专题3.1 导数的概念及其意义与运算【八大题型】（讲义）-2025年高考数学二轮复习【举一反三】专练（新高考专用）

专题3.1 导数的概念及其意义与运算【八大题型】 【新高考专用】 1、导数的概念及其意义与运算 导数是高考数学的必考内容，导数的概念及其意义、导数的运算是高考常考的热点内容，从近几年的高考情况来看，一般以选择题、填空题的形式考察导数的几何意义、求曲线的切线方程，试题难度属中低档；导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行考查，复习时要加强这方面的训练. 【知识点1 导数的运算的方法技巧】 1．导数的运算的方法技巧 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导. (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 2．求复合函数导数的步骤 第一步：分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数； 第二步：分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数； 第三步：相乘：把上述求导的结果相乘； 第四步：变量回代：把中间变量代回. 【知识点2 切线问题的解题策略】 1．求曲线“在”某点的切线方程的解题策略： (1)求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率； (2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f'(x0)(x-x0). 2．求曲线“过”某点的切线方程的解题通法： (1)设出切点坐标T(x0,f(x0))(不出现y0)； (2)利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)； (3)将已知条件代入②中的切线方程求解. 3．与切线有关的参数问题的解题策略： (1)处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率； ②切点在切线上，故满足切线方程； ③切点在曲线上，故满足曲线方程. (2)利用导数的几何意义求参数问题时，注意利用数形结合，化归与转化的思想方法. 4．公切线问题的解题思路 求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般 是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法. 【题型1 导数的定义及其应用】 【例1】（24-25高三上·上海·期中）若函数在处的导数等于，则的值为（   ） A．0 B． C． D．2a 【变式1-1】（23-24高二下·辽宁鞍山·期末）已知函数 的图象如图所示， 是 的导函数，则下列数值排序正确的是（   ）    A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高二下·河北保定·期末）若曲线 在 处的切线的斜率为，则 （      ） A． B． C． D．6 【变式1-3】（2024·上海闵行·二模）某环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量与时间t的关系为，用 的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.则下列正确的命题是（   ）    A．在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业弱； B．在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业弱； C．在时刻，甲、乙两企业的污水排放都不达标； D．甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强 【题型2 求（复合）函数的导数】 【例2】（2024·湖北·一模）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设，，，，则等于（    ） A．0 B． C． D． 【变式2-2】（2024·浙江温州·模拟预测）集合,则以下可以是的表达式的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，若，都是奇函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【题型3 求曲线切线的斜率（倾斜角）】 【例3】（2024·福建厦门·一模）已知直线与曲线在原点处相切，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数，则曲线在处的切线斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024·福建泉州·模拟预测）如图是函数的部分图象，记的导数为，则下列选项中值最大的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2024·贵州·模拟预测）设点是函数图象上的任意一点，点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型4 求在曲线上一点的切线方程、过一点的切线方程】 【例4】（2024·广东肇庆·一模）曲线在处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数，则函数在处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2024·江西景德镇·一模）过点且与曲线相切的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2024·新疆·二模）过点且与曲线相切的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【题型5 与切线有关的参数问题】 【例5】（2024·山西·模拟预测）已知函数，若的图象在处的切线方程为，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2024·广西贵港·三模）已知曲线在点处的切线方程为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式5-2】（2024·重庆·三模）已知直线y＝ax－a与曲线相切，则实数a＝（    ） A．0 B． C． D． 【变式5-3】（2024·全国·模拟预测）已知曲线在点处的切线也是曲线的一条切线，则的值为（    ） A． B． C． D． 【题型6 切线的条数问题】 【例6】（24-25高三上·河北承德·开学考试）过点可作曲线的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【变式6-1】（2024·全国·模拟预测）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2024·全国·模拟预测）过原点可以作曲线的两条切线，则这两条切线方程为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式6-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数，则过点可作曲线的切线的条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【题型7 两条切线平行、垂直、公切线问题】 【例7】（2024·福建·模拟预测）已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（　　） A．， B．， C．， D．， 【变式7-1】（2024·陕西渭南·一模）已知直线是曲线与曲线的公切线，则等于（    ） A． B．3 C． D．2 【变式7-2】（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）已知函数. (1)求曲线过点处的切线； (2)若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，求的值. 【变式7-3】（2024·湖南郴州·三模）已知函数. (1)若在区间上恒成立，求实数的取值范围； (2)若函数和有公切线，求实数的取值范围. 【题型8 与切线有关的最值问题】 【例8】（23-24高二下·甘肃酒泉·期末）若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（23-24高三上·安徽合肥·期中）点分别是函数图象上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数，若使得的图象在点处的切线与轴平行，则的最小值是（    ） A．2 B． C．1 D． 【变式8-3】（2024·浙江·模拟预测）已知直线与曲线相切，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 1．（2023·全国·高考真题）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·全国·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·上海·高考真题）现定义如下:当时，若，则称为延展函数.已知当时，且，且均为延展函数，则以下结论（    ） （1）存在与有无穷个交点 （2）存在与有无穷个交点 A．（1）（2）都成立 B．（1）（2）都不成立 C．（1）成立（2）不成立 D．（1）不成立（2）成立. 4．（2022·全国·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ． 5．（2022·全国·高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ． 6．（2024·广东江苏·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.1 导数的概念及其意义与运算【八大题型】 【新高考专用】 1、导数的概念及其意义与运算 导数是高考数学的必考内容，导数的概念及其意义、导数的运算是高考常考的热点内容，从近几年的高考情况来看，一般以选择题、填空题的形式考察导数的几何意义、求曲线的切线方程，试题难度属中低档；导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行考查，复习时要加强这方面的训练. 【知识点1 导数的运算的方法技巧】 1．导数的运算的方法技巧 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导. (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 2．求复合函数导数的步骤 第一步：分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数； 第二步：分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数； 第三步：相乘：把上述求导的结果相乘； 第四步：变量回代：把中间变量代回. 【知识点2 切线问题的解题策略】 1．求曲线“在”某点的切线方程的解题策略： (1)求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率； (2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f'(x0)(x-x0). 2．求曲线“过”某点的切线方程的解题通法： (1)设出切点坐标T(x0,f(x0))(不出现y0)； (2)利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)； (3)将已知条件代入②中的切线方程求解. 3．与切线有关的参数问题的解题策略： (1)处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率； ②切点在切线上，故满足切线方程； ③切点在曲线上，故满足曲线方程. (2)利用导数的几何意义求参数问题时，注意利用数形结合，化归与转化的思想方法. 4．公切线问题的解题思路 求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般 是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法. 【题型1 导数的定义及其应用】 【例1】（24-25高三上·上海·期中）若函数在处的导数等于，则的值为（   ） A．0 B． C． D．2a 【解题思路】根据给定条件，利用导数的定义直接计算可求解. 【解答过程】. 故选：D. 【变式1-1】（23-24高二下·辽宁鞍山·期末）已知函数 的图象如图所示， 是 的导函数，则下列数值排序正确的是（   ）    A． B． C． D． 【解题思路】根据图象判断函数增长速度即可得解. 【解答过程】由图可知，的增长速度越来越慢，所以， 表示在上的平均变化率， 由图可知. 故选：A. 【变式1-2】（23-24高二下·河北保定·期末）若曲线 在 处的切线的斜率为，则 （      ） A． B． C． D．6 【解题思路】根据导数的定义和性质即可求解. 【解答过程】, 故选：D. 【变式1-3】（2024·上海闵行·二模）某环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量与时间t的关系为，用 的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.则下列正确的命题是（   ）    A．在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业弱； B．在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业弱； C．在时刻，甲、乙两企业的污水排放都不达标； D．甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强 【解题思路】根据题目中的数学模型建立关系，比较甲乙企业的污水治理能力. 【解答过程】设甲企业的污水排放量与时间t的关系为，乙企业的污水排放量与时间t的关系为. 对于A选项，在这段时间内，甲企业的污水治理能力， 乙企业的污水治理能力.由图可知，， 所以,即甲企业的污水治理能力比乙企业强，故A选项错误； 对于B选项，由图可知， 在时刻的切线斜率小于在时刻的切线斜率， 但两切线斜率均为负值，故在时刻甲企业的污水治理能力比乙企业强，故B选项错误； 对于C选项，在时刻，甲、乙两企业的污水排放都小于污水达标排放量， 故甲、乙两企业的污水排放都达标，故C选项错误； 对于D选项，由图可知，甲企业在，，这三段时间中， 在时的差值最大，所以在时的污水治理能力最强，故D选项正确， 故选：D. 【题型2 求（复合）函数的导数】 【例2】（2024·湖北·一模）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求导，通过赋值逐项判断即可. 【解答过程】因为，所以， 则，所以， 则，所以. 故选：C. 【变式2-1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设，，，，则等于（    ） A．0 B． C． D． 【解题思路】根据题意分析可知：可知，且，结合周期性分析求解. 【解答过程】由题意可得：， 可知，且， 且，所以. 故选：A. 【变式2-2】（2024·浙江温州·模拟预测）集合,则以下可以是的表达式的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用基本函数的导数，分别对各个选项对应的函数求导，再利用集合的互异性，即可求出结果. 【解答过程】对于选项A，因为，所以，，，，不满足集合的互异性，所以选项A错误， 对于选项B，因为，所以，不满足集合的互异性，所以选项B错误， 对于选项C，因为，所以，，，，所以选项C正确， 对于选项D，因为，所以，，，，后面再求导，导数均为，不满足集合的互异性，所以选项D错误， 故选：C. 【变式2-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，若，都是奇函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用奇函数的性质得到，然后通过求导得到，再结合为奇函数得到的周期，根据为奇函数和得到，最后利用周期性计算即可. 【解答过程】由为奇函数可得， 两边分别求导可得， 即，故，所以， 又为奇函数，所以，可得， 故，从而， 故是的一个周期， 在中，分别令和可得：，， 所以． 由为奇函数可得， 故，所以． 故选：A. 【题型3 求曲线切线的斜率（倾斜角）】 【例3】（2024·福建厦门·一模）已知直线与曲线在原点处相切，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用导数几何意义求直线的斜率，进而确定倾斜角. 【解答过程】由，则，即直线的斜率为， 根据倾斜角与斜率关系及其范围知：的倾斜角为. 故选：C. 【变式3-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数，则曲线在处的切线斜率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求导，令，求出，再结合导数的几何意义即可求解. 【解答过程】依题意，，令， 故，解得，故，故． 故选：D． 【变式3-2】（2024·福建泉州·模拟预测）如图是函数的部分图象，记的导数为，则下列选项中值最大的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由函数的图象，结合导数的几何意义，即可判断. 【解答过程】 由图可知，为负数，为正数，故不选， 设在处的点为，显然的斜率大于， 则，可转化为， 所以的值最大. 故选：A． 【变式3-3】（2024·贵州·模拟预测）设点是函数图象上的任意一点，点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出，令后可求，再根据导数的取值范围可得的范围，从而可得的取值范围. 【解答过程】∵，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴或. 故选：B. 【题型4 求在曲线上一点的切线方程、过一点的切线方程】 【例4】（2024·广东肇庆·一模）曲线在处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用导数的几何意义求出斜率，再代入直线的点斜式方程化简即可 【解答过程】令，则，即，， 所以曲线在处的切线方程为，即， 故选：D. 【变式4-1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数，则函数在处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】对求导，注意是常数，令代入导函数中，可求得，进而可求，可得在处的切线方程. 【解答过程】，令，可得， ， 所以在处的切线方程为. 故选：B. 