精品解析：黑龙江省鹤岗市宝泉岭高级中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

宝泉岭高级中学2024-2025学年高一上学期 数学12月月考试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合交集运算求解. 【详解】由题可知，，所以. 故选：C. 2. 下列命题正确的是（ ） A. 第二象限的角都是钝角 B. 小于的角是锐角 C. 是第三象限的角 D. 角的终边在第一象限，那么角的终边在第二象限 【答案】C 【解析】 【分析】举反例可判断AB；利用终边相同的角可判断C；根据象限角的定义可判断D. 【详解】对于A，是第二象限的角，但不是钝角，故A错误； 对于B，小于，但不是锐角，故B错误； 对于C，，因为是第三象限的角， 所以是第三象限的角，故C正确； 对于D，因为角的终边在第一象限，所以， 所以，即， 当时，，角的终边在第一象限，故D错误. 故选：C. 3. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由零点存在性定理得到答案. 【详解】，， ， 为连续函数，且单调递增， 由零点存在性定理得：的零点所在区间为. 故选：C 4. 若幂函数在上单调递减，则实数的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由幂函数的定义以及幂函数的单调性列出方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】由幂函数的定义以及其单调性可得，解得. 故选：D 5. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解分式不等式及绝对值不等式，根据解集的关系及充分、必要条件的定义计算即可. 【详解】由，解得或， 即不等式的解对应集合， 由或，解得或， 即不等式的解对应集合， 显然A是B的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：. 6. 函数与互为反函数，且的图像过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反函数的性质与经过的点，求出表达式，再求 【详解】设，于是，即反函数表达式为：， 由，解得， 于是. 故选：B 7. 函数的单调递增区间是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先考虑对数的真数取值大于；其次将函数拆成外层函数和内层函数，根据求复合函数单调性的法则：同增异减，判断出单调增区间；最后即可求得的单调增区间. 【详解】由可得或 ∵在单调递增，而是增函数， 由复合函数的同增异减的法则可得，函数的单调递增区间是， 故选D. 【点睛】复合函数单调性的判断方法：同增异减.（同：内外层函数单调性相同时，整个函数为增函数；异：内外层函数单调性不同时，整个函数为减函数）. 8. 若定义在上的函数同时满足：①为奇函数；②对任意的，且，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，由题意可以推出函数的奇偶性、单调性，然后对进行分类讨论解不等式即可. 【详解】因为对任意的，且，都有， 即对任意两个不相等的正实数不妨设，都有， 所以有， 所以函数是上的减函数， 又因为为奇函数，即有，有， 所以有， 所以为偶函数， 所以在上单调递增． 当，即时，有,由，得， 所以，解得，此时无解； 当，即时，由，得， 所以，解得或． 综上所述，不等式的解集为． 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是由已知条件去构造函数，并结合已知导出其函数性质，从而分类讨论解不等式即可. 二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列式子中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由对数函数、指数函数和幂函数的单调性依次判断各个选项即可得到结果. 【详解】对于A，在上单调递减，，A错误； 对于B，在上单调递增，，B正确； 对于C，在上单调递减，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：BD. 10. 下列说法错误的是（ ） A. 命题，的否定为， B. 已知扇形的圆心角为2弧度，面积为1，则扇形的弧长等于2 C. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 D. 已知函数的值域为，则的取值范围是 【答案】AD 【解析】 【分析】由含有一个量词命题的否定可判断A错误；由扇形面积公式计算可得B正确；由抽象函数定义域求法计算可得C正确；根据对数函数图象及其值域解不等式可得，即D错误. 