第五单元分数的意义·思维素养篇·第二部分【从课内到奥数】-2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）北师大版

篇首寄语 有人坚信：“奥数能培养和提高学生的思维能力，所以一定要让学生学习奥数。”但也有人认为：“奥数难度太大，学生学起来吃力，老师教起来麻烦。”事实上，奥数离我们很近，人教版的“数学广角”，苏教版的“解决问题的策略”，北师大版的“数学好玩”，这些章节编排的数学思考题都带有一定的思维性，每学期也会作为期末必考点进行考察。从实际情况出发，绝大部分同学其实不需要涉猎高难度的奥数内容，那么“浅奥”，就是值得我们修炼的内容了。 《2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列·思维素养篇》主要分为三种专题，即从课内到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年12月4日 目 录 【课内精选一】最大公因数（一） 3 【课内精选二】最大公因数（二） 3 【课内精选三】约分 4 【课内精选四】最小公倍数（一） 5 【课内精选五】最小公倍数（二） 6 【奥数拓展一】最大公因数的应用（一） 7 【奥数拓展二】最大公因数的应用（二） 8 【奥数拓展三】约分的应用 8 【奥数拓展四】最小公倍数（一） 9 【奥数拓展五】最小公倍数（二） 10 【奥数拓展六】最大公因数和最小公倍数的应用（一） 11 【奥数拓展七】最大公因数和最小公倍数的应用（二） 12 【奥数拓展八】最大公因数和最小公倍数的应用（三） 13 【奥数拓展九】最大公因数和最小公倍数的应用（四） 13 【奥数拓展十】最大公因数和最小公倍数的应用（五） 14 【奥数拓展十一】最大公因数和最小公倍数的应用（六） 15 2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列 第五单元分数的意义·思维素养篇·第二部分【从课内到奥数】 【课内精选一】最大公因数（一）。 求18和24的最大公因数和最小公倍数。 【专项训练】 1. 用短除法求12和18的最大公因数和最小公倍数。 2. 用短除法求20和30的最大公因数和最小公倍数。 3. 用短除法求84和126的最大公因数和最小公倍数。 【课内精选二】最大公因数（二）。 有一块长80厘米、宽48厘米的长方形纸片，要把它剪成边长都是整厘米、面积相等的小正方形纸片，恰无剩余，那么，至少可以剪多少块? 【专项训练】 1. 有一块长96厘米、宽36厘米的长方形纸片，要把它剪成边长都是整厘米、面积相等的小正方形纸片，恰无剩余，那么至少可以剪多少块? 2. 把一张长1米3分米5厘米、宽1米5厘米的长方形纸剪成同样大小的正方形纸片而没有剩余，要求剪成的纸片尽可能大，可以剪成多少张? 3. 五、六年级学生要去爬山，五年级去了96人，六年级去了64人，要把五、六年级各分成人数相等的小队，并且每队的人数不能超过20人，所以，每队最多有多少人?要分几队? 【课内精选三】约分。 先约分，再化成带分数或整数。                              【专项训练】 1．约分成最简分数。（结果是假分数的要化成带分数或整数）                   2．把下面分数约成最简分数。 ＝        ＝        ＝        ＝        ＝ 3．把下列各分数约分，是假分数的再化成带分数或整数。                                                  【课内精选四】最小公倍数（一）。 求下面两组数的最小公倍数。 (1)45、60和75；(2)24、36和48。 【专项训练】 1. 用短除法计算三个数的最小公倍数。 90、120和150 2. 用短除法计算三个数的最小公倍数。 72、90和108 3. 用短除法计算三个数的最大公因数和最小公倍数。 252、396和468 【课内精选五】最小公倍数（二）。 有一个电子钟，每走9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃，中午12点整，电子钟既响铃又亮灯，问：下一次既响铃又亮灯是几点钟? 【专项训练】 1. 公园广场是2路和3路公交车的起点站，2路公交每4分钟发一次车，3路公交每5分钟发一次车，这两路公交同时发车以后，至少再过多少分钟又同时发车? 2. 一种长方形地板的长是56厘米，宽是16厘米，用这种地板铺成一个正方形，至少要用多少块? 3. 一对互相咬合的齿轮，一个有140个齿，另一个有42个齿，其中咬合的任意一对齿从第一次咬合到再次咬合，两个齿轮各要转动多少圈? 【奥数拓展一】最大公因数的应用（一）。 书架上有语文书49本，数学书105本，外语书63本，把它们平均分成若干堆，每堆中这三种课本的数量分别相等，那么，最多可以分成多少堆? 【专项训练】 1. 一个长方体木块，长2.7分米、宽1.8分米、高1.5分米，要把它切成大小相等的小正方体木块，不能有剩余，小正方体的棱长最大是多少分米? 2. 如图所示，路灯管理站要在马路一侧等距离装路灯，马路在乙处拐弯，要求甲、乙、丙处各装一盏路灯，这条马路至少要装多少盏路灯? 3. 有三堆练习本，甲堆有120本，乙堆有150本，丙堆有180本，现在要将它们都分成同样本数的小堆，不能有剩余，最少可以分成几堆? 【奥数拓展二】最大公因数的应用（二）。 若A、B、C三种文具分别有38个、78个和128个，将每种文具都平均分给学生，分完后剩下2个A、6个B、20个C，则学生最多有多少人? 【专项训练】 1. 有苹果362个，梨234个，平均分给若干个小朋友，最后多了5个苹果和3个梨，每人分到的苹果和梨的总数不超过30个，那么，小朋友有多少人? 2. 