常数是函数在上的“倍几何平均数”.已知函数，，则在上的“倍几何平均数”是 . 【答案】 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、判断指数函数的单调性 【分析】由“倍几何平均数”的定义可知即为函数，最大值与最小值的几何平均数，根据函数在上的单调性，即可求得在上的“倍几何平均数”. 【详解】解：由已知中倍几何平均数的定义可得即为函数，最大值与最小值的几何平均数 又函数，在为减函数 故其最大值，最小值 故. 故答案为：. 压轴七：根据函数单调性与奇偶性解不等式（小题）（共6小题） 1．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，若满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、对数的运算、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据题意，由奇偶性的定义可得是定义在上的偶函数，然后求导得，即可判断在上的单调性，再将不等式化简求解，即可得到结果. 【详解】因为函数定义域为关于原点对称， 且， 所以是定义在上的偶函数， 又， 当时，，则，所以在单调递增， 又，则， 且，则不等式可化为 ，即， 且是定义在上的偶函数，在单调递增， 则，即，即， 所以，即实数的取值范围是. 故选：A 2．（22-23高一上·上海闵行·期末）设函数是R上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求函数解析式 【分析】根据题意，结合函数的奇偶性分析可得函数的解析式，结合不等式和二次函数的性质以及函数图象的递减区间，分析可得答案. 【详解】根据题意，设，则， 所以， 因为是定义在上的奇函数， 所以， 所以， 即时，，此时函数在上单调递减，在单调递增； 当时，，此时函数在上单调递增，在单调递减； 所以函数在上单调递减， 若，即，又由，且，必有时，， 解得：，所以不等式的解集为. 故选：. 【点睛】方法点睛：本题考查利用函数单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，解决此类问题中，奇偶性和单调性的作用如下： （1）奇偶性：统一不等式两侧符号，同时根据奇偶函数的对称性确定对称区间的单调性； （2）单调性：将函数值的大小关系转化为自变量之间的大小关系. 3．（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知函数，若关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据函数的单调性解不等式、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】由题意可得函数在上单调递增，利用单调性可得恒成立当且仅当恒成立，故只需，进一步利用二次函数最值即可得解. 【详解】由题意当时，单调递增，且时，，当时，单调递增， 所以函数在上单调递增， 由题意在上恒成立， 所以当且仅当，即恒成立，故只需， 而的最小值为， 所以实数a的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：关键是利用单调性、分离参数法将原问题等价转换为，由此即可顺利得解. 4．（23-24高一上·上海·期末）已知函数是定义域为的奇函数，且.若对任意的、且，都有成立，则不等式的解集是 . 【答案】 【知识点】函数奇偶性的应用、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】依题意不妨令，即可得，令，，即可得到在上单调递增，再由及奇偶性得到在上的取值情况，从而得到的解集. 【详解】因为对任意的、且，都有成立， 不妨令，则，即， 所以， 令，， 则当且时，， 所以在上单调递增， 又函数是定义域为的奇函数且，则， 所以，所以当时，，当时，， 则当时，，当时，， 又为奇函数，所以当时，，当时，， 所以不等式的解集是. 故答案为： 5．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，若，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据函数的单调性解不等式 【分析】先利用定义判断函数的单调性，设，其中因式  要与比较大小，等价于，判断与的大小即可. 【详解】因为， 所以函数的定义域为， 设， 则， 即， 其中， 因为，， ， ，， 所以，即，得， 同时，指数函数在上单调递增，且，则，即， 所以，即成立， 所以函数在上单调递增，且， 若，只需，解得， 故答案是：. 6．（22-23高一上·上海松江·期末）若，则满足不等式的实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式 【分析】先求定义域，再根据初等函数单调性和复合函数单调性判断的单调性，由奇偶性定义判断其奇偶性，然后根据奇偶性和单调性求解可得. 