精品解析：安徽省宿州市泗县2024—2025学年上学期九年级期中考试数学试卷

泗县2024-2025学年度第一学期九年级期中质量检测 数学试卷 考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卷上． 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题中，假命题是（ ） A. 有一个角是直角的菱形是正方形 B. 三个角是直角的四边形是矩形 C. 四边相等的四边形是菱形 D. 一组对边相等的四边形是平行四边形 3. 将一元二次方程配方成的形式，则a的值为（ ） A. B. C. 4 D. 8 4. 拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓，节约一粒米的账：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3240万斤，这些粮食可供9万人吃一年，“3240万”这个数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在四边形中，E、F、G、H分别是边、、、的中点．请你添加一个条件，使四边形为矩形，应添加的条件是（ ） A. B. C. D. 7. 在项目化学习中，“水是生命之源”项目组为了解本地区人均淡水消耗量，需要从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两人，组成调查小组进行社会调查，恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，．在同一条直线上，，则的长为（　　） A. B. C. D. 9. 如图中，，，点P从点A开始出发向点C以的速度移动，点Q从B点出发向点C以的速度移动，若P、Q分别同时从A，B出发，点P到点C后，P、Q都停止运动，(　　)秒后四边形是面积的． A. 2 B. 4.5 C. 8 D. 7 10. 定义：对于确定顺序的三个数a，b，c，计算，将这三个计算结果的最大值称为a，b，c的“极数”，例如：1，，1，因为，，所以1，，1的“极数”为，则下列说法中，正确的个数为（ ） ①3，1，的“极数”是36； ②若x，y，0的“极数”为0，则x和y中至少有1个数是负数； ③存在2个数m，使得m，，2的极数为； ④调整，，1这三个数的位置，一共能得到5种不同的极数． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题5分，共20分） 11. 在一幅比例尺为的地图上，甲、乙两地的距离为10厘米，那么两地的实际距离为_______千米． 12. 已知，，，求______． 13. 如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点A的黄金分割点，之间的距离为__________． 14. 中，点是斜边的中点． （1）如图1，若与，于，，，则_____； （2）如图2，若点是的中点，且，则__________． 三、解答题（每小题8分，共16分） 15. 解方程： 16. 如图，在方格图中，的顶点与线段的端点都在小正方形的顶点上，且与是关于点为位似中心的位似图形，点，的对应点分别为点，，按下列要求完成画图，并保留画图痕迹． （1）请在方格图中画出位似中心； （2）请在方格图中将补画完整． 四、（每小题8分，共16分） 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论m取何值，该方程都有两个不相等的实数根； （2）设方程的两个根分别为，且，若，求m的值． 18. 如图，菱形中，于E，于F． （1）求证：； （2）若，求的度数． 五、（每小题10分，共20分） 19. 将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察． （1）第n个图有 个小圆；（用含n的代数式表示） （2）是否存在某个图，其小圆的个数恰好为个？如果存在，指出是第几个图；如果不存在，请说明理由． 20. 如图，在锐角三角形中，．以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连结，点是延长线上的一点，连结，若平分． （1）求证：； （2）当，求的值． 六、（本题12分） 21. 《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 七、（本题12分） 22. 我们国家青少年平均运动时间、身体素质水平都处于严重落后状态，而且还在持续下降．为了引起社会、学校和家庭对青少年的重视，某地区抽查了部分九年级学生，进行了一次身体素质测试，将成绩分成5组并绘制成如图两幅统计图，成绩高于90分的评为优秀． 根据上述所给的统计表中的信息，解决下列问题： （1）本次抽测了_____名九年级学生，______； （2）若该地区有2.4万名九年级学生，则体育成绩优秀学生的约有多少人？ （3）在本次抽测的优秀学生中按的比例抽取部分学生，其中恰好有2名女生．若从中随机选取2名学生参加市级运动会，求恰好抽取一男一女的概率． 八、（本题14分） 23. 【问题背景】 在平行四边形中，是边上一点，延长至点使得，连接，延长交于点， 【特例感知】 （1）如图1，若四边形是正方形时， ①求证：；②当时中点时，________度； 【深入研究】 （2）如图2，若四边形是菱形，，当为中点时，求的长； 【拓展提升】 （3）如图3，若四边形是矩形，，，点在的延长线上且满足，当是直角三角形时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泗县2024-2025学年度第一学期九年级期中质量检测 数学试卷 考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卷上． 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义即可解答． 【详解】解：方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故选项B不符合题意； 方程和方程都不是整式方程，都不是一元二次方程，故选项C、D不符合题意； 符合题意一元二次方程的定义，是一元二次方程，故选项A符合题意； 故选：A． 2. 下列命题中，假命题是（ ） A. 有一个角是直角的菱形是正方形 B. 三个角是直角的四边形是矩形 C. 四边相等的四边形是菱形 D. 一组对边相等的四边形是平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的判定，矩形的判定，菱形的判定，平行四边形的判定，熟知正方形，矩形，菱形和平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、有一个角是直角的菱形是正方形，原命题是真命题，不符合题意； B、三个角是直角的四边形是矩形，原命题是真命题，不符合题意； C、四边相等的四边形是菱形，原命题是真命题，不符合题意； D、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，原命题是假命题，符合题意； 故选：D． 3. 将一元二次方程配方成的形式，则a的值为（ ） A. B. C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的步骤是解答本题的关键． 对原方程移项，利用完全平方公式的特点对其配方． 【详解】解： ∴， 故选B． 4. 拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓，节约一粒米的账：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3240万斤，这些粮食可供9万人吃一年，“3240万”这个数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．将“3240万”转换为数字32400000，再根据科学记数法规则表示即可． 【详解】解：∵3240万， ∴， 故选C． 5. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的性质，代数式求值．熟练掌握：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变；是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 6. 如图，在四边形中，E、F、G、H分别是边、、、的中点．请你添加一个条件，使四边形为矩形，应添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用三角形中位线定理证明四边形为平行四边形，然后添加每个选项的条件，根据矩形的判定定理判定即可． 【详解】解：应添加的条件是，理由为： 证明：、、、分别为、、、的中点， ，，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， A、添加的条件是时，四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； B、添加的条件是，则，所以四边形为矩形，故此选项符合题意； C、添加的条件是，四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； D、添加的条件是， 、、、分别为、、、的中点，且，，，，， ， 则四边形为菱形，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了中点四边形，以及平行四边形、矩形、菱形的判定，三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解本题的关键． 7. 在项目化学习中，“水是生命之源”项目组为了解本地区人均淡水消耗量，需要从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两人，组成调查小组进行社会调查，恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画树状图得出所有等可能的结果数和抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：设两名男生分别记为，，两名女生分别记为，， 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的结果有种， ∴抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率为， 故选：D． 【点睛】本题考查列表法或树状图法求概率，解题时要注意是放回试验还是不放回试验；概率等于所求情况数与总情况数之比．用列表法或画树状图法不重复不遗漏的列出所有可能的结果是解题的关键． 8. 如图，，．在同一条直线上，，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形性质，勾股定理，过点作于点，由，，可得是等腰直角三角形，即由勾股定理得，再根据三线合一及直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半可得，即可由勾股定理求得，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 9. 如图中，，，点P从点A开始出发向点C以的速度移动，点Q从B点出发向点C以的速度移动，若P、Q分别同时从A，B出发，点P到点C后，P、Q都停止运动，(　　)秒后四边形是面积的． A. 2 B. 4.5 C. 8 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】由于四边形是一个不规则的图形，不容易直接表示它的面积，观察图形，可知，因此当四边形是面积的时，是面积的，即有，从而列出关于t的方程求解即可． 【详解】解：∵中，，， ∴由勾股定理，得：． 设t秒后四边形是面积的，则，． 根据题意，知， ∴，即， 解得：，(舍去)． 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，关键在于表示出三角形面积进而得出等量关系求解． 10. 定义：对于确定顺序的三个数a，b，c，计算，将这三个计算结果的最大值称为a，b，c的“极数”，例如：1，，1，因为，，所以1，，1的“极数”为，则下列说法中，正确的个数为（ ） ①3，1，的“极数”是36； ②若x，y，0的“极数”为0，则x和y中至少有1个数是负数； ③存在2个数m，使得m，，2的极数为； ④调整，，1这三个数的位置，一共能得到5种不同的极数． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据定义计算，，结合，可判断①正确；根据定义计算， 结合x，y，0的“极数”为0，必须是负数，则或，故x和y中至少有1个数是负数，判定②正确；根据m，，2，计算得，，结合极数为，则或，解得或（舍去），故判定③错误；分，，1，，1，；，，1，，1，；1，，，1，，， 计算判断即可． 本题考查了新定义运算，分类思想，不等式的意义，熟练掌握新定义是解题的关键． 【详解】解：根据定义计算，，结合， 故①正确； 根据定义计算， 结合x，y，0的“极数”为0，必须是负数， 则或， 故x和y中至少有1个数是负数， 故②正确； 根据m，，2，计算得，，结合极数为， 则或， 解得或（舍去）， 故③错误； 当，，1时，，极数为6； 当，1，时；，极数为2； 当，，1时，，极数为4； 当，1，时；，极数为； 当1，，时，，极数为4； 当1，，时， ，极数为6； 有4种不同的结果， 故④错误． 故选B． 二、填空题（每小题5分，共20分） 11. 在一幅比例尺为的地图上，甲、乙两地的距离为10厘米，那么两地的实际距离为_______千米． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，解题的关键是先判断题中的两种相关联的量成何比例，找准对应量，注意单位的转换．根据题意知，比例尺一定，图上距离和实际距离成正比例，由此列式解答即可． 【详解】解：设甲乙两地的实际距离为x厘米， 根据题意得，， 解得， 600000厘米千米． 即甲乙两地的实际距离为6千米． 故答案为：6． 12. 已知，，，求______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，a，b可以看作是一元二次方程的两根，根据根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵，， ∴a，b可以看作是一元二次方程的两根， ∴ 故答案为：2． 13. 如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点A的黄金分割点，之间的距离为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了黄金分割点的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．根据黄金分割的概念和黄金比值计算即可． 【详解】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 中，点是斜边的中点． （1）如图1，若与，于，，，则_____； （2）如图2，若点是的中点，且，则__________． 【答案】 ①. 10 ②. 【解析】 【分析】（1）根据已知垂直条件可推出四边形为矩形，利用矩形的性质和中位线定理可求出和，再根据勾股定理即可求出长度，即可求出答案. （2）根据第（1）问启发作辅助线，；过点作，， 在利用矩形的判定和性质和直角三角形的性质证明为矩形，再根据三角形中位线定理证明，从而证明，同样的方法证明，最后根据勾股定理即可求出答案. 【详解】【答题空1详解】 解：，为直角三角形， . ，. 四边形为矩形. ， 是中点，， 是中点， ，. ， 在中，， . 故答案为：10. 【答题空2详解】 解：如图，过点作，，垂足分别为点、，过点作，，垂足分别为点、， 为直角三角形， ， ， 四边形为矩形. ，， ， ， ， 点为的斜边的中点， ，. 点为的中点，，， 点为的中点，即， ， ， 同理可得. ． ， 故答案为：. 【点睛】本题考查了矩形的性质、直角三角形的性质和三角形中位线定理.解题的关键在于灵活运用三角形中位线定理找出对应的等量关系. 三、解答题（每小题8分，共16分） 15. 解方程： 【答案】x1=-3，x2=9 【解析】 【分析】将方程左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴x+3=0，x-9=0， ∴x1=-3，x2=9． 【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键． 16. 如图，在方格图中，的顶点与线段的端点都在小正方形的顶点上，且与是关于点为位似中心的位似图形，点，的对应点分别为点，，按下列要求完成画图，并保留画图痕迹． （1）请在方格图中画出位似中心； （2）请在方格图中将补画完整． 【答案】（1）如图，点即为所求； （2） 如图，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图—位似变换： （1）对应点连线的交点即为位似中心； （2）利用位似变换的性质画出图形． 【小问1详解】 解：根据位似变换的性质，位似中心是原图形和位似图形对应点连线的交点，连接，，两条线相交于一点即为位似中心． 【小问2详解】 解：根据位似变换的性质，应位于的延长线上，且与点相对于点的比例相同，根据，之间的比例关系，确定的位置，连接三点，即可得到． 四、（每小题8分，共16分） 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论m取何值，该方程都有两个不相等的实数根； （2）设方程的两个根分别为，且，若，求m的值． 【答案】（1） 证明： ∴ ． ∴不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根． （2）或 【解析】 【分析】（1）计算一元二次方程根的判别式，即可得证； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，结合已知条件列出方程，得到，解方程即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵的两个根分别为，且， ∴， ∵ ∴ 即 ∴ 解得：或 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系， (为常数)的根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，，掌握以上知识是解题的关键． 18. 如图，菱形中，于E，于F． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， 在和， ∵，， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质： （1）根据菱形的性质可得，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 五、（每小题10分，共20分） 19. 将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察． （1）第n个图有 个小圆；（用含n的代数式表示） （2）是否存在某个图，其小圆的个数恰好为个？如果存在，指出是第几个图；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）第个图中小圆的个数恰好为个 【解析】 【分析】本题考查了图形规律的探究和一元二次方程的解法．（1）第1个图形中小圆的个数为；第2个图形中小圆的个数为；第3个图形中小圆的个数为；…；则知第个图形中小圆的个数为．