若115、200、268被某个大于1的自然数除，得到的余数都相同，那么，用2014除以这个自然数，得到的余数是多少? 3. 有两个不同的自然数，它们的和是120，最大公因数是15，满足条件的自然数有几组?分别是多少? 【奥数拓展三】约分的应用。 有一个分数约成最简分数是，约成前分子、分母的和等于48，那么约分前的 分数是多少? 【专项训练】 1. 把一个分数约成最简分数后是，约分前分子与分母的和等于200，那么，约分前的分数是多少? 2. 一个真分数分子与分母的和是42，把它约分后是，原来的分数是多少? 3. 分数的分子和分母同时加上同一个自然数，所得的新分数是，求这个自然数。 【奥数拓展四】最小公倍数（一）。 两个数的最大公因数是6，最小公倍数是108，其中一个数是12，另一个数是多少? 【专项训练】 1. 甲数是24，甲、乙两数的最小公倍数是168，最大公因数是4，求乙数。 2. 已知A、B两个数的最大公因数是8，A=32，B=72，那么，它们的最小公倍数是多少? 3. 两个整数的最大公因数是12，最小公倍数是336，这两个数的差最大是多少? 【奥数拓展五】最小公倍数（二）。 在周长是400米的环形跑道周围每隔10米放一盆花，放完后又从同一处开始每隔8米放一盆花，原来放花的地方不再放花，一共放了多少盆花? 【专项训练】 1. 在周长是300米的环形跑道周围每隔5米放一盆花，放完后又每隔6米放一盆花，原来放花的地方不再放花，那么，一共放了多少盆花? 2. 从运动场一端到另一端全长120米，每隔6米插一面红旗，现在要改成每隔8米插一面红旗，那么，有多少面红旗不必拔出来? 3. 迎宾大道长72米，原来在路的两边，从一端起每隔8米有一盏路灯，现在重新安装，要从一端起每隔6米安装一盏路灯，为节约施工成本，不需要重新安装的路灯有多少盏? 【奥数拓展六】最大公因数和最小公倍数的应用（一）。 某市公共汽车站有三条公交路线，第一条每8分钟发一辆车，第二条每12分钟 发一辆车，第三条每15分钟发一辆车，早上5:30三条路线同时发出第一辆车，该总站发出最后一辆车是19:30，请问：该总站最后一次三辆车同时出发是什么时候? 【专项训练】 1. 小新、小文和小辰三个人绕操场跑道练习骑自行车，他们骑一圈的时间分别是40秒、45秒和1分钟，现在三个小伙伴同时从起点出发，最少要多少时间才能同时在起点处相遇? 2. 放暑假的前一天，静静、小刚和阿罗三位好朋友商量好暑假里去“快乐图书城”看书.静静每2天去一次，小刚每3天去一次，阿罗每4天去一次，7月2日那天，他们三人第一次在图书馆相遇，那么，下一次相遇在几月几日? 3. 把一块长72厘米、宽60厘米、厚36厘米的木料锯成尽可能大，且大小、形状完全相同的正方体木块，锯后不能有剩余(损耗不计)，能锯成多少块? 【奥数拓展七】最大公因数和最小公倍数的应用（二）。 用长9厘米、宽6厘米、高4厘米的小长方体木块叠成一个正方体，至少要用多少块这样的小长方体? 【专项训练】 1. 有三根钢管，其中第一根的长度是第二根的1.2倍，是第三根的一半，第三根比第二根长280厘米，现在把这三根钢管截成尽可能长而又相等的小段，问：一共可以截成多少段? 2. 老师手里有一些糖，只分给甲组学生，每人可得到15颗；只分给乙组学生，每人可得到6颗；只分给丙组学生，每人可得到10颗，如果现在要平均分给这三个组的学生，每人可得到多少颗糖? 3. 爷爷对毛毛说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过若干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。”那么，爷爷和毛毛现在的年龄分别是多少岁? 【奥数拓展八】最大公因数和最小公倍数的应用（三）。 图书室里有一批新到的课外书，无论是分成5本一叠，还是分成8本一叠，最后都多出3本，这批新到的课外书至少有多少本? 【专项训练】 1. 小莉在家整理图书，无论是分成20本放一个抽屉，还是分成30本放一个抽屉，最后都多出5本，小莉整理的这批书至少有多少本? 2. 猴妈妈分桃子，如果每堆分11个，最后少1个；如果每堆分12个，还是少1个，这批桃子至少有多少个? 3. 五(1)班有40多名学生，做早操时，不论是排成2人一行、3人一行、还是4人一行，最后都正好少1人，五(1)班有多少名同学? 【奥数拓展九】最大公因数和最小公倍数的应用（四）。 有一批树苗，每捆5棵多1棵，每捆6棵多2棵，每捆7棵多3棵，这批树苗至少有多少棵? 【专项训练】 1. 有一批树苗，5棵一捆少4棵，6棵一捆少4棵，8棵一捆少4棵，这批树苗至少有多少棵? 2. 一个自然数，除以5余2，除以7余4，除以12余9，这个数最小是多少? 3. 李叔叔养了400多只兔子，如果每3只兔子关在一个笼子里，最后一个笼子里有1只；如果每5只兔子关在一个笼子里，最后一个笼子里有3只；如果每7只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有5只，李叔叔一共养了多少只兔子? 【奥数拓展十】最大公因数和最小公倍数的应用（五）。 有一些糖果，平均分给3个小朋友多1块，平均分给4个小朋友多3块，平均分给5个小朋友少1块，这些糖果最少有多少块? 【专项训练】 1. 有一些糖果，平均分给6个小朋友多5块，平均分给7个小朋友多1块，平均分给8个小朋友少1块，这些糖果最少有多少块? 2. 一群小朋友做游戏，如果3人一组，多出2人；如果5人一组，多出4人；如果8人一组，多出3人，这群小朋友至少有多少人? 3. 有一个数，除以3余2，除以5余2，除以7余4，这个数最小是多少? 【奥数拓展十一】最大公因数和最小公倍数的应用（六）。 新华书店新到一批书，7本一数多6本，10本一数多8本，11本一数多5本，这批书至少有多少本? 【专项训练】 1. 小红玩棋子，只见她将棋子分成5颗一堆多3颗，分成6颗一堆多5颗，分成8颗一堆多3颗，这些棋子至少有多少颗? 2. 某整数除以5余4，除以7余2，除以11余8，这个整数最小是多少? 3. “乐课力”新买来一些本子，如果平均分给10个小朋友，还剩2本；平均分给11个小朋友，还剩5本；平均分给12个小朋友，还剩8本，那么这堆本子最少有多少本? 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 篇首寄语 有人坚信：“奥数能培养和提高学生的思维能力，所以一定要让学生学习奥数。”但也有人认为：“奥数难度太大，学生学起来吃力，老师教起来麻烦。”事实上，奥数离我们很近，人教版的“数学广角”，苏教版的“解决问题的策略”，北师大版的“数学好玩”，这些章节编排的数学思考题都带有一定的思维性，每学期也会作为期末必考点进行考察。从实际情况出发，绝大部分同学其实不需要涉猎高难度的奥数内容，那么“浅奥”，就是值得我们修炼的内容了。 《2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列·思维素养篇》主要分为三种专题，即从课内到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年12月4日 目 录 【课内精选一】最大公因数（一） 3 【课内精选二】最大公因数（二） 3 【课内精选三】约分 4 【课内精选四】最小公倍数（一） 6 【课内精选五】最小公倍数（二） 7 【奥数拓展一】最大公因数的应用（一） 8 【奥数拓展二】最大公因数的应用（二） 8 【奥数拓展三】约分的应用 9 【奥数拓展四】最小公倍数（一） 10 【奥数拓展五】最小公倍数（二） 10 【奥数拓展六】最大公因数和最小公倍数的应用（一） 11 【奥数拓展七】最大公因数和最小公倍数的应用（二） 12 【奥数拓展八】最大公因数和最小公倍数的应用（三） 14 【奥数拓展九】最大公因数和最小公倍数的应用（四） 14 【奥数拓展十】最大公因数和最小公倍数的应用（五） 15 【奥数拓展十一】最大公因数和最小公倍数的应用（六） 16 2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列 第五单元分数的意义·思维素养篇·第二部分【从课内到奥数】 【课内精选一】最大公因数（一）。 求18和24的最大公因数和最小公倍数。 解析： 18和24的最大公因数记作：(18，24)=6； 18和24的最小公倍数记作：[18，24]=72。 【专项训练】 1. 用短除法求12和18的最大公因数和最小公倍数。 解析：12和18的最大公因数是2×3=6，最小公倍数是2×3×2×3=36。 2. 用短除法求20和30的最大公因数和最小公倍数。 解析：20和30的最大公因数是2×5=10，最小公倍数是2×5×2×3=60。 3. 用短除法求84和126的最大公因数和最小公倍数。 解析：84和126的最大公因数是2×3×7=42，最小公倍数是2×3×7×2×3=252。 【课内精选二】最大公因数（二）。 有一块长80厘米、宽48厘米的长方形纸片，要把它剪成边长都是整厘米、面积相等的小正方形纸片，恰无剩余，那么，至少可以剪多少块? 解析： 因为纸片恰无剩余，那么原长方形纸片的长、宽应分别是这些小正方形边长的整数倍，我们可以看出，此题求小正方形的边长实际上是求80和48有哪些公因数，而至少要剪多少块?就是求当剪下来的正方形边长最大时，可以剪多少块。 因为(80，48)=16，所以(80÷16)×(48÷16)=5×3=15(块)。 答：至少可以剪15块。 【专项训练】 1. 有一块长96厘米、宽36厘米的长方形纸片，要把它剪成边长都是整厘米、面积相等的小正方形纸片，恰无剩余，那么至少可以剪多少块? 解析：(96，36)=12，(96÷12)×(36÷12)=24(块)，所以，至少可以剪24块。 2. 把一张长1米3分米5厘米、宽1米5厘米的长方形纸剪成同样大小的正方形纸片而没有剩余，要求剪成的纸片尽可能大，可以剪成多少张? 解析：(135，105)=15，(135×105)÷(15×15)=63(张)，所以，可以剪成63张。 3. 五、六年级学生要去爬山，五年级去了96人，六年级去了64人，要把五、六年级各分成人数相等的小队，并且每队的人数不能超过20人，所以，每队最多有多少人?要分几队? 解析：(96，64)=16(人)，96÷16+64÷16=10(队)。 【课内精选三】约分。 先约分，再化成带分数或整数。                              【答案】；；； 【分析】约分是根据分数的基本性质，即分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。假分数化成带分数的方法是用分子除以分母，当分子是分母的整数倍时，能化成整数，商就是这个整数；当分子不是分母的整数倍时，能化成带分数，商是带分数的整数部分，余数是分数部分的分子，分母不变。据此解答。 【详解】 5÷2＝2……1 3÷1＝3 8÷5＝1……3 9÷2＝4……1 【专项训练】 1．约分成最简分数。（结果是假分数的要化成带分数或整数）                   【答案】；；；3 【分析】分子和分母只有公因数1的分数叫作最简分数。把一个分数化成同它相等，但分子、分母都比原来小的分数的过程是约分。约分根据分数的基本性质，即分数的分子和分母，同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 假分数化带分数：用分子除以分母。当分子是分母的整数倍时，能化成整数，商就是这个整数。当分子不是分母的整数倍时，能化成带分数，商是带分数的整数部分，余数是分数部分的分子，分母不变。 【详解】 2．把下面分数约成最简分数。 ＝        ＝        ＝        ＝        ＝ 【答案】；；；； 【分析】根据分数的基本性质进行约分，通常分子、分母同时除以它们的最大公因数，结果是分子和分母只有公因数1的最简分数。 【详解】＝＝ ＝＝ ＝＝ ＝＝ ＝＝ 3．把下列各分数约分，是假分数的再化成带分数或整数。                                                  【答案】；；3；； 【分析】约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分；根据分数的基本性质进行约分，分子、分母同时除以它们的最大公因数，结果就是分子和分母只有公因数1的最简分数。 假分数化成整数：用假分数的分子除以分母，如果没有余数，商就是所要化成的整数。分子能被分母整除的假分数可以化成整数。 假分数化成带分数：用假分数的分子除以分母，得到整数商和余数（余数比除数小）。整数商就是带分数的整数部分，余数为真分数部分的分子，分母不变。 【详解】 【课内精选四】最小公倍数（一）。 求下面两组数的最小公倍数。 (1)45、60和75；(2)24、36和48。 解析：(1)45、60和75的最小公倍数是3×5×3×4×5=900，记作：[45，60，75]= 900。 (2)24、36和48的最小公倍数是2×2×3×2×1×3×2=144，记作：[24，36，48]=144。 【专项训练】 1. 用短除法计算三个数的最小公倍数。 90、120和150 解析：1800 2. 用短除法计算三个数的最小公倍数。 72、90和108 解析：1080 3. 用短除法计算三个数的最大公因数和最小公倍数。 252、396和468 解析：36；36036 【课内精选五】最小公倍数（二）。 有一个电子钟，每走9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃，中午12点整，电子钟既响铃又亮灯，问：下一次既响铃又亮灯是几点钟? 解析： 电子钟每走9分钟亮一次灯，就是说亮灯的时间间隔是9分钟；每到整点响一次铃也就是说每隔60分钟响一次铃，因此，问题就转化成求9和60的最小公倍数。 [9，60]=3×3×20=180，180分钟=3小时。 答：下一次既响铃又亮灯是下午3点整。 【专项训练】 1. 公园广场是2路和3路公交车的起点站，2路公交每4分钟发一次车，3路公交每5分钟发一次车，这两路公交同时发车以后，至少再过多少分钟又同时发车? 解析：20分钟 2. 一种长方形地板的长是56厘米，宽是16厘米，用这种地板铺成一个正方形，至少要用多少块? 解析：14块。 3. 一对互相咬合的齿轮，一个有140个齿，另一个有42个齿，其中咬合的任意一对齿从第一次咬合到再次咬合，两个齿轮各要转动多少圈? 解析：3圈；10圈。 【奥数拓展一】最大公因数的应用（一）。 书架上有语文书49本，数学书105本，外语书63本，把它们平均分成若干堆，每堆中这三种课本的数量分别相等，那么，最多可以分成多少堆? 解析： 根据题目的意思，实质上是求49、105、63的最大公因数。 (49，105，63)=7。 所以，最多可以分成7堆。 【专项训练】 1. 一个长方体木块，长2.7分米、宽1.8分米、高1.5分米，要把它切成大小相等的小正方体木块，不能有剩余，小正方体的棱长最大是多少分米? 解析：(27，18，15)=3(厘米)=0.3(分米) 2. 如图所示，路灯管理站要在马路一侧等距离装路灯，马路在乙处拐弯，要求甲、乙、丙处各装一盏路灯，这条马路至少要装多少盏路灯? 解析：(585，360)=45，585÷45+360÷45+1=22(盏) 3. 有三堆练习本，甲堆有120本，乙堆有150本，丙堆有180本，现在要将它们都分成同样本数的小堆，不能有剩余，最少可以分成几堆? 解析：(120，150，180)=30，120÷30+150÷30+180÷30=15(堆)，所以，最少可以分成15堆。 【奥数拓展二】最大公因数的应用（二）。 若A、B、C三种文具分别有38个、78个和128个，将每种文具都平均分给学生，分完后剩下2个A、6个B、20个C，则学生最多有多少人? 解析： 根据题意，A、B、C三种文具分别分掉38－2=36(个)、78－6=72(个)、128－20=108(个)，由于每种文具又是平均分给学生，因此，这3个数的最大公因数就是学生的人数。 (36，72，108)=36(人)。 答：学生最多有36人。 【专项训练】 1. 有苹果362个，梨234个，平均分给若干个小朋友，最后多了5个苹果和3个梨，每人分到的苹果和梨的总数不超过30个，那么，小朋友有多少人? 解析： 小朋友的人数应该是(362－5)=357和(234－3)=231的公因数，也就是它们最大公因数21的因数，又(357，231)=21，因为每人分到的水果总数不超过30，所以，人数只能是21。 2. 若115、200、268被某个大于1的自然数除，得到的余数都相同，那么，用2014除以这个自然数，得到的余数是多少? 解析： 根据题意，三个数中任何两个数之差都是该自然数的倍数，即 200－115=85，268－200=68，所以，85和68的最大公因数就是该自然数，(85，68)=17，2014÷17=118……8，所以，得到的余数是8。 3. 有两个不同的自然数，它们的和是120，最大公因数是15，满足条件的自然数有几组?分别是多少? 解析：120=15×8=15×(7+1)=15×(3+5)，所以，满足条件的自然数有两组，分别是105和15、45和75。 【奥数拓展三】约分的应用。 有一个分数约成最简分数是，约成前分子、分母的和等于48，那么约分前的 分数是多少? 解析： 【专项训练】 1. 把一个分数约成最简分数后是，约分前分子与分母的和等于200，那么，约分前的分数是多少? 解析： 2. 一个真分数分子与分母的和是42，把它约分后是，原来的分数是多少? 解析： 3. 分数的分子和分母同时加上同一个自然数，所得的新分数是，求这个自然数。 解析：4043 【奥数拓展四】最小公倍数（一）。 两个数的最大公因数是6，最小公倍数是108，其中一个数是12，另一个数是多少? 解析： 设两个数分别为A、B，它们的最大公因数与最小公倍数有下面的重要关系： (A，B)×[A，B]=A×B。 我们可以直接运用计算公式，把相关的数据代入： (A，B)×[A，B]=A×B，6×108=12×B，B=54。 答：另一个数是54。 【专项训练】 1. 甲数是24，甲、乙两数的最小公倍数是168，最大公因数是4，求乙数。 解析：28 2. 已知A、B两个数的最大公因数是8，A=32，B=72，那么，它们的最小公倍数是多少? 解析：2288 3. 两个整数的最大公因数是12，最小公倍数是336，这两个数的差最大是多少? 解析：324 【奥数拓展五】最小公倍数（二）。 在周长是400米的环形跑道周围每隔10米放一盆花，放完后又从同一处开始每隔8米放一盆花，原来放花的地方不再放花，一共放了多少盆花? 解析： 按第一个放法，每隔10米放一盆花，可以放400÷10=40(盆)；按第二个放法，每隔8米放一盆花，可以放400÷8=50(盆)，原来放花的地方不再放花，也即8和10的公倍数的地方不再放花，只要减去就行了。 400÷10－40(盆)，400÷8=50(盆)，[8，10]=40， 400÷40=10(盆)，40+50－10=80(盆)。 答：一共放了80盆花。 【专项训练】 1. 在周长是300米的环形跑道周围每隔5米放一盆花，放完后又每隔6米放一盆花，原来放花的地方不再放花，那么，一共放了多少盆花? 解析： 300÷5=60(盆)，300÷6=50(盆)，[5，6]=30，300÷30=10(盆)，60+50－10=100(盆)，所以，一共放了100盆花。 2. 从运动场一端到另一端全长120米，每隔6米插一面红旗，现在要改成每隔8米插一面红旗，那么，有多少面红旗不必拔出来? 解析： 不必拔出来的红旗应该在“6”和"8"的公倍数处，[6，8]=24，120÷24=5(面)，因为在“头”上也有一面红旗，所以，一共有6面红旗不必拔出来。 3. 迎宾大道长72米，原来在路的两边，从一端起每隔8米有一盏路灯，现在重新安装，要从一端起每隔6米安装一盏路灯，为节约施工成本，不需要重新安装的路灯有多少盏? 解析： 6和8的最小公倍数为24，72÷24+1=4(盏)，2×4=8(盏)，所以，不需要重新安装的路灯有8盏。 【奥数拓展六】最大公因数和最小公倍数的应用（一）。 某市公共汽车站有三条公交路线，第一条每8分钟发一辆车，第二条每12分钟 发一辆车，第三条每15分钟发一辆车，早上5:30三条路线同时发出第一辆车，该总站发出最后一辆车是19:30，请问：该总站最后一次三辆车同时出发是什么时候? 解析： 根据题目的意思，很明显，三辆车从车站5:30同时发出后到下一次同时发出需要的时间是8、12、15的最小公倍数，同时，第二、第三、第四次每次同时发车时所间隔的时间都是8、12、15的最小公倍数，也就是这个最小公倍数的倍数，而从5:30到19:30之间相隔14小时，即14×60=840(分钟)，因此，看840分钟里有多少个8、12、15的公倍数，便可以求出这一天里三条线路的汽车有几次是同时发出的，同时也可以求出最后一次三辆车同时发出的时刻。 [8，12，15]=120(分钟) “120分钟”指三车同时发出到下次同时发出要经过120÷60=2(小时)，所以，该总站最后一次三车同时发出的时刻是19:30。 【专项训练】 1. 小新、小文和小辰三个人绕操场跑道练习骑自行车，他们骑一圈的时间分别是40秒、45秒和1分钟，现在三个小伙伴同时从起点出发，最少要多少时间才能同时在起点处相遇? 解析： [40，45，60]=360(秒)=6(分钟)，所以，这三人至少需要6分钟才能再次同时在起点相遇。 2. 放暑假的前一天，静静、小刚和阿罗三位好朋友商量好暑假里去“快乐图书城”看书.静静每2天去一次，小刚每3天去一次，阿罗每4天去一次，7月2日那天，他们三人第一次在图书馆相遇，那么，下一次相遇在几月几日? 解析：[2，3，4]=12，12+2=14，所以，下一次相遇在7月14日。 3. 把一块长72厘米、宽60厘米、厚36厘米的木料锯成尽可能大，且大小、形状完全相同的正方体木块，锯后不能有剩余(损耗不计)，能锯成多少块? 解析：(72，60，36)=12，(72÷12)×(60÷12)×(36÷12)=90(块)，所以，能锯成90块。 【奥数拓展七】最大公因数和最小公倍数的应用（二）。 用长9厘米、宽6厘米、高4厘米的小长方体木块叠成一个正方体，至少要用多少块这样的小长方体? 解析： 将若干个小长方体拼成一个大正方体，首先要得到大正方体的棱长，因此，关键是求小长方体长、宽、高的最小公倍数，这就是大正方体的棱长，所以 [9，6，4]=36；(36÷9)×(36÷6)×(36÷4)=4×6×9=216(块) 答：至少要用216块这样的小长方体。 【专项训练】 1. 有三根钢管，其中第一根的长度是第二根的1.2倍，是第三根的一半，第三根比第二根长280厘米，现在把这三根钢管截成尽可能长而又相等的小段，问：一共可以截成多少段? 解析： 设第二根钢管为“1”份，那么第一根钢管为“1.2”份，第三根钢管为“2.4”份，280÷(2.4－1)=200(厘米)……第二根的长度，200×1.2=240(厘米)……第一根的长度，200+280=480(厘米)……第三根的长度 (240，200，480)=40，240÷40+200÷40+480÷40=23(段)，所以，一共可以截成23段。 2. 