【详解】由得， 显然在区间上单调递增， 由复合函数单调性可知，在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递增. 又，所以函数为奇函数， 所以， 所以，解得. 故答案为： 压轴八：根据函数单调性与奇偶性解不等式（大题，含指数，对数型复合函数）（共5小题） 1．（21-22高一上·上海杨浦·期末）设，已知函数. (1)当时，用定义证明是上的严格增函数； (2)若定义在上的奇函数满足当时，，求在区间上的反函数； (3)对于（2）中的，若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)， (3) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求函数解析式、求反函数、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）根据函数单调性的定义证明即可； （2）根据奇函数的定义可以求出参数，从而根据反函数的定义即可求出反函数解析式； （3）将不等式的右侧转化为特殊的函数值，再利用已经证明的函数的单调性即可求解. 【详解】（1）当时，. 任取，则， 因为，所以， 即，. 所以，即， 故是上的严格增函数. （2）由题意得当时，， 又是定义在上的奇函数，即，得. 所以当时，， 由得当时，， 而，则，在上单调递增， 令，则，得， 故在区间上的反函数，. （3）由于时，，在上单调递增，； 时，，在上单调递增，； 则在上单调递增， 关于的不等式在上恒成立， 又，所以， 即在上恒成立，令， 得恒成立，即， 故实数的取值范围是. 2．（22-23高一上·上海长宁·期末）设． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由; (2)判断函数在其定义域上的单调性，并说明理山; (3)若，求的取值范围． 【答案】(1)奇函数 (2)单调递增，证明见解析 (3) 【知识点】根据函数的单调性解不等式、对数型复合函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】（1）根据奇函数的定义判断即可； （2）根据在上单调递增判断单调性，并结合函数的单调性的定义证明； （3）根据函数单调性与奇偶性解不等式即可. 【详解】（1）解：，由，得， ， 为奇函数 （2）解：∵，函数在上单调递增， ∴可以判断在其定义域上单调递增，证明如下： 令， ∵，∴， ， ∴， ∴， ∴在上为单调递增函数 （3）解：∵为奇函数 ∴， ∵在上为单调递增函数， ∴，解得 ∴的取值范围为． 3．（22-23高一上·上海闵行·期末）已知函数的表达式为，将函数的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到函数的图像， (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)求函数的表达式，并求的值； (3)若不等式恒成立，求ab的最大值；并指出当ab取得最大值时，a、b的值分别是多少？ 【答案】(1)奇函数 (2) (3)ab的最大值为，此时. 【知识点】基本不等式求积的最大值、对数的运算性质的应用、函数图象的变换、函数奇偶性的定义与判断 【分析】（1）由奇偶函数的定义结合对数函数的运算性质即可得出答案. （2）由函数的平移变换求出的表达式，再有对数的运算性质即可求出的值； （3）由（2）知，，所以关于对称，由于恒成立，所以，再根据均值不等式即可得出答案. 【详解】（1）因为函数的定义域为，则，得：， 所以函数的定义域为，关于原点对称， ， 所以函数为奇函数. （2）函数的图像向右平移1个单位，可得： ， 再向上平移2个单位，则， ， 因此求的值为. （3）由（2）知，，所以关于对称， 由于恒成立，故， ， 的定义域为，所以由“复合函数”的单调性知，在上单调递增， 所以即， 因为，当且仅当“”时取等， 所以，当且仅当“”时取等， 将代入，解得： 所以ab的最大值为，此时. 4．（21-22高一上·上海浦东新·期末）设a∈R，是定义在R上的奇函数，且. (1)试求的反函数的解析式及的定义域； (2)设，若时，恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【知识点】求反函数、根据二次函数的最值或值域求参数、由奇偶性求参数、由对数函数的单调性解不等式 【分析】(1)根据函数的奇偶性求出的值，结合反函数的概念求出，利用指数函数的性质求出的取值范围即可； (2)由对数函数的概念可得，将原问题转化为在恒成立， 结合二次函数的性质即可得出结果. 【详解】（1）因为为R上的奇函数，所以， 即，解得， 所以，为R上的奇函数，所以符合题意. 