（2）假设存在第个图的小圆个数为，列方程为，再解方程即可． 【小问1详解】 解：由题意可知第1个图形有小圆个； 第2个图形有小圆个； 第3个图形有小圆个； 第4个图形有小圆个； 第个图形有小圆个， 故答案为：． 【小问2详解】 解：设第个图中小圆的个数恰好为个，根据题意得 ，（不符题意，舍去） 答：第个图中小圆的个数恰好为个． 20. 如图，在锐角三角形中，．以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连结，点是延长线上的一点，连结，若平分． （1）求证：； （2）当，求的值． 【答案】（1） 解：证明：， ， ， 平分， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟知相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由作图可知，得，由邻补角性质得，由平分，可得，即可得证； （2）由（1）可得，由相似性质得，再因为，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， ， ， ， ， ． 六、（本题12分） 21. 《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 【答案】树高为 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用举例，据题意可得，，即可得出，由相似三角形的性质可得出，即可得出，再根据即可得出答案． 【详解】解：据题意可得，， ， ． ，，， ， ， ． 答：树高为． 七、（本题12分） 22. 我们国家青少年平均运动时间、身体素质水平都处于严重落后状态，而且还在持续下降．为了引起社会、学校和家庭对青少年的重视，某地区抽查了部分九年级学生，进行了一次身体素质测试，将成绩分成5组并绘制成如图两幅统计图，成绩高于90分的评为优秀． 根据上述所给的统计表中的信息，解决下列问题： （1）本次抽测了_____名九年级学生，______； （2）若该地区有2.4万名九年级学生，则体育成绩优秀学生的约有多少人？ （3）在本次抽测的优秀学生中按的比例抽取部分学生，其中恰好有2名女生．若从中随机选取2名学生参加市级运动会，求恰好抽取一男一女的概率． 【答案】（1）， （2）该地区有2.4万名九年级学生，则体育成绩优秀学生的约有人 （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联、由样本估计总体、列表法或画树状图求概率，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先由组的人数除以所占百分比得出本次调查的学生人数，用组人数所占百分比乘以即可得出的值； （2）先求出组人数所占的比例，再乘以即可得解； （3）先求出组的男生人数，再画出树状图，即可求出概率． 【小问1详解】 解：本次抽测了名九年级学生， ； 【小问2详解】 解：组人数所占的比例为：， （人）， 故该地区有2.4万名九年级学生，则体育成绩优秀学生的约有人； 【小问3详解】 解：组人数为（人）， ∵在本次抽测的优秀学生中按的比例抽取部分学生， ∴抽取的优秀学生人数为（人）， ∵其中恰好有2名女生， ∴组的男生人数为：（人）， 画出树状图如下： 由树状图可得，共有种等可能出现的结果，其中恰好抽取一男一女的结果有12种， 故恰好抽取一男一女的概率为． 八、（本题14分） 23. 【问题背景】 在平行四边形中，是边上一点，延长至点使得，连接，延长交于点， 【特例感知】 （1）如图1，若四边形是正方形时， ①求证：；②当时中点时，________度； 【深入研究】 （2）如图2，若四边形是菱形，，当为中点时，求的长； 【拓展提升】 （3）如图3，若四边形是矩形，，，点在的延长线上且满足，当是直角三角形时，请直接写出的长． 【答案】 [特例感知]（1）①证明：∵，延长至点， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴； ②； [深入研究]（2）的长为 [拓展提示]（3）的长为或或 【解析】 【分析】[特例感知]（1）①根据正方形的性质可证，得，结合对顶角相等即可求证；②如图所示，连接，根据正方形的性质可得，根据①中三角形全等，时中点，可得是的垂直平分线，可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解； [深入研究]（2）如图所示，过点作，交于点，且当为中点，可证，得是中位线，再正，根据相似三角形的性质即可求解； [拓展提升]（3）根据题意，分类讨论：第一种情况，如图所示，当，是直角三角形，设，则，运用勾股定理可得的值，再证，根据相似三角形的性质列式求解；第二种情况，如图所示，，是直角三角形，过点作延长线于点，可得是等腰直角三角形，可得，再证，根据，可求出的值，由此可得的值，由此即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， ①略 ②如图所示，连接， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∵，，， ∴，则，即， ∵点是的中点， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴，即是等腰三角形， ∴平分，即， 在中，， 故答案为：； （2）∵四边形是菱形， ∴， 如图所示，过点作，交于点，且当为中点， ∵， ∴， ∴， ∴点是中点，则， ∴是的中位线， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴，即，整理得，， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴的长为； （3）∵四边形是矩形，， ∴， ∴， ∴， ∴， 第一种情况，如图所示，当，是直角三角形， 设，则， 在中，， ∵， ∴，则， ∵， ∴，且， ∴， ∴，即，整理得，， 解得，， 检验，当时，原分式方程的分母有意义， ∴或； 第二种情况，如图所示，，是直角三角形，过点作延长线于点， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的长为或或． 【点睛】本题主要考查正方形，菱形，矩形的性质，勾股定理，中位线的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识的综合运用，掌握特殊四边形的性质，相似三角形的判定和性质，图形结合分类讨论思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $