第五单元专练篇·07：最大公因数和最小公倍数的实际应用“拓展型”-2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）北师大版

1 / 4 2024-2025 学年五年级数学上册典型例题系列 第五单元专练篇·07：最大公因数和最小公倍数的实际应用 “拓展型” 1．学校有一个三角形的花圃，三条边的长度分别是 48米，36米，28米。现在 要在这三条边是等距离摆花盆，要求每个角上都有一盆，并且相邻两盆距离尽量 大，问一共要摆多少盆花？ 2．图书室长 88分米，宽 72分米，高 3米。学校计划先给图书室铺地砖，然后 粉刷图书室的四壁和天花板。 （1）若选用正方形地砖铺满整个图书室（正好铺满且无切割），你建议学校采 购的正方形地砖最大边长是多少分米？ （2）图书室门窗面积为 21.8平方米，请你计算出图书室要粉刷的面积是多少？ 3．花店把 72枝康乃馨和 54枝百合花扎成花束出售。如果要使每束花中的康乃 馨、百合花同样的，最多可以分成多少束？每束花有多少枝？ 4．张老师带五（3）班部分学生去植树，如果这些学生 2人一组则多 1人，如果 3人一组则差 2人，如果 4人一组则差 3人，请问。张老师最少带了多少名学生？ 5．一个长方形的长和宽分别是 18厘米和 12厘米，用这样的长方形拼一个正方 形。正方形的边长最少是多少？至少几个这样的长方形才能拼成正方形？ 2 / 4 6．一次聚餐共用了 66个碗，每人一碗饭，两人一碗菜，三人一碗汤，参加聚餐 的有多少人？ 7．在跑道两侧每隔 4米种一棵树，结果第一棵与最后一棵相距 48米。现在将移 栽成每隔 6米种一棵，其中有几棵不需要移栽？ 8．爸爸和妈妈都不是按双休日休息，爸爸每工作 3天轮休 1天，妈妈每工作 4 天轮休 1天，3月 5日爸爸妈妈同时休息。按此计算，3，4两个月爸爸和妈妈同 时休息的有几天？分别是哪几天？ 9．工人师傅装修房子，要用一种长方形的地砖铺地，地砖长 48cm，宽 32cm， 用这种地砖铺一个正方形，至少需要多少块？ 3 / 4 10．一张长 18厘米，宽 12厘米的长方形纸，要分成大小相等的正方形，且没有 剩余，最少可以分成多少个？如果用这张长方形纸摆一个最小的正方形，至少需 要多少张？ 11．今年的 3月 10日正好是星期日，这是小明最高兴的一天，因为她和爸爸妈 妈一起去公园玩了一天。小明想：下次什么时候才能再和爸爸妈妈一起来玩呢？ 小明知道爸爸妈妈工作很忙，只有在三人同时休息的时候才能一起来玩。爸爸工 作 4天，休息 1天；妈妈工作 3天，休息 1天；小明学习 5天，休息 2天（星期 一～星期五学习，星期六、星期日休息），你能帮他算出来吗？（要说出是几月 几号？星期几？） 12．一段马路长 3600米，从起点到终点有一排电线杆，原来每两根之间相距 45 米，现在要改为每两根之间相距 60米。一共有多少根电线杆不必移动？ 13．写有 1到 100编号的灯 100盏，亮着排成一排，每一次把编号是 3的倍数的 灯拉一次开关，第二次把编号是 5的倍数的灯拉一次开关，那么亮着的灯还有多 少盏？ 4 / 4 14．亮亮在一条长凳上做摆卡片游戏（如下图），他用三种摆法，都正好从长凳 的一端摆到另一端，而且没有剩余，已知每张卡片长 12厘米，宽 8厘米，这条 长凳最短是多少厘米？ 15．两根一样长的木材，把其中一根都锯成 10厘米长的小段，另一根都锯成 18 厘米长的小段，两根木材都正好用完。锯得的两种不同规格的小段至少共有多少 段？ 16．曲妍有一袋果冻，无论是平均分给 7个人、10个人还是 4个人，都剩下 1 个。这袋果冻至少有多少个？ 2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列 第五单元专练篇·07：最大公因数和最小公倍数的实际应用“拓展型” 1．学校有一个三角形的花圃，三条边的长度分别是48米，36米，28米。现在要在这三条边是等距离摆花盆，要求每个角上都有一盆，并且相邻两盆距离尽量大，问一共要摆多少盆花？ 2．图书室长88分米，宽72分米，高3米。学校计划先给图书室铺地砖，然后粉刷图书室的四壁和天花板。 （1）若选用正方形地砖铺满整个图书室（正好铺满且无切割），你建议学校采购的正方形地砖最大边长是多少分米？ （2）图书室门窗面积为21.8平方米，请你计算出图书室要粉刷的面积是多少？ 3．花店把72枝康乃馨和54枝百合花扎成花束出售。如果要使每束花中的康乃馨、百合花同样的，最多可以分成多少束？每束花有多少枝？ 4．张老师带五（3）班部分学生去植树，如果这些学生2人一组则多1人，如果3人一组则差2人，如果4人一组则差3人，请问。张老师最少带了多少名学生？ 5．一个长方形的长和宽分别是18厘米和12厘米，用这样的长方形拼一个正方形。正方形的边长最少是多少？至少几个这样的长方形才能拼成正方形？ 6．一次聚餐共用了66个碗，每人一碗饭，两人一碗菜，三人一碗汤，参加聚餐的有多少人？ 7．在跑道两侧每隔4米种一棵树，结果第一棵与最后一棵相距48米。现在将移栽成每隔6米种一棵，其中有几棵不需要移栽？ 8．爸爸和妈妈都不是按双休日休息，爸爸每工作3天轮休1天，妈妈每工作4天轮休1天，3月5日爸爸妈妈同时休息。按此计算，3，4两个月爸爸和妈妈同时休息的有几天？分别是哪几天？ 9．工人师傅装修房子，要用一种长方形的地砖铺地，地砖长48cm，宽32cm，用这种地砖铺一个正方形，至少需要多少块？ 10．一张长18厘米，宽12厘米的长方形纸，要分成大小相等的正方形，且没有剩余，最少可以分成多少个？如果用这张长方形纸摆一个最小的正方形，至少需要多少张？ 11．今年的3月10日正好是星期日，这是小明最高兴的一天，因为她和爸爸妈妈一起去公园玩了一天。小明想：下次什么时候才能再和爸爸妈妈一起来玩呢？小明知道爸爸妈妈工作很忙，只有在三人同时休息的时候才能一起来玩。爸爸工作4天，休息1天；妈妈工作3天，休息1天；小明学习5天，休息2天（星期一～星期五学习，星期六、星期日休息），你能帮他算出来吗？（要说出是几月几号？星期几？） 12．一段马路长3600米，从起点到终点有一排电线杆，原来每两根之间相距45米，现在要改为每两根之间相距60米。一共有多少根电线杆不必移动？ 13．写有1到100编号的灯100盏，亮着排成一排，每一次把编号是3的倍数的灯拉一次开关，第二次把编号是5的倍数的灯拉一次开关，那么亮着的灯还有多少盏？ 14．亮亮在一条长凳上做摆卡片游戏（如下图），他用三种摆法，都正好从长凳的一端摆到另一端，而且没有剩余，已知每张卡片长12厘米，宽8厘米，这条长凳最短是多少厘米？ 15．两根一样长的木材，把其中一根都锯成10厘米长的小段，另一根都锯成18厘米长的小段，两根木材都正好用完。锯得的两种不同规格的小段至少共有多少段？ 16．曲妍有一袋果冻，无论是平均分给7个人、10个人还是4个人，都剩下1个。这袋果冻至少有多少个？ 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列 第五单元专练篇·07：最大公因数和最小公倍数的实际应用“拓展型” 1．学校有一个三角形的花圃，三条边的长度分别是48米，36米，28米。现在要在这三条边是等距离摆花盆，要求每个角上都有一盆，并且相邻两盆距离尽量大，问一共要摆多少盆花？ 【答案】28盆 【分析】求相邻两盆的最大距离，即是求48、36、28三个数的最大公因数，然后利用三角形的周长公式，把三条边的长度加起来，求出三角形的周长，可以把三角形看作植树问题中的封闭路线，间隔数＝周长÷间隔的距离，求出间隔数，即是求出一共要摆的花盆数。 【详解】48＝2×2×2×2×3 36＝2×2×3×3 28＝2×2×7 48、36、28三个数的最大公因数是：2×2＝4。 即相邻两盆的最大距离是4米。 （48＋36＋28）÷4 ＝112÷4 ＝28（盆） 答：一共要摆28盆花。 【点睛】此题的解题关键是利用求三个数的最大公因数的方法，根据三角形的周长公式，通过植树问题中的实际情况，解决实际的问题。 2．图书室长88分米，宽72分米，高3米。学校计划先给图书室铺地砖，然后粉刷图书室的四壁和天花板。 （1）若选用正方形地砖铺满整个图书室（正好铺满且无切割），你建议学校采购的正方形地砖最大边长是多少分米？ （2）图书室门窗面积为21.8平方米，请你计算出图书室要粉刷的面积是多少？ 