有 令，则，得， 由得， 即，； （2）由，得， 由恒成立可得恒成立， 即在恒成立， 所以，即， 因为，所以，解得. 所以k的取值范围是. 5．（23-24高三上·上海浦东新·期中）已知函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)当，，解关于的不等式. 【答案】(1)1 (2)答案见解析 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义列方程，解方程得到的值. （2）利用函数的单调性列不等式，分类讨论解不等式，得到取值范围即可. 【详解】（1）因为是奇函数， 所以， 即，解得， 又时，其定义域为，此时为非奇非偶函数， 所以. （2）由（1）得，所以，即， 根据对数函数的定义域和单调性可得，由于，所以， 所以，即， 因此，当，即时，不等式的解为， 当，即时，不等式的解为， 综上所述，当时，不等式解集为，当时，不等式解集为. 压轴九：根据函数单调性与奇偶性解不等式（抽象函数）（共3小题） 1．（23-24高一上·上海·期末）定义在上的函数满足对于任意实数，都有，且当时，，. (1)判断的奇偶性并证明； (2)判断的单调性并证明； (3)解关于的不等式（）. 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)在上是减函数，证明见解析 (3)答案见解析 【知识点】根据函数的单调性解不等式、函数奇偶性的定义与判断、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】（1）根据奇函数的定义法证明，即可求解； （2）由函数的定义法证明单调性，从而姐姐； （3）根据（1）（2）结论并利用函数的单调性并结合分类讨论从而可求解. 【详解】（1）奇函数，证明如下， 证明：由题意知，令，则，得， 再令，得，所以， 所以为奇函数， 故即证为奇函数. （2）在上是减函数，证明如下， 证明：任取，则，由题意知， 则， 所以，所以在上是减函数. （3）不等式，即为， 即，即有， 由（2）知在上是减函数，则，即， 即有. 当时，得解集为； 当时，即， 时，，此时解集为； 当时，，此时解集为； 当时，即有， 时，，此时解集为， 当时，，此时解集为. 2．（21-22高一上·上海长宁·期末）设函数. (1)若对任意实数，有成立，且当时，； ①判断函数的增减性，并证明； ②解不等式：； (2)证明：“图象关于直线对称”的充要条件是“任意给定的，”. 【答案】(1)①函数为R上增函数，证明见解析；② (2)证明见解析 【知识点】根据函数的单调性解不等式、判断或证明函数的对称性、定义法判断或证明函数的单调性、充要条件的证明 【分析】（1）①利用赋值法和单调性的定义进行证明，②先利用赋值法得到，再利用单调性和进行变形求解； （2）结合函数的性质，从充分性、必要性两方面进行证明. 【详解】（1）解：①函数为R上增函数，证明如下： 由， 得， 对于，且，则， 则， 所以当时，有， 所以函数为R上增函数. ②由①得：可化为， 取，得，解得， 又因为函数为R上增函数， 所以，解得 即的解集为. （2）证明：因为图象关于直线对称， 所以，令， 则，， 所以，即成立； 若，令，则， 即，即成立， 即图象关于直线对称； 所以“图象关于直线对称”的充要条件 是“任意给定的，”. 3．（20-21高一上·上海徐汇·期末）若函数对任意实数x､y都有，则称其为“保积函数”. （1）请写出两个“保积函数”的函数解析式； （2）若“保积函数”满足，判断其奇偶性并证明； （3）对于（2）中的“保积函数”，若时，，且，试求不等式的解集. 【答案】（1），(答案不唯一)﹔（2）偶函数，证明见解析；（3）. 【知识点】函数新定义、根据函数的单调性解不等式、抽象函数的奇偶性、定义法判断或证明函数的单调性 【解析】（1）根据“保积函数”的定义写出两个函数即可； （2）利用赋值法令，代入即可证明； （3）先证明当时，利用“保积函数”的定义可得，再证明在是单调递增函数且是偶函数，即可脱掉得即可求解. 【详解】（1）若，则，，可得符合 “保积函数”的定义， 若，则，，可得符合 “保积函数”的定义， 所以两个“保积函数”的函数解析式可以是，(答案不唯一)﹔ （2）函数是偶函数， 令，则对任意实数x､y都成立， 所以“保积函数”满足，则是偶函数； （3）， 因为 所以， 设任意的，则， 所以， 所以， 所以在是单调递增函数且是偶函数， 所以不等式等价于， 可得，解得， 所以不等式的解集为 【点睛】关键点点睛：对于抽象函数在证明奇偶性和求函数值是通常采用赋值法，证明单调性通常需要利用单调性的定义结合奇偶性构造出与可以比较大小的形式. 压轴十:新定义题（解答题）（共7小题） 1．（23-24高一上·上海·期末）设函数，.记，，.