【详解】命题，的否定为，，故A说法错误； 由，解得，所以扇形的弧长，故B说法正确； 由，得，所以的定义域为，故C说法正确； 因为的值域为，所以函数的值域满足， 所以，解得，故D说法错误. 故选：AD. 11. 定义域为的奇函数，满足，下列叙述正确的是（ ） A. 存在实数，使关于的方程有3个不同的解 B. 当时，恒有 C. 若当时，的最小值为1，则 D. 若关于的方程和的所有实数根之和为0，则或 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据奇函数，可得在对称区间上的函数解析式，然后结合函数的图象分析各选项的正误，即可确定答案. 【详解】对于A，因为是奇函数，所以， 当，则，所以，所以， 当，则， 所以，所以， 如下图，画出的大致图象，结合图象， 当或时，函数与函数的图象有3个交点. 当，函数与函数的图象有2个交点， 当，或，函数与函数的图象有1个交点， 故A正确； 对于B，如图，当时，函数不是减函数，故B错误； 对于C，由解得，由解得， 如图所示，直线与函数图象相交于， 故当的最小值为1时，，故C正确； 对于D，若时，由解得， 由解得，， 所以， 若使与所有实根之和为0， 则当时，由，得， 则当时，由抛物线对称性可得与的 两个交点横坐标之和为， 所以与的交点的横坐标为， 此时， 综上所述，或，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键点在于利用奇偶性得到的解析式，并画出图象，而方程有解的问题就转化成两个函数的交点问题，通过数形结合逐个判断. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据余弦值与对数计算求解即可. 【详解】. 故答案为：1 13. 函数（且）的图象必经过定点，则________________. 【答案】 【解析】 【分析】利用，求出的值，即可求解. 【详解】令过， . 故答案为:. 【点睛】本题考查指数函数的性质，属于基础题. 14. 对于任意实数a，b定义当实数x，y变化时，令，则的最大值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得到，再结合基本不等式即可求解. 【详解】由题意当时，必有， 故要使得取得最大值，必须当， 此时， 所以， 令， 则 ， 当且仅当即时取等号， 所以， 所以， 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算下列各式的值： （1） （2）设，，用a，b表示； （3）已知，试求的值. 【答案】（1） （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）根据对数的运算法则及换底公式求解即可； （2）根据对数的运算性质结合换底公式运算求解； （3）根据指对互化、对数的运算性质及换底公式运算求解. 【小问1详解】 原式 . 【小问2详解】 . 【小问3详解】 因为，所以，则，， 则，，所以. 16. 已知定义域为R的函数是奇函数，且． （1）求实数a，b的值； （2）试判断的单调性，并用定义证明； （3）解关于x的不等式． 【答案】（1），； （2） 由（1），是R上的减函数，证明如下： 设，则， 由得，即，又， 所以，即， 所以是R上的减函数； （3）． 【解析】 【分析】（1）利用可求得； （2）根据单调性定义判断并证明； （3）由奇偶性变形，由单调性化简，从而解出不等式． 【小问1详解】 由题意，则， 又，解得，因此； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不等式化为， 因为是奇函数，所以， 又是减函数，所以，解得．解集为． 17. 年月日，小米量产版正式面世，同时也代表了我国新能源汽车的蓬勃发展，向世界证明了我国新能源与高分子材料的研发实力，再次为人民的日常生活带来了便利，该新能源跑车的轮毂均采用碳纤维材料，而生产特质的碳纤维轮毂需要专门的设备来进行．已知某企业生产这种设备的最大产能为台．每生产台，年度总利润为（单位；万元），且. （1）当产能不超过台时，求生产多少台时，每台的平均利润最大； （2）当生产该设备为多少台时，该企业所获年度利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）台 （2）（台），最大利润为（万元） 【解析】 【分析】（1）求出每台的平均利润的表达式，再利用基本不等式求出最大值. （2）由给定的分段函数，利用二次函数最值及基本不等式求出最值，再比较大小即得. 【小问1详解】 依题意，当时，， 每台的平均利润为，当且仅当时取等号， 所以当生产台时，每台的平均利润最大. 【小问2详解】 当时，，当且仅当时取等号； 当时，， 当且仅当，即时取等号，而， 所以当生产该设备为（台）时所获利润最大，最大利润为（万元）. 18. 已知定义在上的函数为偶函数.当时，. （1）求； （2）求函数的解析式； （3）若，求函数的值域. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出，由奇偶性得到； （2）根据函数的奇偶性得到时的函数解析式，进而得到答案； （3）分两种情况，根据函数的单调性求出函数在时的值域. 【小问1详解】 ， 因为为上的偶函数，所以； 【小问2详解】 当时，， 故， 又为上的偶函数，故， 所以， 所以； 【小问3详解】 当时，由复合函数单调性可知单调递减，因为， 故， 由函数为偶函数可知，当时，单调递增，， 则， 综上，的值域为 19. 已知是二次函数，且满足，. （1）求函数的解析式； （2）设函数，求在区间上的最小值的表达式； （3）在（2）的条件下，对任意的，存在，使得不等式成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出函数的解析式； （2）由（1）可得出函数的表达式，对参数的取值范围进行分类讨论，再由二次函数性质即可得出最小值的表达式； （3）将不等式恒成立问题转化为恒成立即可，利用单调性求得其最大值，再由题意可知满足，解不等式可得结果. 【小问1详解】 设， 由，可得. 由，得， 所以解得 则. 【小问2详解】 由题意得， 则图象的对称轴为直线. 若，则在上单调递增，当时，的最小值为； 若，则当时，的最小值为； 若，则在上单调递减，当时，的最小值为. 故 【小问3详解】 在（2）的条件下，对任意的，成立， 则. 因为，所以在上单调递减， 因为，，所以. 又存在，使得成立， 所以只要，即. 易知， 所以当时，， 则， 化简得，解得或， 即的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宝泉岭高级中学2024-2025学年高一上学期 数学12月月考试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题正确的是（ ） A. 第二象限的角都是钝角 B. 小于的角是锐角 C. 是第三象限的角 D. 角的终边在第一象限，那么角的终边在第二象限 3. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 4. 若幂函数在上单调递减，则实数的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 5. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 函数与互为反函数，且的图像过点，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数的单调递增区间是 A. B. C. D. 8. 若定义在上的函数同时满足：①为奇函数；②对任意的，且，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列式子中成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法错误的是（ ） A. 命题，的否定为， B. 已知扇形的圆心角为2弧度，面积为1，则扇形的弧长等于2 C. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 D. 已知函数的值域为，则的取值范围是 11. 定义域为的奇函数，满足，下列叙述正确的是（ ） A. 存在实数，使关于的方程有3个不同的解 B. 当时，恒有 C. 若当时，的最小值为1，则 D. 若关于的方程和的所有实数根之和为0，则或 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则______. 13. 函数（且）的图象必经过定点，则________________. 14. 对于任意实数a，b定义当实数x，y变化时，令，则的最大值为____________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算下列各式的值： （1） （2）设，，用a，b表示； （3）已知，试求的值. 16. 已知定义域为R的函数是奇函数，且． （1）求实数a，b的值； （2）试判断的单调性，并用定义证明； （3）解关于x的不等式． 17. 年月日，小米量产版正式面世，同时也代表了我国新能源汽车的蓬勃发展，向世界证明了我国新能源与高分子材料的研发实力，再次为人民的日常生活带来了便利，该新能源跑车的轮毂均采用碳纤维材料，而生产特质的碳纤维轮毂需要专门的设备来进行．已知某企业生产这种设备的最大产能为台．每生产台，年度总利润为（单位；万元），且. （1）当产能不超过台时，求生产多少台时，每台的平均利润最大； （2）当生产该设备为多少台时，该企业所获年度利润最大？最大利润是多少？ 18. 已知定义在上的函数为偶函数.当时，. （1）求； （2）求函数的解析式； （3）若，求函数的值域. 19. 已知是二次函数，且满足，. （1）求函数的解析式； （2）设函数，求在区间上的最小值的表达式； （3）在（2）的条件下，对任意的，存在，使得不等式成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $