专题04 几何图形初步（17题型100题）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学上学期期末真题分类汇编（河北专用）

专题03 几何图形初步 题型01 从不同方向看几何体 1．（23-24七年级上·河北保定·期末）如图是由4个完全相同的小立方块搭成的立体图形．若从左面看该立体图形，得到的平面图形是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·河北保定·期末）如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体搭成的，从左面看到的平面图形是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级上·江西九江·期中）将图1中的正方体①移动到图2所示的位置，则下列说法正确的是（    ）      A．只有从左面看到的形状图没有发生变化 B．从正面看到的和从上面看到的形状图没有发生变化 C．从左面看到的和从上面看到的形状图没有发生变化 D．只有从正面看到的形状图没有发生变化 4．（23-24七年级上·河北廊坊·期末）如图，这是由6个棱长为的小正方体拼成的一个几何体．    （1）则该几何体从正面看到的图形的面积为 ． （2）将小正方体①移走后，所得几何体从 看不变．（填“正面”“左面”或“上面”） 5．（23-24七年级上·河北保定·期末）图1是由小正方体搭成的几何体． (1)请你利用图2中的网格画出从正面、从左面和从上面看到的图1几何体的形状图； (2)现要在图1几何体上再增加大小相同的小正方体，但要保持从正面和从左面看到的图形不变，则最多增加______个小正方体． 题型02 正方体的展开图 6．（23-24九年级下·河北保定·期中）分割并裁剪硬纸板得到如图所示的几个边长都相同的小正方形，若再剪去一个小正方形，便可折成一个正方体，剪掉的小正方形不可能是（  ） A．① B．② C．③ D．④ 7．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）嘉淇准备从图中的纸片上选出六个小正方形进行涂色，再将涂色部分剪下折成正方体，他已经给部分小正方形涂好了颜色（阴影部分），还少一个小正方形没有涂色，则可选择的小正方形有（    ） A．①②⑤ B．②⑤ C．③④ D．①②④⑤ 8．（22-23七年级上·山东济南·阶段练习）如图，白纸上放有一个表面涂满染料的小正方体．在不脱离白纸的情况下，转动正方体使其各面染料都能印在白纸上，且各面仅能接触白纸一次．则在纸上可以形成的图形有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9．（22-23七年级上·江西九江·期中）图1，图2，图3均为3×4的正方形网格，请你在网格中选择2个空白的正方形涂上阴影，使得其与图中的4个阴影正方形一起构成正方体表面展开图，要求3种方法得到的展开图不完全重合．      ． 10．（23-24七年级上·河北张家口·期中）小明同学设计了一个产品的正方体包装盒，如图所示，由于粗心少设计了其中一个顶盖，请你把它补上，使其成为一个两面均有盖的正方体盒子．    (1)共有___________种弥补方法； (2)任意画出一种成功的设计图（在图中补充）并将这些数字分别填入六个小正方形，使得折成的正方体相对面上的两个数相加得0（直接在图中填上即可）． 题型03 截一个几何体 11．（23-24七年级上·河北保定·期中）用一个平面去截：①圆锥；②圆柱；③球；④五棱柱，能得到截面是圆的图形是（   ） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①③④ 12．（23-24七年级上·河北保定·期中）图中长方体的截面是（　　） A． B． C． D． 13．（18-19七年级上·广东揭阳·阶段练习）用一个平面去截一个几何体，如果截面的形状是长方形，那么这个几何体不可能是（    ） A．圆柱 B．球体 C．五棱柱 D．正方体 题型04 线段的计算 14．（23-24七年级上·河北唐山·期末）如图，已知线段、，画出线段，则的长度表述正确的是(   ) A． B． C． D． 15．（12-13七年级上·河南漯河·期末）已知线段及一点，若，则（   ） A．为线段的中点 B．在线段上 C．在线段外 D．在线段的延长线上 16．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）点C是线段上任意一点，点分别是的中点，下列说法正确的是（   ）    A． B．当点C为的中点时， C．如果，那么 D．如果，那么 17．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）如图，已知 A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为 ，的中点，设运动时间为t（）秒，则下列结论中正确的有（    ） ①点B对应的数是4；②点P到达点B时，；③时，；④在点P的运动过程中，线段的长度不变 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 18．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）如图，线段，点D是线段上一点，且，点C是线段的中点． (1)求线段的长； (2)若E是线段上一点，且满足，求的长． 19．（23-24七年级上·河北保定·期末）如果一点在由两条具有公共端点的线段组成的一条折线上，且把这条折线分成长度相等的两部分，则把这一点叫做这条折线的“折中点”．如图，点P是折线的“折中点”． （1）若，，点P在线段 上（填“”或“”）； （2）若，，则的长度为 ． 20．（23-24七年级上·河北邯郸·期末）现有，两根木条，M，N分别是，的中点，将两根木条叠放在一起.    （1）若按如图1所示叠放，，，则 ； （2）若按如图2所示叠放，，则 .（用含a的式子表示） 21．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）如图，已知A，为数轴上的两个点，点A表示的数是，点表示的数是10． (1)线段的中点对应的数为__________； (2)若点在数轴上，且，求的长； (3)若一只蚂蚁从点A出发，在数轴上每秒向右前进3个单位长度；同时一只毛毛虫从点出发，在数轴上每秒向右前进1个单位长度，它们在点处相遇，求点对应的数． 题型05 直线、射线和线段的概念辨析 22．（21-22七年级上·全国·课后作业）下列语句准确规范的是（    ） A．直线a，b相交于点m B．反向延长线至点C C．延长射线 D．延长线段至点C，使得 23．（17-18七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）下列各图中，表示“射线”的是（    ） A． B． C． D． 24．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）如图，线段与线段有交点，则点D可能与下列哪个点重合（    ）． A．点E B．点F C．点G D．点H 25．（23-24七年级上·河北邢台·期末）对图甲、乙、丙，分别写出相应的描述语句： 甲：直线a、b相交于点A 乙：直线与线段没有公共点 丙：延长线段 其中语句不正确的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．甲、乙、丙 26．（14-15七年级上·福建龙岩·阶段练习）期中考试布置教室时，老师总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，很容易就整整齐齐了．这其中蕴含的数学道理是 ． 27．（23-24七年级上·河北保定·期末）作图题：如图，平面内有四个点A，B，C，D． 根据下列语句画图： (1)画直线； (2)画射线交直线于点E； (3)连接并反向延长到，使得；（截取用圆规，并保留痕迹）． 题型06 角的概念辨析 28．（22-23七年级上·河北邯郸·期末）如图，下列对图中各个角的表达方法不正确的是（    ） A． B． C． D． 29．（21-22七年级上·河北张家口·期末）赵师傅透过放大倍的放大镜从正上方看的角，则通过放大镜他看到的角等于（    ）度． A． B． C． D． 30．（16-17七年级上·陕西宝鸡·期末）能用三种方式表示同一个角的图形是（   ） A． B． C． D． 31．（19-20七年级上·山西吕梁·期末）如图所示，下列表示角的方法错误的是（    ） A．与表示同一个角 B．表示的是 C．也可用表示 D．图中共有三个角，， 32．（22-23七年级上·河北石家庄·期末）如图，图①中有1个角，图②中有3个不同角，图③中有6个不同角，…，按此规律下去图⑥中有不同角的个数为 ．    33．（22-23七年级上·河北石家庄·期末）已知（如图），用量角器求作一个角，使它等于已知角α． 题型07方位角 34．（18-19七年级上·贵州·期末）如图，在A、B两处观测到的C处的方向角分别是（    ） A．北偏东，北偏西 B．北偏东，北偏西 C．北偏东，北偏西 D．北偏东，北偏西 35．（14-15七年级上·福建福州·期末）在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西的方向，同时轮船B在南偏东的方向，那么的大小为（    ） A． B． C． D． 36．（2024·河北石家庄·一模）一艘轮船在P处向M处的海上巡逻艇呼叫救援，根据图所示，巡逻艇从M处去P处实施救援，若要航线最短，其航行的路线为（   ） A．沿北偏东方向航行 B．沿南偏西方向航行 C．沿北偏东方向，航行30海里 D．沿南偏西方向，航行30海里 37．（22-23八年级下·河北保定·期末）一次军演中总部和士兵的位置如图所示，已知士兵步行的速度为，则归队时士兵应行进的方向和到达总部所用的时间为（    ） A．北偏西方向， B．北偏西方向， C．南偏东方向， D．南偏东方向， 38．（19-20七年级上·北京东城·期末）如图，某海域有三个小岛，，，在小岛处观测到小岛在它北偏东的方向上，观测到小岛在它南偏东的方向上，则的度数是 ． 题型08 钟面角 39．（23-24七年级上·河北廊坊·期末）从如图所显示的时刻开始，经过40分钟后时钟的时针与分针所成夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 40．（2024·河北·一模）如图1，小萍从地图上测得学校在她家的北偏东方向，她看到家里的钟表如图2，想到如果把家的位置看成钟表表盘的中心，则她可以说学校在家的（    ） A．1点钟方向 B．2点钟方向 C．7点钟方向 D．8点钟方向 41．（23-24九年级上·湖南湘西·期中）李明家有一个时钟，假期间，某天上午他8点整出门锻炼，回家时发现时针刚好旋转了，那么李明回家的时间是（    ） A．9点整 B．9点半 C．10点整 D．10点半 42．（22-23七年级上·河北承德·期末）我们上一节课（分钟），钟表的时针转过的角度是：（    ） A． B． C． D． 43．（22-23七年级上·河北保定·期末）10：00时，时针和分针所成的角的度数为 °；如图，当时钟指向上午10：15时，时针和分针所成的角的度数为 °． 题型09 角度的计算与比较 44．（21-22七年级上·浙江宁波·期末）已知，，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．，，互不相等 45．（22-23七年级上·河北唐山·期末）若，，，则（   ） A． B． C． D． 46．（18-19七年级上·北京海淀·期末）如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，若，则的度数是（    ）      A． B． C． D． 47．（22-23七年级上·河北邢台·期末）已知，以为端点作射线，使，则的度数为（   ）． A． B． C．或 D．或 48．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）已知是的角平分线，如果，那么 （结果用度表示） 49．（23-24七年级上·河北承德·期末） ． 50．（22-23七年级上·河北张家口·期末）把下列角度化成度的形式： (1)． (2)． 题型10 余角 51．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）一个锐角的余角是，这个角是（   ） A． B． C． D． 52．（23-24七年级上·河北沧州·期末）如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，的余角的大小是 ．    53．（21-22七年级上·河北石家庄·期末）如图，点A，O，B在一条直线上，，，则图中互余的角共有 对． 解：，， ， ， ， ， 互余的角共有4对． 54．（23-24七年级上·河北保定·期末）如图点A，O，B在同一条直线上，过点O作射线，，，，且和互余，与互余，平分． (1)判断和之间满足的数量关系，并说明理由． (2)判断是否平分，并说明理由． 55．（22-23七年级上·河北廊坊·期末）如图，点，，在一条直线上，，平分． (1)若，求的余角的度数． (2)若，求的度数（用含的式子表示）． 56．（23-24七年级上·河北保定·期末）如图甲，和都是直角． (1)如果，则______；图甲中相等的角（不包括直角）为______． (2)如果，（1）中相等的角还成立吗？说明理由． (3)在图乙中利用能够画直角的工具再画一个与相等的角． 题型11补角 57．（22-23七年级上·河北石家庄·期末）下列说法中，正确的是（    ） ①若，则的余角是；②若，则和互为补角；③一个角的补角一定是锐角；④若，则点在线段上． A．①② B．①④ C．①②③ D．②③④ 58．（23-24七年级上·河北唐山·期末）如图，“若，则．”这是根据(   ) A．同角的补角相等 B．同角的余角相等 C．等角的补角相等 D．等角的余角相等 59．（21-22七年级上·北京怀柔·期末）一副三角板按如图所示的方式摆放，则∠1补角的度数为（    ） A． B． C． D． 60．（22-23七年级上·河北石家庄·期末）已知一个角是，则它的补角是 61．（23-24七年级上·河北邯郸·期末）已知和互为补角，和互为补角，若，那么的大小为 ． 62．（22-23七年级上·河北廊坊·期末）如图1，是直线上的一点，是直角，． (1)若时，则的度数为______． (2)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，其他条件不变，若，求的度数； (3)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图3的位置，其他条件不变．若，直接写出______． 63．（23-24七年级上·河北唐山·期末）【实践活动】如图1，将一副三角板的直角顶点重合摆放． （1）判断与的大小关系，并说明理由； （2）探索与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展探究】 （3）如图2，若，且，探索与之间的数量关系，并说明理由． 题型01 由几何体的展开图进行计算 64．（22-23七年级上·河北唐山·期末）如图是一个长方体的表面展开图，每个面上都标注了字母和数据，请根据要求回答 （1）如果A面在长方体的底部，那么 面会在上面； （2）这个长方体的体积为 米． 65．（23-24七年级上·河北保定·期末）某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动．他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的______图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒； (2)图2是嘉嘉的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“保”字相对的是______字； (3)如图3，有一张边长为的正方形废弃宣传单，嘉嘉准备将其四个角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒． ①若折成的纸盒高为，四角应各减去边长为______的小正方形； ②计算此长方体纸盒的容积． 66．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）综合与实践 问题情境 在一次数学实践活动课上，同学们利用一张边长为的正方形纸板开展了“长方体纸盒的制作”实践活动．如图1，勤学小组的同学先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，制成了一个无盖的长方体纸盒． 如图2，善思小组的同学先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，制成了一个有盖的长方体纸盒． 问题解决 （1）图1中的长方体纸盒的底面积为 ； （2）图2中的长方体纸盒的长为 ： 拓展延伸 （3）现有两张边长均为的正方形纸板，分别按勤学小组和善思小组的方法制作成无盖和有盖的两个长方体纸盒，若剪去部分的小正方形边长为，求无盖纸盒的体积是有盖纸盒体积的多少倍． 67．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）【问题情境】《制作无盖的长方体纸盒》是苏科版七上的课题学习，某综合实践小组在学习了这一课后，开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【问题解决】（1）下列图形中，是无盖正方体的表面展开图的是______；（填序号） （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）． ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面周长为______； ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果．则该长方体纸盒的体积为______； 【问题进阶】 （3）若一个无盖长方体的长、宽、高分别为6、4、3，它缺一个长为6，宽为4的长方形底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为______；通过比较长方体表面展开图取得最大外围周长和最小外围周长的两个图形，你发现了什么规律？你发现的规律是______． 题型02 含有图案（文字）的正方体展开图 68．（23-24七年级上·河北保定·期末）一个正方体的每个面都有一个汉字，其平面展开图如图所示，那么在该正方体中与“学”字相对的字是（    ） A．考 B．试 C．加 D．油 69．（23-24七年级上·河北承德·期末）如图是一个正方体的表面展开图，则“数”字对面的字是（    ） 数 学 核 心 素 养 A．核 B．心 C．素 D．养 70．（23-24七年级上·河北保定·期末）如图，一个正方体的六个面分别标有、、、、、，从三个不同方向看到的情况如图所示，则的对面应该是字母（    ） A． B． C． D． 71．（22-23九年级下·河北衡水·期中）如图是一个正方体的展开图，则该正方体可能是（   ）    A．   B．   C．   D．   72．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）将下边的图形折成一个立方体，选项中的四个立方体（    ）是由下边的图形折成的． A． B． C． D． 根据展开图可知，含有面和面不相邻，据此解答． 73．（23-24七年级上·北京通州·期末）如图是一个无盖正方体盒子，盒底标有一个字母m，现沿箭头所指方向将盒子剪开，则展开后的图形是（    ） A． B． C． D． 74．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）如图所示的正方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（　　） A． B． C． D． 题型03直线、线段的数量与交点 75．（23-24七年级上·河北沧州·期末）由沧州西站到南京的某趟高铁，运行途中停靠的车站依次是：沧州西站—济南西站—曲阜东站—枣庄站—徐州东站—南京南站，那么铁路运营公司要为这条线路（往返）制作的车票有（    ） A．6种 B．12种 C．15种 D．30种 76．（21-22七年级上·河北承德·期末）如图，两条直线相交，有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有 个交点，n条直线相交最多有 个交点． 77．（19-20七年级上·重庆彭水·期末）如图，在平面内有 A，B，C三点，请在图中回答下列问题：    (1)画直线； (2)画射线； (3)画线段； (4)在线段上任取一点D (不同于 B，C)，连接，并延长至点 E，使； (5)在上述所画的图中，数一数，此时图中共有多少条线段？ 78．（19-20七年级上·山东济宁·期末）【观察思考】（1）如图线段AB上有两个点C、D，分别以点A、B、C、D为端点的线段共有 条 【模型构建】（2）若线段上有m个点（包括端点），则该线段上共有 条线段 【拓展应用】（3）若有8位同学参加班级的演讲比赛，比赛采用单循环制（即每两位同学之间都要进行一场比赛），请你应用上述模型构建，求一共要进行多少场比赛？ 题型04与中点有关的计算 79．（23-24七年级上·河北邯郸·期末）如图，点是线段的中点，点是线段的三等分点，若线段的长为，则线段的长度是（   ） A．10 B．9 C．7或9 D．8或10 80．（19-20七年级上·广东广州·期末）如图，C、D是线段上两点，M、N分别是线段、的中点，下列结论：①若，则；②若，则；③；④．其中正确的结论是（     ）    A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④ 81．（22-23七年级上·江苏无锡·期末）如图，线段，动点P从A出发，以的速度沿运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（  ） ①运动后，；             ②的值随着运动时间的改变而改变； ③的值不变；                 ④当时，运动时间为．    A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 82．（16-17七年级上·北京西城·期末）A，B 两点在数轴上的位置如图所示，其中点 A 对应的有理数为，且．动点 P 从点 A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t）．    (1)当时，的长为 ，点 P 表示的有理数为 ； (2)当时，求t的值； (3)M为线段的中点，N 为线段 的中点．在点 P 运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段的长．    83．（22-23七年级上·河北石家庄·期末）（1）如图，已知点C在线段上，且，点M、N分别是、的中点，求线段的长度；    （2）若点C是线段上任意一点，且，点M、N分别是、的中点，请直接写出线段的长度（用a、b的代数式表示）； （3）在（2）中，把点C是线段上任意一点改为：点C是直线上任意一点，其他条件不变，则线段的长度会变化吗？若无变化，求出结果． 84．（19-20七年级上·河北沧州·期末）七（1）班的学习小组学习“线段中点”内容时得到一个很有意思的结论，请跟随他们一起思考． (1)发现： 如图1，线段，点C，E，F在线段上，当点E，F是线段和线段的中点时，线段的长为 ；若点C在线段的延长线上，其他条件不变（请在图2中按题目要求将图补充完整），得到的线段与线段之间的数量关系为 ． (2)应用： 如图3，现有长为40米的拔河比赛专用绳左右两端各有一段（和）磨损了，磨损后的麻绳不再符合比赛要求，已知磨损的麻绳总长度不足20米．只利用麻绳和一把剪刀（剪刀只用于剪断麻绳）就可以得到一条长20米的拔河比赛专用绳，学习小组应用“线段中点”的结论很快做出了符合要求的专用绳，请你尝试着“复原”他们的想法： ①在图中标出点E点F的位置，并简述画图方法； ②请说明①题中所标示E，F点的理由． 85．（23-24七年级上·河北邯郸·期末）如图，嘉淇设计了一动画，已知数轴上点，，表示的数分别为，，，是的中点，机器人（看成点）从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动，当机器人到达点时，机器人（看成点）同时从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动．设机器人的运动时间为秒． (1)的长为________个单位长度，的值为________； (2)当时，求点表示的数； (3)当机器人，之间的距离小于等于个单位长度时，机器人变成彩色，求机器人变成彩色的总时长； (4)当机器人，和点中有一个点到其他两点的距离相等时，直接写出的值． 题型05与线段有关的动点问题 86．（22-23七年级上·浙江温州·期末）如图1，一款暗插销由外壳，开关，锁芯DE三部分组成，其工作原理如图2，开关绕固定点O转动，由连接点D带动锁芯DE移动.图3为插销开启状态，此时连接点D在线段上，如位置.开关绕点O顺时针旋转180°后得到，锁芯弹回至位置（点B与点重合），此时插销闭合如图4.已知，，则 mm. 87．（21-22七年级上·河北廊坊·期末）如图，P是线段上一点，，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线向左运动，到达点A处即停止运动．    (1)若点C，D的速度分别是，． ①当动点C，D运动了2s，且点D仍在线段上时，_________cm； ②若点C到达中点时，点D也刚好到达的中点，则_________； (2)若动点C，D的速度分别是，，点C，D在运动时，总有，求的长 88．（23-24七年级上·江西南昌·期末）已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点C、D运动了，求的值； (3)若点C、D运动时，总有，则 ；（直接填空） (4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 89．（22-23七年级上·河北石家庄·期末）在直角三角形中，，，，点从点开始以的速度沿的方向移动，点从点开始以的速度沿的方向移动．如果点同时出发，用表示移动时间，那么： (1)如图1，请用含t的代数式表示（不用带单位）： ①当点在上时，______； ②当点在上时，______； ③当点在上时，______； ④当点在上时，______； (2)如图2，若点在线段上运动，点在线段上运动，当时，试求出的值； (3)点到达点时，，两点都停止运动．请直接写出当时的值． 题型06 几何计算综合问题 90．（2023七年级上·浙江·专题练习）已知，以O为端点作射线，使，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 91．（23-24七年级上·河北保定·期末）已知，射线在射线的上方，平分． (1)如图1，当射线在射线的下方，且时，求的度数．请补全下面嘉嘉的解答过程； 解：因为，， 所以____________________度． 因为平分，所以____________________度， 所以__________＝__________度． (2)如图2，当射线在射线的上方，且时，求的度数． 92．（15-16七年级上·山东日照·期末）如图，是的平分线，是的平分线． (1)如图1，当是直角，时，的度数是多少？ (2)如图2，当，时，猜想与α的数量关系； (3)如图3，当，时，猜想：与α、β有数量关系吗？如果有，指出结论并说明理由． 93．（22-23七年级上·辽宁葫芦岛·期末）在一次数学实践探究活动中，小明和他的同伴们将两个直角三角尺按如图所示方式放置，发现了其中的奥秘． (1)如图①，已知，若，则________； (2)如图②，已知，若，求的度数； (3)经过一番探究，小明和他的同伴们发现：如图③，若，，则可以用含α和β的式子直接表示的度数，你发现什么规律了吗？请你写出正确的结论，不必证明． 94．（23-24七年级上·河北保定·期末）【特例感知】如图1，已知线段，，点和点分别是，的中点．若，则__________；    【知识迁移】我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在内部转动，射线和射线分别平分和；    ①若，，求的度数； ②请你猜想，和三个角有怎样的数量关系？请说明理由． 【类比探究】如图3，在内部转动，若，，，，求的度数．（直接写出结果，用含有的式子表示）．    95．（22-23七年级上·河北·期末）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成1:2两个部分的射线，叫做这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，，则是的一条三分线． (1)如图1，若，则 ； (2)如图2，若，，是的两条三分线，且． ①则 ； ②若以点为中心，将顺时针旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 ． 96．（21-22七年级上·河北沧州·期末）以直线上一点O为端点，在直线的上方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在O处，即，且直角三角板在直线的上方．    (1)如图1，若直角三角板的一边在射线上，则 ； (2)如图2，直角三角板的边在的内部． ①若恰好平分，求和的度数； ②请直接写出与之间的数量关系； (3)若，求此时的度数．    97．（23-24七年级上·河北邢台·期末）如图1，线段，C是线段的中点，线段，且线段在线段上移动． （1）当时，________，________． （2）当线段在线段上移动时，探究与的数量关系，并说明理由． 拓展探究 （3）如图2，在直线上方从点出发引出射线，射线在的右边，且平分． ①若，求的度数； ②在直线上方绕点转动，当射线在射线的左边时，请直接写出与的数量关系． 98．（22-23七年级上·山西吕梁·期末）综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师以直线上一点O为端点作射线，，，，使平分，平分，若，求的度数．    特例探究： （1）从特殊到一般是研究几何的一般思路，如图2，“兴趣小组”将一个三角尺的直角顶点放在点O处，即当时，则的度数为______；（直接写出答案，不写过程） （2）受“兴趣小组”的启发，“智慧小组”将三角尺角的顶点放在点O处，即当时，请你在图3中求的度数； 数学思考： （3）请你在图1中，求的度数）（用含有的式子表示）． 99．（22-23七年级上·河北邢台·期末）已知，，，分别是，的平分线． (1)如果，重合，且在的内部，如图1，求的度数； (2)如果将图1中的绕点顺时针旋转，如图2．则______（用含的式子表示）； (3)如果的位置和大小不变，的边的位置不变，改变的大小，将图1中的绕着点顺时针旋转，如图3，求的度数（用含m的式子表示）． 100．（17-18八年级下·江苏扬州·阶段练习）解答下列问题．    (1)【探索新知】 如图1，射线在的内部，图中共有个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”． ①一个角的平分线 这个角的“巧分线”．（填“是”或“不是”） ②如图2，若，且射线是的“巧分线”，则 ．（用含的代数式表示出所有可能的结果） (2)【深入研究】 如图2，若，且射线绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当与与成时停止旋转，旋转的时间为秒． ①当为何值时，射线是的“巧分线”． ②若射线同时绕点以每秒的速度逆时针旋转，并与同时停止．请直接写出当射线是的“巧分线”时的值． 试卷第2页，共86页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 几何图形初步 题型01 从不同方向看几何体 1．（23-24七年级上·河北保定·期末）如图是由4个完全相同的小立方块搭成的立体图形．若从左面看该立体图形，得到的平面图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查从不同方向看几何体．根据从不同方向看几何体画出从左面看到的图形即可． 【详解】解：左面看到的图形如下： 故选：B． 2．（23-24七年级上·河北保定·期末）如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体搭成的，从左面看到的平面图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得从它的左面看得到有2层，2列，上面看到有1个小正方形，下面看到有2个小正方形，得出左面看到有2个小正方形，右面看到有1个小正方形，即可求解． 本题主要考查了从不同方向看简单组合体，理解“长对正、宽相等、高平齐”是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：从它的左面看得到有2层，2列，上面看到有1个小正方形，下面看到有2个小正方形， 所以左面看到有2个小正方形，右面看到有1个小正方形． 故选：A 3．（22-23七年级上·江西九江·期中）将图1中的正方体①移动到图2所示的位置，则下列说法正确的是（    ）      A．只有从左面看到的形状图没有发生变化 B．从正面看到的和从上面看到的形状图没有发生变化 C．从左面看到的和从上面看到的形状图没有发生变化 D．只有从正面看到的形状图没有发生变化 【答案】C 【分析】分别画出移动前后的组合体的各个方向看到的图形，判断即可． 【详解】解：移动前后各方向看到的图形如下： ∴从左面看到的和从上面看到的形状图没有发生变化， 故选C．    【点睛】本题考查了从不同方向看几何体，能简单画出从不同的方向看到的几何体的形状是解本题的关键． 4．（23-24七年级上·河北廊坊·期末）如图，这是由6个棱长为的小正方体拼成的一个几何体．    （1）则该几何体从正面看到的图形的面积为 ． （2）将小正方体①移走后，所得几何体从 看不变．（填“正面”“左面”或“上面”） 【答案】 4 左面 【分析】本题考查从不同方向看立体图形． （1）求出该几何体从前面看到的正方形个数，即可求出其面积； （2）将小正方体①移走后，从左面看到的几何体的形状不变． 【详解】解：（1）该几何体从前面看到有4个正方形，一个正方形的面积为， ∴几何体从正面看到的图形的面积为； 故答案为：4； （2）将小正方体①移走后，所得几何体从左面看不变． 故答案为：左面． 5．（23-24七年级上·河北保定·期末）图1是由小正方体搭成的几何体． (1)请你利用图2中的网格画出从正面、从左面和从上面看到的图1几何体的形状图； (2)现要在图1几何体上再增加大小相同的小正方体，但要保持从正面和从左面看到的图形不变，则最多增加______个小正方体． 【答案】(1)图见解析 (2)2 【分析】本题考查从不同方向看几何体； （1）分别画出从前面看，从左面看，从上面看，得到的图形即可； （2）根据左视图和主视图不变，最多可以在底层加上2个小正方体． 掌握从不同方向看几何体，是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）因为要保持从正面和从左面看到的图形不变， ∴最多可以在底层增加2个小正方体，如图所示： 故答案为：2． 题型02 正方体的展开图 6．（23-24九年级下·河北保定·期中）分割并裁剪硬纸板得到如图所示的几个边长都相同的小正方形，若再剪去一个小正方形，便可折成一个正方体，剪掉的小正方形不可能是（  ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题考查由展开图折叠成正方体，由正方体的平面展开图，按照题中标号逐个减掉验证即可得到答案，熟记正方体的平面展开图，借助几何直观和空间观念还原成立体图形是解决问题的关键． 【详解】解：由题意知，去掉小正方形①，如图所示： 可折成一个正方体，不符合题意； 去掉小正方形②，如图所示： 可折成一个正方体，不符合题意； 去掉小正方形③，如图所示： 不能折成一个正方体，符合题意； 去掉小正方形④，如图所示： 可折成一个正方体，不符合题意； 综上所述，去掉①或②或④，均能折叠成一个正方体，去掉小正方形③，不能折叠成一个正方体， 故选：C． 7．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）嘉淇准备从图中的纸片上选出六个小正方形进行涂色，再将涂色部分剪下折成正方体，他已经给部分小正方形涂好了颜色（阴影部分），还少一个小正方形没有涂色，则可选择的小正方形有（    ） A．①②⑤ B．②⑤ C．③④ D．①②④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查了正方体的展开图．熟练掌握正方体的展开图包括，，，型是解题的关键． 根据正方体的展开图进行判断即可． 【详解】解：由题意知，可选择的小正方形有②和⑤， 故选：B． 8．（22-23七年级上·山东济南·阶段练习）如图，白纸上放有一个表面涂满染料的小正方体．在不脱离白纸的情况下，转动正方体使其各面染料都能印在白纸上，且各面仅能接触白纸一次．则在纸上可以形成的图形有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据图形能否折叠成正方体及各面仅能接触白纸一次逐一分析即可. 【详解】解：①能折叠成正方体且各面仅能接触白纸一次，符合题意； ②不能折叠成正方体，不合题意； ③能折叠成正方体且各面仅能接触白纸一次，符合题意； 符合题意的有2个， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方体的展开图，利用正方体及其展开图的特点解题． 9．（22-23七年级上·江西九江·期中）图1，图2，图3均为3×4的正方形网格，请你在网格中选择2个空白的正方形涂上阴影，使得其与图中的4个阴影正方形一起构成正方体表面展开图，要求3种方法得到的展开图不完全重合．    【答案】见解析 【分析】根据正方体的展开图的结构特征进行画图，即可得出结论． 【详解】解：如下图所示．   ． 【点睛】本题考查的是正方体的表面展开图，掌握正方体的表面展开图的特点是解题的关键．正方体的展开图一共有11种，其中141型有6种，132型有3种，222型有1种，33型有1种，根据以上展开图的形态结合已知图形可得答案． 10．（23-24七年级上·河北张家口·期中）小明同学设计了一个产品的正方体包装盒，如图所示，由于粗心少设计了其中一个顶盖，请你把它补上，使其成为一个两面均有盖的正方体盒子．    (1)共有___________种弥补方法； (2)任意画出一种成功的设计图（在图中补充）并将这些数字分别填入六个小正方形，使得折成的正方体相对面上的两个数相加得0（直接在图中填上即可）． 【答案】(1)4 (2)见解析 【分析】（1）根据正方体展开图特点：中间4联方，上下各一个，中间3联方，上下各1，2，两个靠一起，不能出“田”字，符合第一种情况，中间四个连在一起，上面一个，下面有四个位置，所以有四种弥补方法； （2）利用（1）的分析画出图形，把数字填上即可，注意答案不唯一． 【详解】（1）解：根据正方体展开图特点：中间四个连在一起，上面一个，下面有四个位置，所以共有4种弥补方法， 故答案为：4； （2）解：如图所示：    题型03 截一个几何体 11．（23-24七年级上·河北保定·期中）用一个平面去截：①圆锥；②圆柱；③球；④五棱柱，能得到截面是圆的图形是（   ） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题考查了用平面去截一个几何体，旨在考查学生的空间想象能力． 【详解】解：用平行圆锥底面的平面截圆锥可得到圆； 用平行圆柱底面的平面截圆柱可得到圆； 用一个平面去截一个球，所得任意截面都是圆形． 用一个平面去截五棱柱，不可能得到一个圆． 故选：B 12．（23-24七年级上·河北保定·期中）图中长方体的截面是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查截一个几何体，解题的关键是根据图形发挥空间想象能力，根据截面与长方体的上下底面的位置关系，即可得到截取的图形． 【详解】解：按照图中的方式用一个平面去截长方体，则截面形状是一个长方形， 故选：B． 13．（18-19七年级上·广东揭阳·阶段练习）用一个平面去截一个几何体，如果截面的形状是长方形，那么这个几何体不可能是（    ） A．圆柱 B．球体 C．五棱柱 D．正方体 【答案】B 【分析】此题考查截一个几何体，根据圆柱、球体、五棱柱、正方体的特点判断即可． 【详解】A. 用垂直于地面的一个平面截圆柱截面为矩形，与要求不符； B.球的截面不可能是长方形，与要求相符； C. 五棱柱的截面可以是长方形，与要求不符； D. 正方体的截面可以是长方形，与要求不符． 故选:B． 题型04 线段的计算 14．（23-24七年级上·河北唐山·期末）如图，已知线段、，画出线段，则的长度表述正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了基本作图以及两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．结合图形，根据作图即可求解． 【详解】解：由作图知：， 故选：D． 15．（12-13七年级上·河南漯河·期末）已知线段及一点，若，则（   ） A．为线段的中点 B．在线段上 C．在线段外 D．在线段的延长线上 【答案】B 【分析】本题考查了判断点与线段的位置关系，线段的和的概念，根据线段的和的概念结合点与线段的位置关系逐项判断即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、若，点不一定为线段的中点，故A错误，不符合题意； B、若，则在线段上，故B正确，符合题意； C、若，则在线段外，故C错误，不符合题意； D、若，则在线段的延长线上，故D错误，不符合题意； 故选：B． 16．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）点C是线段上任意一点，点分别是的中点，下列说法正确的是（   ）    A． B．当点C为的中点时， C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段的中点性质，根据线段的中点性质可推出，，当时，，即可推出，进而即可得解，解题的关键是能正确表示线段的和差倍分． 【详解】A：∵M、N分别是、的中点， ∴，， ∵C为上任意一点， ∴不一定等于， ∴不一定等于， ∴A错误，不符合题意； B：当C为中点时，， ∴， ∴， ∴B错误，不符合题意； C：∵， ∴， ∴， ∴C正确，符合题意； D：∵， ∴， ∴， ∴D错误，不符合题意； 故选：C． 17．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）如图，已知 A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为 ，的中点，设运动时间为t（）秒，则下列结论中正确的有（    ） ①点B对应的数是4；②点P到达点B时，；③时，；④在点P的运动过程中，线段的长度不变 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，线段中点， ①根据两点间距离进行计算即可；②利用路程除以速度即可；③分两种情况：当点在点右边时，当点在点左边时，分别求出的长，再利用路程除以速度即可；④分两种情况：当点在点右边时，当点在点左边时，利用线段的中点性质分别进行计算即可．理解题意，进行分类讨论是解决问题的关键． 【详解】解：设点对应的数是， 点A对应的数为，且， ， ， 点对应的数是，故①错误； 由题意得：（秒）， 点到达点时，，故②正确； 当点在点右边时， ，， ， （秒）， 当点在点左边时， ，， ， （秒）， 综上，时，或；故③错误； ，始终为，的中点， ，， 当点在点右边时， ， 当点在点左边时， ， 在点的运动过程中，线段的长度不变，故④正确； 所以，上列结论中正确的有2个， 故选：C． 18．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）如图，线段，点D是线段上一点，且，点C是线段的中点． (1)求线段的长； (2)若E是线段上一点，且满足，求的长． 【答案】(1) (2)的长为1或5 【分析】本题考查两点间距离，线段中点的概念，线段的和差定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，注意分类讨论，防止遗漏． （1）根据线段的和差和线段中点的概念求解即可； （2）首先求出，然后分两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴． ∵点C是线段的中点， ∴． ∴． （2）∵，， ∴．    当E在C的左边时，；   当E在C的右边时，；     ∴的长为1或5． 19．（23-24七年级上·河北保定·期末）如果一点在由两条具有公共端点的线段组成的一条折线上，且把这条折线分成长度相等的两部分，则把这一点叫做这条折线的“折中点”．如图，点P是折线的“折中点”． （1）若，，点P在线段 上（填“”或“”）； （2）若，，则的长度为 ． 【答案】 2或14 【分析】本题主要考查了线段的有关计算和新定义，解题关键是理解新定义的含义，并能正确解答问题． （1）先根据已知条件，求出的值，然后根据已知条件中的定义进行解答即可； （2）根据已知条件中的新定义分两种情况讨论，然后把已知条件中的线段代入进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点P是折线的“折中点”， ∴， ∴点P在线段上， 故答案为：； （2）∵点P是折线的“折中点”，，， 如图， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2或14． 20．（23-24七年级上·河北邯郸·期末）现有，两根木条，M，N分别是，的中点，将两根木条叠放在一起.    （1）若按如图1所示叠放，，，则 ； （2）若按如图2所示叠放，，则 .（用含a的式子表示） 【答案】 【分析】（1）本题考查线段中点的特点和线段的和差，根据M，N分别是，的中点，分别表示出，，再利用进行计算，即可解题． （2）本题考查线段的和差，根据，得到，再根据，利用，，对其中的、、进行等量代换，即可得出． 【详解】（1）解： M，N分别是，的中点， ，， ，， ，， ． 故答案为：． （2）解：由（1）同理可得，， ， ， ∴， ， 整理得：，解得：． 故答案为：． 21．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）如图，已知A，为数轴上的两个点，点A表示的数是，点表示的数是10． (1)线段的中点对应的数为__________； (2)若点在数轴上，且，求的长； (3)若一只蚂蚁从点A出发，在数轴上每秒向右前进3个单位长度；同时一只毛毛虫从点出发，在数轴上每秒向右前进1个单位长度，它们在点处相遇，求点对应的数． 【答案】(1) (2)10或20 (3)30 【分析】本题主要考查了数轴与动点．熟练掌握数轴上动点表示的数，两点之间的距离公式，一元一次方程的应用，速度、时间、路程之间的关系，是解决问题的关键． （1）根据线段中点公式进行计算即可； （2）设出点D表示的数，分两种情况，点D在点B的左侧或右侧进行解答，运用两点间的距离公式列式表示与的长，根据列方程计算即可； （3）设运动时间为t，用含有t的式子表示蚂蚁对应的数和毛毛虫对应的数，根据它们相遇时对应的数相同列出方程，解方程求得t的值，从而得到点E对应的数． 【详解】（1）∵点A表示的数为，点B表示的数是10， ∴线段的中点C对应的数为，， 故答案为：； （2）设点D对应的数为x， 当点D在点B的左侧时，，， ∵， ∴， 解得， ∴； 当点D在点B的右侧时，，， ∴， 解得， ∴； 故点BD的长为，10或20； （3）设运动t秒相遇， 则蚂蚁对应的数为，毛毛虫对应的数为， ∵在相遇点E，蚂蚁对应的数和毛毛虫对应的数相同， ∴，解得，， ∴点E表示的数为，． 题型05 直线、射线和线段的概念辨析 22．（21-22七年级上·全国·课后作业）下列语句准确规范的是（    ） A．直线a，b相交于点m B．反向延长线至点C C．延长射线 D．延长线段至点C，使得 【答案】D 【分析】本题主要考查了直线、射线和线段的概念等知识点，依据直线、射线和线段的概念，即可得出结论，掌握直线、射线和线段的概念是解决问题的关键． 【详解】A．直线的交点用大写字母表示，故直线a、b相交于一点m，说法错误，不合题意； B．直线向两个方向无限延伸，故延长直线至点C，说法错误，不合题意； C．射线向一个方向无限延伸，故延长射线，说法错误，不合题意； D．延长线段至点C，使得，说法正确，符合题意； 故选：D． 23．（17-18七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）下列各图中，表示“射线”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了射线的定义，射线是指由线段的一端无限延长所形成的直的线，射线仅有一个端点，无法测量，射线是指端点在点A上，据此即可作答． 【详解】解：依题意， 射线是指射线的端点在点A上． 故选：B． 24．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）如图，线段与线段有交点，则点D可能与下列哪个点重合（    ）． A．点E B．点F C．点G D．点H 【答案】B 【分析】本题考查作图−线段、线段的定义，分别画出线段，再逐一判断即可． 【详解】解：如图，连接、、、， 如图可得，线段与线段、、不相交，线段与线段相交， ∴点D与点F重合， 故选：B． 25．（23-24七年级上·河北邢台·期末）对图甲、乙、丙，分别写出相应的描述语句： 甲：直线a、b相交于点A 乙：直线与线段没有公共点 丙：延长线段 其中语句不正确的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．甲、乙、丙 【答案】B 【分析】本题考查直线，线段的定义，作图．根据直线的定义，线段的作图语言，逐一进行判断即可． 【详解】解：直线a、b相交于点A，故甲描述正确； 直线向两边无限延长，与线段有交点，故乙描述错误； 由图可知：作图为：延长线段，故丙描述正确； 故选：B． 26．（14-15七年级上·福建龙岩·阶段练习）期中考试布置教室时，老师总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，很容易就整整齐齐了．这其中蕴含的数学道理是 ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题考查的是直线的性质，直接利用两点确定一条直线可得答案． 【详解】解：期中考试布置教室时，老师总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，很容易就整整齐齐了．这其中蕴含的数学道理是：两点确定一条直线； 故答案为：两点确定一条直线 27．（23-24七年级上·河北保定·期末）作图题：如图，平面内有四个点A，B，C，D． 根据下列语句画图： (1)画直线； (2)画射线交直线于点E； (3)连接并反向延长到，使得；（截取用圆规，并保留痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了线段、直线、射线的作图， （1）根据直线的定义，作图即可； （2）根据射线的定义，结合（1）的结论，作图即可； （3）延长，然后以点为圆心，以长为半径，在的延长线上，截取，即． 【详解】（1）解：如图，直线为所求， （2）如图所示， （3）如图所示， 题型06 角的概念辨析 28．（22-23七年级上·河北邯郸·期末）如图，下列对图中各个角的表达方法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角的表示方法直接判断即可． 【详解】解：由图可知，点C是两个角的的共同顶点，因此的表示方法不正确， 故选B． 【点睛】本题考查角的表示方法，解题的关键是掌握“当两个或两个以上的角有一个共同顶点时，即一个顶点对应着若干个角，这时则不能使用一个大写字母表示该角”． 29．（21-22七年级上·河北张家口·期末）赵师傅透过放大倍的放大镜从正上方看的角，则通过放大镜他看到的角等于（    ）度． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角的含义“由一点引出的两条射线所围成的图形，叫做角”可知：角的大小跟边的长短无关，跟两边叉开的大小有关，由此解答即可． 【详解】∵放大镜只能改变物体的大小，而不能改变物体的形状， ∴透过放大5倍的放大镜从正上方看的角，则通过放大镜他看到的角为． 故选A． 【点睛】此题考查了角的概念，掌握角的大小跟边的长短无关，跟两边叉开的大小有关是解题关键． 30．（16-17七年级上·陕西宝鸡·期末）能用三种方式表示同一个角的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角的概念．解题的关键是掌握角的表示方法的运用．根据角的表示方法和图形逐个判断即可． 【详解】解：A、不能用，，三种方法表示同一个角，故A选项错误； B、能用，，三种方法表示同一个角，故B选项正确； C、不能用，，三种方法表示同一个角，故C选项错误； D、不能用，，三种方法表示同一个角，故D选项错误； 故选：B． 31．（19-20七年级上·山西吕梁·期末）如图所示，下列表示角的方法错误的是（    ） A．与表示同一个角 B．表示的是 C．也可用表示 D．图中共有三个角，， 【答案】C 【分析】本题考查角的表示方法，根据角的表示，数形结合即可得到答案，熟记角的表示方法是解决问题的关键． 【详解】解：A、与表示同一个角，正确，不符合题意； B、表示的是，正确，不符合题意； C、也可用表示，错误，符合题意； D、图中共有三个角，，，正确，符合题意； 故选：C． 32．（22-23七年级上·河北石家庄·期末）如图，图①中有1个角，图②中有3个不同角，图③中有6个不同角，…，按此规律下去图⑥中有不同角的个数为 ．    【答案】21 【分析】根据前3个图中角的个数，抽象概括出第个图中角的个数为：，进而求出图⑥中不同角的个数即可． 【详解】解：图①中有个角； 图②中有个不同角； 图③中有个不同角； ∴第个图中有个不同角， ∴图⑥中有不同角的个数为； 故答案为：21． 【点睛】本题考查图形中的数字规律．根据已有图形，抽象概括出相应的数字规律，是解题的关键． 33．（22-23七年级上·河北石家庄·期末）已知（如图），用量角器求作一个角，使它等于已知角α． 【答案】见解析 【分析】本题考查用量角器作角．用量角器量出的度数，再作一射线，以点A为顶点，作，则即为所求． 【详解】解：如图，为所求． 题型07方位角 34．（18-19七年级上·贵州·期末）如图，在A、B两处观测到的C处的方向角分别是（    ） A．北偏东，北偏西 B．北偏东，北偏西 C．北偏东，北偏西 D．北偏东，北偏西 【答案】B 【分析】此题考查了方位角的表示，根据图中的方向及度数直接表示点C即可，正确掌握方位角的表示方法是解题的关键 【详解】解：在A、B两处观测到的C处的方向角分别是北偏东，北偏西， 故选：B 35．（14-15七年级上·福建福州·期末）在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西的方向，同时轮船B在南偏东的方向，那么的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了方位角．根据方位角的定义计算角的和即可 【详解】解：如图，C、D、E、F分别表示相应的方向， ∵A点位于O点北偏西， ∴， ∴， ∵B点位于O点南偏东， ∴， ∵， ∴， 故选：C 36．（2024·河北石家庄·一模）一艘轮船在P处向M处的海上巡逻艇呼叫救援，根据图所示，巡逻艇从M处去P处实施救援，若要航线最短，其航行的路线为（   ） A．沿北偏东方向航行 B．沿南偏西方向航行 C．沿北偏东方向，航行30海里 D．沿南偏西方向，航行30海里 【答案】D 【分析】此题考查了方位角相关问题，根据方位角和距离进行判断即可． 【详解】解：如图，由题意得，若要航线最短，其航行的路线为沿南偏西方向，航行30海里， 故选：D 37．（22-23八年级下·河北保定·期末）一次军演中总部和士兵的位置如图所示，已知士兵步行的速度为，则归队时士兵应行进的方向和到达总部所用的时间为（    ） A．北偏西方向， B．北偏西方向， C．南偏东方向， D．南偏东方向， 【答案】A 【分析】本题考查了方位角，根据方位角以及路程、速度和时间的关系即可求解．理解和掌握方位角的识别是解决本题的关键． 【详解】解：根据点在点的南偏东方向，可知点在点的北偏西方向即士兵应行进的方向是北偏西方向， 到达总部所用的时间为， 故选：A． 38．（19-20七年级上·北京东城·期末）如图，某海域有三个小岛，，，在小岛处观测到小岛在它北偏东的方向上，观测到小岛在它南偏东的方向上，则的度数是 ． 【答案】/82度 【分析】本题主要考查了方位角的计算，正确理解方位角的定义是解题的关键．根据方位角的定义计算即可． 【详解】解：是表示北偏东方向的一条射线，是表示南偏东方向的一条射线， ， 故答案为：． 题型08 钟面角 39．（23-24七年级上·河北廊坊·期末）从如图所显示的时刻开始，经过40分钟后时钟的时针与分针所成夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了钟面角，分针每分钟转了，时针每分钟转了可求得结果，得到时针与分针之间的夹角是解题的关键． 【详解】解：分针每分钟转了， 时针每小时转了， 时针每分钟转了， ∴图上显示的时刻为，当经过40分钟之后时间为， 此时时针所形成的的角度为：， 分针所形成的的角度为：， 则分针与时针所形成的的角度为：， 故选：C． 40．（2024·河北·一模）如图1，小萍从地图上测得学校在她家的北偏东方向，她看到家里的钟表如图2，想到如果把家的位置看成钟表表盘的中心，则她可以说学校在家的（    ） A．1点钟方向 B．2点钟方向 C．7点钟方向 D．8点钟方向 【答案】B 【分析】此题考查了方位角，钟面角， 首先求出相邻两个数之间的夹角为，进而根据方位角求解即可． 【详解】∵钟表一圈，共有12个数字， ∴平均分成12份 ∴相邻两个数之间的夹角为 ∵小萍从地图上测得学校在她家的北偏东方向， ∴她可以说学校在家的2点钟方向． 故选：B． 41．（23-24九年级上·湖南湘西·期中）李明家有一个时钟，假期间，某天上午他8点整出门锻炼，回家时发现时针刚好旋转了，那么李明回家的时间是（    ） A．9点整 B．9点半 C．10点整 D．10点半 【答案】C 【分析】根据时针每小时旋转可得求得李明出门锻炼所用的时间，然后再加上出门时的时刻即可求解．本题的解题关键在于懂得经过的时间与旋转度数之间的关系． 【详解】由于时针旋转一周（）是12小时，则每小时旋转， ∴当旋转时，李时回家的时间是：（点整）， 故选：C． 42．（22-23七年级上·河北承德·期末）我们上一节课（分钟），钟表的时针转过的角度是：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分钟,钟表的时针转过的角度是一大格，一格表盘是大格，，那分钟则是，然后代值计算即可． 【详解】依题意可得： 故选：C 【点睛】此题考查时钟的时针与分针，解题关键是数表盘的格子即可． 43．（22-23七年级上·河北保定·期末）10：00时，时针和分针所成的角的度数为 °；如图，当时钟指向上午10：15时，时针和分针所成的角的度数为 °． 【答案】 60 【分析】钟表共12个大格，所以每一大格是30°；时针走一小时是走一个大格，所以走一小时是30°，所以时针走一分钟是． 【详解】钟表共12个大格，所以每一大格是30°； 时针走一小时是走一个大格，所以走一小时是30°，所以时针走一分钟是； 所以10：00时，时针和分针所成的角的度数为：， 上午10：15时，时针和分针所成的角的度数为： 故答案为：60， 【点睛】本题考查钟表的角度问题，解题的关键是掌握时针每分钟走的角度是，钟表一大格是30°． 题型09 角度的计算与比较 44．（21-22七年级上·浙江宁波·期末）已知，，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．，，互不相等 【答案】B 【分析】本题考查角度的比较大小，关键是将度、分、秒转化为统一形式．将转化为度的形式再与，比较，注意：，． 【详解】解：， ∵， ∴， 只有选项B符合． 故选：B． 45．（22-23七年级上·河北唐山·期末）若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的大小比较．根据，将转换为度、分、秒的形式，即可比较大小． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 46．（18-19七年级上·北京海淀·期末）如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，若，则的度数是（    ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，，求出的度数，再根据，即可求出的度数． 【详解】解：，， ， ， ． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了度分秒的换算，解题的关键是能够正确求出的度数． 47．（22-23七年级上·河北邢台·期末）已知，以为端点作射线，使，则的度数为（   ）． A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分两种情况，射线在内部或外部，分别讨论即可． 【详解】解：当射线在内部时，   ； 当射线在外部时，   ． 的度数为或． 故选：C． 【点睛】本题考查角的计算，关键是分两种情况讨论． 48．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）已知是的角平分线，如果，那么 （结果用度表示） 【答案】/度 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角度的运算，解题的关键是熟练掌握角平分线定义．根据是的角平分线，得出，然后代入，求出结果即可． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴． 故答案为：． 49．（23-24七年级上·河北承德·期末） ． 【答案】 【分析】本题考查了角度的和差计算，解题关键是掌握计算法则，注意度、分、秒之间的单位换算．按照角度的加减计算法则进行计算即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 50．（22-23七年级上·河北张家口·期末）把下列角度化成度的形式： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键． （1）根据度分秒的进制进行计算，即可解答； （2）根据度分秒的进制进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴． 题型10 余角 51．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）一个锐角的余角是，这个角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角互余的概念，和为的两个角互为余角，熟练掌握此概念是解题的关键．根据角互余的概念，进行计算即可得到答案． 【详解】解：一个锐角的余角是， 这个角的度数是：， 故选：C． 52．（23-24七年级上·河北沧州·期末）如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，的余角的大小是 ．    【答案】 【分析】本题考查了角的和差运算，余角的计算；由图得的余角是，由即可求出的余角的大小． 【详解】解：∵， ∴的余角是， ∵， ∴； 故答案为：． 53．（21-22七年级上·河北石家庄·期末）如图，点A，O，B在一条直线上，，，则图中互余的角共有 对． 【答案】4 【分析】根据互为余角的两个角的和等于和等角的余角相等解答． 【详解】 解：，， ， ， ， ， 互余的角共有4对． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了余角的概念，是基础题，熟记概念并准确识图是解题的关键． 54．（23-24七年级上·河北保定·期末）如图点A，O，B在同一条直线上，过点O作射线，，，，且和互余，与互余，平分． (1)判断和之间满足的数量关系，并说明理由． (2)判断是否平分，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)平分，理由见解析 【分析】本题考查了余角的性质． （1）利用余角的性质求得，，据此求解即可； （2）利用余角的性质求得，即可得到平分． 【详解】（1）解：，理由如下： 因为和互余，与互余， 所以，， 所以； （2）解：平分，理由如下： 因为平分，所以， 因为和互余，与互余， 所以，， 即． 所以平分． 55．（22-23七年级上·河北廊坊·期末）如图，点，，在一条直线上，，平分． (1)若，求的余角的度数． (2)若，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用与的倍数关系求出的度数，然后利用余角的定义求解即可； （2）先计算出，的度数，然后利用角平分线的定义求出的度数，最后利用角的和差关系求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴的余角的度数为 （2）解：∵，， ∴，， 又平分， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的有关计算，余角的定义等知识，正确识图，找准角的有关关系是解题的关键． 56．（23-24七年级上·河北保定·期末）如图甲，和都是直角． (1)如果，则______；图甲中相等的角（不包括直角）为______． (2)如果，（1）中相等的角还成立吗？说明理由． (3)在图乙中利用能够画直角的工具再画一个与相等的角． 【答案】(1)； (2)成立；理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了余角的计算和性质，垂线的基本作图． (1)根据，求得，根据角的和计算即可． (2)根据，求得，，根据余角的性质证明即可． (3)根据垂线的基本作图解答即可． 【详解】（1）∵，，． ∴，， ∴， ∴， 故答案为：；． （2）结论还成立，理由如下： ∵，． ∴，， ∴． （3）根据题意，只需构造两个直角即可，画图如下： 作，根据同角或等角的余角相等可得，． ． 题型11补角 57．（22-23七年级上·河北石家庄·期末）下列说法中，正确的是（    ） ①若，则的余角是；②若，则和互为补角；③一个角的补角一定是锐角；④若，则点在线段上． A．①② B．①④ C．①②③ D．②③④ 【答案】B 【分析】根据余角的定义，补角的定义，根据线段间的关系进行判断即可． 【详解】解：①若，则的余角是，故①正确； ②若，则和互为余角，故②错误； ③一个角的补角可能是锐角，可能是直角，也可能是钝角，故③错误； ④若，则点在线段上，故④正确． 综上分析可知，正确的是①④，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了余角、补角的定义，解题的关键是熟练掌握余角和补角的定义． 58．（23-24七年级上·河北唐山·期末）如图，“若，则．”这是根据(   ) A．同角的补角相等 B．同角的余角相等 C．等角的补角相等 D．等角的余角相等 【答案】B 【分析】本题主要考查补角与余角，掌握余角的性质是解题的关键． 由可以判断同角的余角相等． 【详解】解：， 和都与互余， 故同角的余角相等， 故选：B． 59．（21-22七年级上·北京怀柔·期末）一副三角板按如图所示的方式摆放，则∠1补角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得出∠1=15°，再求∠1补角即可． 【详解】由图形可得 ∴∠1补角的度数为 故选：D． 【点睛】本题考查利用三角板求度数和补角的定义，熟记各个三角板的角的度数是解题的关键． 60．（22-23七年级上·河北石家庄·期末）已知一个角是，则它的补角是 【答案】 【分析】根据两角互补，用即可得到答案． 【详解】， 故答案为：． 【点睛】本题考查补角，熟记互补的两个角相加等于是解题的关键． 61．（23-24七年级上·河北邯郸·期末）已知和互为补角，和互为补角，若，那么的大小为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同角的补角相等，角度的转化．熟练掌握同角的补角相等，是解题的关键． 由题意知，根据，求解即可． 【详解】解：∵和互为补角，和互为补角， ∴， 故答案为：． 62．（22-23七年级上·河北廊坊·期末）如图1，是直线上的一点，是直角，． (1)若时，则的度数为______． (2)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，其他条件不变，若，求的度数； (3)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图3的位置，其他条件不变．若，直接写出______． 【答案】(1) (2)150° (3) 【分析】（1）根据平角的定义，得出，继而得出，根据，即可得出； （2）依题意得出，，根据，求得，由平角的定义即可求解； （3）根据平角的定义得出，，得出，根据，然后得出，继而得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵是直角， ∴ ∵ ∴， 又∵，， ∴， 故答案为：． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ （3）∵， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了几何图形中角度的计算，平角的定义，数形结合是解题的关键． 63．（23-24七年级上·河北唐山·期末）【实践活动】如图1，将一副三角板的直角顶点重合摆放． （1）判断与的大小关系，并说明理由； （2）探索与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展探究】 （3）如图2，若，且，探索与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）∠ACE=∠BCD，理由见解析；（2）∠ACB+∠DCE=180°，理由见解析；（3）∠ACB+∠DCE=180°，理由见解析． 【分析】此题主要考查了角的计算，同角的余角相等，准确识图，理解同角的余角相等，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． （1）依题意得，，进而得，，然后根据同角的余角相等可得出答案； （2）由，得，，则，然而；据此可得与之间的数量关系； （3）先由得，进而得，据此可得与之间的数量关系． 【详解】解：（1），理由如下： 依题意得：，， ，， ． （2）与之间的数量关系：，理由如下： ，， ，， ， ， 又， ； （3）与之间的数量关系是：，理由如下： ，， 又， ， 即：， ． 题型01 由几何体的展开图进行计算 64．（22-23七年级上·河北唐山·期末）如图是一个长方体的表面展开图，每个面上都标注了字母和数据，请根据要求回答 （1）如果A面在长方体的底部，那么 面会在上面； （2）这个长方体的体积为 米． 【答案】 F 6 【分析】（1）根据展开图，可得几何体，是邻面，是邻面，根据A面在底面，F会在上面，可得答案； （2）由体积计算公式解答． 【详解】解：（1）如图所示，A与F是对面，所以如果A面在长方体的底部，那么 F面会在上面； 故答案是：F； （2）这个长方体的体积是：（米）． 故答案是：6 【点睛】本题考查了几何体的展开图，利用了几何体展开图组成几何体时面与面之间的关系． 65．（23-24七年级上·河北保定·期末）某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动．他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的______图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒； (2)图2是嘉嘉的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“保”字相对的是______字； (3)如图3，有一张边长为的正方形废弃宣传单，嘉嘉准备将其四个角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒． ①若折成的纸盒高为，四角应各减去边长为______的小正方形； ②计算此长方体纸盒的容积． 【答案】(1)C (2)卫 (3)①5；② 【分析】本题考查正方体的表面展开图，长方体的体积，掌握正方体的表面展开图的特征是解决问题的关键． （1）根据正方体的折叠，可得有5个面，依据正方体的展开图可得答案； （2）根据正方体的表面展开图的特征，得出答案； （3）根据长方体的体积公式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，图1中的C图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒， 故答案为：C； （2）根据题意可得，与“保”字相对的字是卫， 故答案为：卫； （3）①若折成的纸盒高为，四角应各减去边长为， 故答案为5； ②． 答：纸盒的容积为． 66．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）综合与实践 问题情境 在一次数学实践活动课上，同学们利用一张边长为的正方形纸板开展了“长方体纸盒的制作”实践活动．如图1，勤学小组的同学先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，制成了一个无盖的长方体纸盒． 如图2，善思小组的同学先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，制成了一个有盖的长方体纸盒． 问题解决 （1）图1中的长方体纸盒的底面积为 ； （2）图2中的长方体纸盒的长为 ： 拓展延伸 （3）现有两张边长均为的正方形纸板，分别按勤学小组和善思小组的方法制作成无盖和有盖的两个长方体纸盒，若剪去部分的小正方形边长为，求无盖纸盒的体积是有盖纸盒体积的多少倍． 【答案】（1）；（2）14，（3）2倍． 【分析】此题考查了长方体的体积、底面积等知识， （1）根据题意求出长方体纸盒的底面积即可； （2）根据题意求出长方体纸盒的长即可； （3）分别求出无盖纸盒的体积和有盖纸盒体积，即可求出答案． 【详解】（1）图1中的长方体纸盒的底面积为； 故答案为： （2）图2中的长方体纸盒的长为， 故答案为：14 （3）无盖纸盒的体积为：， 有盖纸盒体积为： ∵， ∴无盖纸盒的体积是有盖纸盒体积的2倍． 67．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）【问题情境】《制作无盖的长方体纸盒》是苏科版七上的课题学习，某综合实践小组在学习了这一课后，开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【问题解决】（1）下列图形中，是无盖正方体的表面展开图的是______；（填序号） （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）． ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面周长为______； ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果．则该长方体纸盒的体积为______； 【问题进阶】 （3）若一个无盖长方体的长、宽、高分别为6、4、3，它缺一个长为6，宽为4的长方形底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为______；通过比较长方体表面展开图取得最大外围周长和最小外围周长的两个图形，你发现了什么规律？你发现的规律是______． 【答案】（1）①③④；（2）①；②1000；（3）58，边长最短的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越大，边长最长的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越小． 【分析】本题考查简单几何体的展开图，熟练根据简单几何的展开图得出长方体的长宽高是解题的关键． （1）根据无盖正方体纸盒的面数和构成求解； （2）①根据正方形周长公式即可得解； ②根据长方体的体积公式即可得解； （3）根据边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，露出外围的边都是长边，边长最短的都剪，边长最长的不剪，露出外围的边都是短边，据此可得答案． 【详解】解：（1）根据构成，②只能折成4个面，①③④才能折成一个无盖正方体纸盒， 故选：①③④； （2）①由题意可知，长方体纸盒的底面为正方形，其边长为， ∴长方体纸盒的底面周长为， 故答案为： ②由题意可知，该长方体纸盒的长为，高为，宽为， ∴该长方体纸盒的体积为， 故答案为：1000； （3）边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，露出外围的边都是长边，边长最短的都剪，边长最长的不剪，露出外围的边都是短边，如图， 该长方体表面展开图的最大外围周长为， 该长方体表面展开图的最小外围周长为， 边长最短的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越大， 边长最长的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越小； 故答案为：58，边长最短的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越大，边长最长的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越小． 题型02 含有图案（文字）的正方体展开图 68．（23-24七年级上·河北保定·期末）一个正方体的每个面都有一个汉字，其平面展开图如图所示，那么在该正方体中与“学”字相对的字是（    ） A．考 B．试 C．加 D．油 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形特点，即可求得答案． 【详解】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，根据正方体的空间图形特点，其中面“考”与面“加”相对，面“学”与面“油”相对，“数”与面“试”相对． 故选：D． 69．（23-24七年级上·河北承德·期末）如图是一个正方体的表面展开图，则“数”字对面的字是（    ） 数 学 核 心 素 养 A．核 B．心 C．素 D．养 【答案】D 【分析】本题考查正方形相对面上的字，根据“相间、端是对面”求解即可． 【详解】解：正方体的平面展开图中，相间、端是对面， 所以在正方体中写有“数”字的那一面的对面的字是“养”． 故选：D． 70．（23-24七年级上·河北保定·期末）如图，一个正方体的六个面分别标有、、、、、，从三个不同方向看到的情况如图所示，则的对面应该是字母（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，观察三个正方体，与A相邻的字母有D、E、B、F，从而确定出A对面的字母是C；仔细观察图形从相邻面考虑求解是解题的关键． 【详解】解：由图可知，A相邻的字母有D、E、B、F， 所以A对面的字母是C， 所以对面的字母是， 故选：A． 71．（22-23九年级下·河北衡水·期中）如图是一个正方体的展开图，则该正方体可能是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据正方体的展开图可知，两点和五点是相对面，一点和六点是相对面，进行判断即可． 【详解】解：由正方体的展开图可知，两点和五点是相对面，一点和六点是相对面，故均不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查由展开图还原立方体．解题的关键是根据展开图确定正方体的相对面． 72．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）将下边的图形折成一个立方体，选项中的四个立方体（    ）是由下边的图形折成的． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正方体的表面展开图及空间想象能力．在验证立方体的展开图时，要细心观察每一个标志的位置是否一致，然后进行判断． 根据展开图可知，含有面和面不相邻，据此解答． 【详解】根据展开图可以得出正方体有梅花的图案与有横条的图案面相对（不相邻），符合要求的只有B． 故选：B． 73．（23-24七年级上·北京通州·期末）如图是一个无盖正方体盒子，盒底标有一个字母m，现沿箭头所指方向将盒子剪开，则展开后的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了几何体的侧面展开图，按照沿箭头所指方向将盒子剪开，可得到展开后的图形，解题的关键是要善于想象其侧面展开图的形状． 【详解】解：沿箭头所指方向将盒子剪开，可得到侧面展开为4个小正方形并连接一个标有一个字母m的小正方形，这个标有字母m的小正方形在最左侧小正方形的下面，由选项可得只有A符合， 故选：A． 74．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）如图所示的正方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方体的展开图，根据圆面、正方形面、三角形面是相邻面，且圆面、正方形面与三角形面只有一个公共顶点，可得答案． 【详解】解：根据图形得： A、C、D选项中折叠后带图案的三个面不能相交于同一个点，与原立方体不符； B选项中折叠后与原立方体符合，所以正确的是B． 故选：B 题型03直线、线段的数量与交点 75．（23-24七年级上·河北沧州·期末）由沧州西站到南京的某趟高铁，运行途中停靠的车站依次是：沧州西站—济南西站—曲阜东站—枣庄站—徐州东站—南京南站，那么铁路运营公司要为这条线路（往返）制作的车票有（    ） A．6种 B．12种 C．15种 D．30种 【答案】D 【分析】本题考查线段、直线、射线，掌握线段条数的计算方法是解决问题的关键．将每一个车站看作一个点，铁路线为线段，求出所有线段条数的2倍即可． 【详解】解：如图，        图中线段的条数为 由于车票往返的不同，因此需要制作火车票的种类为种， 故选：D． 76．（21-22七年级上·河北承德·期末）如图，两条直线相交，有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有 个交点，n条直线相交最多有 个交点． 【答案】 6 【分析】四条直线相交最多的交点个数可通过画图得出交点个数，通过继续增加直线的条数可以找出规律即可解答； 【详解】解： 如图，两条直线相交最多有1个交点，即； 三条直线相交最多有3个交点，即； 四条直线相交最多有6个交点，即， 五条直线相交最多有10个交点，即， …… ∴n条直线两两相交，最多有个交点（n为正整数，且n≥2）． 故答案为6；． 【点睛】本题考查了图形的变化，是一道关于数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律． 77．（19-20七年级上·重庆彭水·期末）如图，在平面内有 A，B，C三点，请在图中回答下列问题：    (1)画直线； (2)画射线； (3)画线段； (4)在线段上任取一点D (不同于 B，C)，连接，并延长至点 E，使； (5)在上述所画的图中，数一数，此时图中共有多少条线段？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 (5)共有8条线段 【分析】（1）根据直线的定义画图即可； （2）根据射线的定义画图即可； （3）根据线段的定义画图即可； （4）延长，然后截取即可； （5）根据线段的定义求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求；    （2）如图所示，射线即为所求； （3）如图所示，线段即为所求； （4）如图所示，线段和线段即为所求； （5）图中的线段有：线段，线段，线段，线段，线段，线段，线段和线段，共有8条线段． 【点睛】本题考查的是直线，线段，射线的定义，掌握基本作图语言并画出图形是解题的关键． 78．（19-20七年级上·山东济宁·期末）【观察思考】（1）如图线段AB上有两个点C、D，分别以点A、B、C、D为端点的线段共有 条 【模型构建】（2）若线段上有m个点（包括端点），则该线段上共有 条线段 【拓展应用】（3）若有8位同学参加班级的演讲比赛，比赛采用单循环制（即每两位同学之间都要进行一场比赛），请你应用上述模型构建，求一共要进行多少场比赛？ 【答案】（1）6；（2）；（3）一共要进行28场比赛 【分析】（1）从左向右依次固定一个端点A，C，D找出线段，最后求和即可； （2）根据数线段的特点列出式子化简即可； （3）将实际问题转化成（2）的模型，借助（2）的结论即可得出结论． 【详解】解：（1）∵以点A为端点的线段有：线段AC，AD，AB； 以点C为端点的线段有：线段CD，CB； 以点D为端点的线段有：线段DB． ∴共有线段3+2+1=6（条）； 故答案为：6； （2）设该线段上共有线段x条，则x=（m-1）+（m-2）+（m-3）+…+3+2+1， ∴x=1+2+3+…+（m-3）+（m-2）+（m-1）， ∴2x=m（m-1）， 即x=， 故答案为： ； （3）解：比赛采用单循环制，相当于把8位同学看作直线上的8个点，每两位同学之间的一场比赛看作一条线段， 由题知，当m=8时， = =28， 答：一共要进行28场比赛． 【点睛】此题是线段的计数问题，主要考查了数线段的方法和技巧，解本题的关键是找出规律，此类题目容易数重或遗漏，要特别注意． 题型04与中点有关的计算 79．（23-24七年级上·河北邯郸·期末）如图，点是线段的中点，点是线段的三等分点，若线段的长为，则线段的长度是（   ） A．10 B．9 C．7或9 D．8或10 【答案】D 【分析】本题考查了线段的中点、三等分点及线段的和；如图，点为线段的三等分点有，两种情况，分别求解，长度即可． 【详解】解：如图，由题意可知，， 故选：D． 80．（19-20七年级上·广东广州·期末）如图，C、D是线段上两点，M、N分别是线段、的中点，下列结论：①若，则；②若，则；③；④．其中正确的结论是（     ）    A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查中点有关的线段和差的计算，线段之间的数量关系，能够利用中点的性质求解一些线段之间的关系是解题的关键． 由可得得出，由中点的意义得出，进一步得出，从而可判断①；由可得，由中点的意义可得结论，从而判断②；由中点的意义可得，代入可判断③；由，得，代入可得故可判断④ 【详解】解： ， ， ， ， ，即，故①正确； ， ， 、分别是线段、的中点， ， ，故②正确； 、分别是线段、的中点， ， ， ，故③正确； ，， ， ， ，故④正确， ∴正确的有①②③④． 故选：D． 81．（22-23七年级上·江苏无锡·期末）如图，线段，动点P从A出发，以的速度沿运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（  ） ①运动后，；             ②的值随着运动时间的改变而改变； ③的值不变；                 ④当时，运动时间为．    A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题考查两点间的距离，动点问题，线段的和差问题，根据题意，分别用代数式表示出的长，根据线段之间和差倍关系逐一判断即可． 【详解】解：运动后，，， M为的中点， ， ，故①错误； 设运动t秒，则，， M为的中点，N为的中点， ， ， 的值随着运动时间的改变而改变，故②正确； ，， ， 的值不变，故③正确； ，， ， 解得：，故④正确； 故选：D 82．（16-17七年级上·北京西城·期末）A，B 两点在数轴上的位置如图所示，其中点 A 对应的有理数为，且．动点 P 从点 A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t）．    (1)当时，的长为 ，点 P 表示的有理数为 ； (2)当时，求t的值； (3)M为线段的中点，N 为线段 的中点．在点 P 运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段的长． 【答案】(1)2，； (2)或； (3) 【分析】本题主要是考查数轴上两点之间的距离，线段的和差运算和线段的中点的定义，只要能够画出图形就可以轻松解决，但是要注意考虑问题要全面． （1）根据点P的运动速度，即可求出； （2）当时，要分两种情况讨论，点P在点B的左侧或是右侧； （3）分两种情况结合中点的定义可以求出线段的长度不变． 【详解】（1）解：因为点 P 的运动速度每秒2个单位长度， 所以当时，的长为2， 因为点 A 对应的有理数为，， 所以点P表示的有理数为； （2）解：当，要分两种情况讨论， 点P在点B的左侧时，因为，所以，所以； 点P在点B的是右侧时，，所以； （3）解：MN长度不变且长为5． 理由如下：当在线段上时，如图，    ∵M为线段 的中点，N 为线段的中点， ∴，， ∴ ， ∵， ∴． 当在线段的延长线上时，如图，    同理可得：； 综上：． 83．（22-23七年级上·河北石家庄·期末）（1）如图，已知点C在线段上，且，点M、N分别是、的中点，求线段的长度；    （2）若点C是线段上任意一点，且，点M、N分别是、的中点，请直接写出线段的长度（用a、b的代数式表示）； （3）在（2）中，把点C是线段上任意一点改为：点C是直线上任意一点，其他条件不变，则线段的长度会变化吗？若无变化，求出结果． 【答案】（1）7cm；（2）cm；（3）会变化 【分析】本题考查线段中点有关的计算． （1）中点，得到，再利用，即可得出结果； （2）同法（1）进行求解即可； （3）分点在点的左侧，线段上，和点的右侧，三种情况进行讨论求解即可． 掌握线段的中点平分线段，正确的识图，理清线段之间的和差关系，是解题的关键． 【详解】解：（1）∵，点M、N分别是、的中点， ∴， ∴； （2），点M、N分别是、的中点， ∴， ∴； （3）会； ∵，点M、N分别是、的中点， ∴， ①当点C在B点的右边时， ； ②当点C在A点的左边时， ．； ③点C在线段上时，． 84．（19-20七年级上·河北沧州·期末）七（1）班的学习小组学习“线段中点”内容时得到一个很有意思的结论，请跟随他们一起思考． (1)发现： 如图1，线段，点C，E，F在线段上，当点E，F是线段和线段的中点时，线段的长为 ；若点C在线段的延长线上，其他条件不变（请在图2中按题目要求将图补充完整），得到的线段与线段之间的数量关系为 ． (2)应用： 如图3，现有长为40米的拔河比赛专用绳左右两端各有一段（和）磨损了，磨损后的麻绳不再符合比赛要求，已知磨损的麻绳总长度不足20米．只利用麻绳和一把剪刀（剪刀只用于剪断麻绳）就可以得到一条长20米的拔河比赛专用绳，学习小组应用“线段中点”的结论很快做出了符合要求的专用绳，请你尝试着“复原”他们的想法： ①在图中标出点E点F的位置，并简述画图方法； ②请说明①题中所标示E，F点的理由． 【答案】(1)6，，图见解析 (2)①见解析；②见解析 【分析】本题属于作图设计，线段的和差定义，线段的中点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）根据线段的和差定义，线段的中点的定义解决问题即可． （2）①如图3中，在上取得M，使得F为的中点，点E与C重合． ②根据线段的和差定义，线段的中点的定义解决问题即可． 【详解】（1）解：（1）如图1中， 如图2中， 故答案为6， （2）解：①如图3中，在上取得M，使得，F为的中点，点E与C重合． ②F为的中点， ， ，， ， ， ， 点E与C重合，， ， 点F落在线段上． 85．（23-24七年级上·河北邯郸·期末）如图，嘉淇设计了一动画，已知数轴上点，，表示的数分别为，，，是的中点，机器人（看成点）从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动，当机器人到达点时，机器人（看成点）同时从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动．设机器人的运动时间为秒． (1)的长为________个单位长度，的值为________； (2)当时，求点表示的数； (3)当机器人，之间的距离小于等于个单位长度时，机器人变成彩色，求机器人变成彩色的总时长； (4)当机器人，和点中有一个点到其他两点的距离相等时，直接写出的值． 【答案】(1)，； (2)点表示的数为； (3)秒； (4)或或或或． 【分析】（1）本题考查数轴上两点之间的距离，根据点，表示的数，即可算出的长，再利用是的中点，得到，即可解得的值． （2）本题根据线段的和差，得到点只能在点的右边，推出的长，即可解题； （3）分情况讨论，然后综合各种情况得到机器人变成彩色的总时长； （4）分情况进行讨论，然后综合各种情况得到的值； 此题考查了数轴的动点问题和一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意和分类讨论． 【详解】（1）解：∵数轴上点A，B表示的数分别为，， ∴， ∵ 是的中点， ∴， ∴表示的数分别为，即的值为， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴点只能在点的右边，位置如图所示： ∴，即，整理得，解得， ∴点表示的数为； （3）解：由（）可知，从运动到需秒， ∴，， ∴， 当追上时， ， 解得， 当追上之前， ∵， ∴ 解得， ∴， 当追上之后， ， ∵， ∴ 解得， ∴， 综上可知，， （秒） ∴机器人变成彩色的总时长为秒； （4）解：当机器人到达点时，机器人（看成点）同时从点出发，设机器人的运动时间为秒，则机器人的运动时间为秒， 当时，即点到点和点到点距离相等时， 当机器人到达点，此时点与点重合，即， 当机器人过点时，即， 解得或， 当时，即点到点和点到点距离相等时， 当机器人到达点时，即， 当机器人超过机器人时，， 解得或（舍去）， 当时，即点到点和点到点距离相等时， 当机器人未到达点时，即， 当机器人与机器人相遇时，即， 解得或， 综上可知，的值为或或或或． 题型05与线段有关的动点问题 86．（22-23七年级上·浙江温州·期末）如图1，一款暗插销由外壳，开关，锁芯DE三部分组成，其工作原理如图2，开关绕固定点O转动，由连接点D带动锁芯DE移动.图3为插销开启状态，此时连接点D在线段上，如位置.开关绕点O顺时针旋转180°后得到，锁芯弹回至位置（点B与点重合），此时插销闭合如图4.已知，，则 mm. 【答案】24 【分析】结合图形得出当点D在O的右侧时，即位置时，B与点E的距离为，当点D在O的左侧时，即位置时，B与点E重合，即位置，得出，再由图形中线段间的关系得出，即可求解． 【详解】解：由图3得，当点D在O的右侧时，即位置时，B与点E的距离为， 由图4得，当点D在O的左侧时，即位置时，B与点E重合，即位置， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：24． 【点睛】题目主要考查线段间的数量关系，理解题意，结合图形求解是解题关键． 87．（21-22七年级上·河北廊坊·期末）如图，P是线段上一点，，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线向左运动，到达点A处即停止运动．    (1)若点C，D的速度分别是，． ①当动点C，D运动了2s，且点D仍在线段上时，_________cm； ②若点C到达中点时，点D也刚好到达的中点，则_________； (2)若动点C，D的速度分别是，，点C，D在运动时，总有，求的长 【答案】(1)①12；② (2) 【分析】（1）①先分别求出，再根据即可得； ②设运动时间为，则，再根据线段中点的定义可得，由此即可得； （2）设运动时间为，则，从而可得，再根据可得，从而可得，由此即可得． 【详解】（1）解：①依题意得：， ，点仍在线段上， ∴， 故答案为：； ②设运动时间为，则， ∵当点到达中点时，点也刚好到达的中点， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：设运动时间为，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了与线段有关的动点问题、线段的和与差、线段的中点，熟练掌握线段之间的数量关系是解题的关键． 88．（23-24七年级上·江西南昌·期末）已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点C、D运动了，求的值； (3)若点C、D运动时，总有，则 ；（直接填空） (4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) (4)或1 【分析】本题考查了线段上的动点问题，线段的和差，较难的是题（4），依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键． （1）先求出、的长，再根据线段的和差即可得； （2）先求出与的关系，再根据线段的和差即可得； （3）根据已知得，然后根据，代入即可求解； （4）分点N在线段上和点N在线段的延长线上两种情况，再分别根据线段的和差倍分即可得． 【详解】（1）解：根据题意知，，， ∵，， ∴， ∴，， 故答案为：；． （2）解：当点C、D运动了时，，， ∵， ∴； 故答案为：； （3）解：根据C、D的运动速度知：， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （4）解：①当点N在线段上时，如图1，      ∵， 又∵ ∴， ∴ ∴； ②当点N在线段的延长线上时，如图2，    ∵， 又∵， ∴， ∴； 综上所述：或1． 89．（22-23七年级上·河北石家庄·期末）在直角三角形中，，，，点从点开始以的速度沿的方向移动，点从点开始以的速度沿的方向移动．如果点同时出发，用表示移动时间，那么： (1)如图1，请用含t的代数式表示（不用带单位）： ①当点在上时，______； ②当点在上时，______； ③当点在上时，______； ④当点在上时，______； (2)如图2，若点在线段上运动，点在线段上运动，当时，试求出的值； (3)点到达点时，，两点都停止运动．请直接写出当时的值． 【答案】(1)；；； (2)2 (3)或 【分析】（1）根据三角形的边长，点的运动速度解答即可； （2）根据题意列出方程，解方程即可； （3）分点在线段上运动，点在线段上运动；点在线段上运动，点在线段上运动；点在线段上运动，点在线段上运动三种情况列出方程，解方程即可． 【详解】（1）①当点在上时，； ②当点在上时，； ③当点在上时，； ④当点在上时，； （2）解：由题意得，， 解得 （3）解：∵ ∴当点在线段上运动，点在线段上运动时， ，解得； 当点在线段上运动，点在线段上运动时， ，解得； 当点在线段上运动，点在线段上运动时， ，解得（不合题意）； 综上：或时． 【点睛】此题主要考查了三角形的有关知识，解题关键是掌握点在三角形的各边上的运动情况． 题型06 几何计算综合问题 90．（2023七年级上·浙江·专题练习）已知，以O为端点作射线，使，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查角的计算，分两种情况，射线在射线左侧或右侧两种情况，即可求出． 【详解】解：①如图，当射线在射线右侧，   ； ②如图，当射线在射线左侧，   ． 的度数是或． 故选：C． 91．（23-24七年级上·河北保定·期末）已知，射线在射线的上方，平分． (1)如图1，当射线在射线的下方，且时，求的度数．请补全下面嘉嘉的解答过程； 解：因为，， 所以____________________度． 因为平分，所以____________________度， 所以__________＝__________度． (2)如图2，当射线在射线的上方，且时，求的度数． 【答案】(1)；80；；40；；10 (2)． 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和与差． （1）利用角平分线的定义求得，再利用角的和与差计算即可求解； （2）先求得的度数，再利用角平分线的定义求得，据此求解即可． 【详解】（1）解：因为，， 所以度． 因为平分，所以度， 所以度 故答案为：；80；；40；；10； （2）解：因为，， 所以． 因为平分， 所以， 所以． 92．（15-16七年级上·山东日照·期末）如图，是的平分线，是的平分线． (1)如图1，当是直角，时，的度数是多少？ (2)如图2，当，时，猜想与α的数量关系； (3)如图3，当，时，猜想：与α、β有数量关系吗？如果有，指出结论并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)与α有关，与β无关，，理用见解析 【分析】本题考查了角度的运算，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据题意可得，再根据角平分线的定义可得，，从而根据求得的度数； （2）同理（1），，，，从而求得的度数； （3）同理（1），，，，从而求得的度数； 【详解】（1）解：是直角，， ， 是的平分线，是的平分线， ，， ； （2）解：同理（1），， ，， ； （3）解：与α有关，与β无关，，理由如下： 同理（1），， ，， ． 93．（22-23七年级上·辽宁葫芦岛·期末）在一次数学实践探究活动中，小明和他的同伴们将两个直角三角尺按如图所示方式放置，发现了其中的奥秘． (1)如图①，已知，若，则________； (2)如图②，已知，若，求的度数； (3)经过一番探究，小明和他的同伴们发现：如图③，若，，则可以用含α和β的式子直接表示的度数，你发现什么规律了吗？请你写出正确的结论，不必证明． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了角的和差运算，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． （1）先求得的度数，再根据即可求解； （2）先求得的度数，再根据即可求解； （3）先求得，再根据即可求解． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∴； （3）∵，， ∴， ∴． 94．（23-24七年级上·河北保定·期末）【特例感知】如图1，已知线段，，点和点分别是，的中点．若，则__________；    【知识迁移】我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在内部转动，射线和射线分别平分和；    ①若，，求的度数； ②请你猜想，和三个角有怎样的数量关系？请说明理由． 【类比探究】如图3，在内部转动，若，，，，求的度数．（直接写出结果，用含有的式子表示）．    【答案】【特例感知】21；【知识迁移】①；②，理由见解析；【类比探究】 【分析】本题主要考查线段中点以及角平分线的定义和角的和差； 【特例感知】欲求，需求．则需求．根据点C和点D分别是，的中点，得，进而解决此题． 【知识迁移】①欲求，需求．已知，需求．由射线和射线分别平分和，可求出，进而解决此题．②与①同理可证． 【类比探究】由，可得，，从而得到，再根据，即可求解． 【特例感知】∵，，， ∴， ∵点和点分别是，的中点， ∴， ∴． ∴． 故答案为：21． 【知识迁移】①∵射线和射线分别平分和， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴， ； ②．理由如下： ∵射线和射线分别平分和， ∴． ∴， ； 【类比探究】∵， ∵， ∴， ， ． 95．（22-23七年级上·河北·期末）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成1:2两个部分的射线，叫做这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，，则是的一条三分线． (1)如图1，若，则 ； (2)如图2，若，，是的两条三分线，且． ①则 ； ②若以点为中心，将顺时针旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 ． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题属于新定义类型的问题，主要考查了角的计算，解决问题的关键是掌握角的三分线的定义，解题时注意分类思想的运用，分类时不能重复，也不能遗漏． （1）根据，则，由此可得出结论； （2）①根据，是的三分线，且，可得，，据此可得的度数； ②分两种情况：当是的三分线，且时，；当是的三分线，且时，，分别求得的值． 【详解】（1）， ， ， 故答案为：； （2）①如图2，是的一条三分线，且， ，， ； 故答案为：； ②分两种情况： 当是的三分线，且时，则， ， ， ； 当是的三分线，且时，， ， ； 综上所述，或． 96．（21-22七年级上·河北沧州·期末）以直线上一点O为端点，在直线的上方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在O处，即，且直角三角板在直线的上方．    (1)如图1，若直角三角板的一边在射线上，则 ； (2)如图2，直角三角板的边在的内部． ①若恰好平分，求和的度数； ②请直接写出与之间的数量关系； (3)若，求此时的度数． 【答案】(1)40°； (2)①；②； (3)30°或60°． 【分析】本题考查了余角，角平分线的定义，熟练掌握余角，角平分线的定义，分情况讨论是解题关键． （1）根据两个角互为余角，求出的度数； （2）①根据平角定义先求出，根据角平分线的定义得，进而求出； ②根据角的和差关系求出与之间的数量关系； （3）分两种情况分别论述：第一种情况，如图2，当在的内部时，第二种情况，如图3，当在的外部时，分别计算． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵ ∴ 故答案为：40°； （2）解：如图2 ①∵， ∴， ∵恰好平分 ∴， ∴； ②与之间的数量关系为：； ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ （3）解：第一种情况，如图2，当在的内部时， ∵ ∴． ∵ ∴ ∵， ∴ ∴； 第二种情况，如图3，当在的外部时， ∵， ∴． ∵， ∴ ∵ ∴ ∴． 综上所述，的度数为30°或60°．    97．（23-24七年级上·河北邢台·期末）如图1，线段，C是线段的中点，线段，且线段在线段上移动． （1）当时，________，________． （2）当线段在线段上移动时，探究与的数量关系，并说明理由． 拓展探究 （3）如图2，在直线上方从点出发引出射线，射线在的右边，且平分． ①若，求的度数； ②在直线上方绕点转动，当射线在射线的左边时，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1）6；2；（2），详见解析；（3）①；②，详见解析 【分析】本题考查的是线段的中点的含义，线段的和差运算，角平分线的定义，角的和差运算，熟练的利用数形结合的方法解题是关键； （1）由线段的中点可得，再结合线段的和差关系可得答案； （2）由线段的中点可得，结合，再结合线段的和差关系可得答案； （3）①由角平分线的定义求解，再结合角的和差关系可得答案；②如图， 先求解．，再利用角的和差关系可得答案． 【详解】解：（1）∵线段，C是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∵线段， ∴， ∴； （2）． 理由：∵，是线段的中点， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （3）①∵平分， ∴， ∵，， ∴， ， ． ②．理由如下： 如图，∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． 98．（22-23七年级上·山西吕梁·期末）综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师以直线上一点O为端点作射线，，，，使平分，平分，若，求的度数．    特例探究： （1）从特殊到一般是研究几何的一般思路，如图2，“兴趣小组”将一个三角尺的直角顶点放在点O处，即当时，则的度数为______；（直接写出答案，不写过程） （2）受“兴趣小组”的启发，“智慧小组”将三角尺角的顶点放在点O处，即当时，请你在图3中求的度数； 数学思考： （3）请你在图1中，求的度数）（用含有的式子表示）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）求得，利用角平分线的定义得，据此求解即可； （2）求得，利用角平分线的定义得，据此求解即可； （3）求得，利用角平分线的定义得求解即可． 【详解】解：（1）因为，所以， 因为平分，平分， 所以，， 所以 ； 故答案为：； （2）因为，所以， 因为平分，ON平分， 所以，， 所以 ； （3）因为，所以， 因为平分，平分， 所以，， 所以 ． 【点睛】本题考查角度计算，涉及角平分线的定义，解题的关键是根据题意得到． 99．（22-23七年级上·河北邢台·期末）已知，，，分别是，的平分线． (1)如果，重合，且在的内部，如图1，求的度数； (2)如果将图1中的绕点顺时针旋转，如图2．则______（用含的式子表示）； (3)如果的位置和大小不变，的边的位置不变，改变的大小，将图1中的绕着点顺时针旋转，如图3，求的度数（用含m的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据角平分线的定义得：，，相减可得的度数； （2）根据角的和差，即可计算即可； （3）根据角的和差计算即可． 【详解】（1）解：如图1平分，， ， ∵平分，， ， ． （2）解：由（1）可知，，， ∵， ， ． 故答案为：； （3） 理由：∵，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ 【点睛】本题考查角的计算、角平分线的定义、角的和差计算等知识，解题的关键是熟练掌握角的和差进行角度计算，属于中考常考题型． 100．（17-18八年级下·江苏扬州·阶段练习）解答下列问题．    (1)【探索新知】 如图1，射线在的内部，图中共有个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”． ①一个角的平分线 这个角的“巧分线”．（填“是”或“不是”） ②如图2，若，且射线是的“巧分线”，则 ．（用含的代数式表示出所有可能的结果） (2)【深入研究】 如图2，若，且射线绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当与与成时停止旋转，旋转的时间为秒． ①当为何值时，射线是的“巧分线”． ②若射线同时绕点以每秒的速度逆时针旋转，并与同时停止．请直接写出当射线是的“巧分线”时的值． 【答案】(1)①是；②或或 (2)①或或；②或或 【分析】（1）①根据巧分线定义即可求解； ②分3种情况，根据巧分线定义即可求解； （2）①分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可； ②分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可． 【详解】（1）解：①一个角的平分线是这个角的“巧分线”； 故答案为：是 ②∵， 当是的角平分线时， ∴； 当是三等分线时，较小时， ∴； 当是三等分线时，较大时， ∴； 故答案为：或或； （2）解：①∵是的“巧分线”， ∴在内部，所以转至左侧， ∵与成时停止旋转，且，旋转速度为． ∴． 当时，如图所示：   ， 解得； 当时，如图所示：   ， 解得； 当时，如图所示：   ， 解得． ∵或或均在的范围内， ∴综上可得：当为或或时，射线是的“巧分线”； ②依题意有：在的内部， ∴，， 当时，如图所示：   ， 解得； ②当时，如图所示：   ， 解得； ③当时，如图所示：   ， 解得． ∴当t为或或时，射线是的“巧分线”． 【点睛】本题是一道阅读理解型的题目，主要考查了角之间的数量关系，巧分线定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力，解题的关键是理解“巧分线”的定义． 试卷第2页，共86页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$