【变式4-2】（2024·江西景德镇·一模）过点且与曲线相切的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据导数几何意义以及斜率公式，计算可得切点坐标，即可求得切线方程. 【解答过程】，点不在曲线上， 设切点为，则， 解得：，得切点，则 切线方程为：， 故选：A． 【变式4-3】（2024·新疆·二模）过点且与曲线相切的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】先设过点的切线，再根据点在曲线上及切线斜率等于导数值解方程即可求值进而求出切线. 【解答过程】设过点的曲线的切线为： ， 有, 解得或, 代入可得或. 故选：C. 【题型5 与切线有关的参数问题】 【例5】（2024·山西·模拟预测）已知函数，若的图象在处的切线方程为，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用导数的几何意义，列方程组求解即可. 【解答过程】由题意知， 所以，解得， 又 ， 所以 ，解得，所以. 故选：C. 【变式5-1】（2024·广西贵港·三模）已知曲线在点处的切线方程为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【解题思路】求出函数的导函数，依题意可得，即可求出，再将切点代入切线方程，即可求出； 【解答过程】解：，， ∴，∴．将代入得，∴． 故选：C． 【变式5-2】（2024·重庆·三模）已知直线y＝ax－a与曲线相切，则实数a＝（    ） A．0 B． C． D． 【解题思路】根据导数的几何意义可得，求解即可. 【解答过程】由且x不为0，得 设切点为，则，即， 所以，可得. 故选：C. 【变式5-3】（2024·全国·模拟预测）已知曲线在点处的切线也是曲线的一条切线，则的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据导数的几何意义可求得在点处的切线方程，设其与相切于点，由切线斜率可求得，利用两点连线斜率公式构造方程求得. 【解答过程】，，，， 在点处的切线方程为：； 设与相切于点，则，解得：， 又，，解得：. 故选：C. 【题型6 切线的条数问题】 【例6】（24-25高三上·河北承德·开学考试）过点可作曲线的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【解题思路】根据导数的几何意义，结合该点是不是切点分类讨论进行求解即可. 【解答过程】由， 当点是切点时，此时切线的斜率为，此时有一条切线； 当点是不切点时，设切点为，则切线的斜率为， 切线方程为：，该切线过点， 于是有 或（舍去）， 综上所述：过点可作曲线的切线条数为， 故选：B. 【变式6-1】（2024·全国·模拟预测）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，由导数的几何意义表示出切线方程，然后列出不等式代入计算，即可得到结果. 【解答过程】设切点为，由已知得，则切线斜率， 切线方程为． ∵直线过点，∴， 化简得．∵切线有2条， ∴，则的取值范围是， 故选：D. 【变式6-2】（2024·全国·模拟预测）过原点可以作曲线的两条切线，则这两条切线方程为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【解题思路】由解析式得为偶函数，故过原点作的两条切线一定关于y轴对称，再由导数几何意义求上的切线，结合偶函数对称性写出另一条切线. 【解答过程】由，得为偶函数， 故过原点作的两条切线一定关于y轴对称． 当时，，则， 设切点为，故，解得或（舍）， 所以切线斜率为1，从而切线方程为． 由对称性知：另一条切线方程为． 故选：A. 【变式6-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数，则过点可作曲线的切线的条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【解题思路】设切点为，根据导数的几何意义求得在切点处的切线方程，再将代入，求得的值，即可得解. 【解答过程】解：因为，所以， 设切点为， 所以在切点处的切线方程为， 又在切线上，所以， 即， 整理得，解得或， 所以过点可作曲线的切线的条数为2. 故选：C． 【题型7 两条切线平行、垂直、公切线问题】 【例7】（2024·福建·模拟预测）已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（　　） A．， B．， C．， D．， 【解题思路】设出切点，写出切线方程，利用对应系数相等建立方程，解出即可. 【解答过程】设直线与曲线的切点为且， 与曲线的切点为且， 又，， 则直线与曲线的切线方程为，即， 直线与曲线的切线方程为，即， 则，解得，故， 故选：A. 【变式7-1】（2024·陕西渭南·一模）已知直线是曲线与曲线的公切线，则等于（    ） A． B．3 C． D．2 【解题思路】由求得切线方程，结合该切线也是的切线列方程，求得切点坐标以及斜率，进而求得直线，从而求得正确答案. 【解答过程】设是图象上的一点，， 所以在点处的切线方程为，①， 令，解得， ，所以， ，所以或（此时①为，，不符合题意，舍去）， 所以，此时①可化为， 所以. 故选：D. 【变式7-2】（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）已知函数. (1)求曲线过点处的切线； (2)若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，求的值. 【解题思路】（1）利用导数几何意义求过一点的切线方程； （2）利用导数几何意义，由切线平行列方程求参数值. 【解答过程】（1）由导数公式得， 设切点坐标为，设切线方程为： 由题意可得： ，       所以或，      从而切线方程为或. （2）由(1)可得：曲线在点处的切线方程为, 由，可得曲线在处的切线斜率为， 由题意可得，  从而，    此时切点坐标为，曲线在处的切线方程为， 即，故符合题意，所以. 【变式7-3】（2024·湖南郴州·三模）已知函数. (1)若在区间上恒成立，求实数的取值范围； (2)若函数和有公切线，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）设，用导数法解即可； （2）设函数在点处与函数在点处有相同的切线， 由，化简得到，然后将问题转化为关于的方程有解求解. 【解答过程】（1）由题意，当时，设， 则， ， 令，得（舍负） 在上单调递减，在上单调递增， . 根据题意的取值范围为. （2）设函数在点处与函数在点处有相同的切线， 则， ，代入 得. 问题转化为：关于的方程有解， 设，则函数有零点， ，当时， . 问题转化为：的最小值小于或等于0. ， 设，则 当时，，当时，. 在上单调递减，在上单调递增， 的最小值为. 由知， 故. 设， 则， 故在上单调递增， 当时，， 的最小值等价于. 又函数在上单调递增， . 【题型8 与切线有关的最值问题】 【例8】（23-24高二下·甘肃酒泉·期末）若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】首先求平行于直线与曲线相切的切点坐标，再代入点到直线的距离公式，即可求解. 【解答过程】由函数，可得，，令，解得、或（舍去）， 单调递增 单调递减 设，，所以图象向上凹， 如图画出函数的图象，以及直线得到图象，以及平移直线与函数相切的直线， 则， 即平行于直线的直线与曲线相切的切点坐标为， ，所以切点在直线的左侧， 曲线上任意一点到直线距离的最小值为点到直线的距离， 由点到直线的距离公式，可得点P到直线l的距离为． 故选：A. 【变式8-1】（23-24高三上·安徽合肥·期中）点分别是函数图象上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】当函数在点处的切线与平行时，最小，根据导数的几何意义求出切点即可. 【解答过程】当函数在点处的切线与平行时，最小. ，令得或（舍），所以切点为， 所以的最小值为切点到直线的距离， 所以的最小值为 . 故选：D. 【变式8-2】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数，若使得的图象在点处的切线与轴平行，则的最小值是（    ） A．2 B． C．1 D． 【解题思路】先利用三角恒等变换公式化简函数，根据题意得函数在上存在对称轴，利用整体代换列不等式，解不等式即可求出最值. 【解答过程】 ， 因为使得的图象在点处的切线与轴平行， 所以函数在上存在最值，即函数在上存在对称轴， 令，得， 因为，所以， 即，则， 又，故时，取最小值为. 故选：D. 【变式8-3】（2024·浙江·模拟预测）已知直线与曲线相切，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【解题思路】设切点为，曲线求导得到切线斜率，利用斜率相等求得切点坐标，代入直线方程后得，构造新的函数，应用导数求函数的最值即可. 【解答过程】由，知定义域为， 设切点为，，， 所以，故切点为，代入直线方程， 则， ， 令，， 令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则， 故的最小值为1. 故选：B. 1．（2023·全国·高考真题）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解. 【解答过程】设曲线在点处的切线方程为， 因为， 所以， 所以 所以 所以曲线在点处的切线方程为. 故选：C. 2．（2024·全国·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】借助导数的几何意义计算可得其在点处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得其面积. 【解答过程】， 则， 即该切线方程为，即， 令，则，令，则， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积. 故选：A. 3．（2024·上海·高考真题）现定义如下:当时，若，则称为延展函数.已知当时，且，且均为延展函数，则以下结论（    ） （1）存在与有无穷个交点 （2）存在与有无穷个交点 A．（1）（2）都成立 B．（1）（2）都不成立 C．（1）成立（2）不成立 D．（1）不成立（2）成立. 【解题思路】由延展函数的定义分段求出解析式，作出函数图象，数形结合可得. 【解答过程】当时，，则， 又，则由延展函数定义可得； 同理可得，当，；； 任意，当时，. 当时，，则，则； 同理可得，当时，；； 当时，； 当，；当，；； 则任意时，当. 如图，作出与大致图像， 因为，如图可知，不存在直线与图象有无穷个交点，故（1）不成立； 又因为当，， 故当时， 直线与的图象在区间的函数部分重合， 即有无穷个交点，故（2）成立； 故选：D. 4．（2022·全国·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ． 【解题思路】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围. 【解答过程】∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, 切线方程为：, ∵切线过原点，∴, 整理得：, ∵切线有两条，∴,解得或, ∴的取值范围是, 故答案为：. 5．（2022·全国·高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ． 【解题思路】分和两种情况，当时设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得； 【解答过程】[方法一]：化为分段函数，分段求 分和两种情况，当时设切点为，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得； 解： 因为， 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：； [方法二]：根据函数的对称性，数形结合 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 因为是偶函数，图象为： 所以当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可. [方法三]： 因为， 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 故答案为：；. 6．（2024·广东江苏·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 【解题思路】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解. 【解答过程】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$