老师手里有一些糖，只分给甲组学生，每人可得到15颗；只分给乙组学生，每人可得到6颗；只分给丙组学生，每人可得到10颗，如果现在要平均分给这三个组的学生，每人可得到多少颗糖? 解析： [15，6，10]=30(颗)，可认为老师有30颗糖，则30÷15=2(人)，30÷6=5(人)，30÷10=3(人)，30÷(2+5+3)=3(颗)，所以，每人可得到3颗糖。 3. 爷爷对毛毛说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过若干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。”那么，爷爷和毛毛现在的年龄分别是多少岁? 解析： 爷爷现在的年龄是毛毛的7倍，过几年是毛毛的6倍、5倍、4倍、3倍、2倍，这说明他们的年龄差是6、5、4、3、2的最小公倍数，可先求最小公倍数，[6，5，4，3，2]=60，60÷(7－1)=10(岁)，10×7=70(岁)，所以，爷爷今年70岁，毛毛今年10岁。 【奥数拓展八】最大公因数和最小公倍数的应用（三）。 图书室里有一批新到的课外书，无论是分成5本一叠，还是分成8本一叠，最后都多出3本，这批新到的课外书至少有多少本? 解析： 由于无论怎么分每次都多出3本，因此，我们不妨拿走3本课外书，那么，不论是分成5本一叠还是分成8本一叠，都没有剩余，这时，课外书的本数应该是5和8的公倍数，再把拿走的3本课外书还回来，就可以知道这批新到的课外书至少有多少本。 [5，8]=40，40+3=43(本)。 答：这批新到的课外书至少有43本。 【专项训练】 1. 小莉在家整理图书，无论是分成20本放一个抽屉，还是分成30本放一个抽屉，最后都多出5本，小莉整理的这批书至少有多少本? 解析：[20，30]=60，60+5=65(本)，所以，小莉整理的这批书至少有65本。 2. 猴妈妈分桃子，如果每堆分11个，最后少1个；如果每堆分12个，还是少1个，这批桃子至少有多少个? 解析：[11，12]=132，132-1=131(个)，所以，这批桃子至少有131个。 3. 五(1)班有40多名学生，做早操时，不论是排成2人一行、3人一行、还是4人一行，最后都正好少1人，五(1)班有多少名同学? 解析：[2，3，4]=12，12×4-1=47(人)，所以，五(1)班有47名同学。 【奥数拓展九】最大公因数和最小公倍数的应用（四）。 有一批树苗，每捆5棵多1棵，每捆6棵多2棵，每捆7棵多3棵，这批树苗至少有多少棵? 解析： 我们也可以这样理解：一个数除以5余1，除以6余2，除以7余3，这个数至少是多少?因此，不妨先把这个数加上4，那么,它除以5、除以6和除以7时，就正好能整除了，也就是说，这个数是5、6和7的公倍数，然后把多加的“4”减去就行了。 [5，6，7]=210，210－4=206(棵) 答：这批树苗至少有206棵。 【专项训练】 1. 有一批树苗，5棵一捆少4棵，6棵一捆少4棵，8棵一捆少4棵，这批树苗至少有多少棵? 解析：[5，6，8]=120，120－4=116(棵)，所以，这批树苗至少有116棵。 2. 一个自然数，除以5余2，除以7余4，除以12余9，这个数最小是多少? 解析：[5，7，12]=420，420－3=417，所以，这个数最小是417。 3. 李叔叔养了400多只兔子，如果每3只兔子关在一个笼子里，最后一个笼子里有1只；如果每5只兔子关在一个笼子里，最后一个笼子里有3只；如果每7只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有5只，李叔叔一共养了多少只兔子? 解析： 3、5、7的最小公倍数是3×5×7=105，题目中说“400多只兔子”，则105×4=420(只)满足要求。 【奥数拓展十】最大公因数和最小公倍数的应用（五）。 有一些糖果，平均分给3个小朋友多1块，平均分给4个小朋友多3块，平均分给5个小朋友少1块，这些糖果最少有多少块? 解析： [3，5]=15，15×1+4=19(块)，19÷4=4……3 答：这些糖果最少有19块。 【专项训练】 1. 有一些糖果，平均分给6个小朋友多5块，平均分给7个小朋友多1块，平均分给8个小朋友少1块，这些糖果最少有多少块? 解析：[6，8]=24，24×1－1=23(块)，23÷7=3……2，不符合； 24×2－1=47(块)，47÷7=6……5，不符合；24×3－1=71(块)，71÷7=10……1，符合，所以，这些糖果最少有71块。 2. 一群小朋友做游戏，如果3人一组，多出2人；如果5人一组，多出4人；如果8人一组，多出3人，这群小朋友至少有多少人? 解析： [3，5]=15，15－1=14(人)；14÷8=1……6，不符合；(14+15)÷8=3……5，不符合；(14+15×2)÷8=5……4，不符合；(14+15×3)÷8=7……3，符合，所以，这群小朋友至少有59人。 3. 有一个数，除以3余2，除以5余2，除以7余4，这个数最小是多少? 解析：[3，5]=15，15×1+2=17，17÷7=2……3，不符合；15×2+2=32，32÷7=4……4，符合，所以，这个数最小是32。 【奥数拓展十一】最大公因数和最小公倍数的应用（六）。 新华书店新到一批书，7本一数多6本，10本一数多8本，11本一数多5本，这批书至少有多少本? 解析：258本。 【专项训练】 1. 小红玩棋子，只见她将棋子分成5颗一堆多3颗，分成6颗一堆多5颗，分成8颗一堆多3颗，这些棋子至少有多少颗? 解析：3+8×1=11，11÷6=1……5，符合条件；但11÷5=2……1，不符合条件；11+24×1=35，35÷5=7，不符合条件；11+24×2=59，59÷5=11……4，不符合条件；11+24×3=83，83÷5=16……3，符合条件，所以，这些棋子至少有83颗。 2. 某整数除以5余4，除以7余2，除以11余8，这个整数最小是多少? 