专题03 一元一次方程的解法及应用（15题型100题）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学上学期期末真题分类汇编（河北专用）

专题03 一元一次方程的解法及应用 题型01 一元一次方程定义 1．（23-24七年级上·河北廊坊·期中）下列方程中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·重庆渝中·开学考试）下列选项中是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级上·河北唐山·期中）若是关于的一元一次方程，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·河北廊坊·期末）下列方程是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级上·河北唐山·期末）若方程□是关于的一元一次方程，则“□”可以是（   ） A． B． C． D． 题型02等式的性质 6．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）已知等式，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（23-24七年级上·河北邯郸·期末）运用等式的性质将等式变形，可得（    ） A． B．1 C．5 D． 8．（23-24七年级上·河北承德·期末）运用等式性质进行的变形，不正确的是（ ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么或 D．如果，那么 9．（23-24七年级上·河北廊坊·期末）下列变形正确的是（    ） ①由，得②由得 ③由，得④由，得 A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 10．（23-24七年级上·河北保定·期末）如图，已知相同物体的质量相等，①中天平保持平衡状态，则②中天平（    ） A．能平衡 B．不能平衡，右边比左边低 C．不能平衡，左边比右边低 D．无法确定 11．（23-24七年级上·河北张家口·期末）小颖碰到一道解方程的题目：，她在方程的两边除以，竟然得到，其错误的原因是（    ） A．没有考虑时的情况 B．方程无解 C．方程本身是错的 D．小于 12．（23-24七年级上·河北保定·期末）已知，利用等式的性质比较与的大小关系： （填“”“”“”） 题型03 一元一次方程的解 13．（22-23七年级上·河北廊坊·期末）下列方程的解为的是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24七年级上·河北承德·期末）下列方程中，解是的是（ ） A． B． C． D． 15．（23-24七年级上·河北沧州·期末）已知是方程的解，则的值是（    ） A．3 B．1 C． D． 16．（23-24七年级上·河北保定·期末）写出一个解是5的一元一次方程 ． 17．（23-24七年级上·河北承德·期末）方程如下排列：的解是；的解是；的解是；的解是 ……，根据观察得到的规律，写出解是的方程是 ． 18．（22-23七年级上·河北石家庄·期末）已知为自然数，请尝试用检验的方法解方程：． 题型04 解一元一次方程 19．下列方程变形中，正确的是（　　） A．方程，去分母得 B．方程，去括号得 C．方程，系数化为1得 D．方程，移项得 20．（17-18七年级·全国·单元测试）下列变形正确的是（    ） A．由，移项得 B．由，去分母得 C．由，去括号得 D．把中的分母化为整数得 21．（23-24七年级上·河北廊坊·期末）下面是佳佳作业中一个问题的解答过程： 解：① ② ③ ④ (1)第①步的变形为______（填去分母、去括号、移项或合并同类项）； (2)解方程的过程中开始出现错误的步骤是第______步，请写出该方程正确的求解过程． 22．（23-24七年级上·河北邯郸·期末）关于方程，嘉嘉的解法如下． 解：去分母，得，…① 去括号，得，…② 合并同类项，得， ，…③ 两边同时除以，得3=0．…④ 所以方程无解． (1)嘉嘉从第_________步开始出错（填序号），理由是___________________； (2)请正确求解该方程． 23．（23-24七年级上·河北沧州·期末）下面是林海同学的解题过程：解方程 解：……第①步 ……第②步 ……第③步 ……第④步 ……第⑤步 ……第⑥步 (1)林海的解题过程从第______步开始出现错误； (2)请你帮林海写出正确的解题过程． 24．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）计算 (1) (2) 25．（23-24七年级上·河北保定·期末）解方程： (1)； (2)． 26．（23-24七年级上·河北承德·期末）（1）解方程：         （2）解方程： 27．（23-24七年级上·河北保定·期末）解下列方程 (1) (2) 题型05 一元一次方程应用--古代问题 28．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱，多出3钱；每人出7钱，还差4钱．问：人数、物价各是多少？若设物价是x钱，根据题意列一元一次方程，正确的是（    ）    A． B． C． D． 29．（18-19七年级上·全国·课后作业）我国古代数学名著《算法统宗》中，有一道“群羊逐草”的问题，大意是：牧童甲在草原上放羊，乙牵着一只羊来，并问甲：“你的羊群有100只吗？”甲答：“如果在这群羊里加上同样的一群，再加上半群，四分之一群，再加上你的一只，就是100只。”问牧童甲赶着多少只羊？若设牧童甲赶着x只羊，则下列方程中，正确的是（    ） A． B． C． D． 30．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）约1500年前，《孙子算经》中记载了一个有趣的问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡、兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下数，有94只脚，求笼中各有几只鸡和兔？经计算可得（   ） A．鸡20只，兔15只 B．鸡12只，兔23只 C．鸡15只，兔20只 D．鸡23只，兔12只 31．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）下图是《九章算术》中著名的“盈不足”问题，其内容大致意思是：“今有几个人合伙购买一件物品，每人出钱，会多钱；每人出钱，又差钱．问人数和物品价格分别是多少？”下列不正确的是（    ） 《九章算术》“盈不足” 今有共买物， 人出八，盈三； 人出七，不足四， 问人数、物价各几何？ A．若设有人合伙购买物品，依题意得 B．若设物品的价格为钱，依题意得 C．合伙购买的人数是人 D．物品的价格是钱 32．（22-23九年级下·河北衡水·期中）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑（xǔ）酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？下面是甲、乙两种解答方案，则（    ） 甲：设换了清酒斗，列方程为，…； 乙：设用斗谷子换清酒，列方程为，… A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对 题型06一元一次方程应用--日历问题 33．（23-24七年级上·河北承德·期末）在排成每行七天的日历表中取下一个方块，若所有9个日期数之和为189，则最大的数是（ ） A．21 B．28 C．29 D．31 34．（19-20七年级上·河北沧州·期末）如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和不可能的是（    ）      A．63 B．70 C．96 D．105 35．（22-23七年级上·河北廊坊·期末）如图是2005年5月份的日历，如图中那样，用一个圈竖着圈住3个数，如果被圈住的三个数的和为30，则这三个数最小一个所表示的日期为2005年5月 日． 36．（23-24七年级上·河北保定·期末）数学活动一一探究日历中的数字规律：如图见年月份的日历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图所示的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图1中的结果为 ；将的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现的值均为 ； (2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，， ． （ ） ＝ ． 所以，的值均为 ． (3)拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图1中的日历．继续进行如下探究．请从下列A，B两题中任选一题作答，我选择 题． A．日历中用“型框”框住位置如图3所示的四个数．探究“”的值的规律．写出你的结论．并说明理由． B．日历中用“型框”框住位置如图4所示的四个数．探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． 37．（22-23七年级上·河北邯郸·期末）如图，将连续的奇数1，3，5，7．．…按图1中的方式排成一个数表，用一个十字框框住5个数，这样框出的任意5个数中，四个分支上的数分别用a、b、c、d表示，如图2所示． (1)计算：若十字框中间的数为17，则________； (2)发现猜想：移动十字框，比较与中间的数x．则十字框中a、b、c、d的和是中间的数x的____________倍； (3)验证：用含x的式子分别表示出a、b、c、d，并利用整式运算验证（2）中猜想的正确性； (4)应用：设，判断M的值能否等于2030，请说明理由． 题型07 一元一次方程应用--工程问题 38．（22-23七年级上·河北石家庄·期末）某建筑工程要求按期完成，已知甲队单独施工需要天完成，乙队单独施工需要天完成，现乙队单独做5天后，两队合作，则正好按期完工．问该工程的工期是几天？设该工程的工期为x天，则列方程为（    ） A． B． C． D． 39．（23-24七年级上·河北廊坊·期末）某学校的供暖工程需铺设热力管道6300米，甲工程队负责铺设．甲工程队施工一个星期后发现，每天平均只能铺设200米，按此速度将无法按期完成任务．为能及时供上暖确保师生温暖过冬，甲工程队决定邀请乙工程队来共同铺设剩余的管道，如果乙工程队平均每天能铺设150米，那么乙工程队参与后，还需铺设多少天才能完成这项工程？ 40．（23-24七年级上·河北唐山·期末）一项工程，甲队单独做需要12天完成，乙队单独做需要8天完成．甲队先做2天后，再由两队合做，还需要几天完成任务？ 【师生分析】设两队合做还需天完成任务，图是老师在黑板上画的线段示意图． (1)请按线段示意图写出A处代表的实际意义；处代表的代数式； (2)按照【师生分析】所作的线段示意图列方程解决问题． 41．（22-23七年级上·河北保定·期末）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米． (1)求甲工程队每天掘进多少米 (2)按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天． 42．（23-24七年级上·河北保定·期末）某物业计划修整小区绿化带，现有甲乙两个工程队均有意愿承接此项工程．已知甲队计划每天修整32平方米，乙队计划每天修整48平方米，若单独完成这项工作，甲队比乙队要多用10天，修整期间，甲乙两队的人工费用分别为800元/天和1200元/天． (1)求这项工程共需修整绿化带多少平方米？ (2)此项工程先由甲，乙两队按原计划修整速度合作一段时间后，甲队因事停工，乙队立刻将自己每天的修整速度提高25%.且工资随之上涨了200元/天，独立完成剩下工作，已知乙队的全部工作时间是甲队工作时间的2倍还多2天，求乙队共修整多少天？ 43．（23-24七年级上·河北邯郸·期末）问题提出： 如图1，A、B、C、D表示四个村庄，村民们准备合打一口水井． 问题解决： （1）若水井的位置现有P、Q两种选择方案．点P在线段上，点Q在线段上，哪一种方案的水井到各村庄的距离总和较小？请测量并验证你的判断； （2）你能给出一种使水井到各村庄的距离之和最小的方案吗？若能，请图2中标出水井的位置点M，并说明理由． 问题拓展： 如果（2）问中找出的水井经过招标，由两个工程队修建（不存在同时修建）．已知甲工程队单独完成需要80天，乙工程队单独完成需要120天，且甲工程队比乙工程队每天多修建． （3）问水井要修建几米？ （4）若甲工程队每天的施工费为0.5万元，乙工程队每天的费用是0.25万元，为了缩短工期和节约资金，则甲工程队最多施工几天才能使工程款不超过35万元？（甲、乙两队的施工时间不足一天按一天算）． 题型08 一元一次方程应用--配套问题 44．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）某食品厂中秋节前要制作一批盒装月饼，每盒有2块大月饼和4块小月饼，制作1块大月饼要用面粉，制作1块小月饼要用面粉，若现有面粉，设可以生产x盒盒装月饼，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 45．（23-24七年级上·河北邯郸·期末）某工厂生产茶具，每套茶具由1个茶壶和4只茶杯组成，主要材料是紫砂泥，用1千克紫砂泥可做3个茶壶或6只茶杯，现要用9千克紫砂泥制作这些茶具，设用千克紫砂泥做茶壶时，恰好使制作的茶壶和茶杯配套，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 46．（22-23七年级上·河北邢台·期末）某工厂计划生产一种新型豆浆机，每台豆浆机需要3个甲种零件和1个乙种零件正好配套，已知车间每天能生产甲种零件540个或乙种零件120个，现要在10天中使所生产的甲、乙两种零件全部配套，那么应该安排多少天生产甲种零件，多少天生产乙种零件？ 47．（23-24七年级上·河北廊坊·期末）某校七（1）班共有学生52人，其中女生上比男生多4人，该班在社会实践课上准备用硬纸板制作茶盒子的盒身和盒底，规定：每个学生在一定时间范围内剪盒身40个或剪盒底50个． (1)该班男生、女生各有多少人． (2)该班原计划男生负责剪盒底，女生负责剪盒身，若一个盒身配2个盒底，则这节课做出的盒身和盒底配套吗？如果不配套，那么女生需要支援男生几人，才能使本节社会实践课制作的盒身和盒底刚好配套？ 48．（22-23七年级上·湖南株洲·期末）小敏和小强假期到某厂参加社会实践，该工厂用白板纸做包装盒，设计每张白板纸做盒身2个或者做盒盖3个，且一个盒身和两个盒盖恰好做成一个包装盒．为了充分利用材料，要求做成的盒身和盒盖正好配套． (1)现有14张白板纸，问最多可做几个包装盒？（用一元一次方程的应用解答） (2)现有27张白板纸，问最多可做几个包装盒？ 为了解决这个问题，小敏和小强各设计了一种解决方案： 小敏：把这些白板纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒盖； 小强：先把一张白板纸适当套裁出一个盒身和一个盒盖，余下白板纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒盖． 请探究：小敏和小强设计的方案是否可行？若可行，求出最多可做包装盒的个数；若不行，请说明理由． 题型01 双方程的解 49．（23-24七年级上·河北邯郸·期末）若关于的方程的解和方程的解相同，则的值为（   ） A．7 B．2 C．1 D． 50．（23-24七年级上·浙江台州·期末）若关于的一元一次方程和的解互为相反数，则 ． 51．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）已知关于x的方程与方程的解互为倒数，求的值． 52．（23-24七年级上·广东东莞·期末）若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程为“和谐方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和谐方程”． (1)试判断方程是不是“和谐方程”； (2)若，有符合要求的“和谐方程”吗？若有，求的值；若没有，请说明理由． 53．（23-24七年级下·四川内江·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”，例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解． 题型02 自定义背景下解一元一次方程 54．（20-21七年级上·安徽芜湖·期末）对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号min{a，b}表示a、b两数中较小的数，例如min{2，-4}＝-4，则方程min{x，-x}＝3x＋4的解为（  ） A．x＝－1 B．x＝－2 C．x＝－1或x＝－2 D．x＝1或x＝2 55．（22-23七年级上·河北沧州·期末）对有理数a，b，规定运算☆的意义是：，则方程的解是 ； 56．（23-24七年级上·宁夏银川·期末）定义一种新运算“”的含义为：．例如：，若，则x的值为 ． 57．（23-24七年级上·河北沧州·期末）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定． 如：． (1)______； (2)若，求的值； (3)若，（其中为有理数），试比较，的大小． 题型03 错解复原问题 58．（23-24七年级上·河北保定·期末）小亮在做作业时，不小心将墨水洒在了作业纸上，导致方程=x中的一个常数被污染，同桌说正确答案是，则被污染的常数是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 59．（22-23七年级上·河北张家口·期末）嘉嘉在解关于的一元一次方程时，发现常数“”被污染了． （1）若嘉嘉猜“”是，则原方程的解为 ， （2）老师说：“此方程的解是正整数且常数为正整数”，则被污染的常数“”是 ． 60．（23-24七年级上·河北承德·期末）嘉淇在解关于x的一元一次方程时，发现常数被污染了； (1)嘉淇猜是，请解一元一次方程； (2)老师告诉嘉淇这个方程的解为，求被污染的常数． 