【答案】（1）8分米； （2）137.56平方米 【分析】（1）要计算正方形地砖最大边长是多少分米，就是求长88分米和宽72分米的最大公因数； （2）图书室需要粉刷的面积＝长方体图书室的表面积－底面积－门窗的面积；据此解答。 【详解】（1） 2×2×2＝8（分米） 因为88和72的最大公因数是8，所以正方形地砖最大边长是8分米。 答：学校采购的正方形地砖最大边长是8分米。 （2）88分米＝8.8米 ，72分米＝7.2米 （8.8×7.2＋8.8×3＋7.2×3）×2－8.8×7.2－21.8 ＝（63.36＋26.4＋21.6）×2－8.8×7.2－21.8 ＝111.36×2－8.8×7.2－21.8 ＝222.72－63.36－21.8 ＝159.36－21.8 ＝137.56（平方米） 答：图书室要粉刷的面积是137.56平方米。 【点睛】掌握短除法求最大公因数的方法并根据生活实际计算需要粉刷部分的面积是解答题目的关键。 3．花店把72枝康乃馨和54枝百合花扎成花束出售。如果要使每束花中的康乃馨、百合花同样的，最多可以分成多少束？每束花有多少枝？ 【答案】18束，7枝 【解析】要使每束花中的康乃馨、百合花同样的花束数量必须是72和54的公因数，求最多可以分成多少束，也就是求72和54的最大公因数，求出花束数量后，可以分别计算每束花中的康乃馨和百合花的数量，相加得到每束花有多少枝。 【详解】 （束） （枝） （枝） （枝） 答：最多可以分成18束，每束花有7枝。 【点睛】本题考查的是最大公因数的问题，一般遇到最大、最多、至多的词眼，大多考查的是最大公因数。 4．张老师带五（3）班部分学生去植树，如果这些学生2人一组则多1人，如果3人一组则差2人，如果4人一组则差3人，请问。张老师最少带了多少名学生？ 【答案】13名 【分析】根据题意，“3人一组则差2人”可以理解为“3人一组则多1人”；“4人一组则差3人” 可以理解为“4人一组多1人”，则原题中最少带学生数量，就转化为求2、3、4的最小公倍数，再加一人即可。 【详解】4＝2×2，2、3、4的最小公倍数，2×3×2＝12 12＋1＝13（人） 答：张老师最少带了13名学生。 【点睛】能将条件理解并有效转化是解答本题的关键。注意掌握最小公倍数的求法。 5．一个长方形的长和宽分别是18厘米和12厘米，用这样的长方形拼一个正方形。正方形的边长最少是多少？至少几个这样的长方形才能拼成正方形？ 【答案】画图见详解；36厘米；6个 【分析】根据题意，正方形的边长长度最少等于18和12的最小公倍数，也就是求18和12的公有质因数与每个独有质因数的连乘积；求出正方形的边长再分别除以18和12，看能放几排，几列，然后相乘即可；据此解答。 【详解】18＝2×3×3 12＝2×2×3 正方形的边长是： 2×2×3×3 ＝4×3×3 ＝12×3 ＝36（厘米） （36÷18）×（36÷12） ＝2×3 ＝6（个） 画图如下： 答：正方形的边长最少是36厘米，至少6个这样的长方形才能拼成正方形. 【点睛】此题考查了两个数的最小公倍数的应用，可以用分解质因数的方法解答，也可以用短除法解答。 6．一次聚餐共用了66个碗，每人一碗饭，两人一碗菜，三人一碗汤，参加聚餐的有多少人？ 【答案】圈一圈见详解；36人 【分析】1、2和3的最小公倍数为6，把6个人分成一组，每组里面吃饭需要6÷1＝6个碗，吃菜需要6÷2＝3个碗，喝汤需要6÷3＝2个碗，用加法求出每组一共需要多少个碗，一共分成的组数＝碗的总个数÷每组需要碗的个数，最后用总组数乘每组人数求出聚餐的总人数，据此解答。 【详解】 1、2和3的最小公倍数：1×2×3＝6 6÷1＋6÷2＋6÷3 ＝6＋3＋2 ＝11（个） 66÷11×6 ＝6×6 ＝36（人） 答：参加聚餐的有36人。 【点睛】本题主要考查最小公倍数的应用，分析题意求出每组人数和一共分的组数是解答题目的关键。 7．在跑道两侧每隔4米种一棵树，结果第一棵与最后一棵相距48米。现在将移栽成每隔6米种一棵，其中有几棵不需要移栽？ 【答案】10棵 【分析】求出两次间隔距离的最小公倍数是不需要移栽的距离，总长度÷不需要移栽的距离＝不需要移栽的段数，根据两端都植，棵数＝段数－1，求出一侧不需要移栽的棵数，乘2即可。 【详解】4＝2×2 6＝2×3 2×2×3＝12（米） 48÷12＝4（段） 4＋1＝5（棵） 5×2＝10（棵） 答：其中有10棵不需要移栽。 【点睛】全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 8．爸爸和妈妈都不是按双休日休息，爸爸每工作3天轮休1天，妈妈每工作4天轮休1天，3月5日爸爸妈妈同时休息。按此计算，3，4两个月爸爸和妈妈同时休息的有几天？分别是哪几天？ 【答案】3天；3月5日；3月25日；4月14日 【分析】爸爸每工作3天轮休1天，4天一个循环，最后一天休息；妈妈每工作4天轮休1天，5天一个循环，最后一天休息；要让爸爸妈妈同时休息，找到4和5的最小公倍数20，即从3月5日算起第20天，爸爸、妈妈下一次同时休息，共有3天，分别是3月5日；3月25日；4月14日。 【详解】3＋1＝4（天） 4＋1＝5（天） 因为4和5是互质数，所以4和5的最小公倍数是；4×5＝20。 即20天后，爸爸和妈妈同时休息。 5＋20＝25（日） 即3月25日爸爸和妈妈会再次同时休息。 3月有31天，31－25＝6（天） 20－6＝14（日） 即4月14日爸爸和妈妈会再次同时休息。 答：3，4两个月爸爸和妈妈同时休息的有3天，分别是3月5日，3月25日，4月14日。 【点睛】此题的解题关键是通过最小公倍数的求法以及时间的推算解决实际的问题。 9．工人师傅装修房子，要用一种长方形的地砖铺地，地砖长48cm，宽32cm，用这种地砖铺一个正方形，至少需要多少块？ 【答案】6块 【分析】求出地板砖长和宽的最小公倍数是正方形图案的最小边长，根据正方形和长方形的公式，用正方形的面积÷地砖面积即可。 【详解】48＝2×2×2×2×3 32＝2×2×2×2×2 48和32的最小公倍数是2×2×2×2×3×2＝96。 这个正方形的最小边长是96cm。 96×96÷（48×32） ＝9216÷1536 ＝6（块） 答：至少需要6块。 【点睛】此题考查了有关最小公倍数的实际应用，一般用分解质因数法求最小公倍数。 10．一张长18厘米，宽12厘米的长方形纸，要分成大小相等的正方形，且没有剩余，最少可以分成多少个？如果用这张长方形纸摆一个最小的正方形，至少需要多少张？ 【答案】6个；6张 【分析】（1）把长方形纸分成大小相等的正方形，且没有剩余，那么正方形的边长是长和宽的公因数，它们的最大公因数，就是正方形的最长边长，此时分得正方形个数最少；求正方形的个数，先分别用长方形的长、宽除以正方形的最大边长，求出长、宽各可以分几个，再相乘就是最少可以分成的正方形的个数。 （2）用长方形纸摆成最小的正方形，正方形边长是长和宽的最小公倍数，据此计算出拼成的正方形的最小边长；求长方形纸需要的张数，先分别用正方形的边长除以长方形的长、宽，求出各需要几张，再相乘就是至少需要的张数。 【详解】（1）18＝2×3×3 12＝2×2×3 18和12的最大公因数是：2×3＝6； 即分成的正方形的最大边长是6厘米； 最少可以分成： （18÷6）×（12÷6） ＝3×2 ＝6（个） （2）18和12的最小公倍数是：2×2×3×3＝36； 即摆成的正方形的最小边长是36厘米； 至少需要： （36÷18）×（36÷12） ＝2×3 ＝6（张） 答：把这张长方形纸分成大小相等的正方形，且没有剩余，最少可以分成6个；如果用这张长方形纸摆一个最小的正方形，至少需要6张。 【点睛】本题考查了用最大公因数和最小公倍数的知识解决实际问题的能力。可以用分解质因数或短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数。 11．今年的3月10日正好是星期日，这是小明最高兴的一天，因为她和爸爸妈妈一起去公园玩了一天。小明想：下次什么时候才能再和爸爸妈妈一起来玩呢？小明知道爸爸妈妈工作很忙，只有在三人同时休息的时候才能一起来玩。爸爸工作4天，休息1天；妈妈工作3天，休息1天；小明学习5天，休息2天（星期一～星期五学习，星期六、星期日休息），你能帮他算出来吗？（要说出是几月几号？星期几？） 【答案】3月30日，星期六 【分析】爸爸工作4天，休息1天，即5天一休息；妈妈工作3天，休息1天，即4天一休息；求出爸爸和妈妈可以休息天数的最小公倍数，推算出在星期六或星期日的日期即可。 【详解】4＋1＝5（天） 3＋1＝4（天） 5×4＝20（天） 20÷7＝2（周）……6（天） 20天后刚好是星期六。 10＋20＝30（日） 答：下次3月30日，星期六，小明能再和爸爸妈妈一起来玩。 【点睛】两数互质，最小公倍数是两数的积。 12．一段马路长3600米，从起点到终点有一排电线杆，原来每两根之间相距45米，现在要改为每两根之间相距60米。一共有多少根电线杆不必移动？ 【答案】21根 【分析】求出两次间距的最小公倍数，距离处于最小公倍数的电线杆不用动，用马路总长÷最小公倍数即可。 【详解】45＝3×3×5 60＝2×2×3×5 2×2×3×3×5＝180（米） 3600÷180＝20（根） 20根＋1根＝21（根） 答：一共有21根电线杆不必移动。 【点睛】全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 13．写有1到100编号的灯100盏，亮着排成一排，每一次把编号是3的倍数的灯拉一次开关，第二次把编号是5的倍数的灯拉一次开关，那么亮着的灯还有多少盏？ 【答案】盏 【分析】因为灯在开始的时候是亮着的，所以拉了两次或者没拉的灯最后还是亮的，先分别求出3的倍数的个数，5的倍数的个数，以及3和5的公倍数的个数，然后求出没有拉过的灯的个数，加上拉了两次的灯的数量，得到最终亮着的个数。 【详解】 第一次拉了33盏； （盏） 第二次拉了20盏； 两次都拉的有6盏； （盏） 被拉过的有47盏； （盏） 没有被拉过的有53盏； 最后亮着的灯一共为（盏） 答：亮着的灯还有59盏。 【点睛】本题考查的是二元容斥问题，并且与奇偶性的问题相结合，可以利用韦恩图求解。 14．亮亮在一条长凳上做摆卡片游戏（如下图），他用三种摆法，都正好从长凳的一端摆到另一端，而且没有剩余，已知每张卡片长12厘米，宽8厘米，这条长凳最短是多少厘米？ 【答案】120厘米 【分析】根据题意可知本题就是求12，8，8＋12＝20的最小公倍数，由最小公倍数的意义可知：最小公倍数是几个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积，据此先把12、8、20分解质因数，然后据此求出它们的最小公倍数。 【详解】12＝2×2×3；8＝2×2×2，20＝2×2×5 故18、12、30的最小公倍数是：2×2×3×2×5＝120 答：这条长凳最短是120厘米。 【点睛】本题主要考查三个数的最小公倍数的求法，注意找准哪些是三个数公有的质因数，哪些是独有的质因数。 15．两根一样长的木材，把其中一根都锯成10厘米长的小段，另一根都锯成18厘米长的小段，两根木材都正好用完。锯得的两种不同规格的小段至少共有多少段？ 【答案】14段 【分析】锯成10厘米长的小段，刚好用完，说明木材长度是10的倍数；锯成18厘米长的小段，刚好用完，说明木材长度是18的倍数；那么木材长度是10和18的公倍数，“至少”的话，求最小公倍数。 【详解】 10和18的最小公倍数：； （段） （段） （段） 答：锯得的两种不同规格的小段至少共有14段。 【点睛】遇到“至少”、“最小”、“最小”等词语时，一般求的是最小公倍数。 16．曲妍有一袋果冻，无论是平均分给7个人、10个人还是4个人，都剩下1个。这袋果冻至少有多少个？ 【答案】141个 【分析】平均分给7个人剩下1个，说明果冻总数减去1是7的倍数；平均分给10个人剩下1个，说明果冻总数减去1是10的倍数；平均分给4个人剩下1个，说明果冻总数减去1是4的倍数；那么果冻总数减去1是7、10、4的公倍数，求至少多少个，那么求的是最小公倍数。 【详解】 7、10、4的最小公倍数： （个） 答：这袋果冻至少有141个。 【点睛】“加同余，减同补”，先求出几个数的最小公倍数，然后再进行调整，找出最终的答案。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$