对于D的非空子集A，若对任意，都有，则称函数在集合A上封闭. (1)若，，，分别判断函数和是否在集合A上封闭； (2)设，，区间（其中），若函数在集合B上封闭，求的最大值； (3)设，，若函数的定义域为，函数和的图象都是连续的曲线，且函数在区间（其中）上封闭，证明：存在，使得. 【答案】(1)函数不在集合A上封闭，函数在集合A上封闭 (2) (3)证明见解析 【知识点】求指数函数在区间内的值域、利用函数单调性求最值或值域、函数新定义、函数与方程的综合应用 【分析】（1）结合所给新定义，利用函数单调性得出定义域为时的函数值域即可得解； （2）结合所给新定义，分、及进行讨论即可得； （3）利用反证法，由函数和的图象都是连续的曲线，运用零点的存在性定理中蕴含的思想，假设不存在，使得，则必有对任意，恒成立或恒成立，从而分情况进行讨论后得出与已知条件矛盾的点即可得证. 【详解】（1）由函数在区间上单调递增，故， 故函数不在集合A上封闭； 由函数在区间上单调递减，故， 此时有，故函数在集合A上封闭； （2）当时，由函数在集合B上封闭， 则有，解得，此时； 当时，由 ， 此时函数不可能在集合B上封闭； 当时， 由函数在集合B上封闭， 则有，解得，此时， 综上所述，的最大值为； （3）假设不存在，使得， 即对任意，， 由函数的图象是连续的曲线， 故对任意，恒成立或恒成立， 若对任意，恒成立， 则当时，有，则，， 即有，此时函数不可能在区间上封闭， 与已知条件矛盾，故对任意，不成立； 若对任意，恒成立， 则当时，有，则，， 即有，此时函数不可能在区间上封闭， 与已知条件矛盾，故对任意，不成立； 故存在，使得. 【点睛】关键点点睛：最后一问利用反证法，结合函数和的图象都是连续的曲线，假设不存在，使得，则必有对任意，恒成立或恒成立，从而分情况进行讨论后得出与已知条件矛盾的点即可得证. 2．（23-24高一上·上海·期末）函数的定义域为，若存在正实数，对任意的，总有，则称函数具有性质. (1)判断下列函数是否具有性质，并说明理由. ①；②； (2)已知为二次函数，若存在正实数，使得函数具有性质.用反证法证明：是偶函数； (3)已知，为给定的正实数，若函数具有性质，求的取值范围.（用表示） 【答案】(1)①是，②不是，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、对数函数最值与不等式的综合问题、函数新定义、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）根据性质的定义对函数与函数进行判断，从而确定正确答案； （2）性质的定义列不等式，假设若不为偶函数，即，得出与题意矛盾，进而可得出是偶函数； （3）性质的定义列不等式，结合对数函数、指数函数的知识求得的取值范围. 【详解】（1）对任意，得， 所以具有性质； 对任意，得， 取时，有， 所以不具有性质； （2）设二次函数满足性质， 则对任意，满足， 若不为偶函数，即，即， 即，取， 则，矛盾， 所以，此时， 满足，即为偶函数； （3）由于，函数的定义域为， ， 若函数具有性质，则对于任意实数， 有 ，即， 即， 由于函数在上递增，得， 即， 当时，得，对任意实数恒成立， 当时，易得，由，得， 得，得， 由题意得对任意实数恒成立， 所以，即， 当时，易得，由，得， 得，得， 由题意得对任意实数恒成立， 所以，即. 综上所述，的取值范围为. 【点睛】关键点睛：求解新定义函数类型的题目，关键点是理解和运用新定义，将新定义的知识，转化为学过的知识来进行求解，求解含参数的不等式问题，需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏. 3．（23-24高一上·上海浦东新·期末）定义：如果存在实常数a和b，使得函数总满足，则称函数是“型函数”． (1)已知奇函数是“型函数”，求函数的解析式； (2)已知函数是“型函数”，求p和b的值； (3)已知函数是“型函数”，求一组满足条件的k、a和b的值，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】对数的运算、由奇偶性求函数解析式、函数新定义、分数指数幂与根式的互化 【分析】（1）由奇函数定义以及函数新定义联立函数方程组即可得解. （2）由函数型定义结合对数指数运算法则建立函数方程，由函数方程恒成立的条件即可得解. （3）由函数型定义建立函数方程，由函数方程恒成立的条件结合根式和分数指数幂的运算即可得解. 【详解】（1）由题意奇函数是“型函数”，所以，且， 联立解得函数的解析式. （2）由题意函数是“型函数”， 所以， 而， 所以恒成立，当且仅当，解得， 即满足题意的p和b的值分别为. （3）由题意函数是“型函数”， 所以， 而 ， 所以恒成立， 当且仅当恒成立， 当且仅当恒成立或恒成立（舍去）， 所以，解得， 即满足条件的k、a和b的一组值分别为. 【点睛】关键点睛：第（3）问的关键是得到恒成立之后，由可得恒成立或恒成立（舍去），由此即可顺利得解. 4．