61．（22-23七年级上·河北唐山·期末）小亮在解关于的一元一次方程时，发现正整数□被污染了； (1)小亮猜□是5，请解这个一元一次方程； (2)若老师告诉小亮这个方程的解是正整数，则被污染的正整数是多少？ 62．（23-24七年级上·河北廊坊·期中）嘉淇在进行解一元一次方程的练习时，发现有一个方程“■”中的常数被“■”遮挡． (1)嘉淇猜想“■”遮挡的常数是1，请你算一算x的值； (2)老师说此方程的解与方程的解相同，请你算一算“■”遮挡的常数是多少？ 题型04 一元一次方程应用--方案问题 63．（23-24七年级上·山西大同·期末）综合与实践：2023年10月5日，杭州第19届亚运会女子篮球决赛，中国队战胜日本队，夺得金牌，这则消息提升了青少年参加篮球运动的热情．某体育用品商店抓住时机，对甲、乙两品牌篮球开展促销活动，已知甲、乙两品牌篮球的标价分别是160元／个，60元／个，现有如下两种优惠方案： 方案一：不购买会员卡时，甲品牌篮球享受8.5折优惠，乙品牌篮球5个以下按标价购买，买5个（含5个）以上时所有球享受8.5折． 方案二：办理一张会员卡100元，会员卡只限本人使用，全部商品享受7.5折优惠． (1)若购买甲品牌篮球5个，乙品牌篮球3个，哪一种方案更优惠？优惠多少元？ (2)若购买甲品牌篮球若干个，乙品牌篮球6个，且方案一与方案二所付钱数一样多，求购买甲品牌篮球的个数． 64．（23-24七年级上·河北廊坊·期末）某服装厂生产一种夹克和恤，夹克每件定价150元，恤每件定价75元，厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：①买一件夹克送一件恤；②夹克和恤都按定价的付款，现某客户要到该服装厂购买夹克30件，恤件． (1)若按方案①购买夹克和恤共需付款______元（用含的式子表示）； 按方案②购买夹克和恤共需付款______元（用含的式子表示）； (2)当购买的恤为多少件时，两种方案所需费用相同？ 65．（23-24七年级上·河北保定·期末）已知某超市酸奶的定价为20元/箱，玻璃杯的定价为5元/个．该超市酸奶区推出了两种优惠促销方案，如下表所示，现某顾客需要购买40箱酸奶和x个玻璃杯． 方案一 酸奶和玻璃杯一律按九折优惠 方案二 购买一箱酸奶，赠送一个玻璃杯 (1)请用含x的式子分别表示按方案一、方案二购买时所需的费用； (2)当时，请通过计算说明该顾客按哪个方案购买更省钱； (3)当购买多少个玻璃杯时，上述这两种方案的花费一样多？ 66．（23-24七年级上·河北唐山·期末）某体育用品商店销售的乒乓球拍每副定价为元，乒乓球每桶定价元．元旦期间，该商店推出让利大酬宾活动，如图，某学校到该商店购买了副乒乓球拍和桶乒乓球．    (1)若该学校按方案一购买，需付款______元；若该学校按方案二购买，需付款______元．（用含x的代数式表示） (2)购买乒乓球多少桶时，两种方案的费用相同？ (3)若两种方案可同时使用，当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？写出你的购买方案，并计算需付款多少元． 67．（23-24七年级上·河北沧州·期末）某超市销售某品牌的羽毛球拍和羽毛球，羽毛球拍每副定价102元，羽毛球每桶定价30元．店庆期间该超市开展促销活动，活动期间向顾客提供两种优惠方案． 方案一：买一副羽毛球拍送一桶羽毛球；方案二：羽毛球拍和羽毛球都按定价的付款． 现某羽毛球培训学校要到该超市购买羽毛球拍5副，羽毛球x桶（）： (1)若该校按方案一购买，需付款_________元：（用含x的代数式表示）， 若该校按方案二购买，需付款_________元．（用含x的代数式表示）； (2)当x取何值时，两种方案一样优惠？ (3)当时，通过计算说明按以上两种方案时哪种方案购买较为合算？ 68．（22-23七年级上·河北沧州·期末）随着河北省体育中考政策出台，体育总分将提高到50分，包括过程性考核20分和现场测试30分．某中学为推进学校体育教学改革，适应新的中考要求，决定添置一批体育器材．学校准备在网上订购一批某品牌跳绳和足球，在查阅某些网店后发现有A、两家网店商品定价相同并提供包邮服务，跳绳每条定价30元，足球每个定价160元．经过协商，两家网店给出了各自的优惠方案，A网店：买一个足球送一条跳绳；网店：跳绳和足球都按定价的90%付款，已知要购买足球60个，跳绳条（）． (1)若在A网店购买，需付款________元（用含的代数式表示），若在网店购买，需付款________元（用含的代数式表示）； (2)当时，通过计算说明此时在哪一家网店购买较为合算？ (3)试求当取何值时，在两家网店的购买费用相同？ (4)若，综合两家网店优惠方案，你能设计一种最省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并计算需付款多少元？ 题型05 一元一次方程应用--营销问题 69．（23-24七年级上·河北保定·期末）某种商品每件的标价是660元，按标价的八折销售时，利润率为．则这种商品每件的进价为（    ） A．480元 B．528元 C．580.8元 D．600元 70．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）某文具店店庆促销，单价为100元的书包，打x折后，每个再减10元，降价后售价为70元．则x的值为（    ） A．六 B．七 C．八 D．九 71．（21-22七年级上·河北承德·期末）小红和同学们去一家快餐店吃饭，下表为快餐店的菜单： 种类 配．餐 价格（元） 优惠活动 A餐 1份盖饭 20 消费满150元，减24 元消费满300元，减48元 …… B餐 1份盖饭+1杯饮料 28 C餐 1份盖饭+1杯饮料+1份小菜 32 小红记录大家的点餐种类，并根据菜单一次点好，已知他们所点的餐共有11份盖饭，x杯饮料和5份小菜． (1)他们共点了 份B餐；（用含x的式子表示） (2)若他们套餐共买6杯饮料，求实际花费多少元； (3)若他们点餐优惠后一共花费了256元，请通过计算分析他们点的套餐是如何搭配的． 72．（23-24七年级上·河北保定·期末）一商场经销的A，B两种商品，A种商品每件进价40元，利润率为50%；B种商品每件进价50元，售价80元． (1)A种商品每件售价为______元； (2)若该商场同时购进A，B两种商品共100件，恰好总进价为4700元，求购进A，B两种商品各多少件？ (3)元旦期间，该商场对A，B两种商品进行优惠促销活动：如果购物超过600元，那么超过600元的部分打折优惠．琪琪购买了总价值为800元的A，B商品，享受优惠后，实际共付款720元，直接写出该商场超过600元的部分是打几折销售的？ 73．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）某超市经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润 20元；乙种商品每件进价50元，售价80元． 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于450元 不优惠 超过450元但不超过600元 按售价打九折 超过 600元 其中600元部分八点二折优惠，超过600元的部分打三折优惠 (1)甲种商品每件进价为________元，每件乙种商品利润为________元； (2)此超市同时购进甲、乙两种商品共50件，总进价为2100元，求购进甲种商品多少件？ (3)在“春节”期间，该商场对所有商品进行如下的优惠促销活动，按上述优惠条件，若小丽一次性购买乙种商品实际付款504元，求小丽购买商品的原价是多少？ 74．（23-24七年级上·河北沧州·期末）一种商品按销售量分三部分制定销售单价，如下表： 销售量 单价 不超过100件部分 2.6元/件 超过100件不超过300件部分 2.2元/件 超过300件部分 2元/件 (1)若买100件花______元，买260件花______元；买350件花______元； (2)某社团为举行活动花了568元买这种商品作为纪念品，求购买这种商品多少件？ (3)若张强花了元，恰好购买件这种商品，求的值． 75．（23-24七年级上·河北廊坊·期末）文具店出售甲、乙两种品牌的书包，相关数据如下表所示： 进价（元/个） 售价（元/个） 甲品牌 60 88 乙品牌 80 100 (1)三月份开学季，文具店购进甲、乙两种品牌的书包，其中甲品牌书包的数量为乙品牌书包数量的，设乙品牌书包的进货数量为个． ①文具店购进甲、乙两种品牌书包的总费用为______元；（用含的式子表示） ②若购进乙品牌书包168个，求该文具店花费的总费用． (2)六月份文具店又购进一定数量的甲、乙两种品牌的书包，并在原售价的基础上进行如下促销活动： 甲品牌书包实行“买三赠一”的优惠． 乙品牌书包实行八五折优惠． 若购进的甲、乙品牌的书包均全部售完，并共获得2080元的利润，已知购进甲品牌书包80个（均四个一组卖出），求购进乙品牌书包的数量． 76．（15-16七年级上·山东日照·期末）某社区超市第一次用元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的倍多件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：（注：） 甲 乙 进价（元/件） 售价（元/件） (1)该超市购进甲、乙两种商品各多少件？ (2)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？ (3)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多元，求第二次乙商品是按原价打几折销售？ 题型06一元一次方程应用--行程问题 77．（23-24七年级上·河北沧州·期末）京张高铁根据不同的运行区间设置了不同的时速．其中，北京北站到清河段全长11千米，分为地下清华园隧道和地上区间两部分，运行速度分别设计为80千米/小时和120千米/小时．按此运行速度，地下隧道运行时间比地上大约多3分钟，如果设地下清华园隧道全长为千米，那么下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 78．（23-24七年级上·河北廊坊·期末）如图是《九章算术》中记载的一个问题： 今有野鸭从南海起飞，7天到北海；大雁从北海起飞，9天到南海．现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞，问经过多少天相遇？ 若设经过天相遇，甲、乙、丙三人列得如下方程： 甲：；乙：；丙：． 则下列说法正确的是（    ） A．只有甲列得的方程正确 B．只有乙列得的方程正确 C．只有乙列得的方程不正确 D．只有丙列得的方程不正确 79．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）如图，线段、、三条线段首尾相接，组成折线段，，．动点P从点A出发，沿着的方向运动，点P在上以2个单位长度/秒的速度运动，在上运动速度变为原来的一半，在上又恢复为2个单位长度/秒的速度运动；点P出发的同时，动点Q从点C出发，始终以1个单位长度/秒的速度沿着方向运动．当点P运动至点C时，点Q也随之停止运动．设运动的时间为t秒． （1）动点P从点A运动至点C需要 秒； （2）当P，Q两点相遇时，相遇点M与点B相距 个单位长度． 80．（22-23七年级上·河北邢台·期末）已知长方形中，，，动点从点出发沿以每秒2个单位的速度运动；同时，点也从点出发以每秒3个单位的速度沿运动，当其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动． 设运动时间为秒．    （1）当点到达终点时，点在边 ； （2）当点在边上运动时，用表示的式子为 ； （3）点、相遇时， 秒． 81．（23-24七年级上·河北承德·期末）甲乙两船从B港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中速度都是，水流速度时，后两船同时到达A、C两港口，卸装货物后，又同时出发，甲船驶往C港口，乙船驶往A港口．(提示：顺水速度船速水速；逆水速度船速水速) (1)A、C两港口相距多远？ (2)港口间比港口间多多少千米？(用含a的代数式表示) (3)卸装货物后同时出发，两船又经过______相遇，若相遇处距B港口50千米，求甲船还需几到达C港口？ 82．（23-24七年级上·河北邢台·期末）如图，某景区内的游览车路线是边长为1000米的正方形，现有1号、2号两游览车分别从出口和景点同时出发．1号车顺时针、2号车逆时针沿环形路连续循环行驶，供游客随时免费乘车（上、下车的时间忽略不计），两车速度均为200米/分．设行驶时间为t分． (1)两车首次相遇时，求的值； (2)当时，求为何值时两车相距的路程是400米？ (3)一游客在上从向出口走去，当步行到上一点时，刚好与2号车迎面相遇，设米．若该游客从点到出口有以下两种方式： 方式1：立即乘坐2号车； 方式2：在点等候乘坐1号车． 请用含的代数式分别表示这两种方式该游客从点到出口的时间；并据此判断哪一种方式用时少，少多少分钟？ 83．（23-24七年级上·安徽亳州·期中）以下是两张不同类型火车（“Dxxx次”表示动车，“Gxxx次”表示高铁）的车票： (1)根据车票中的信息填空：该列动车和高铁是________（填“相”或“同”）向而行，该列动车比高铁发车________（填“早”或“晚”）． (2)已知该列动车和高铁的平均速度分别为200km/h，300km/h，两列火车的长度不计，高铁比动车早到1h，求A，B两地之间的距离． (3)在（2）的条件下，求高铁出发多少小时后两车相距150km． 84．（22-23七年级上·河北石家庄·期末）嘉嘉和淇淇利用周日从A城出发，骑车前往附近的景区C游玩，并记录了从出发到返回的全过程，部分信息如下： （1）去时沿路线骑行，在景区游玩1.5小时，结束后抄近路骑行返回； （2）去时的平均速度比返回时的平均速度每小时快4千米； （3）返回时的路线比去时的路线短6千米； （4）去时，从A城市出发后1小时15分钟后到达的位置，离景区还有5千米； （5）从景区返回A城用时1.5小时，返回A城时正好是午餐时间12：00， 据此信息，请求出嘉嘉和淇淇两人是在什么时间从A城出发前往景区的？ 85．（13-14七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，点A从原点出发沿数轴向左运动，同时，点也从原点出发沿数轴向右运动，3秒后，两点相距15个单位长度．已知点的速度是点A的速度的4倍．（速度单位：单位长度/秒）    (1)求出点A、点运动的速度，并在数轴上标出A、两点从原点出发运动3秒时的位置； (2)若A、两点从（1）中的位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴向左运动，几秒时，原点恰好处在点A、点的正中间？ (3)若A、两点从（1）中的位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴向左运动时，另一点同时从点位置出发向A点运动，当遇到A点后，立即返回向点运动，遇到点后又立即返回向A点运动，如此往返，直到点追上A点时，点立即停止运动．若点一直以20单位长度/秒的速度匀速运动，那么点从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？    题型07一元一次方程应用--几何问题 86．（23-24七年级上·河北保定·期末）如图所示，有一直圆柱形的实心铁柱直立于一个内部装有水的圆柱形水桶内，水桶内的水面高度为，且水桶与铁柱的底面半径为．如将铁柱移至水桶外部，过程中水桶内的水量未改变，若不计水桶的厚度．则水桶内的水面高度变为（　　）． A．4.5 B．6 C．8 D．9 87．（23-24七年级上·河北廊坊·期末）对于题目：“如图，点分别是长方形的边和上的点，沿折叠长方形，点落在点处，若与两个角之差的绝对值为，确定的所有度数．”甲的结论是，乙的结论是．下列判断正确的是（    ） A．甲的结论正确 B．乙的结论正确 C．甲、乙的结论合在一起才正确 D．甲、乙的结论合在一起也不正确 88．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”．关于“巧分线”有下列4种说法： ①一个角的平分线是这个角的“巧分线”， ②一个角的“巧分线”只有角平分线这一条， ③，，则射线是的“巧分线”， ④若，且射线是的“巧分线”，则或． 其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 89．（23-24七年级下·广西来宾·期中）利用两块相同的长方体木块（阴影部分）测量一件长方体物品的高，首先按图1所示的方式放置，再按图2所示的方式放置，测量的数据如图所示，则长方体物品的高是 ． 90．（23-24七年级上·河北邯郸·期末）如图，点，，在数轴上表示的数分别是，3和1，两动点，同时出发，动点从点出发，以每秒4个单位的速度沿往返运动，回到点停止运动；动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿向终点匀速运动，设点的运动时间为． (1)当点到达点时，求点所表示的数是___________； (2)当时，求线段的长； (3)在整个运动过程中，当，两点到点的距离相等时，求出的值． 91．（23-24七年级上·辽宁丹东·期中）如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是6，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，运动时间为秒.    (1)直接写出线段的长度； (2)当点运动到点的右侧时，直接写出线段的长度（用含的代数式表示）； (3)当秒时，点到点，点的距离相等；点到点，点的距离相等，求此时线段的长度. (4)当点从点出发时，另一个动点同时从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动. ①点表示的数为：______________（用含的代数式表示）； 点表示的数为：______________（用含的代数式表示）； ②请直接写出，，三点中有一点恰好到另外两点的距离相等时的值. 92．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）如图，在直角三角形中，，，，点P从点A开始以的速度向点B移动，点Q从点C开始以的速度沿的方向移动．如果点P，Q同时出发，P点到达B点时，P，Q两点都停止运动，移动时间用表示． （1）当点Q在上运动时， （用含t的代数式表示）； （2）当时， ． 93．