第五节 磁场轨迹圆与圆形磁场结合-2024-2025学年高二上学期物理专项训练

第五节 磁场轨迹圆与圆形磁场结合 需要掌握的内容 1.找圆心、求半径、求时间的方法以及公式与第四节中的方法完全相同 2.粒子正对圆心发射的结论。 =图中R为磁场区域半径，r为粒子轨迹半径。当r=R时，轨迹对应圆心角为90°。 3.粒子不正对圆心发射的结论。 （1）R=r时，磁发散磁聚焦 一个点向任意方向发射粒子，出射方向平行，平行粒子进入磁场会相较于圆上一点。简称点进面出，面进点出。 （2）R>r时，圆上一点向各个方向发射粒子，所打区域最远为轨迹圆直径 （3）R>r时，圆上一点向各个方向发射粒子,时间最长的轨迹对应的圆心角以及弦长越长，最长的为磁场区域直径，有几何关系= 经典习题 多选题1．利用磁聚焦和磁控束可以改变一束平行带电粒子的宽度，人们把此原理运用到薄膜材料制备上，使芯片技术得到飞速发展。如图，宽度为的带正电粒子流水平向右射入半径为的圆形匀强磁场区域，磁感应强度大小为，这些带电粒子都将从磁场圆上O点进入正方形区域，正方形过O点的一边与半径为的磁场圆相切。在正方形区域内存在一个面积最小的匀强磁场区域，使汇聚到O点的粒子经过该磁场区域后宽度变为，且粒子仍沿水平向右射出，不考虑粒子间的相互作用力及粒子的重力，下列说法正确的是（　　） A．正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里 B．正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里 C．正方形区域中匀强磁场的最小面积为 D．正方形区域中匀强磁场的最小面积为 单选题2．如图所示，圆形区域内有一垂直纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点。现有无数个相同的带电粒子，在纸面内沿各个不同方向以相同的速率通过P点进入磁场。这些粒子射出边界的位置均处于磁场边界的某一段弧上，这段圆弧的弧长是圆周长的。若将磁感应强度的大小从原来的B1变为B2，相应的弧长将变为原来的一半，则这些带电粒子在前后两种磁场中运动的周期之比等于（　　） A．2 B． C．3 D． 单选题3．如图所示，半圆形区域内，有垂直纸面向里的匀强磁场，一带电粒子第一次以的速度对准圆心O垂直直径射入匀强磁场，粒子从该磁场中射出且向下偏转，偏转角度为，第二次该带电粒子以的速度仍对准圆心O垂直直径射入匀强磁场，忽略粒子受到的重力，下面说法中正确的是（　　）（已知） A．粒子带正电 B．粒子第二次的偏转角度为 C．粒子第一次与第二次在磁场中的运动时间之比是 D．如果第二次粒子的入射速度过小，可能不能射出磁场 单选题4．如图所示，abcd为边长为L的正方形，在四分之一圆abd区域内有垂直正方形平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子从b点沿ba方向射入磁场，结果粒子恰好能通过c点，不计粒子的重力，则粒子的速度大小为（　　） A． B． C． D． 多选题5．半径为R的一圆柱形匀强磁场区域的横截面如图所示，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，磁场外有一粒子源，能沿一直线发射速度大小在一定范围内的同种带电粒子。带电粒子质量为m，电荷量为。现粒子沿正对中点且垂直于方向射入磁场区域，发现带电粒子仅能从之间的圆周飞出磁场，不计粒子重力，则（　　） A．从圆弧bd间的中点飞出的带电粒子运动时间最长 B．从d点飞出的带电粒子的运动时间最长 C．粒子源发射粒子的最大速度为 D．在磁场中运动的时间为的粒子，粒子的速度为 单选题6．如图所示，圆心角为90°的扇形区域MON内存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，P点为半径OM的中点。现有比荷相等的两个带电粒子a、b，以不同的速率先后从P点沿ON方向射入磁场，粒子a从M点射出磁场，粒子b从N点射出磁场，不计两粒子重力及粒子间相互作用，下列说法正确的是（　　）    A．粒子a带正电，粒子b带负电 B．粒子a在磁场中运动时间较短 C．粒子a、b的速度大小之比为 D．粒子a、b的向心加速度大小之比为 单选题7．如图所示的圆形区域内，有垂直于纸面方向的匀强磁场，一束质量和电荷量都相同的带电粒子，从图中P点沿着相同的方向，以不同的速率，对准圆心O射入匀强磁场，又都从该磁场中射出。若粒子只受磁场力的作用，则在磁场中运动时间越短的粒子在磁场中（　　） A．通过的路程一定越小 B．运动的角速度一定越小 C．运动的轨道半径一定越大 D．运动的周期一定越小 单选题8．如图所示，一半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一质量为m、电荷量为q的负电荷（重力忽略不计）以速度v沿正对着圆心O的方向射入磁场，从磁场中射出时速度方向改变了角。磁场的磁感应强度大小为（　　） A． B． C． D． 多选题9．如图所示的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，同一粒子先后以不同速率从同一点正对圆心O射入磁场，分别从a、b两点射出，下列说法正确的是（　　） A．a点射出的粒子运动半径较小 B．a点射出的粒子速率较大 C．b点射出的粒子运动时间较长 D．b点射出的粒子速度方向反向延长线过O点 多选题10．两个质量、电荷量均相等的带电粒子、，以不同的速率对准圆心沿方向射入圆形匀强磁场区域，其运动轨迹如图所示。粒子重力及相互作用不计，则下列说法正确的是（　　） A．粒子带正电 B．粒子在该磁场中所受洛伦兹力较的小 C．粒子在该磁场中运动的动量较的大 D．粒子在该磁场中的运动时间较的长 11．如图所示，以O为圆心、半径为R的圆形区域内存在垂直圆面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，一粒子源位于圆周上的M点，可向磁场区域内垂直磁场沿各个方向发射质量为m、电荷量为的粒子，不计粒子重力，N为圆周上另一点，半径OM和ON间的夹角，且满足． 若某一粒子以速率v，沿MO方向射入磁场，恰能从N点离开磁场，求此粒子的速率移v； 若大量此类粒子以速率，从M点射入磁场，方向任意，则这些粒子在磁场中运动的最长时间为多少？ 若由M点射入磁场各个方向的所有粒子速率均为题中计算出的，求磁场中有粒子通过的区域面积． 12．离子速度分析器截面图如图所示。半径为R的空心转筒P，可绕过O点、垂直xOy平面（纸面）的中心轴逆时针匀速转动（角速度大小可调），其上有一小孔S。整个转筒内部存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。转筒下方有一与其共轴的半圆柱面探测板Q，板Q与y轴交于A点。离子源M能沿着x轴射出质量为m、电荷量为 – q（q > 0）、速度大小不同的离子，其中速度大小为v0的离子进入转筒，经磁场偏转后恰好沿y轴负方向离开磁场。落在接地的筒壁或探测板上的离子被吸收且失去所带电荷，不计离子的重力和离子间的相互作用。 （1）①求磁感应强度B的大小； ②若速度大小为v0的离子能打在板Q的A处，求转筒P角速度ω的大小； （2）较长时间后，转筒P每转一周有N个离子打在板Q的C处，OC与x轴负方向的夹角为θ，求转筒转动一周的时间内，C处受到平均冲力F的大小； （3）若转筒P的角速度小于，且A处探测到离子，求板Q上能探测到离子的其他θ′的值（θ′为探测点位置和O点连线与x轴负方向的夹角）。 答案 第五节 1．BC 【详解】AB． 根据磁聚焦原理，粒子在半径为的圆形磁场区域中运动，粒子运动的轨迹半径为，有 解得 要使汇聚到O点的粒子经正方形区域内的磁场偏转后宽度变为，且粒子仍沿水平向右射出，作出轨迹如图所示，由几何关系可知粒子的轨迹半径，正方形中磁场区域内应该为圆形磁场的一部分，有 解得 比较可得 由左手定则可知，方向垂直纸面向里，A错误，B正确； CD． 如图，磁场区域的最小面积为 C正确，D错误。 故选BC。 2．D 【详解】设磁场圆的半径为r，磁感应强度为B1时，从P点射入的粒子与磁场边界的最远交点为M，最远的点是轨迹上直径与磁场边界圆的交点 如图所示 设粒子做圆周运动的半径为R，则 解得 磁感应强度为B2时，从P点射入的粒子与磁场边界的最远交点为N，最远的点是轨迹上直径与磁场边界圆的交点 设粒子做圆周运动的半径为R′，则 解得 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由圆周运动公式得 则 选项D正确，ABC错误。 故选D。 3．B 【详解】A．根据左手定则可知粒子带负电，故A错误。 B．如图1所示，第一次偏转角度为60°，由几何关系求得粒子的轨迹半径等于半圆的半径。第二次的情况，如图2所示 速度变为原来的，则根据 可知，其轨迹半径也变为原来的。根据几何知识可得 求得 α=37° 故 β=2α=74° 故B正确； C．根据 可知两次粒子运动的周期相等，则时间之比等于粒子轨迹对应的圆心角之比，故C错误； D．如果粒子的速度过小，其轨迹半径也小，但是可以从磁场的左侧射出磁场，故D错误。 故选B。 4．C 【详解】粒子沿半径方向射入磁场，则出射速度的反向延长线一定过圆心，由于粒子能经过c点，因此粒子出磁场时一定沿ac方向，轨迹如图所示，设粒子做圆周运动的半径为r，由几何关系可知 r＋r＝L 则 r＝（－1）L 根据牛顿第二定律得 qv0B＝m 联立解得 v0＝ 故选C。 5．BD 【详解】由洛伦兹力提供向心力有 解得 运动的周期为 设轨迹所对圆心角为，则粒子的运动时间为 AB．根据题意，画出粒子的运动轨迹，如图所示    运动轨迹所对圆心角越大，运动时间越长，由图可知，从点出磁场的粒子轨迹对应圆心角最大，则从点飞出的带电粒子的运动时间最长，故A错误，B正确； C．因为从点出磁场的粒子轨迹半径最大，即从点出磁场的粒子速度最大，如图 当粒子从点飞出时，设其轨道半径为，对应的圆心为，由几何关系可知 ， 由正弦定理有 由数学知识解得 又有 解得 故C错误； D．在磁场中运动的时间为的粒子，则粒子轨迹对应圆心角为，若要使粒子在磁场中运动的时间为四分之一周期，设其半径为，轨迹圆心为，如图所示 设，由几何关系有 可得 解得 即 则有 粒子的速度为 故D正确。 故选BD。 6．D 【详解】A．根据左手定则，粒子a带负电，粒子b带正电，故A错误； B．粒子a在磁场中运动时，轨迹的圆心角比b大，运动时间较长，故B错误； C．粒子的运动轨迹如图所示    设扇形的半径为l，根据几何关系，a粒子的轨迹半径为 对b粒子，有 解得 粒子在磁场中做匀速圆周运动洛伦兹力提供向心力，即 由于粒子a、b的比荷相等，所以速度之比为 故C错误； D．粒子运动的向心加速度为 所以向心加速度之比为 故D正确。 故选D。 7．C 【详解】BD．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力 周期 ， 联立解得周期公式 ， 粒子的比荷相同，它们进入匀强磁场后做匀速圆周运动的周期和角速度均相同，故BD错误； C．做出粒子运动的轨迹，如图所示 设这些粒子在磁场中的运动圆弧所对应的圆心角为θ，则运动时间 在磁场中运动时间越短的带电粒子，圆心角越小，运动半径越大，故C正确； A．通过的路程即圆弧的长度 L=Rθ 与半径R和圆心角θ有关，圆心角越小，运动半径越大，路程不一定越小，故A错误。 故选C。 8．B 【详解】轨迹图，如图所示 有几何关系可知 根据 可知 故选B。 9．AD 【详解】AB．粒子在磁场中运动轨迹如图所示 b点射出的粒子运动半径较大，根据 粒子的比荷不确定，不能确定速度关系，A正确，B错误； C．如上图速度越大半径越大，但圆心越小，粒子的比荷不确定，不能比较在磁场中的运动时间，C错误； D．如图带电粒子在圆形边界磁场中做匀速圆周运动，沿径向射入沿径向射出，所以b点射出的粒子速度方向反向延长线过O点，D正确。 故选AD。 10．AC 【详解】A. 粒子向右运动，根据左手定则，b向上偏转，应带正电，故A正确； B．由洛仑兹力提供向心力，有 得 由几何关系知，轨道半径b粒子比a粒子的要大，所以b粒子的速度比a粒子的要大，由 所以b粒子在该磁场中所受洛伦兹力比a粒子的要大，故B错误； C．由 两粒子的质量相同，所以b粒子在该磁场中运动的动量较a粒子的要大，故C正确； D．设粒子在磁场中的偏转角为，则粒子磁场中运动的时间 两粒子周围相同，由此可知偏转角大的运动时间更长，由几何关系知a粒子的偏转角更大，所以运动时间更长，故D错误。 故选AC。 11．（1）    （2）    （3） 【分析】(1)某一粒子以速率，沿MO方向射入磁场，恰能从N点离开磁场，由几何关系求得其做匀速圆周运动的半径，由洛伦兹力提供向心力求出入射速度． (2)某一粒子以速率从M点射入磁场，粒子在磁场中的半径为，粒子在磁场中运动时间最长时，弧长（劣弧）最长，对应的弦长最长（磁场圆的直径）． (3)若由M点射入磁场各个方向的所有粒子速率均为，这些粒子在磁场中有相同的半径，则圆心轨迹是以M为圆心、半径为的圆．试着画出极端情况下粒子能达到的区域，从而把粒子能到达的整个区域面积求出来． 【详解】(1) 粒子以速率沿MO方向射入磁场，恰能从N点离开磁场，轨迹如图： 设轨迹半径为，则，解得： 由牛顿第二定律可得，解得： (2) 大量此类粒子以速率从M点射入磁场 由牛顿第二定律可得，解得： 粒子方向任意，粒子在磁场中运动时间最长时，弧长（劣弧）最长，对应的弦长最长（磁场圆的直径），轨迹如图： 则，解得： 粒子在磁场中运动的最长时间 (3)粒子沿各个方向以进入磁场做匀速圆周时的轨迹半径都为，且不变．由图可知，粒子在磁场中通过的面积S等于以O3为圆心的半圆形MO3O的面积S1、以M为圆心的扇形MOQ的面积S2和以O点为圆心的圆弧 MQ与直线MQ围成的面积S3之和． 、、 所以 【点睛】本题的难点在第三问，要找到粒子能到达的区域，首先要考虑的是粒子的偏转方向--顺时针；其次要考虑的极端情况①从M点竖直向上射出，则可以做完整的圆周运动．②然后把这个完整的圆绕M点转动1800，则该圆与磁场区域公共部分，就是粒子能达到的区域． 12．（1）①，②，k = 0，1，2，3…；（2），n = 0，1，2，…；（3），， 【详解】（1）①离子在磁场中做圆周运动有 则 ②离子在磁场中的运动时间 转筒的转动角度 ，k = 0，1，2，3… （2）设速度大小为v的离子在磁场中圆周运动半径为，有 离子在磁场中的运动时间 转筒的转动角度 ω′t′ = 2nπ + θ 转筒的转动角速度 ，n = 0，1，2，… 动量定理 ，n = 0，1，2，… （3）转筒的转动角速度 其中 k = 1，，n = 0，2或者 可得 ，， 学科网（北京）股份有限公司 $$