（22-23高一上·上海闵行·期末）已知函数的定义域为，为大于的常数，对任意，都满足，则称函数在上具有“性质”． (1)试判断函数和函数是否具有“性质”（无需证明）； (2)若函数具有“性质”，且，求证：对任意，都有； (3)若函数的定义域为，且具有“性质”，试判断下列命题的真假，并说明理由， ①若在区间上是严格增函数，则此函数在上也是严格增函数； ②若在区间上是严格减函数，则此函数在上也是严格减函数． 【答案】(1)函数不具有“性质”，函数具有“性质” (2)证明见解析 (3)命题①为假命题，命题②为真命题，理由见解析 【知识点】由基本不等式比较大小、由不等式的性质证明不等式、指数幂的运算、函数新定义 【分析】（1）利用作差法结合“性质”的定义判断可得出结论； （2）利用“性质”的定义结合不等式可推导出，，利用不等式的基本性质可证得结论成立； （3）取可判断命题①为假命题，对命题②，对任意的、且，取，根据“性质”的定义结合基本不等式的性质、单调性的定义证得，即可证得结论成立. 【详解】（1）解：函数不具有“性质”，函数具有“性质”，理由如下： 设，， 对任意的， ， 所以，，所以，函数不具有“性质”， 对任意的，， 所以，，所以，函数具有“性质”. （2）证明：因为函数具有“性质”，对任意的，， 所以，， 又因为，所以， ， 所以，，由不等式的可加性可得， 故对任意的，. （3）解：命题①是假命题，命题②是真命题，理由如下： 对于命题①，取函数，由（1）可知，函数具有“性质”， 函数在区间上是严格增函数，但该函数在上不单调； 对于命题②，对任意的，对任意的，， 所以，， 对任意的、且，取， 必存在且，满足， 因为函数在区间上是严格减函数， 所以，，即， 所以，， 故，即， 故函数在上是严格减函数. 所以，命题②为真命题. 【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 5．（22-23高一上·上海松江·期末）若函数f（x）满足：对于任意正数s，t，都有，，且，则称函数f（x）为“L函数”. (1)试判断函数是否是“L函数”，并说明理由； (2)若函数为“L函数”，求实数a的取值范围； (3)若函数f（x）为“L函数”，且，求证：对任意，都有. 【答案】(1)是“L函数”，理由见解析； (2)； (3)证明见解析. 【知识点】指数函数最值与不等式的综合问题、函数不等式恒成立问题、函数新定义 【分析】（1）根据“L函数”的定义分析判断即可； （2）由为“L函数”，可得，则，得，可得，得，从而可求出实数a的取值范围； （3）由函数f（x）为“L函数”，可得，即，则，再结合可证得结论. 【详解】（1）对于，当时，，， 因为， 所以， 所以是“L函数”； （2）当时，由是“L函数”，得 ，即对一切正数恒成立， 因为，所以对一切正数恒成立， 所以， 由，得， 所以， 因为，所以， 由对一切正数恒成立， 所以，即， 综上可知，实数a的取值范围为； （3）因为函数f（x）为“L函数”， 所以对于任意正数都有，，且， 令，可知，即， 所以对于正整数与正数都有 ， 对任意，可得， 因为， 所以. 【点睛】关键点点睛：此题考查函数的新定义，解题的关键是对函数新定义的正确理解，然后结合已知条件求解即可，考查理解能力和运算能力，属于较难题. 6．（21-22高一上·上海杨浦·期末）设是一个定义域为的函数.若是的一个非空子集，且对于任意的，都有，则称是关联的. (1)判断函数和函数是否是关联的，无需说明理由.（表示不超过的最大整数） (2)若函数是关联的，且在上，，解不等式. (3)已知正实数满足，且函数是关联的，求的解析式. 【答案】(1)函数不是关联的，函数是关联的； (2) (3) 【知识点】函数新定义、由指数函数的单调性解不等式、求抽象函数的解析式 【分析】（1）根据是关联的定义逐个判断可得结果； （2）根据函数是关联的定义求出在上的解析式，将代入可解得结果； （3）根据，得，令，得对任意恒成立，由此推出为常数函数，可得，. 【详解】（1）若满足关联，则需满足恒成立. 对于函数，不恒等于， 故不是关联的； 对于函数，恒成立， 故是关联的. （2）由题意得函数满足恒成立， 当时，，当时，， 所以. 得，或， 解得， 所以不等式的解集为. （3）由题意得对任意，， 则， 即对任意，，其中. 任取，则， ， 又对任意，，一定存在正整数使得， 此时， 因此存在实常数，使得，所以. 【点睛】关键点点睛：第（3）问中，根据，推出，再换元得，据此推出函数为常数函数是解题关键. 7．（21-22高一上·上海杨浦·期末）已知函数的定义域为D，若存在区间使得函数满足： ①函数在区间上是严格增函数或严格减函数； ②函数，的值域是， 则称区间为函数的“n倍区间”. (1)判断下列函数是否存在“2倍区间”（不需要说明理由）； ①；  ②； (2)证明：函数不存在“n倍区间”； (3)证明：当有理数满足时，对于任意n，函数都存在“n倍区间”，并求函数和所有的“10倍区间”. 【答案】(1)不存在2倍区间，存在2倍区间； (2)证明见解析； (3)证明见解析，的“10倍区间”有，的“10倍区间”有. 