（14-15七年级上·江苏苏州·期末）如图，，垂足为C点，，点Q是的中点，动点P由B点出发，沿射线方向匀速移动．点P的运动速度为．设动点P运动的时间为ts．为方便说明，我们分别记三角形面积为S，三角形的面积为，三角形的面积为，三角形的面积为 (1)________（用含的代数式表示）； (2)当点P运动几秒，，说明理由； (3)请你探索是否存在某一时刻，使得，若存在，求出值，若不存在，说明理由． 94．（22-23七年级上·河北秦皇岛·期末）如图，在长方形中，，，点沿边从点开始向点以的速度移动；点沿边从点开始向点以的速度移动，如果同时出发，用（）表示移动的时间，那么：    （1）如图1，当 时，线段的长度等于线段的长度； （2）如图2，当 时，与的长度之和是长方形周长的； （3）如图3，点到达后继续运动，到达点后停止运动；到达后也继续运动，当点停止运动的同时点也停止运动，当 时，线段的长度等于线段长度的一半． 95．（21-22七年级上·湖北十堰·期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为、，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 （1）填空： ①、两点间的距离______，线段的中点表示的数为______； ②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为______；点表示的数为______； （2）求当为何值时，； （3）若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 96．（23-24七年级上·河北保定·期末）根据所学数轴知识，解答下面的问题： (1)知识再现：在数轴上有三个点如图所示．    ①点表示的数是______；之间的距离是______； ②将点向左平移个单位，此时该点表示的数是______； (2)知识迁移：如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端与数轴上的点重合，右端与数轴上的点重合．    ①若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所应的数为；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为，由此可得这根木棒的长为______？ ②图中点所表示的数是______，点所表示的数是______； (3)知识应用：由（2）中①、②的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题： 一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要年才出生你若是我现在这么大，我就岁啦！”请问奶奶现在多少岁了？ 琪琪的想法是：借助数轴，把妙妙和奶奶的年龄差看作木棒，奶奶像妙妙这样大时，可看作点移动到点，此时点向左移动后，所对应的点所表示的数为，    根据琪琪的想法，完成一下问题： ①若把移动到时，此时点向右移动后，所对应的点表示的数为______， ②求奶奶现在多少岁了． 97．（23-24七年级上·河北沧州·期末）钟表是我们日常生活中常用的计时工具．如图，在圆形钟面上，把一周等分成12个大格，每个大格等分成5个小格，分针和时针均绕中心O匀速转动．（本题中的角均指小于的角） (1)分针每分钟转_________度，时针每分钟转_________度，当时间为时，分针和时针的夹角为_________度； (2)求2：00开始后几分钟分针第一次追上时针； (3)点A为4点钟的位置，平分，平分，从开始计时，t分钟后（），，求t的值． 98．（21-22七年级上·湖北襄阳·期末）一副三角尺（分别含和）按如图所示摆放在量角器上，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合，将三角尺绕量角器中心点以每秒的速度顺时针旋转，当边与刻度线重合时停止运动，设三角尺的运动时间为． (1)当时，边经过的量角器刻度线对应的度数是___________度 (2)如图，若在三角尺开始旋转的同时，三角尺也绕点以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转，． 用含的代数式表示：当为何值时， 从三角尺与三角尺第一对直角边和斜边重叠开始起到另一对直角边和斜边重叠结束止，经过的时间为___________秒 99．（23-24七年级上·河北保定·期末）爱钻研的琪琪发现将图1所示的手表，理解成图2的数学模型（点A和点D是表带的两端，点A，B，C，D在同一条线段上），可以产生下面的数学问题． (1)已知表盘直径为4cm，，若B是中点，则表带______cm． (2)在某个时刻，分针指向表盘上的数字“6”（此时与重合）．时针为，表盘显示时间为是，如图3所示． ①时分针和时针的夹角为______度； ②作射线，使，求此时的度数； (3)如图4所示，自之后，若射线始终是的角平分线（分针还是），在一小时以内，经过______分钟后，的度数是（直接写出结果）． 100．（23-24七年级上·河北张家口·期末）如图：已知，射线绕点从射线位置开始按顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点从射线位置开始按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转时间为秒（）． (1)用含的代数式表示的度数； (2)在运动过程中，当第二次达到时，求的值； (3)射线，在旋转过程中是否存在这样的，使得射线是由射线，射线，射线中的其中两条组成的角（指大于而不超过的角)的平分线？如果存在，请直接写出的值；如果不存在．请说明理由． 试卷第2页，共87页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！28 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 一元一次方程的解法及应用 题型01 一元一次方程定义 1．（23-24七年级上·河北廊坊·期中）下列方程中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义；解题的关键是熟练掌握“只含有一个未知数，且未知数的高次数是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程”． 【详解】解：A．中含有两个未知数，且含有未知数项的最高次数是2，因此不是一元一次方程，故A错误； B．中含有两个未知数，因此不是一元一次方程，故B错误； C．是一元一次方程，故C正确； D．中含有未知数项的最高次数是2，因此不是一元一次方程，故D错误． 故选：C． 2．（22-23七年级下·重庆渝中·开学考试）下列选项中是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程．根据定义即可求出答案． 【详解】解：A、不是方程，不是一元一次方程，不符合题意； B、含有2个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； C、未知数的最高次不是1，不是一元一次方程，不符合题意； D、是一元一次方程，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查一元一次方程，解题的关键是正确运用一元一次方程的定义，本题属于基础题型． 3．（22-23七年级上·河北唐山·期中）若是关于的一元一次方程，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是（，是常数且）． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴，且， 解得：． 故选：D． 【点睛】本题考查一元一次方程的定义，注意一元一次方程需要满足的条件为：只含有一个未知数，未知数的指数是，一次项系数不为．理解和掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 4．（23-24七年级上·河北廊坊·期末）下列方程是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的定义．方程中含有1个未知数，且未知数的次数是1，这样的整式方程叫做一元一次方程，根据该定义即可解答． 【详解】A选项：方程中含有2个未知数x，y，它不是一元一次方程； B选项：方程可化简为，它不含未知数，因此不是一元一次方程； C选项：方程的次数是2，它不是一元一次方程； D选项：方程只有1个未知数，且未知数的次数是1，因此它是一元一次方程． 故选：D 5．（23-24七年级上·河北唐山·期末）若方程□是关于的一元一次方程，则“□”可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式，根据一元一次方程的定义逐项判断即可，熟练掌握一元一次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、，是一元一次方程，故符合题意； B、中，含有两个未知数，不是一元一次方程，故不符合题意； C、中未知数的次数是2次，不是一元一次方程，故不符合题意； D、中，含有两个未知数，未知数的次数是2次，不是一元一次方程，故不符合题意； 故选：A． 题型02等式的性质 6．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）已知等式，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，根据等式的基本性质，对题目中的四个选项逐一进行判断即可得出答案，熟练掌握等式的基本性质是解决问题的关键． 【详解】∵， ∴， 故选项A不正确，不符合题意； ∵， ∴， 故选项B正确，符合题意； ∵， ∴当时，， 故选项C不正确，不符合题意； ∵， ∴， 故选项D不正确，不符合题意； 故选：B． 7．（23-24七年级上·河北邯郸·期末）运用等式的性质将等式变形，可得（    ） A． B．1 C．5 D． 【答案】C 【分析】此题考查了等式的性质，能够利用等式的性质进行灵活变形．观察等式，只需在等式的左右两边加上即可． 【详解】解：等式的左右两边加上，得 ， ， 即． 故选：C． 8．（23-24七年级上·河北承德·期末）运用等式性质进行的变形，不正确的是（ ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么或 D．如果，那么 【答案】C 【分析】本题考查了等式的基本性质．等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立，熟练掌握等式的性质是解题的关键．根据等式的基本性质可判断出选项正确与否． 【详解】解：A．如果，那么，正确； B．如果，那么，正确； C．如果，那么或，故不正确； D．如果，那么，正确； 故选：C． 9．（23-24七年级上·河北廊坊·期末）下列变形正确的是（    ） ①由，得②由得 ③由，得④由，得 A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时除以一个不为零的数字或式子等式仍然成立． 【详解】解：①由，得，原式变形错误； ②由得，原式变形错误； ③由，得，原式变形正确； ④由，得，原式变形正确； 故选：D． 10．（23-24七年级上·河北保定·期末）如图，已知相同物体的质量相等，①中天平保持平衡状态，则②中天平（    ） A．能平衡 B．不能平衡，右边比左边低 C．不能平衡，左边比右边低 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查等式的性质．分别将三个图形的质量用字母表示，根据①写出一个等式并利用等式的基本性质2求得两种不同图形的质量关系，再根据等式的基本性质1得到关于天平两边质量的一个等式，从而判断即可． 【详解】解：设□的质量是a，△的质量是b，〇的质量是c． 根据①，得． 根据等式的基本性质2，将两边同时除以2，得； 根据等式的基本性质1，将两边同时加上，得； ∵②中天平左侧的质量为，右侧的质量为， ∴左侧的质量右侧的质量， ∴②中天平能平衡， 故选：A． 11．（23-24七年级上·河北张家口·期末）小颖碰到一道解方程的题目：，她在方程的两边除以，竟然得到，其错误的原因是（    ） A．没有考虑时的情况 B．方程无解 C．方程本身是错的 D．小于 【答案】A 【分析】此题考查了解一元一次方程，熟记等式的性质是解本题的关键．方程两边除以x，没有考虑x是否为0． 【详解】解：小颖碰到一道解方程的题目：， 她在方程的两边都除以x，竟然得到， 原因是：没有考虑时的情况． 故选A． 12．（23-24七年级上·河北保定·期末）已知，利用等式的性质比较与的大小关系： （填“”“”“”） 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，把等式变形为减等于多少的形式，从而可得结论．注意：两个数的差大于，被减数大于减数；两个数的差等于，被减数和减数相等；两个数的差小于，被减数小于减数． 【详解】解： 移项得： 合并同类项得： 提取公因数得： 化简： 故答案为：． 题型03 一元一次方程的解 13．（22-23七年级上·河北廊坊·期末）下列方程的解为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查方程的解，根据方程的解的定义，把分别代入各个选项方程中的左右两边进行计算即可，理解一元一次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：把代入， 选项A：左边，右边，因此不是的解，故不符合题意； 选项B：左边，右边，因此是的解，故符合题意； 选项C：左边，右边，因此不是的解，故不符合题意； 选项D：左边，右边，因此不是的解，故不符合题意； 故选：B． 14．（23-24七年级上·河北承德·期末）下列方程中，解是的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解是解题的关键． 根据一元一次方程的解直接代入进行排除选项即可． 【详解】A、等号左边，右边，所以左边≠右边，故不符合题意； B、等号左边，右边，所以左边=右边，故符合题意； C、等号左边，左边≠右边，故不符合题意； D、等号左边，左边≠右边，故不符合题意； 故选B． 15．（23-24七年级上·河北沧州·期末）已知是方程的解，则的值是（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方程的解，把代入求解即可． 【详解】解：把代入得：，解得：， 故选：D． 16．（23-24七年级上·河北保定·期末）写出一个解是5的一元一次方程 ． 【答案】（不唯一） 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义、方程的解等知识点，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 根据一元一次方程的定义写出一个满足题意的方程即可． 【详解】解：一元一次方程的解是5 ． 故答案为：（不唯一）． 17．（23-24七年级上·河北承德·期末）方程如下排列：的解是；的解是；的解是；的解是 ……，根据观察得到的规律，写出解是的方程是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的解，根据已知方程及解的特点归纳总结规律从而得解．弄清题中的规律是解本题的关键． 【详解】解：根据题中已知的方程与解总结规律得： 方程的解是， ∴的解是，解为的方程是， 故答案为：；． 18．（22-23七年级上·河北石家庄·期末）已知为自然数，请尝试用检验的方法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，能理解方程的解的定义（使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解）是解此题的关键． 根据为自然数，取、、、，分别代入方程，再看看方程两边是否相等即可． 【详解】解：当时，等号左边，等号右边，左边右边； 当时，等号左边，等号右边，左边右边； 当时，等号左边，等号右边，左边右边； 当时，等号左边，等号右边，左边右边； 所以是方程的解． 题型04 解一元一次方程 19．下列方程变形中，正确的是（　　） A．方程，去分母得 B．方程，去括号得 C．方程，系数化为1得 D．方程，移项得 【答案】A 【分析】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，注意等式的性质的应用．根据等式的性质，逐项判断即可． 【详解】解：方程，去分母得， 选项A符合题意； 方程，去括号得， 选项B不符合题意； 方程，系数化为1得， 选项C不符合题意； 方程，移项得， 选项D不符合题意． 故选：A． 20．（17-18七年级·全国·单元测试）下列变形正确的是（    ） A．由，移项得 B．由，去分母得 C．由，去括号得 D．把中的分母化为整数得 【答案】D 【分析】本题主要考查一元一次方程的解法，常用步骤是：去分母，去括号，移项，合并同类项，把系数化为1． 根据解一元一次方程的步骤计算，并判断． 【详解】解：A、由，移项得：，不符合题意； B、由，去分母得：，不符合题意； C、由，去括号得：，不符合题意； D、把中的分母化为整数得，符合题意， 故选：D． 21．（23-24七年级上·河北廊坊·期末）下面是佳佳作业中一个问题的解答过程： 解：① ② ③ ④ (1)第①步的变形为______（填去分母、去括号、移项或合并同类项）； (2)解方程的过程中开始出现错误的步骤是第______步，请写出该方程正确的求解过程． 【答案】(1)去分母 (2)②，过程见解析 【分析】本题考查了将分式方程化为一元一次方程，去分母、去括号、移项合并同类项： （1）由题可得分式方程变成了一元一次方程，可知这一步是去分母； （2）去括号时，如果括号之前是负数，则括号里的符号均需改变，由此可知②错误；按照正常的求解过程正常解答即可； 正确计算是解题的关键． 【详解】（1）解：由题可得，第一步为分式方程变成了一元一次方程， ∴第①步的变形为去分母， 故答案为：去分母； （2）解：解答过程中②出现错误，去括号时出错，括号之前是负数，括号里的符号均需改变， 故答案为：②； 正确求解过程如下：， 去分母得：， 去括号得：， 移项可得：， 解得：． 22．（23-24七年级上·河北邯郸·期末）关于方程，嘉嘉的解法如下． 解：去分母，得，…① 去括号，得，…② 合并同类项，得， ，…③ 两边同时除以，得3=0．…④ 所以方程无解． (1)嘉嘉从第_________步开始出错（填序号），理由是___________________； (2)请正确求解该方程． 【答案】(1)④，两边同时除以时，未考虑的情况 (2)见详解． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程． （1）按照解一元一次方程的步骤分析判断即可得出答案． （2）按照解一元一次方程的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：嘉嘉从第④步开始出错，理由是方程两边同时除以时，未考虑的情况． 故答案为：④，两边同时除以时，未考虑的情况 （2） 去分母得：， 去括号，得， 移项合并同类项得：， 化系数为1∶， 23．（23-24七年级上·河北沧州·期末）下面是林海同学的解题过程：解方程 解：……第①步 ……第②步 ……第③步 ……第④步 ……第⑤步 ……第⑥步 (1)林海的解题过程从第______步开始出现错误； (2)请你帮林海写出正确的解题过程． 【答案】(1)② (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程： （1）观察林海的解题过程即可得出结论； （2）把错误的过程修改过来即可． 【详解】（1）解：认真观察林海的解题过程，可知：在第②涉出现错误， 故答案为：②； （2）解：， ， ， ， ， ， . 24．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可． （1）先去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可； （2）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可． 【详解】（1）解：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：． 25．（23-24七年级上·河北保定·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可． （1）先去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可； （2）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可． 【详解】（1）解：， 去括号，可得：， 移项，可得：， 合并同类项，可得：， 系数化为1，可得：． （2）解：， 去分母，可得：， 去括号，可得：， 移项，可得：， 合并同类项，可得：， 系数化为1，可得：． 26．（23-24七年级上·河北承德·期末）（1）解方程：         （2）解方程： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）根据去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可． （2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可． 【详解】解：（1） 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， ； （2） 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得，． 27．（23-24七年级上·河北保定·期末）解下列方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】题目主要考查解一元一次方程的方法步骤，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题关键 （1）先去括号，然后移项、合并同类项，系数化为1求解即可； （2）先去分母，然后去括号，移项、合并同类项，系数化为1求解即可； 【详解】（1）解：去括号，得 移项、合并同类项，得 方程两边同除以2，得 （2）解：去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 方程两边同除以，得 题型05 一元一次方程应用--古代问题 28．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱，多出3钱；每人出7钱，还差4钱．问：人数、物价各是多少？若设物价是x钱，根据题意列一元一次方程，正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列一元一次方程．设物价是x钱，根据人数不变即可列出一元一次方程；由此即可确定正确答案． 【详解】解：设物价是钱，则根据可得： ， 故选：B． 29．（18-19七年级上·全国·课后作业）我国古代数学名著《算法统宗》中，有一道“群羊逐草”的问题，大意是：牧童甲在草原上放羊，乙牵着一只羊来，并问甲：“你的羊群有100只吗？”甲答：“如果在这群羊里加上同样的一群，再加上半群，四分之一群，再加上你的一只，就是100只。”问牧童甲赶着多少只羊？若设牧童甲赶着x只羊，则下列方程中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程的知识．根据“再得这样的一群羊，再得这群羊的一半，还得这群羊的四分之一，最后凑上你的这只羊，正好是100只”这一等量关系列出方程即可． 【详解】解：设牧童甲赶着x只羊，根据题意得： ． 故选：D． 30．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）约1500年前，《孙子算经》中记载了一个有趣的问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡、兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下数，有94只脚，求笼中各有几只鸡和兔？经计算可得（   ） A．鸡20只，兔15只 B．鸡12只，兔23只 C．鸡15只，兔20只 D．鸡23只，兔12只 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程在“鸡兔问题”中的实际应用，解题的关键是未知数的设法：若设兔为x只，则由于鸡兔共35只，则鸡有只． 分别设出鸡、兔的只数，然后根据脚的总数建立方程即可：兔的脚数鸡的脚数． 【详解】解：设笼中有x只兔，则有只鸡． 依据题意得：， 去括号得： 移项合并同类项得：， ∴． 即兔有12只，则鸡有：（只）． 故选：D． 31．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）下图是《九章算术》中著名的“盈不足”问题，其内容大致意思是：“今有几个人合伙购买一件物品，每人出钱，会多钱；每人出钱，又差钱．问人数和物品价格分别是多少？”下列不正确的是（    ） 《九章算术》“盈不足” 今有共买物， 人出八，盈三； 人出七，不足四， 问人数、物价各几何？ A．若设有人合伙购买物品，依题意得 B．若设物品的价格为钱，依题意得 C．合伙购买的人数是人 D．物品的价格是钱 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程解决应用题，解题的关键是根据题意找到等量关系．根据总钱数不变列方程即可求解． 【详解】解：若设有人合伙购买物品，依题意得， 解得：， 则物品的价格是， 若设物品的价格为钱，依题意得， 故选：B． 32．（22-23九年级下·河北衡水·期中）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑（xǔ）酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？下面是甲、乙两种解答方案，则（    ） 甲：设换了清酒斗，列方程为，…； 乙：设用斗谷子换清酒，列方程为，… A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对 【答案】A 【分析】根据题意，设未知数，找等量关系列方程即可得到答案． 【详解】解：甲：设换了清酒斗，则醑酒斗， 列方程为； 乙：设用斗谷子换清酒，则用斗谷子换醑酒， 列方程为； 甲正确、乙错误， 故选：A． 【点睛】本题考查列方程解实际应用题，读懂题意，找准等量关系是解决问题的关键． 题型06一元一次方程应用--日历问题 33．（23-24七年级上·河北承德·期末）在排成每行七天的日历表中取下一个方块，若所有9个日期数之和为189，则最大的数是（ ） A．21 B．28 C．29 D．31 【答案】C 【分析】此题考查一元一次方程的应用，解题的关键熟知日历的特点． 根据日历的特点即可列出方程即可求解． 【详解】解：设日历中间的数为n，所有日期数之和为189， ∴， ∴， ∴， ∴最大的数是． 故选C． 34．（19-20七年级上·河北沧州·期末）如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和不可能的是（    ）      A．63 B．70 C．96 D．105 【答案】C 【分析】设最中间的数是，再表示出其他六个数，求出它们的和，再根据四个选项求出x的值，根据月历的图象判断出不可能的值． 【详解】解：设最中间的数是，则前后两个数分别是和，上面一行的两个数是和，最下面一行的两个数是和， 那么这7个数的和是：， 若7个数的和是63，则，根据图象发现这种情况成立，故A不符合题意； 若7个数的和是70，则，根据图象发现这种情况成立，故B不符合题意； 若7个数的和是96，则，x不是正数，这种情况不成立，故C符合题意； 若7个数的和是105，则，根据图象发现这种情况成立，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是掌握日历问题的列式方法． 35．（22-23七年级上·河北廊坊·期末）如图是2005年5月份的日历，如图中那样，用一个圈竖着圈住3个数，如果被圈住的三个数的和为30，则这三个数最小一个所表示的日期为2005年5月 日． 【答案】3 【分析】设中间的数为x，则第一个为，第三个为，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设中间的数为x，则第一个为，第三个为， ∴， 解得：， ， ∴最小一个所表示的日期为5月3日， 故答案为：3． 【点睛】题目主要考查一元一次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键． 36．（23-24七年级上·河北保定·期末）数学活动一一探究日历中的数字规律：如图见年月份的日历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图所示的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图1中的结果为 ；将的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现的值均为 ； (2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，， ． （ ） ＝ ． 所以，的值均为 ． (3)拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图1中的日历．继续进行如下探究．请从下列A，B两题中任选一题作答，我选择 题． A．日历中用“型框”框住位置如图3所示的四个数．探究“”的值的规律．写出你的结论．并说明理由． B．日历中用“型框”框住位置如图4所示的四个数．探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． 【答案】(1)0；0 (2)；；0；0 (3)A，理由见解析 【分析】本题考查了数字类规律探索： （1）根据图形规律即可求解； （2）设，则，，，根据数量关系列出算式计算即可求解； （3）A．设，则，，，根据数量关系列出算式计算即可求解；B．设，则，，，根据数量关系列出算式计算即可求解； 根据图形得出规律是解题的关键． 【详解】（1）解：， 将的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现的值均为0， 故答案为：0；0 （2）设，则，，， ． 所以，的值均为0， 故答案为：；；0；0． （3）A．的值均为0， 理由：设，则，，， ， 所以，的值均为0 B．的值均为， 理由：设，则，，， ， 所以，的值均为． 37．（22-23七年级上·河北邯郸·期末）如图，将连续的奇数1，3，5，7．．…按图1中的方式排成一个数表，用一个十字框框住5个数，这样框出的任意5个数中，四个分支上的数分别用a、b、c、d表示，如图2所示． (1)计算：若十字框中间的数为17，则________； (2)发现猜想：移动十字框，比较与中间的数x．则十字框中a、b、c、d的和是中间的数x的____________倍； (3)验证：用含x的式子分别表示出a、b、c、d，并利用整式运算验证（2）中猜想的正确性； (4)应用：设，判断M的值能否等于2030，请说明理由． 【答案】(1) (2)4 (3)，证明见解析 (4)M的值不能等于2030，理由见解析 【分析】（1）根据题意直接把四个数字相加即可得到答案； （2）根据中间数上面的数比中间数小12，下面的数比中间的数大12可得中间数上下两个数的和是中间数的2倍，同理中间数左右两个数的和也是中间数的2倍，由此即可得到答案； （3）用x表示a、b、c、d，相加后即等于； （4）得到方程，求出的x不符合数表里数的特征，故不能等于2030． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：由题意得，中间数上下两个数的和是中间数的2倍，中间数左右两个数的和也是中间数的2倍， ∴十字框中a、b、c、d的和是中间的数x的4倍， 故答案为：4； （3）解：由题意得，， ∴， ∴猜想正确； （4）解：M的值不能等于2030，理由如下： ， 若， 解得：， ∵整个数表所有的数都为奇数，故不成立， ∴M的值不能等于2030． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用,整式的加减计算，当解得方程的解后，要观察是否满足题目和实际要求再进行取舍． ． 题型07 一元一次方程应用--工程问题 38．（22-23七年级上·河北石家庄·期末）某建筑工程要求按期完成，已知甲队单独施工需要天完成，乙队单独施工需要天完成，现乙队单独做5天后，两队合作，则正好按期完工．问该工程的工期是几天？设该工程的工期为x天，则列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据各分工程量之和等于总工程量即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， 故选：D． 39．（23-24七年级上·河北廊坊·期末）某学校的供暖工程需铺设热力管道6300米，甲工程队负责铺设．甲工程队施工一个星期后发现，每天平均只能铺设200米，按此速度将无法按期完成任务．为能及时供上暖确保师生温暖过冬，甲工程队决定邀请乙工程队来共同铺设剩余的管道，如果乙工程队平均每天能铺设150米，那么乙工程队参与后，还需铺设多少天才能完成这项工程？ 【答案】乙工程队参与铺设14天才能完成这项工程 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，准确计算． 【详解】解：设乙工程队参与铺设x天才能完成这项工程，则 ， 解得：； 答：乙工程队参与铺设14天才能完成这项工程． 40．（23-24七年级上·河北唐山·期末）一项工程，甲队单独做需要12天完成，乙队单独做需要8天完成．甲队先做2天后，再由两队合做，还需要几天完成任务？ 【师生分析】设两队合做还需天完成任务，图是老师在黑板上画的线段示意图． (1)请按线段示意图写出A处代表的实际意义；处代表的代数式； (2)按照【师生分析】所作的线段示意图列方程解决问题． 【答案】(1)A处代表的实际意义：甲队2天完成的工作量；处代表的代数式： (2)4天 【分析】本题考查一元一次方程的应用，找出题目中的数量关系是解题关键， （1）根据线段图结合题意解决； （2）找出等量关系列方程解决即可． 【详解】（1）解：线段示意图中A处代表的实际意义是甲队2天完成的工作量；处代表的代数式是； （2）解：设两队合做还需天完成任务， ， ， ， 答：还需要4天完成任务． 41．（22-23七年级上·河北保定·期末）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米． (1)求甲工程队每天掘进多少米 (2)按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天． 【答案】(1)7米 (2)10天 【分析】（1）设甲工程队每天掘进米，则乙工程队每天掘进米，利用甲、乙两工程队3天共掘进26米列出方程，分别求得甲、乙工程队每天的工作量； （2）根据“甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米”列出方程，然后求工作时间即可． 【详解】（1）解：设甲工程队每天掘进米，则乙工程队每天掘进米， 由题意得，， 解得， 所以甲工程队每天掘进7米． （2）解：（天）； ∴甲乙两个工程队还需联合工作10天． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，理解题意，找到等量关系并列出方程是解题关键． 42．（23-24七年级上·河北保定·期末）某物业计划修整小区绿化带，现有甲乙两个工程队均有意愿承接此项工程．已知甲队计划每天修整32平方米，乙队计划每天修整48平方米，若单独完成这项工作，甲队比乙队要多用10天，修整期间，甲乙两队的人工费用分别为800元/天和1200元/天． (1)求这项工程共需修整绿化带多少平方米？ (2)此项工程先由甲，乙两队按原计划修整速度合作一段时间后，甲队因事停工，乙队立刻将自己每天的修整速度提高25%.且工资随之上涨了200元/天，独立完成剩下工作，已知乙队的全部工作时间是甲队工作时间的2倍还多2天，求乙队共修整多少天？ 【答案】(1)这项工程共修整绿化带960平方米 (2)乙队共修整草坪14天 【分析】本题考查一元一次方程的应用，正确理解题意列出方程是解题的关键： （1）设乙单独干需x天，则甲单独干天，根据题意列出方程，求解即可得出答案； （2）设甲干了y天，则乙干了天，根据题意列方程得：，求出y的值，进而可得出答案． 【详解】（1）解：设乙单独干需x天，则甲单独干天． 根据题意列方程得：， 解得， （天），（平方米） 答：这项工程共修整绿化带960平方米． （2）设甲干了y天，则乙干了天， 根据题意列方程得：． 解得， （天） 答：乙队共修整草坪14天． 43．（23-24七年级上·河北邯郸·期末）问题提出： 如图1，A、B、C、D表示四个村庄，村民们准备合打一口水井． 问题解决： （1）若水井的位置现有P、Q两种选择方案．点P在线段上，点Q在线段上，哪一种方案的水井到各村庄的距离总和较小？请测量并验证你的判断； （2）你能给出一种使水井到各村庄的距离之和最小的方案吗？若能，请图2中标出水井的位置点M，并说明理由． 问题拓展： 如果（2）问中找出的水井经过招标，由两个工程队修建（不存在同时修建）．已知甲工程队单独完成需要80天，乙工程队单独完成需要120天，且甲工程队比乙工程队每天多修建． （3）问水井要修建几米？ （4）若甲工程队每天的施工费为0.5万元，乙工程队每天的费用是0.25万元，为了缩短工期和节约资金，则甲工程队最多施工几天才能使工程款不超过35万元？（甲、乙两队的施工时间不足一天按一天算）． 【答案】（1）选P，理由见解析；（2）见解析；（3）水井要修建120米；（4）甲工程队最多施工40天才能使工程款不超过35万元 【分析】本题主要考查了线段的测量、线段的性质、一元一次方程的应用等知识点，审清题意、找到等量关系是解答本题的关键． （1）先分别测量点P、Q到A、B、C、D的距离，然后求和比较即可； （2）如图：连接，当打井的位置选在和的交点，根据“两点之间线段最短”即可解答； （3）设乙工程队每天修建x米，则甲工程队每天修建米，然后列一元一次方程求解即可； （4）设甲工程队最多施工m天才能使工程款不超过35万元，然后列关于m的一元一次 方程求解即可． 【详解】解：（1）选P，理由如下： 如图：P到A、B、C、D的距离之和为：， Q到A、B、C、D的距离之和为：， 经测量， 所以点P到各村庄的距离总和较小， 故选P． （2）如图：连接，当打井的位置选在和的交点时，水井到各村庄的距离之和最小，根据“两点之间线段最短”． （3）设乙工程队每天修建x米，则甲工程队每天修建米， 可列方程： 解得． 所以水井要修建120米． （4）设甲工程队最多施工m天才能使工程款不超过35万元， 可列方程：， 解得， 所以，甲工程队最多施工40天才能使工程款不超过35万元． 题型08 一元一次方程应用--配套问题 44．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）某食品厂中秋节前要制作一批盒装月饼，每盒有2块大月饼和4块小月饼，制作1块大月饼要用面粉，制作1块小月饼要用面粉，若现有面粉，设可以生产x盒盒装月饼，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程应用，设可以生产x盒盒装月饼，则每盒中2块大月饼要用面粉，每盒中4块小月饼要用面粉，根据共有面，列出方程即可． 【详解】解：设可以生产x盒盒装月饼，则每盒中2块大月饼要用面粉， 每盒中4块小月饼要用面粉， 根据题意有：． 故选：B 45．（23-24七年级上·河北邯郸·期末）某工厂生产茶具，每套茶具由1个茶壶和4只茶杯组成，主要材料是紫砂泥，用1千克紫砂泥可做3个茶壶或6只茶杯，现要用9千克紫砂泥制作这些茶具，设用千克紫砂泥做茶壶时，恰好使制作的茶壶和茶杯配套，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了列一元一次方程，根据题意，找出等量关系列出方程即可． 【详解】解：设用千克紫砂泥做茶壶时，则用千克紫砂泥做茶杯， ∵1千克紫砂泥可做3个茶壶或6只茶杯， ∴千克紫砂泥可做个茶壶，千克紫砂泥可做只茶杯． 又∵每套茶具由1个茶壶和4只茶杯组成， ∴， 故选：D． 46．（22-23七年级上·河北邢台·期末）某工厂计划生产一种新型豆浆机，每台豆浆机需要3个甲种零件和1个乙种零件正好配套，已知车间每天能生产甲种零件540个或乙种零件120个，现要在10天中使所生产的甲、乙两种零件全部配套，那么应该安排多少天生产甲种零件，多少天生产乙种零件？ 【答案】应该安排4天生产甲种零件，则安排6天生产乙种零件． 【分析】根据题意表示出甲乙两件的个数，再利用每台豆浆机需3个甲种零件和1个乙种零件正好配套得出等式，求出答案． 【详解】解：设应该安排x天生产甲种零件，则安排天生产乙种零件， 根据题意可得： ， 解得：， 则（天）， 答：应该安排4天生产甲种零件，则安排6天生产乙种零件． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 47．（23-24七年级上·河北廊坊·期末）某校七（1）班共有学生52人，其中女生上比男生多4人，该班在社会实践课上准备用硬纸板制作茶盒子的盒身和盒底，规定：每个学生在一定时间范围内剪盒身40个或剪盒底50个． (1)该班男生、女生各有多少人． (2)该班原计划男生负责剪盒底，女生负责剪盒身，若一个盒身配2个盒底，则这节课做出的盒身和盒底配套吗？如果不配套，那么女生需要支援男生几人，才能使本节社会实践课制作的盒身和盒底刚好配套？ 【答案】(1)男生24人、女生28人 (2)不配套；女生需要支援男生人 【分析】本题考查一元一次方程的应用： （1）设男生有x人，则女生有 人，根据共有学生52人，可以列出相应的方程，从而可以得到该班分别有男生、女生各多少人； （2）设a人制作盒身，则人制作盒底，根据一个盒身配2个盒底，可以列出相应的方程，从而可以解答本题． 【详解】（1）解：设男生有x人，则女生有人，根据题意得： ， 解得：， ∴， 答：该班分别有男生24人、女生28人； （2）解：男生负责剪盒底有， ∴这节课做出的盒身和盒底不配套． 设a人制作盒身，则人制作盒底，根据题意得： ， 解得：， ∴女生需要支援男生人，才能使本节社会实践课制作的盒身和盒底刚好配套， 答：女生需要支援男生人，才能使本节社会实践课制作的盒身和盒底刚好配套． 48．（22-23七年级上·湖南株洲·期末）小敏和小强假期到某厂参加社会实践，该工厂用白板纸做包装盒，设计每张白板纸做盒身2个或者做盒盖3个，且一个盒身和两个盒盖恰好做成一个包装盒．为了充分利用材料，要求做成的盒身和盒盖正好配套． (1)现有14张白板纸，问最多可做几个包装盒？（用一元一次方程的应用解答） (2)现有27张白板纸，问最多可做几个包装盒？ 为了解决这个问题，小敏和小强各设计了一种解决方案： 小敏：把这些白板纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒盖； 小强：先把一张白板纸适当套裁出一个盒身和一个盒盖，余下白板纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒盖． 请探究：小敏和小强设计的方案是否可行？若可行，求出最多可做包装盒的个数；若不行，请说明理由． 【答案】(1)最多可做12个包装盒 (2)小强方案可行，最多做23个包装盒； 小敏方案不可行，理由见解析 【分析】（1）设张白板纸做盒身，则有张做盒盖，根据一个盒身和两个盒盖恰好做成一个包装盒列出方程即可解答； （2）分别按小敏和小强设计的方案列出方程解答即可． 【详解】（1）解：设张白板纸做盒身，则有张做盒盖， 根据题意得：， 解得：， ∴用6张白板纸做盒身，8张白板纸做盒盖，则最多可做12个包装盒； （2）解：小敏的方案不行，设张白纸做盒身，则有张做盒盖， 根据题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴该方案不符合题意； 小强的方案可行，设余下的白纸板张做盒身，则张做盒盖， 根据题意得：， 解得：， ∴， 则最多做23个包装盒． 【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，根据题意找出等量关系是列方程的关键． 题型01 双方程的解 49．（23-24七年级上·河北邯郸·期末）若关于的方程的解和方程的解相同，则的值为（   ） A．7 B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同解方程以及解一元一次方程，先解一元一次方程，得到x的值．然后代入方程，即可得到答案． 【详解】解：， 整理得：， 解得， 把代入得： ， 解得：， 故选：C． 50．（23-24七年级上·浙江台州·期末）若关于的一元一次方程和的解互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的求解，解解方程得：，故的解为：；将代入即可求解. 【详解】解：解方程得：， ∵方程和的解互为相反数， ∴的解为： 将代入得： ， 解得： 故答案为： 51．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）已知关于x的方程与方程的解互为倒数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解及解一元一次方程，利用方程的解互为倒数得出关于的方程求解即可． 【详解】解：， 解得：， ∴方程的解为， 代入可得： 解得：， ∴． 52．（23-24七年级上·广东东莞·期末）若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程为“和谐方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和谐方程”． (1)试判断方程是不是“和谐方程”； (2)若，有符合要求的“和谐方程”吗？若有，求的值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)不是 (2)有符合要求的“和谐方程”， 的值为 【分析】本题考查一元一次方程的拓展应用，理解“和谐方程”的定义是解题的关键． （1）先求出方程的解，再根据“和谐方程”的定义判断； （2）根据“和谐方程”的定义列出关于b的一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：解方程，得， ， 方程是不是“和谐方程”； （2）解：解方程，得， 若有符合要求的“和谐方程”，则， 解得， 因此有符合要求的“和谐方程”， 的值为． 53．（23-24七年级下·四川内江·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”，例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解． 【答案】(1)m的值为9 (2)或 (3)2024 【分析】本题考查一元一次方程以及新定义． （1）分别表示出两个方程的解，根据定义可知两个方程的解之和为1，可得方程，求解即可； （2）根据定义可得或，求解即可； （3）先求解可得，再将化为，即可求解． 【详解】（1）解：解方程得： 解方程得： ∵关于x的方程与方程是“美好方程” ∴  解得： 答：m的值为9； （2）∵“美好方程”的两个解之和为1 ∴另一个方程的解为 ∵“美好方程”的两个解的差为8 ∴或 ∴或； （3）∵ ∴ ∵关于x的一元一次方程和是“美好方程” ∴的解为： ∵关于y的一元一次方程可化为 ∴ ∴． 题型02 自定义背景下解一元一次方程 54．（20-21七年级上·安徽芜湖·期末）对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号min{a，b}表示a、b两数中较小的数，例如min{2，-4}＝-4，则方程min{x，-x}＝3x＋4的解为（  ） A．x＝－1 B．x＝－2 C．x＝－1或x＝－2 D．x＝1或x＝2 【答案】B 【分析】根据题意可得：min{x，-x}或，所以或，据此求出的值即可． 【详解】规定符号min{a，b}表示a、b两数中较小的数， 当min{x，-x}表示为时， 则， 解得， 当min{x，-x}表示为时， 则， 解得， 时，最小值应为，与min{x，-x}相矛盾，故舍去， 方程min{x，-x}＝3x＋4的解为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的解法，能根据题意正确列出一元一次方程是解题的关键． 55．（22-23七年级上·河北沧州·期末）对有理数a，b，规定运算☆的意义是：，则方程的解是 ； 【答案】 【分析】已知等式利用题中的新定义化简，求出解即可． 【详解】解：已知等式利用题中的新定义化简得：， 移项合并得：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 56．（23-24七年级上·宁夏银川·期末）定义一种新运算“”的含义为：．例如：，若，则x的值为 ． 【答案】 【分析】已知等式利用题中新定义化简，整理即可求出x的值． 本题考查新定义运算及解一元一次方程算，解题关键是弄清题中的新定义． 【详解】解：∵， ∴， 整理得：， 解得：， 故答案为：． 57．（23-24七年级上·河北沧州·期末）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定． 如：． (1)______； (2)若，求的值； (3)若，（其中为有理数），试比较，的大小． 【答案】(1)8 (2) (3) 【分析】此题考查了新定义，整式的加减，解一元一次方程，有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式利用已知的新定义计算即可得到结果； （2）已知等式利用已知新定义变形，得出a方程求解即可； （3）已知等式利用新定义表示出，，然后利用作差法比较即可． 【详解】（1）． 故答案为：8； （2）∵ ∴ 解得：； （3）由题意， ， ∵， ∴． 题型03 错解复原问题 58．（23-24七年级上·河北保定·期末）小亮在做作业时，不小心将墨水洒在了作业纸上，导致方程=x中的一个常数被污染，同桌说正确答案是，则被污染的常数是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，把代入，得出关于m的一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：设常数项为m，则原方程为：， 把代入， 则方程变成：， 整理得：， 解得：， 故选：C． 59．（22-23七年级上·河北张家口·期末）嘉嘉在解关于的一元一次方程时，发现常数“”被污染了． （1）若嘉嘉猜“”是，则原方程的解为 ， （2）老师说：“此方程的解是正整数且常数为正整数”，则被污染的常数“”是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了解一元一次方程，整数的性质等知识，准确解一元一次方程是关键． （1）依次去分母、移项、合并同类项、系数化1，即可解方程； （2）设被污染的常数“”是，进而解方程得到，再根据此方程的解是正整数且常数为正整数，得到，分别代入方程的解，得到满足条件的值，即可得到答案． 【详解】解：（1）， 去分母，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化1，得：， 故答案为：； （2）设被污染的常数“”是，则方程为 去分母，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化1，得：， 方程的解是正整数，且常数为正整数 ，， ， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 综上可知，的值为或，即被污染的常数“”是或， 故答案为：或． 60．（23-24七年级上·河北承德·期末）嘉淇在解关于x的一元一次方程时，发现常数被污染了； (1)嘉淇猜是，请解一元一次方程； (2)老师告诉嘉淇这个方程的解为，求被污染的常数． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． （1）运用解一元一次方程的一般步骤求解即可； （2）被污染的常数为k得到，将代入此方程求出k即可． 【详解】（1）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）设被污染的常数为k， 则原方程可化为：， ∵这个方程的解为， ∴将代入得：， 解得：， 即污染的常数为5． 61．（22-23七年级上·河北唐山·期末）小亮在解关于的一元一次方程时，发现正整数□被污染了； (1)小亮猜□是5，请解这个一元一次方程； (2)若老师告诉小亮这个方程的解是正整数，则被污染的正整数是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次方程的拓展，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）按照去分母，移项， 合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）设被污染的正整数为m，则原方程为，解方程得到，根据方程的解和m都为正整数得到是正整数，据此即可求出答案． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：设被污染的正整数为m，则原方程为， 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵这个方程的解是正整数，且m是正整数， ∴是正整数， ∴当时，则， 当时，则， 当的值越来越大时，则的值越来越小，则只有符合题意． 62．（23-24七年级上·河北廊坊·期中）嘉淇在进行解一元一次方程的练习时，发现有一个方程“■”中的常数被“■”遮挡． (1)嘉淇猜想“■”遮挡的常数是1，请你算一算x的值； (2)老师说此方程的解与方程的解相同，请你算一算“■”遮挡的常数是多少？ 【答案】(1) (2)遮挡的常数是19 【分析】本题主要考查了解一元一次方程； （1）根据题意得出方程，然后解方程即可； （2）先解方程得出，设遮挡的常数为a，然后把代入方程得，求出a的值即可． 解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的一般方法，准确计算． 【详解】（1）解：由题意得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 设遮挡的常数为a， 把代入方程得， 解得． 故遮挡的常数是19． 题型04 一元一次方程应用--方案问题 63．（23-24七年级上·山西大同·期末）综合与实践：2023年10月5日，杭州第19届亚运会女子篮球决赛，中国队战胜日本队，夺得金牌，这则消息提升了青少年参加篮球运动的热情．某体育用品商店抓住时机，对甲、乙两品牌篮球开展促销活动，已知甲、乙两品牌篮球的标价分别是160元／个，60元／个，现有如下两种优惠方案： 方案一：不购买会员卡时，甲品牌篮球享受8.5折优惠，乙品牌篮球5个以下按标价购买，买5个（含5个）以上时所有球享受8.5折． 方案二：办理一张会员卡100元，会员卡只限本人使用，全部商品享受7.5折优惠． (1)若购买甲品牌篮球5个，乙品牌篮球3个，哪一种方案更优惠？优惠多少元？ (2)若购买甲品牌篮球若干个，乙品牌篮球6个，且方案一与方案二所付钱数一样多，求购买甲品牌篮球的个数． 【答案】(1)方案二更优惠，优惠25元 (2)购买甲品牌的蓝球4个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列出正确的方程是本题的关键． （1）分别求出方案一和方案二的费用，即可求解； （2）设购买甲品牌的蓝球个，由方案一与方案二所付钱数一样多，列出方程可求解． 【详解】（1）解：方案一的费用：(元)； 方案二的费用：(元)． 因为(元)． 所以方案二更优惠，优惠25元． （2）设购买甲品牌的蓝球个， 由题意，得， 解得． 答：购买甲品牌的蓝球4个． 64．（23-24七年级上·河北廊坊·期末）某服装厂生产一种夹克和恤，夹克每件定价150元，恤每件定价75元，厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：①买一件夹克送一件恤；②夹克和恤都按定价的付款，现某客户要到该服装厂购买夹克30件，恤件． (1)若按方案①购买夹克和恤共需付款______元（用含的式子表示）； 按方案②购买夹克和恤共需付款______元（用含的式子表示）； (2)当购买的恤为多少件时，两种方案所需费用相同？ 【答案】(1)； (2)90件 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的实际应用： （1）根据所给的优惠方案列式求解即可； （2）根据（1）所求可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，按方案①购买夹克和恤共需付款元； 按方案②购买夹克和恤共需付款元； 故答案为：；； （2）解：由题意得，， 解得， 答：当购买的恤为90件时，两种方案所需费用相同． 65．（23-24七年级上·河北保定·期末）已知某超市酸奶的定价为20元/箱，玻璃杯的定价为5元/个．该超市酸奶区推出了两种优惠促销方案，如下表所示，现某顾客需要购买40箱酸奶和x个玻璃杯． 方案一 酸奶和玻璃杯一律按九折优惠 方案二 购买一箱酸奶，赠送一个玻璃杯 (1)请用含x的式子分别表示按方案一、方案二购买时所需的费用； (2)当时，请通过计算说明该顾客按哪个方案购买更省钱； (3)当购买多少个玻璃杯时，上述这两种方案的花费一样多？ 【答案】(1) 按方案一购买时所需的费用为元；按方案二购买时所需的费用为元； (2)按方案二购买更省钱； (3)当购买240个玻璃杯时，上述两种方案的花费一样多 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及代数式求值， （1）利用总价单价数量，结合该超市推出的两种优惠促销方案，即可用含的代数式表示出按方案一及按方案二购买所需费用； （2）代入，求出按方案一及按方案二购买所需费用，再比较后即可得出结论； （3）根据按这两种方案的花费一样多，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：按方案一购买所需费用为元； 按方案二购买所需费用为元． 答：按方案一购买所需费用为元，按方案二购买所需费用为元； （2）当时，（元； （元． ， 该顾客按方案二购买更省钱； （3）根据题意得：， 解得：． 答：当购买240个玻璃杯时，上述这两种方案的花费一样多． 66．（23-24七年级上·河北唐山·期末）某体育用品商店销售的乒乓球拍每副定价为元，乒乓球每桶定价元．元旦期间，该商店推出让利大酬宾活动，如图，某学校到该商店购买了副乒乓球拍和桶乒乓球．    (1)若该学校按方案一购买，需付款______元；若该学校按方案二购买，需付款______元．（用含x的代数式表示） (2)购买乒乓球多少桶时，两种方案的费用相同？ (3)若两种方案可同时使用，当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？写出你的购买方案，并计算需付款多少元． 【答案】(1)； (2)购买乒乓球桶时，方案一和方案二的费用相同 (3)先按方案一购买副乒乓球拍，再按方案二购买桶乒乓球时，费用最低，最低费用为元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解商家的活动内容是解题关键． （1）根据两家商家的活动内容即可求解； （2）求解方程即可； （3）分别计算方案一、方案二、先按方案一购买副乒乓球拍，则可获赠桶乒乓球，再按方案二购买桶乒乓球的费用，即可判断． 【详解】（1）解：若该学校按方案一购买，需付款：（元）； 若该学校按方案二购买，需付款：（元）； 故答案为：；． （2）解：若方案一和方案二的费用相同，则有： ， 解得 故购买乒乓球桶时，方案一和方案二的费用相同 （3）解：当时，按方案一需付款：（元）． 按方案二需付款：（元）． 先按方案一购买副乒乓球拍，则可获赠桶乒乓球，再按方案二购买桶 乒乓球，此时需付款：（元）． 因为， 所以先按方案一购买10副乒乓球拍，再按方案二购买桶乒乓球时，费用最低，最低费用为元 67．（23-24七年级上·河北沧州·期末）某超市销售某品牌的羽毛球拍和羽毛球，羽毛球拍每副定价102元，羽毛球每桶定价30元．店庆期间该超市开展促销活动，活动期间向顾客提供两种优惠方案． 方案一：买一副羽毛球拍送一桶羽毛球；方案二：羽毛球拍和羽毛球都按定价的付款． 现某羽毛球培训学校要到该超市购买羽毛球拍5副，羽毛球x桶（）： (1)若该校按方案一购买，需付款_________元：（用含x的代数式表示）， 若该校按方案二购买，需付款_________元．（用含x的代数式表示）； (2)当x取何值时，两种方案一样优惠？ (3)当时，通过计算说明按以上两种方案时哪种方案购买较为合算？ 【答案】(1)， (2)当时，两种方案一样优惠 (3)方案一更优惠 【分析】（1）按照对应的方案的计算方法分别列出代数式即可； （2）根据两种方案一样优惠列出方程即可求解； （3）把代入求得的代数式求得数值，进一步比较得出答案即可． 【详解】（1）解：方案一购买需付款 (元)； 方案二购买需付款 (元)． 故答案为：，； （2）解：由（1）知，当， 即时，两种方案一样优惠； （3）解：当时， 方案一：(元)； 方案二：(元)； ∵， ∴方案一更优惠． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，列代数式及代数式求值问题，得到两种优惠方案付费的关系式是解决本题的关键． 68．（22-23七年级上·河北沧州·期末）随着河北省体育中考政策出台，体育总分将提高到50分，包括过程性考核20分和现场测试30分．某中学为推进学校体育教学改革，适应新的中考要求，决定添置一批体育器材．学校准备在网上订购一批某品牌跳绳和足球，在查阅某些网店后发现有A、两家网店商品定价相同并提供包邮服务，跳绳每条定价30元，足球每个定价160元．经过协商，两家网店给出了各自的优惠方案，A网店：买一个足球送一条跳绳；网店：跳绳和足球都按定价的90%付款，已知要购买足球60个，跳绳条（）． (1)若在A网店购买，需付款________元（用含的代数式表示），若在网店购买，需付款________元（用含的代数式表示）； (2)当时，通过计算说明此时在哪一家网店购买较为合算？ (3)试求当取何值时，在两家网店的购买费用相同？ (4)若，综合两家网店优惠方案，你能设计一种最省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并计算需付款多少元？ 【答案】(1)； (2)当时，在A网店购买较合算 (3)当为280时，在两家网店的购买费用相同 (4)最省钱的方案为：在A店购买60个足球，赠送60条跳绳，再在店购买140条跳绳，需付款13380元 【分析】（1）根据两个网店的优惠方案列出代数式即可； （2）代入两个代数式，求出代数式的值，再比较大小即可； （3）根据在两家网店的购买费用相同列出方程，解方程即可； （4）根据两家网店的优惠方案，在A店购买60个足球，赠送60条跳绳，再在店购买140条跳绳，最省钱，求出费用即可． 【详解】（1）解：在A网店购买付款钱数：元； 在网店购买付款钱数：元； 故答案为：；． （2）解：当时，在A网店购买的付款钱数： （元）， 在网店购买付款钱数： （元）， ， ∴当时，在A网店购买较合算； （3）解：由题意得，， 解得，， 答：当为280时，在两家网店的购买费用相同． （4）解：当时，可以在A店购买60个足球，赠送60条跳绳，再在店购买条跳绳， 所以 （元）． ， ∴最省钱的方案为：在A店购买60个足球，赠送60条跳绳，再在店购买140条跳绳，需付款13380元． 【点睛】本题主要考查了列代数式，代数式求值，一元一次方程的应用，有理数混合运算，解题的关键是理解题意，准确计算． 题型05 一元一次方程应用--营销问题 69．（23-24七年级上·河北保定·期末）某种商品每件的标价是660元，按标价的八折销售时，利润率为．则这种商品每件的进价为（    ） A．480元 B．528元 C．580.8元 D．600元 【答案】A 【分析】题目主要考查一元一次方程的应用，由标价的八折得，设进价为x元，则利润为元，根据利润率利润进价，即可求解，理解题意是解题关键． 【详解】解：设进价为x元，则利润为元， 根据题意得：， 解得：， 故选：A． 70．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）某文具店店庆促销，单价为100元的书包，打x折后，每个再减10元，降价后售价为70元．则x的值为（    ） A．六 B．七 C．八 D．九 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 根据题意列方程求解即可． 【详解】根据题意得， ， 解得． 故选：C． 71．（21-22七年级上·河北承德·期末）小红和同学们去一家快餐店吃饭，下表为快餐店的菜单： 种类 配．餐 价格（元） 优惠活动 A餐 1份盖饭 20 消费满150元，减24 元消费满300元，减48元 …… B餐 1份盖饭+1杯饮料 28 C餐 1份盖饭+1杯饮料+1份小菜 32 小红记录大家的点餐种类，并根据菜单一次点好，已知他们所点的餐共有11份盖饭，x杯饮料和5份小菜． (1)他们共点了 份B餐；（用含x的式子表示） (2)若他们套餐共买6杯饮料，求实际花费多少元； (3)若他们点餐优惠后一共花费了256元，请通过计算分析他们点的套餐是如何搭配的． 【答案】(1) (2)实际花费264元 (3)A餐6份，C餐5份或A餐3份，B餐3份，C餐5份． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，根据各数量之间的关系，正确列出一共的花费是解题的关键． （1）由三种餐中均包含盖饭且只有C餐中含小菜，即可得出他们点了份B餐； （2）由三种餐中均包含盖饭且只有C餐中含小菜，即可得出他们点了5份C餐，进一步得到A餐共有，即可得出一共的花费； （3）由题意可得C餐点了5份，B餐共份，C餐份，再分类进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：只有餐中含小菜，他们所点的餐中有5份小菜， 他们共点了5份餐， 又他们所点的餐中有杯饮料，且只有餐中含有饮料， 他们共点了份餐， （2）当时， ∴他们所点的餐中：A餐：5份，B餐：1份；C餐：5份， ∴花费：（元）； （3）因为只有C餐含小菜，所以依题意C餐点了5份； 因为有x份饮料， 所以B餐共份，共11份盖饭， 所以A餐份． 当满150优惠时： ， 解得：， ∴A餐6份，C餐5份； 当满300优惠时： ， 解得：， ∴A餐3份，B餐3份，C餐5份， 综上所述：A餐6份，C餐5份或A餐3份，B餐3份，C餐5份． 72．（23-24七年级上·河北保定·期末）一商场经销的A，B两种商品，A种商品每件进价40元，利润率为50%；B种商品每件进价50元，售价80元． (1)A种商品每件售价为______元； (2)若该商场同时购进A，B两种商品共100件，恰好总进价为4700元，求购进A，B两种商品各多少件？ (3)元旦期间，该商场对A，B两种商品进行优惠促销活动：如果购物超过600元，那么超过600元的部分打折优惠．琪琪购买了总价值为800元的A，B商品，享受优惠后，实际共付款720元，直接写出该商场超过600元的部分是打几折销售的？ 【答案】(1)60 (2)购进A种商品30件，B种商品70件 (3)6 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用． （1）根据售价减去进价等于利润，利润等于进价乘以利润率，列出算式计算即可； （2）设购进A商品件，根据同时购进A，B两种商品共100件，恰好总进价为4700元，列出方程，进行求解即可； （3）设该商场超过600元的部分是打折销售，根据琪琪购买了总价值为800元的A，B商品，享受优惠后，实际共付款720元，列出方程进行求解即可． 读懂题意，正确的列出方程，是解题的关键． 【详解】（1）解：元； 故答案为：60； （2）设购进A商品件，则购进B商品件，由题意，得： ， 解得：， ∴； 答：购进A种商品30件，B种商品70件； （3）设该商场超过600元的部分是打折销售，由题意，得： ， 解得：； 答：该商场超过600元的部分是打折销售． 73．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）某超市经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润 20元；乙种商品每件进价50元，售价80元． 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于450元 不优惠 超过450元但不超过600元 按售价打九折 超过 600元 其中600元部分八点二折优惠，超过600元的部分打三折优惠 (1)甲种商品每件进价为________元，每件乙种商品利润为________元； (2)此超市同时购进甲、乙两种商品共50件，总进价为2100元，求购进甲种商品多少件？ (3)在“春节”期间，该商场对所有商品进行如下的优惠促销活动，按上述优惠条件，若小丽一次性购买乙种商品实际付款504元，求小丽购买商品的原价是多少？ 【答案】(1)40，； (2)购进甲种商品40件； (3)小丽购买商品的原价是560元或640元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系，正确列出一元一次方程． （1）根据进价售价利润，列式计算即可； （2）设购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，再由总进价是2100元，列出方程求解即可； （3）设小丽购买商品的原价是y元，分两种情况讨论，①小丽购买商品的原价超过450元，但不超过600元，②小丽购买商品的原价超过600元，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：甲种商品每件进价为（元）； 乙种商品的利润率为（元）， 故答案为：40，30； （2）解：设购进甲种商品x件，则购进乙种商品件， 由题意得：， 解得：， 答：购进甲种商品40件； （3）解：设小丽购买商品的原价是y元， ①若小丽购买商品的原价超过450元，但不超过600元， 由题意得：，解得：， ②若小丽购买商品的原价超过600元， 由题意得：， 解得：， 答：小丽购买商品的原价是560元或640元． 74．（23-24七年级上·河北沧州·期末）一种商品按销售量分三部分制定销售单价，如下表： 销售量 单价 不超过100件部分 2.6元/件 超过100件不超过300件部分 2.2元/件 超过300件部分 2元/件 (1)若买100件花______元，买260件花______元；买350件花______元； (2)某社团为举行活动花了568元买这种商品作为纪念品，求购买这种商品多少件？ (3)若张强花了元，恰好购买件这种商品，求的值． 【答案】(1)260，612，800 (2)购买这种商品240件 (3)的值为1000 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）根据不同的档，求出购买不同件数的花费； （2）说先判断购买件数的范围，在根据所在档计算花费； （3）根据：购买件商品的花费，列出关于n的方程，求解即可． 【详解】（1）解：买100件花：（元）， 买300件花：（元）， 买350件花：（元）， 故答案为：260，700，800； （2）解：设购买这种商品件， 因为花费，所以购买的件数少于300件， 解得：， 答：购买这种商品240件； （3）解：当时，， 解得：（不符合题意，舍去）， 当时，解得：， 综上所述：的值为1000 75．（23-24七年级上·河北廊坊·期末）文具店出售甲、乙两种品牌的书包，相关数据如下表所示： 进价（元/个） 售价（元/个） 甲品牌 60 88 乙品牌 80 100 (1)三月份开学季，文具店购进甲、乙两种品牌的书包，其中甲品牌书包的数量为乙品牌书包数量的，设乙品牌书包的进货数量为个． ①文具店购进甲、乙两种品牌书包的总费用为______元；（用含的式子表示） ②若购进乙品牌书包168个，求该文具店花费的总费用． (2)六月份文具店又购进一定数量的甲、乙两种品牌的书包，并在原售价的基础上进行如下促销活动： 甲品牌书包实行“买三赠一”的优惠． 乙品牌书包实行八五折优惠． 若购进的甲、乙品牌的书包均全部售完，并共获得2080元的利润，已知购进甲品牌书包80个（均四个一组卖出），求购进乙品牌书包的数量． 【答案】(1)①；②该文具店花费的总费用为16800元 (2)六月份购进乙品牌书包的数量是320个 【分析】本题主要考查了列代数式、代数式求值以及一元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）①根据题意，乙品牌书包的进货数量为个，则甲品牌书包的数量为个，然后结合两种品牌书包的进价，即可获得答案；②将代入求值即可； （2）由题意可知，甲品牌书包相当于打七五折销售，设六月份购进乙品牌书包个，根据文具店销售两种品牌书包的总利润为2080元，列出方程并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：①根据题意，甲品牌书包的数量为乙品牌书包数量的，设乙品牌书包的进货数量为个， 则文具店购进甲、乙两种品牌书包的总费用为元． 故答案为：； ②当时，， 故该文具店花费的总费用为16800元； （2）由题意可知，甲品牌书包相当于打七五折销售， 设六月份购进乙品牌书包个，则文具店销售两种品牌书包的总利润为元，即元， 所以，解得． 答：六月份购进乙品牌书包的数量是320个． 76．（15-16七年级上·山东日照·期末）某社区超市第一次用元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的倍多件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：（注：） 甲 乙 进价（元/件） 售价（元/件） (1)该超市购进甲、乙两种商品各多少件？ (2)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？ (3)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多元，求第二次乙商品是按原价打几折销售？ 【答案】(1)该超市第一次购进甲种商品件、乙种商品件 (2)元 (3)第二次乙商品是按原价打折销售 【分析】本题主要考查一元一次方程与利润的问题，有理数四则混合运算的应用，理解数量关系，利润的计算方法，掌握一元一次方程与利润问题的计算方法是解题的关键． （1）根据题意，设第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，根据数量关系列式求解即可； （2）根据表格中的信息，计算利润的方法即可求解； （3）根据题意，设第二次乙种商品是按原价打折销售，根据利润的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：设第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品件， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：该超市第一次购进甲种商品件、乙种商品件． （2）解：（元）． 答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得利润元． （3）解：设第二次乙种商品是按原价打折销售， 根据题意得：， 解得：． 答：第二次乙商品是按原价打折销售． 题型06一元一次方程应用--行程问题 77．（23-24七年级上·河北沧州·期末）京张高铁根据不同的运行区间设置了不同的时速．其中，北京北站到清河段全长11千米，分为地下清华园隧道和地上区间两部分，运行速度分别设计为80千米/小时和120千米/小时．按此运行速度，地下隧道运行时间比地上大约多3分钟，如果设地下清华园隧道全长为千米，那么下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据“地下隧道运行时间比地上大约多3分钟，”列出方程即可，注意单位要进行换算． 【详解】解：如果设地下清华园隧道全长为千米，则地上区间全长为千米， 由题意可列式，， 故选：B． 78．（23-24七年级上·河北廊坊·期末）如图是《九章算术》中记载的一个问题： 今有野鸭从南海起飞，7天到北海；大雁从北海起飞，9天到南海．现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞，问经过多少天相遇？ 若设经过天相遇，甲、乙、丙三人列得如下方程： 甲：；乙：；丙：． 则下列说法正确的是（    ） A．只有甲列得的方程正确 B．只有乙列得的方程正确 C．只有乙列得的方程不正确 D．只有丙列得的方程不正确 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，先设出总路程，然后求出野鸭、大雁每天飞行的路程，当相遇的时候，野鸭和大雁飞的路程和等于总路程，即可得到等式，根据题意得到等式是解题的关键． 【详解】解：设总路程为1， 则野鸭每天飞，大雁每天飞， 当经过天相遇时，此时野鸭飞了，大雁飞了， ∴， 即， ∴在甲、乙、丙三人列得的方程中， 甲列得的方程不正确，故选项A不符合题意； 只有乙得的方程是正确的，故选项B符合题意；选项C不符合题意； 甲和丙得的方程都不正确，不只是丙得的方程不正确，故选项D不符合题意； 故选：B． 79．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）如图，线段、、三条线段首尾相接，组成折线段，，．动点P从点A出发，沿着的方向运动，点P在上以2个单位长度/秒的速度运动，在上运动速度变为原来的一半，在上又恢复为2个单位长度/秒的速度运动；点P出发的同时，动点Q从点C出发，始终以1个单位长度/秒的速度沿着方向运动．当点P运动至点C时，点Q也随之停止运动．设运动的时间为t秒． （1）动点P从点A运动至点C需要 秒； （2）当P，Q两点相遇时，相遇点M与点B相距 个单位长度． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用， （1）根据“时间＝路程÷速度”列式计算； （2）根据“两点的路程和＝总路程”列方程求解． 【详解】（1）（秒）； 故答案为：18.5 （2）当P运动到点O时需要的时间为：（秒）， 此时点Q运动了个单位， 设再过x秒两点相遇， 则， 解得：， 此时相遇点M与点B的距离为个单位， 故答案为：4 80．（22-23七年级上·河北邢台·期末）已知长方形中，，，动点从点出发沿以每秒2个单位的速度运动；同时，点也从点出发以每秒3个单位的速度沿运动，当其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动． 设运动时间为秒．    （1）当点到达终点时，点在边 ； （2）当点在边上运动时，用表示的式子为 ； （3）点、相遇时， 秒． 【答案】 7.2 【分析】（1）由题意知，点从，运动时间为秒，点从，运动时间为秒，由，可知当点到达终点时，点运动路程为，由，可判断点的位置； （2）由题意知，； （3）由题意知，，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，点从，运动时间为秒， 点从，运动时间为秒， ∵， ∴当点到达终点时，点运动路程为， ∵， ∴点在边上， 故答案为：； （2）解：由题意知，， 故答案为：； （3）解：由题意知，， 解得，， 故答案为：7.2． 【点睛】本题考查了动点，列代数式，一元一次方程的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 81．（23-24七年级上·河北承德·期末）甲乙两船从B港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中速度都是，水流速度时，后两船同时到达A、C两港口，卸装货物后，又同时出发，甲船驶往C港口，乙船驶往A港口．(提示：顺水速度船速水速；逆水速度船速水速) (1)A、C两港口相距多远？ (2)港口间比港口间多多少千米？(用含a的代数式表示) (3)卸装货物后同时出发，两船又经过______相遇，若相遇处距B港口50千米，求甲船还需几到达C港口？ 【答案】(1) (2) (3)5； 【分析】本题考查整式的加减的应用，一元一次方程的应用，根据题意正确列代数式和方程是解题的关键． （1）先求出顺水速度和逆水速度，再根据时间是5小时，求出与，列式化简即可； （2）根据（1）中与表达式列式化简即可； （3）设卸装货物同时出发后，两船又经过相遇，列出方程求解出x，从而求出和，从而得解． 【详解】（1）解：∵两船在静水中速度都是，水流速度时， ∴两船在行驶过程中的顺水速度都是，逆水速度都是， 又∵甲乙两船从B港口同时出发反向而行，后两船同时到达A、C两港口， ∴，， ∴， 答：A、C两港口相距． （2）解：由（1）可知：，， ∴， 答：港口间比港口间多千米； （3）设卸装货物同时出发后，两船又经过相遇， 则有：， 解得：， 相遇时，甲船逆水行驶，比开往A地时的速度更慢， 故相遇时，在点B的左边，点A的右边，设相遇在点D，作图如下： 则有， ∴ 解得：， ∴ 甲船到达C港口还需时间为： 故答案为：5； 答：卸装货物后同时出发，两船又经过相遇，若相遇处距B港口50千米，求甲船还需到达C港口． 82．（23-24七年级上·河北邢台·期末）如图，某景区内的游览车路线是边长为1000米的正方形，现有1号、2号两游览车分别从出口和景点同时出发．1号车顺时针、2号车逆时针沿环形路连续循环行驶，供游客随时免费乘车（上、下车的时间忽略不计），两车速度均为200米/分．设行驶时间为t分． (1)两车首次相遇时，求的值； (2)当时，求为何值时两车相距的路程是400米？ (3)一游客在上从向出口走去，当步行到上一点时，刚好与2号车迎面相遇，设米．若该游客从点到出口有以下两种方式： 方式1：立即乘坐2号车； 方式2：在点等候乘坐1号车． 请用含的代数式分别表示这两种方式该游客从点到出口的时间；并据此判断哪一种方式用时少，少多少分钟？ 【答案】(1) (2)或6 (3)方式2用时少，少10分钟 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的实际应用． （1）利用相遇时，两车的路程和是正方形边长的2倍，列出方程，进行求解即可； （2）分相遇前和相遇后，两种情况，列出方程进行求解即可； （3）求出两种方式所用的时间，进行判断即可． 读懂题意．正确的列出方程和代数式，是解题的关键． 【详解】（1）解：设t分钟首次相遇． 由题意：，解得：． 答：5分钟时两车首次相遇． （2）由题意：或 解得：或6， 答：或6时，两车相距的路程是400米； （3）方式1所用时间为：， ∵两车的速度相同， ∴此时1号车距离的距离为， ∴方式2所用时间为：； ∵， ∴方式2用时少，少10分钟． 83．（23-24七年级上·安徽亳州·期中）以下是两张不同类型火车（“Dxxx次”表示动车，“Gxxx次”表示高铁）的车票： (1)根据车票中的信息填空：该列动车和高铁是________（填“相”或“同”）向而行，该列动车比高铁发车________（填“早”或“晚”）． (2)已知该列动车和高铁的平均速度分别为200km/h，300km/h，两列火车的长度不计，高铁比动车早到1h，求A，B两地之间的距离． (3)在（2）的条件下，求高铁出发多少小时后两车相距150km． 【答案】(1)同；早 (2)1200km (3)或或 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用． （1）根据票面信息作答即可； （2）设A，B两地之间的距离为，根据题意，列出方程进行求解即可； （3）设高铁出发y小时后两车相距150km，分高铁未追上动车时，追上动车之后，到达目的地后，三种情况列出方程求解即可． 读懂题意，正确的列出方程，是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可知：该列动车和高铁是同向而行，该列动车比高铁发车早； 故答案为：同，早； （2）设A，B两地之间的距离为． 根据题意得， 解得． 答：A，B两地之间的距离为1200km． （3）设高铁出发y小时后两车相距150km， ①当高铁还未追上动车时，， 解得； ②当高铁追上动车后，， 解得． ③当高铁到达地后，， 解得． 答：当高铁出发或或后两车相距150km． 84．（22-23七年级上·河北石家庄·期末）嘉嘉和淇淇利用周日从A城出发，骑车前往附近的景区C游玩，并记录了从出发到返回的全过程，部分信息如下： （1）去时沿路线骑行，在景区游玩1.5小时，结束后抄近路骑行返回； （2）去时的平均速度比返回时的平均速度每小时快4千米； （3）返回时的路线比去时的路线短6千米； （4）去时，从A城市出发后1小时15分钟后到达的位置，离景区还有5千米； （5）从景区返回A城用时1.5小时，返回A城时正好是午餐时间12：00， 据此信息，请求出嘉嘉和淇淇两人是在什么时间从A城出发前往景区的？ 【答案】7:30 【分析】设去时平均速度为千米/时，则返回时平均速度为千米/时，根据题意列出方程求出速度，计算出整个过程共用时小时，即可求出结果． 【详解】解：设去时平均速度为千米/时，则返回时平均速度为千米/时，根据题意，得： 1小时15分钟小时， 解之，得， 于是可知，去时的平均速度是20千米/小时， 从共骑行小时， 整个过程共用时小时， ∴， ∴两人是在7:30从A城出发前往景的． 【点睛】题目主要考查一元一次方程的应用及速度、时间、路程的关系，理解题意是解题关键． 85．（13-14七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，点A从原点出发沿数轴向左运动，同时，点也从原点出发沿数轴向右运动，3秒后，两点相距15个单位长度．已知点的速度是点A的速度的4倍．（速度单位：单位长度/秒）    (1)求出点A、点运动的速度，并在数轴上标出A、两点从原点出发运动3秒时的位置； (2)若A、两点从（1）中的位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴向左运动，几秒时，原点恰好处在点A、点的正中间？ (3)若A、两点从（1）中的位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴向左运动时，另一点同时从点位置出发向A点运动，当遇到A点后，立即返回向点运动，遇到点后又立即返回向A点运动，如此往返，直到点追上A点时，点立即停止运动．若点一直以20单位长度/秒的速度匀速运动，那么点从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？ 【答案】(1)点A的速度为每秒1个单位长度，点的速度为每秒4个单位长度，见解析 (2)运动1.8秒时，原点恰好处在A、两点的正中间 (3)100单位长度 【分析】（1）设点A的速度为每秒个单位长度，则点的速度为每秒个单位长度，根据3秒后，两点相距15个单位长度列出方程，解方程即可； （2）设秒时，原点恰好处在点A、点的正中间，根据两个点到原点距离相等，列出方程，解方程即可； （3）先求出点追上点A所用的时间，根据这个时间恰好是点从开始运动到停止运动所花的时间，求出点C运动的路程即可． 【详解】（1）解：设点A的速度为每秒个单位长度，则点的速度为每秒个单位长度， 依题意有：， 解得：， 点A的速度为每秒1个单位长度，点的速度为每秒4个单位长度． 画图如下：    （2）解：设秒时，原点恰好处在点A、点的正中间， 根据题意，得， 解得， 即运动1.8秒时，原点恰好处在A、两点的正中间． （3）解：设运动秒时，点追上点A， 根据题意，得， 解得， 即点追上点A共用去5秒，而这个时间恰好是点从开始运动到停止运动所花的时间， 因此点行驶的路程为：（单位长度）． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合，根据等量关系列出相关的方程． 题型07一元一次方程应用--几何问题 86．（23-24七年级上·河北保定·期末）如图所示，有一直圆柱形的实心铁柱直立于一个内部装有水的圆柱形水桶内，水桶内的水面高度为，且水桶与铁柱的底面半径为．如将铁柱移至水桶外部，过程中水桶内的水量未改变，若不计水桶的厚度．则水桶内的水面高度变为（　　）． A．4.5 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了等体积形变问题，熟练掌握圆柱体积计算公式，是解题的关键． 设铁柱的底面半径为，将铁柱移至水桶外部后，水桶内的水面高度为，根据水桶与铁柱的底面半径为，铁柱移至水桶外部前后水体积不变列方程，解答即可． 【详解】设铁柱的底面半径为，将铁柱移至水桶外部后，水桶内的水面高度为，根据题意得， ， 解得，． 故选：D． 87．（23-24七年级上·河北廊坊·期末）对于题目：“如图，点分别是长方形的边和上的点，沿折叠长方形，点落在点处，若与两个角之差的绝对值为，确定的所有度数．”甲的结论是，乙的结论是．下列判断正确的是（    ） A．甲的结论正确 B．乙的结论正确 C．甲、乙的结论合在一起才正确 D．甲、乙的结论合在一起也不正确 【答案】D 【分析】本题考查折叠的性质，角的和差关系，一元一次方程的几何应用等知识，由折叠的性质可知：，分①当与两个角之差为时，②当与两个角之差为时，两种情况讨论求出即可得解，掌握折叠的性质和建立方程求解是解题的关键． 【详解】解：由折叠的性质可知：， ①当与两个角之差为，即时，， ∵， ∴， 解得：， ②当与两个角之差为，即时，， ∵， ∴， 解得： 综上所述：或． 故选：D． 88．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”．关于“巧分线”有下列4种说法： ①一个角的平分线是这个角的“巧分线”， ②一个角的“巧分线”只有角平分线这一条， ③，，则射线是的“巧分线”， ④若，且射线是的“巧分线”，则或． 其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查新定义、角平分线的定义、几何图形角的计算，理解“巧分线”的定义是解题的关键． ①根据“巧分线”的定义求解即可；②根据“巧分线”的定义分三种情况求解即可；③根据“巧分线”的定义求解即可；④根据“巧分线”的定义分三种情况分别求解即可． 【详解】解：当平分时， ∴， ∴射线是的“巧分线”，故①正确； 当射线是的“巧分线”时，有三种情况符合题意： ，，， ∴射线不一定是的角平分线，故②错误； ∵当，时，则， ∴射线是的“巧分线”，故③正确； 若，且射线是的“巧分线”， ∴或或， 当时，则； ∴， 当时，则； 当时，则， ∴， ∴或或，故④错误， 故选：B． 89．（23-24七年级下·广西来宾·期中）利用两块相同的长方体木块（阴影部分）测量一件长方体物品的高，首先按图1所示的方式放置，再按图2所示的方式放置，测量的数据如图所示，则长方体物品的高是 ． 【答案】65 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用．设长方体木块的长为，则宽为，长方体物品的高为，由图中数据列出等式式，建立关于h的一元一次方程求解，即可得出结论． 【详解】解：设长方体木块的长为，则宽为，长方体物品的高为， 根据左边图形得到：；即； 根据右边图形得到：；即； 则， 即， ， 故答案为：． 90．（23-24七年级上·河北邯郸·期末）如图，点，，在数轴上表示的数分别是，3和1，两动点，同时出发，动点从点出发，以每秒4个单位的速度沿往返运动，回到点停止运动；动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿向终点匀速运动，设点的运动时间为． (1)当点到达点时，求点所表示的数是___________； (2)当时，求线段的长； (3)在整个运动过程中，当，两点到点的距离相等时，求出的值． 【答案】(1)2 (2)2.5 (3)或 【分析】本题考查数轴上的动点问题，两点间的距离，一元一次方程的实际应用．根据题意，正确的列出方程，是解题的关键． （1）求出点到达点时所用的时间，进而求出点所表示的数即可； （2）利用路程等于速度乘以时间，求出点，点表示的数，即可得出结果； （3）分点到达点之前和从点返回两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：点到达点时所用的时间为：秒， ∴点所表示的数是； 故答案为：2； （2）时，点表示的数为：，点表示的数为：， ∴； （3）当点P从A向C运动时，， ，解得： 当点P从C向A运动时，， ，解得：； ∴或． 91．（23-24七年级上·辽宁丹东·期中）如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是6，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，运动时间为秒.    (1)直接写出线段的长度； (2)当点运动到点的右侧时，直接写出线段的长度（用含的代数式表示）； (3)当秒时，点到点，点的距离相等；点到点，点的距离相等，求此时线段的长度. (4)当点从点出发时，另一个动点同时从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动. ①点表示的数为：______________（用含的代数式表示）； 点表示的数为：______________（用含的代数式表示）； ②请直接写出，，三点中有一点恰好到另外两点的距离相等时的值. 【答案】(1)线段的长度是10 (2) (3)线段的长度是5 (4)①；；②，4，10 【分析】本题考查了数轴，列代数式，一元一次方程的应用，关键是根据题意正确列出代数式，运用分类讨论思想． （1）线段的长度等于点表示的数减去点表示的数； （2）先写出点表示的数，线段的长度等于点表示的数减去点表示的数； （3）先算出点表示的数，再算出点表示的数，相减，可得线段的长度； （4）①点表示的数是点表示的数加上点运动距离，点表示的数是点表示的数加上点运动的距离， ②分三种情况讨论、结合线段中点的定义求解即可． 【详解】（1）解：， 线段的长度是10； （2）解：点表示的数为， 线段的长度为； （3）解：当秒时， ， 所以P表示的数是5 因为点M到点A，点P的距离相等 所以点表示的数是0.5， ， 因为点N到点B，点P的距离相等， 点表示的数是5.5， 所以线段的长度是； （4）解：①点表示的数为， 点表示的数为， 故答案为：，， ②当是、中点时，， 解得：， 当是、的中点时，， 解得：， 当是、的中点时，， 解得：， ，，三点中有一点恰好到另外两点的距离相等时的值为、4或10． 92．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）如图，在直角三角形中，，，，点P从点A开始以的速度向点B移动，点Q从点C开始以的速度沿的方向移动．如果点P，Q同时出发，P点到达B点时，P，Q两点都停止运动，移动时间用表示． （1）当点Q在上运动时， （用含t的代数式表示）； （2）当时， ． 【答案】 / 1或5 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用．正确表示出和是解题的关键． （1）根据点Q运动的速度和时间表示出，进而表示出即可； （2）首先表示出，然后分两种情况：点Q在上运动和点Q在上运动，人然后根据列方程求解即可． 【详解】∵点Q从点C开始以的速度沿的方向移动，移动时间用表示 ∴， ∵ ∴， 故答案为：． （2）∵点P从点A开始以的速度向点B移动，移动时间用表示 ∴ 当点Q在上运动时， ∵ ∴ 解得； 当点Q在上运动时， ， ∵ ∴ 解得， ∵，此时点P和点B重合，符合题意， ∴综上所述，当时，或5． 故答案为：1或5． 93．（14-15七年级上·江苏苏州·期末）如图，，垂足为C点，，点Q是的中点，动点P由B点出发，沿射线方向匀速移动．点P的运动速度为．设动点P运动的时间为ts．为方便说明，我们分别记三角形面积为S，三角形的面积为，三角形的面积为，三角形的面积为 (1)________（用含的代数式表示）； (2)当点P运动几秒，，说明理由； (3)请你探索是否存在某一时刻，使得，若存在，求出值，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)2秒或6秒，见解析 (3)存在， 【分析】本题考查了动点问题的运用，三角形的面积公式的运用，一元一次方程的运用，解答时运用三角形的面积公式建立方程是关键． （1）由三角形的面积公式可以直接得出结论； （2）由三角形的面积公式先表示出再由建立方程求出其解即可； （3）根据（1）（2）由建立方程求出其解即可． 【详解】（1）由题意，得：， ∴． 故答案为：； （2）由题意，得 当时，， 当时，， 当时， ， 当时， ． 答：当点运动2秒或6秒时，； （3）由题意，得：， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， 解得：． 答：当时，． 94．（22-23七年级上·河北秦皇岛·期末）如图，在长方形中，，，点沿边从点开始向点以的速度移动；点沿边从点开始向点以的速度移动，如果同时出发，用（）表示移动的时间，那么：    （1）如图1，当 时，线段的长度等于线段的长度； （2）如图2，当 时，与的长度之和是长方形周长的； （3）如图3，点到达后继续运动，到达点后停止运动；到达后也继续运动，当点停止运动的同时点也停止运动，当 时，线段的长度等于线段长度的一半． 【答案】 /2秒 /3秒 ． 【分析】（1）根据题意得出，，再根据列出方程即可求解； （2）根据题意得出，，再利用与的长度之和是长方形周长的，列出方程即可求解； （3）根据题意得出，，再利用线段的长度等于线段长度的一半，列出方程求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：，，则， ， ， 解得：； 故答案为：； （2）∵在长方形中，，， 长方形的周长为：()， ∵，，与的长度之和是长方形周长的， ∴， 解得：； 故答案为：； （3）由题可知，，， ， ， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用以及两点间的距离，熟练掌握动点问题中用表示线段长度是解题的关键． 95．（21-22七年级上·湖北十堰·期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为、，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 （1）填空： ①、两点间的距离______，线段的中点表示的数为______； ②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为______；点表示的数为______； （2）求当为何值时，； （3）若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 【答案】（1），；，；（2）或；（3）不发生变化，理由详见解析． 【分析】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，数轴上两点之间的中点表示方法，解题的关键在于理解题意，能够熟练掌握数轴上两点的距离计算公式． （1）根据题目所给的两点距离公式以及两点中点公式进行求解即可；根据数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动，进行求解即可得到结果； （2）由得秒后，点表示的数，点表示的数为，则，再由，可得，由此求解即可； （3）根据两点中点公式，分别求出点表示的数，点表示的数，即可得出线段的长度． 【详解】（1）解：由题意得：， 线段的中点为， 故答案为：，； 由题意得：秒后，点表示的数为：， 点表示的数为：； 故答案为：，； （2）解：秒后，点表示的数，点表示的数为， ， 又， ，解得：或， 当或时，； （3）解：不发生变化， 理由如下：点为的中点，点为的中点， 点表示的数为，点表示的数为， ． ∴线段的长度不变，且长度为5． 96．（23-24七年级上·河北保定·期末）根据所学数轴知识，解答下面的问题： (1)知识再现：在数轴上有三个点如图所示．    ①点表示的数是______；之间的距离是______； ②将点向左平移个单位，此时该点表示的数是______； (2)知识迁移：如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端与数轴上的点重合，右端与数轴上的点重合．    ①若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所应的数为；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为，由此可得这根木棒的长为______？ ②图中点所表示的数是______，点所表示的数是______； (3)知识应用：由（2）中①、②的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题： 一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要年才出生你若是我现在这么大，我就岁啦！”请问奶奶现在多少岁了？ 琪琪的想法是：借助数轴，把妙妙和奶奶的年龄差看作木棒，奶奶像妙妙这样大时，可看作点移动到点，此时点向左移动后，所对应的点所表示的数为，    根据琪琪的想法，完成一下问题： ①若把移动到时，此时点向右移动后，所对应的点表示的数为______， ②求奶奶现在多少岁了． 【答案】(1)①；；②； (2)①；②；； (3)①；②奶奶现在的年龄：岁 【分析】本题主要考查数轴上两点之间距离的计算，解一元一次方程的运用，理解数轴上动点的运动，解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）①根据数轴的特点，点与数轴的关系即可求解；②根据数轴上两点之间距离的计算方法即可求解； （2）①根据木棒的长度不变，设木棒长为，分别用表示出点的数，结合木棒的长度为，根据两点之间距离的计算即可求解；②根据两点之间距离的计算即可求解； （3）①根据题意，妙妙和奶奶的年龄差看作木棒，设年龄差为：，根据对话即可求解；②根据题意分别表示出点的数，结合年龄差的计算，两点之间距离的计算方法，列方程求解即可． 【详解】（1）解：①根据图示可得，点表示的数是；之间的距离是； 故答案为：，； ②点向左平移个单位，该点表示的数是； 故答案为：； （2）解：根据题意，设木棒长为， ①当木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所应的数为时，点表示的数为：； 木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为时，点表示的数为：； ∵一根木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端与数轴上的点重合，右端与数轴上的点重合 ∴， 解得，； 故答案为：； ②根据上述计算，点表示的数为：；点表示的数为：， 故答案为：；； （3）解：根据题意，妙妙和奶奶的年龄差看作木棒，设年龄差为：， ①根据题意，点表示的数为：， 故答案为：； ②点表示的数为：，点表示的数为：， ∴， 解得，， ∴点表示的数为：，点表示的数为：， ∴奶奶现在岁， 故答案为：岁． 97．（23-24七年级上·河北沧州·期末）钟表是我们日常生活中常用的计时工具．如图，在圆形钟面上，把一周等分成12个大格，每个大格等分成5个小格，分针和时针均绕中心O匀速转动．（本题中的角均指小于的角） (1)分针每分钟转_________度，时针每分钟转_________度，当时间为时，分针和时针的夹角为_________度； (2)求2：00开始后几分钟分针第一次追上时针； (3)点A为4点钟的位置，平分，平分，从开始计时，t分钟后（），，求t的值． 【答案】(1)6，0.5，75 (2)分钟后分针第一次追上时针 (3)或 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练根据题中等量关系列方程求解是解题的关键． （1）根据圆周是，分别计算时针和分针的转速即可，再根据时时针和分针夹角是个大格计算夹角度数即可； （2）设x分钟后分针第一次追上时针，根据题意列方程求解即可； （3）根据题意分情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：分针每分钟转，时针每分钟转， ∵时时针和分针夹角是2.5个大格， ∴时，分针和时针的夹角为， 故答案为：6，0.5，75； （2）解：设x分钟后分针第一次追上时针， 由题意得，， 解得， ∴分钟后分针第一次追上时针； （3）解：①没追上之前，由题意知， ， 解得， ②超过之后，由题意知， ， 解得， ∴分钟或分钟后（），． 98．（21-22七年级上·湖北襄阳·期末）一副三角尺（分别含和）按如图所示摆放在量角器上，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合，将三角尺绕量角器中心点以每秒的速度顺时针旋转，当边与刻度线重合时停止运动，设三角尺的运动时间为． (1)当时，边经过的量角器刻度线对应的度数是___________度 (2)如图，若在三角尺开始旋转的同时，三角尺也绕点以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转，． 用含的代数式表示：当为何值时， 从三角尺与三角尺第一对直角边和斜边重叠开始起到另一对直角边和斜边重叠结束止，经过的时间为___________秒 【答案】(1) (2)① ，t为秒5或秒时，；② 【分析】（1）先求解时，旋转的角度，从而可得答案； （2）①分与相遇前和相遇后两种情况分析解答即可；②当与重合时，即与共旋转了，即可解答． 【详解】（1）解：当时，旋转的角度为， ∴边经过的量角器刻度线对应的度数是； （2）①当旋转时间为时，则，， 在三角尺和三角尺旋转前，， 而， 分两种情况：与相遇前， 则： ， 解得：， 与相遇后，则： ， 解得：， ∴当t为秒5或秒时，； ②∵，， ∴当与重合时，， 当与重合时，即与共旋转了， ∴， ∴， ∴从三角尺与三角尺第一对直角边和斜边重叠开始起到另一对直角边和斜边重叠结束止，经过的时间为秒． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了角的旋转定义的理解，量角器的识别，角的计算，一元一次方程的应用，设运动时间为t，用含t的代数式表示出与是解题的关键． 99．（23-24七年级上·河北保定·期末）爱钻研的琪琪发现将图1所示的手表，理解成图2的数学模型（点A和点D是表带的两端，点A，B，C，D在同一条线段上），可以产生下面的数学问题． (1)已知表盘直径为4cm，，若B是中点，则表带______cm． (2)在某个时刻，分针指向表盘上的数字“6”（此时与重合）．时针为，表盘显示时间为是，如图3所示． ①时分针和时针的夹角为______度； ②作射线，使，求此时的度数； (3)如图4所示，自之后，若射线始终是的角平分线（分针还是），在一小时以内，经过______分钟后，的度数是（直接写出结果）． 【答案】(1)16 (2)①135；②或 (3)或 【分析】（1）中点，得到，进而求出的长即可； （2）表盘为圆分12小时，每分钟时针走过的度数为，一格为，根据分针和时针的夹角的度数等于4格的度数加上时针30分钟走过的度数计算即可； ②分情况讨论，当射线在内部和外部两种情况讨论，即可求得解； （3）设经过时间为分钟，的度数是，根据题意，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵为4cm，B是中点， ∴， ∴； 故答案为：16； （2）①表盘分为12格，一格的度数为，时针一分钟所走的度数为：， ∴从到，时针30分钟走的度数为， ∴分针和时针的夹角的度数为； 故答案为：135； ②由①知：， ∴， 当在内部时：； 当在外部时：； 综上：或； （3）解：设经过时间为分钟，的度数是， ∵时针与分针得速度差为， 平分， ， ， 解得（分） 解得（分）， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了线段的和差问题，角平分线的性质和钟面角，一元一次方程的应用，以及分类讨论的思想．读懂题意，找准线段之间的和差关系，角度之间的和差关系，是解题的关键． 100．（23-24七年级上·河北张家口·期末）如图：已知，射线绕点从射线位置开始按顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点从射线位置开始按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转时间为秒（）． (1)用含的代数式表示的度数； (2)在运动过程中，当第二次达到时，求的值； (3)射线，在旋转过程中是否存在这样的，使得射线是由射线，射线，射线中的其中两条组成的角（指大于而不超过的角)的平分线？如果存在，请直接写出的值；如果不存在．请说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3)，9，秒 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，角的计算和角平分线定义，为角平分线时分类讨论是解题的关键和难点． （1）分两种情况求解：①当时，②当时； （2）当第二次达到时，射线在的左侧，根据列方程求解可得； （3）射线是由射线是由射线，射线，射线中的其中两条组成的角的平分线有三种情况： ①两次平分时，根据，列方程求解， ②两次平分时，根据，列方程求解， ③平分时，根据，列方程求解． 【详解】（1）秒， ①当时， ； ②当时， ． 综上可知，的度数为或； （2）根据题意知：， 当第二次达到时，， 即， 解得：， 故秒时，第二次达到； （3）射线是由射线，射线，射线中的其中两条组成的角的平分线有以下三种情况： ①平分时， ∵， ∴， 解得：； ②平分时， ∵，即， ∴， 解得：； ③平分时， ∵， ∴， 解得：； 综上，当t的值分别为、9、秒时，射线是由射线，射线，射线中的其中两条组成的角的平分线． 试卷第2页，共87页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$