【知识点】函数新定义、判断一般幂函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】（1）先确定两个函数是否严格单调，若是，则设出区间，进而根据“2倍区间”的定义判断答案； （2）先假设函数存在“n倍区间”，进而根据“n倍区间”的定义证明问题； （3）先考虑函数的情况，根据题意得到有两个非负解并解出，然后证明问题，进而求出两个函数的“10倍区间”. 【详解】（1）不存在2倍区间，存在2倍区间. 理由如下：根据严格单调定义可知，函数在R上严格单调递减，若是函数的2倍区间，则函数的值域为，且，不满足a<b.所以不存在2倍区间. 易知函数在上严格单调递增，若是函数的“2倍区间”，则函数的值域为，且，即函数存在“2倍区间”. （2）假设存在区间是的“n倍区间”， 由条件①可知， 或. 当，即时， 因为在是严格减函数， 所以，得，即， 这与的假设矛盾，所以假设不成立， 即在不存在“n倍区间” 当时，， 这与时，矛盾 即在不存在“n倍区间” 综上所述，不存在“n倍区间”. （3）先考虑的情况， 因为在是严格增函数，若存在“n倍区间”，则有两个非负解， 原方程可化为， 当时，原方程有两个非负解和， 所以，至少存在一个“n倍区间”为. 在是严格增函数， 令得， 所以有三个“10倍区间”：. 在是严格增函数，在是严格减函数， 当时，，所以不存在“10倍区间”， 所以有1个“10倍区间”：. $$专题02 高一上期末真题精选（压轴46题10个考点专练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 集合及其运算中的新定义题 · 基本不等式及其应用 · 指数（对数）型复合函数中的零点问题 · 指数（对数）型复合函数中的恒成立问题 · 指数（对数）型复合函数中的能成立问题 · 指数（对数）型复合函数中的新定义问题 · 根据函数单调性与奇偶性解不等式（小题） · 根据函数单调性与奇偶性解不等式（大题，含指数，对数型复合函数） 根据函数单调性与奇偶性解不等式（抽象函数） · 新定义题（解答题） 压轴一：集合及其运算中的新定义题（共4小题） 1．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，为高斯函数，表示不超过实数的最大整数，例如，.记，，则集合，的关系是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海·期末）已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当（其中正整数、且）或（其中正整数、且）．现有如下两个命题：①；②集合．则下列判断正确的是（    ） A．①对②对 B．①对②错 C．①错②对 D．①错②错 3．（23-24高一上·上海·期末）已知A、B为非空数集，为平面上的一些点构成的集合，集合，集合，给定下列四个命题，其中真命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（20-21高一上·上海黄浦·期末）已知非空集合S的元素都是整数，且满足：对于任意给定的x，y∈S (x、y可以相同)，有x+y∈S且x-y∈S. （1）集合S能否为有限集，若能，求出所有有限集，若不能，请说明理由； （2）证明：若3∈S且5∈S，则S=Z. 压轴二：基本不等式及其应用（共4小题） 1．（24-25高一上·上海·期中）若正实数x、y、z满足，则当最大时，的最大值是（   ） A． B．1 C． D．2 2．（21-22高二上·上海宝山·期末）若实数、满足，则的取值范围为 . 3．（20-21高一上·上海宝山·期末）已知为正实数，则的取值范围是 . 4．（20-21高二上·江苏扬州·期中）设二次函数（，，为常数）．若不等式的解集为，则的最大值为 ． 压轴三：指数（对数）型复合函数中的零点问题（共4小题） 1．（23-24高一上·上海宝山·期末）已知（），函数在区间上有最大值4和最小值1. (1)求的值； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围. 2．（22-23高一上·上海松江·期末）已知函数在时有最大值和最小值，设. (1)求实数，的值； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围. 3．（23-24高一上·上海·期末）已知，. (1)若，求的取值范围； (2)若函数恰有两个零点，求实数a的取值范围； 4．（20-21高一上·上海·期末）已知函数（其中，且）的图象关于原点对称. （1）求，的值； （2）当时， ①判断在区间上的单调性（只写出结论即可）； ②关于的方程在区间上有两个不同的解，求实数的取值范围. 压轴四：指数（对数）型复合函数中的恒成立问题（共5小题） 1．（22-23高一上·上海徐汇·期末）已知定义在R上的奇函数满足：，且当时，，若对于任意，都有，则实数的取值范围为 . 2．（22-23高一上·上海松江·期末）已知，我们定义函数表示不小于的最小整数，例如：，. (1)若，求实数的取值范围； (2)求函数的值域，并求满足的实数的取值范围； (3)设，，若对于任意的，都有，求实数的取值范围. 3．（21-22高一上·上海浦东新·期末）已知函数满足且为奇函数. (1)求的值； (2)判断在区间上的单调性； (3)当时，若对于任意的，总有成立，求实数的取值范围. 4．（20-21高一上·上海·期末）已知函数 （1）当，时，解关于的方程； （2）若函数是定义在上的奇函数，求函数解析式； （3）在（2）的前提下，函数满足，若对任意且，不等式恒成立，求实数m的最大值． 5．（20-21高一上·上海徐汇·期末）已知函数（），. （1）若函数在区间上有零点，求实数的取值范围； （2）写出的定义域，并求的最小值； （3）若对于任意的定义域中的实数、、、、，恒成立，求实数的取值范围. 压轴五：指数（对数）型复合函数中的能成立问题（共3小题） 1．（21-22高一上·上海普陀·期末）已知函数 (1)求证：用单调性定义证明函数是上的严格减函数； (2)已知“函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于定义域内任何恒成立”.试用此结论判断函数的图像是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标；若不存在，说明理由； (3)若对任意，都存在及实数，使得，求实数的最大值. 2．（20-21高一上·上海徐汇·期末）已知，定义表示不小于的最小整数，例如． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，且，求实数的取值范围； （3）设，，若对于任意的，都有，求实数的取值范围. 3．（22-23高三上·上海长宁·期中）已知，，其中，且函数为奇函数； (1)若函数的图像过点A（1，1），求实数m和n的值； (2)当时，不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围； (3)设函数，若对任意，总存在唯一的使得成立，求实数m的取值范围； 压轴六：指数（对数）型复合函数中的新定义问题（共5小题） 1．（22-23高一上·上海·期末）记号表示不超过实数的最大整数，若，则的值为（    ） A．4898 B．4899 C．4900 D．4901 2．（22-23高一上·上海徐汇·期末）设函数，的定义域分别为、，且.若对任意的，都有，则称为在上的一个“延拓函数”.已知函数（），若为在上一个延拓函数，且是偶函数，则函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 3．（20-21高一上·上海·期末）定义在上的函数、是严格增函数，﹐若对任意，存在，使得成立，则称是在上的“追逐函数”，已知，下列四个函数： ①；②；③；④ 其中是在上的“追逐函数”的是（　　） A．①②④ B．①②③ C．①④ D．①② 4．（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知集合M是具有以下性质的函数的全体：对于任意s，都有，，且．给出下列四个结论： ①函数属于M；           ②函数属于M； ③若，则在区间上是严格增函数； ④若，则对任意给定的正数s，一定存在某个正数t，使得当时，恒有． 其中所有正确结论的序号是 ． 5．（22-23高一上·上海徐汇·期末）已知函数，，若存在常数，对任意，存在唯一的，使得，则称常数是函数在上的“倍几何平均数”.已知函数，，则在上的“倍几何平均数”是 . 压轴七：根据函数单调性与奇偶性解不等式（小题）（共6小题） 1．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，若满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·上海闵行·期末）设函数是R上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知函数，若关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围为 ． 4．（23-24高一上·上海·期末）已知函数是定义域为的奇函数，且.若对任意的、且，都有成立，则不等式的解集是 . 5．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，若，则实数m的取值范围是 . 6．（22-23高一上·上海松江·期末）若，则满足不等式的实数的取值范围是 . 压轴八：根据函数单调性与奇偶性解不等式（大题，含指数，对数型复合函数）（共5小题） 1．（21-22高一上·上海杨浦·期末）设，已知函数. (1)当时，用定义证明是上的严格增函数； (2)若定义在上的奇函数满足当时，，求在区间上的反函数； (3)对于（2）中的，若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 2．（22-23高一上·上海长宁·期末）设． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由; (2)判断函数在其定义域上的单调性，并说明理山; (3)若，求的取值范围． 3．（22-23高一上·上海闵行·期末）已知函数的表达式为，将函数的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到函数的图像， (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)求函数的表达式，并求的值； (3)若不等式恒成立，求ab的最大值；并指出当ab取得最大值时，a、b的值分别是多少？ 4．（21-22高一上·上海浦东新·期末）设a∈R，是定义在R上的奇函数，且. (1)试求的反函数的解析式及的定义域； (2)设，若时，恒成立，求实数k的取值范围. 5．（23-24高三上·上海浦东新·期中）已知函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)当，，解关于的不等式. 压轴九：根据函数单调性与奇偶性解不等式（抽象函数）（共3小题） 1．（23-24高一上·上海·期末）定义在上的函数满足对于任意实数，都有，且当时，，. (1)判断的奇偶性并证明； (2)判断的单调性并证明； (3)解关于的不等式（）. 2．（21-22高一上·上海长宁·期末）设函数. (1)若对任意实数，有成立，且当时，； ①判断函数的增减性，并证明； ②解不等式：； (2)证明：“图象关于直线对称”的充要条件是“任意给定的，”. 3．（20-21高一上·上海徐汇·期末）若函数对任意实数x､y都有，则称其为“保积函数”. （1）请写出两个“保积函数”的函数解析式； （2）若“保积函数”满足，判断其奇偶性并证明； （3）对于（2）中的“保积函数”，若时，，且，试求不等式的解集. 压轴十:新定义题（解答题）（共7小题） 1．（23-24高一上·上海·期末）设函数，.记，，.对于D的非空子集A，若对任意，都有，则称函数在集合A上封闭. (1)若，，，分别判断函数和是否在集合A上封闭； (2)设，，区间（其中），若函数在集合B上封闭，求的最大值； (3)设，，若函数的定义域为，函数和的图象都是连续的曲线，且函数在区间（其中）上封闭，证明：存在，使得. 2．（23-24高一上·上海·期末）函数的定义域为，若存在正实数，对任意的，总有，则称函数具有性质. (1)判断下列函数是否具有性质，并说明理由. ①；②； (2)已知为二次函数，若存在正实数，使得函数具有性质.用反证法证明：是偶函数； (3)已知，为给定的正实数，若函数具有性质，求的取值范围.（用表示） 3．（23-24高一上·上海浦东新·期末）定义：如果存在实常数a和b，使得函数总满足，则称函数是“型函数”． (1)已知奇函数是“型函数”，求函数的解析式； (2)已知函数是“型函数”，求p和b的值； (3)已知函数是“型函数”，求一组满足条件的k、a和b的值，并说明理由． 4．（22-23高一上·上海闵行·期末）已知函数的定义域为，为大于的常数，对任意，都满足，则称函数在上具有“性质”． (1)试判断函数和函数是否具有“性质”（无需证明）； (2)若函数具有“性质”，且，求证：对任意，都有； (3)若函数的定义域为，且具有“性质”，试判断下列命题的真假，并说明理由， ①若在区间上是严格增函数，则此函数在上也是严格增函数； ②若在区间上是严格减函数，则此函数在上也是严格减函数． 5．（22-23高一上·上海松江·期末）若函数f（x）满足：对于任意正数s，t，都有，，且，则称函数f（x）为“L函数”. (1)试判断函数是否是“L函数”，并说明理由； (2)若函数为“L函数”，求实数a的取值范围； (3)若函数f（x）为“L函数”，且，求证：对任意，都有. 6．（21-22高一上·上海杨浦·期末）设是一个定义域为的函数.若是的一个非空子集，且对于任意的，都有，则称是关联的. (1)判断函数和函数是否是关联的，无需说明理由.（表示不超过的最大整数） (2)若函数是关联的，且在上，，解不等式. (3)已知正实数满足，且函数是关联的，求的解析式. 7．（21-22高一上·上海杨浦·期末）已知函数的定义域为D，若存在区间使得函数满足： ①函数在区间上是严格增函数或严格减函数； ②函数，的值域是， 则称区间为函数的“n倍区间”. (1)判断下列函数是否存在“2倍区间”（不需要说明理由）； ①；  ②； (2)证明：函数不存在“n倍区间”； (3)证明：当有理数满足时，对于任意n，函数都存在“n倍区间”，并求函数和所有的“10倍区间”. $$