解析：11+8=19，19÷5=3……4符合，19÷7=2……5，不符合； 19+55=74，74÷7=10……4，不符合； 74+55=129，129÷7=18……3，不符合； 129+55=184，184÷7=26……2，符合，这个整数最小是184。 3. “乐课力”新买来一些本子，如果平均分给10个小朋友，还剩2本；平均分给11个小朋友，还剩5本；平均分给12个小朋友，还剩8本.那么这堆本子最少有多少本? 解析：632本。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$1 / 15 篇首寄语 有人坚信：“奥数能培养和提高学生的思维能力，所以一定要让 学生学习奥数。”但也有人认为：“奥数难度太大，学生学起来吃力， 老师教起来麻烦。”事实上，奥数离我们很近，人教版的“数学广角”， 苏教版的“解决问题的策略”，北师大版的“数学好玩”，这些章节 编排的数学思考题都带有一定的思维性，每学期也会作为期末必考点 进行考察。从实际情况出发，绝大部分同学其实不需要涉猎高难度的 奥数内容，那么“浅奥”，就是值得我们修炼的内容了。 《2024-2025 学年五年级数学上册典型例题系列·思维素养篇》 主要分为三种专题，即从课内到奥数，从方法到思维，从基础技能到 核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝 贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 12 月 4 日 2 / 15 目 录 【课内精选一】最大公因数（一） ........................................................................................ 3 【课内精选二】最大公因数（二） ........................................................................................ 3 【课内精选三】约分 .................................................................................................................4 【课内精选四】最小公倍数（一） ........................................................................................ 5 【课内精选五】最小公倍数（二） ........................................................................................ 6 【奥数拓展一】最大公因数的应用（一） ............................................................................ 7 【奥数拓展二】最大公因数的应用（二） ............................................................................ 8 【奥数拓展三】约分的应用 .................................................................................................... 8 【奥数拓展四】最小公倍数（一） ........................................................................................ 9 【奥数拓展五】最小公倍数（二） ...................................................................................... 10 【奥数拓展六】最大公因数和最小公倍数的应用（一） ..................................................11 【奥数拓展七】最大公因数和最小公倍数的应用（二） ..................................................12 【奥数拓展八】最大公因数和最小公倍数的应用（三） ..................................................13 【奥数拓展九】最大公因数和最小公倍数的应用（四） ..................................................13 【奥数拓展十】最大公因数和最小公倍数的应用（五） ..................................................14 【奥数拓展十一】最大公因数和最小公倍数的应用（六） ..............................................15 3 / 15 2024-2025 学年五年级数学上册典型例题系列 第五单元分数的意义·思维素养篇·第二部分【从课内到奥数】 【课内精选一】最大公因数（一）。 求 18和 24的最大公因数和最小公倍数。 【专项训练】 1. 用短除法求 12和 18的最大公因数和最小公倍数。 2. 用短除法求 20和 30的最大公因数和最小公倍数。 3. 用短除法求 84和 126的最大公因数和最小公倍数。 【课内精选二】最大公因数（二）。 有一块长 80厘米、宽 48厘米的长方形纸片，要把它剪成边长都是整厘米、面积 相等的小正方形纸片，恰无剩余，那么，至少可以剪多少块? 4 / 15 【专项训练】 1. 有一块长 96厘米、宽 36厘米的长方形纸片，要把它剪成边长都是整厘米、 面积相等的小正方形纸片，恰无剩余，那么至少可以剪多少块? 2. 把一张长 1米 3分米 5厘米、宽 1米 5厘米的长方形纸剪成同样大小的正方 形纸片而没有剩余，要求剪成的纸片尽可能大，可以剪成多少张? 3. 五、六年级学生要去爬山，五年级去了 96人，六年级去了 64人，要把五、 六年级各分成人数相等的小队，并且每队的人数不能超过 20人，所以，每队最 多有多少人?要分几队? 【课内精选三】约分。 先约分，再化成带分数或整数。 75 30  135 45  24 15  270 60  【专项训练】 1．约分成最简分数。（结果是假分数的要化成带分数或整数） 9 12 34 85 72 32 78 26 5 / 15 2．把下面分数约成最简分数。 24 36 ＝ 32 40＝ 35 50＝ 21 42 ＝ 12 16＝ 3．把下列各分数约分，是假分数的再化成带分数或整数。 3 21 24 36 135 45 39 15 78 52 【课内精选四】最小公倍数（一）。 求下面两组数的最小公倍数。 (1)45、60和 75；(2)24、36和 48。 【专项训练】 1. 用短除法计算三个数的最小公倍数。 90、120和 150 2. 用短除法计算三个数的最小公倍数。 72、90和 108 3. 用短除法计算三个数的最大公因数和最小公倍数。 252、396和 468 6 / 15 【课内精选五】最小公倍数（二）。 有一个电子钟，每走 9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃，中午 12点整，电子 钟既响铃又亮灯，问：下一次既响铃又亮灯是几点钟? 【专项训练】 1. 公园广场是 2路和 3路公交车的起点站，2路公交每 4分钟发一次车，3路公 交每 5分钟发一次车，这两路公交同时发车以后，至少再过多少分钟又同时发车? 2. 一种长方形地板的长是 56厘米，宽是 16厘米，用这种地板铺成一个正方形， 至少要用多少块? 3. 一对互相咬合的齿轮，一个有 140个齿，另一个有 42个齿，其中咬合的任意 一对齿从第一次咬合到再次咬合，两个齿轮各要转动多少圈? 7 / 15 【奥数拓展一】最大公因数的应用（一）。 书架上有语文书 49本，数学书 105本，外语书 63本，把它们平均分成若干堆， 每堆中这三种课本的数量分别相等，那么，最多可以分成多少堆? 【专项训练】 1. 一个长方体木块，长 2.7分米、宽 1.8分米、高 1.5分米，要把它切成大小相 等的小正方体木块，不能有剩余，小正方体的棱长最大是多少分米? 2. 如图所示，路灯管理站要在马路一侧等距离装路灯，马路在乙处拐弯，要求 甲、乙、丙处各装一盏路灯，这条马路至少要装多少盏路灯? 3. 有三堆练习本，甲堆有 120本，乙堆有 150本，丙堆有 180本，现在要将它 们都分成同样本数的小堆，不能有剩余，最少可以分成几堆? 8 / 15 【奥数拓展二】最大公因数的应用（二）。 若 A、B、C三种文具分别有 38个、78个和 128个，将每种文具都平均分给学 生，分完后剩下 2个 A、6个 B、20个 C，则学生最多有多少人? 【专项训练】 1. 有苹果 362个，梨 234 个，平均分给若干个小朋友，最后多了 5 个苹果和 3 个梨，每人分到的苹果和梨的总数不超过 30个，那么，小朋友有多少人? 2. 若 115、200、268被某个大于 1的自然数除，得到的余数都相同，那么，用 2014除以这个自然数，得到的余数是多少? 3. 有两个不同的自然数，它们的和是 120，最大公因数是 15，满足条件的自然 数有几组?分别是多少? 【奥数拓展三】约分的应用。 有一个分数约成最简分数是 11 5 ，约成前分子、分母的和等于 48，那么约分前的 分数是多少? 9 / 15 【专项训练】 1. 把一个分数约成最简分数后是 13 7 ，约分前分子与分母的和等于 200，那么， 约分前的分数是多少? 2. 一个真分数分子与分母的和是 42，把它约分后是 4 3 ，原来的分数是多少? 3. 分数 2020 2017 的分子和分母同时加上同一个自然数，所得的新分数是 2021 2020 ，求 这个自然数。 【奥数拓展四】最小公倍数（一）。 两个数的最大公因数是 6，最小公倍数是 108，其中一个数是 12，另一个数是多 少? 【专项训练】 1. 甲数是 24，甲、乙两数的最小公倍数是 168，最大公因数是 4，求乙数。 10 / 15 2. 已知 A、B两个数的最大公因数是 8，A=32，B=72，那么，它们的最小公倍 数是多少? 3. 两个整数的最大公因数是 12，最小公倍数是 336，这两个数的差最大是多少? 【奥数拓展五】最小公倍数（二）。 在周长是 400米的环形跑道周围每隔 10米放一盆花，放完后又从同一处开始每 隔 8米放一盆花，原来放花的地方不再放花，一共放了多少盆花? 【专项训练】 1. 在周长是 300 米的环形跑道周围每隔 5米放一盆花，放完后又每隔 6米放一 盆花，原来放花的地方不再放花，那么，一共放了多少盆花? 2. 从运动场一端到另一端全长 120米，每隔 6米插一面红旗，现在要改成每隔 8 米插一面红旗，那么，有多少面红旗不必拔出来? 3. 迎宾大道长 72米，原来在路的两边，从一端起每隔 8米有一盏路灯，现在重 新安装，要从一端起每隔 6米安装一盏路灯，为节约施工成本，不需要重新安装 的路灯有多少盏? 11 / 15 【奥数拓展六】最大公因数和最小公倍数的应用（一）。 某市公共汽车站有三条公交路线，第一条每 8分钟发一辆车，第二条每 12分钟 发一辆车，第三条每 15分钟发一辆车，早上 5:30三条路线同时发出第一辆车， 该总站发出最后一辆车是 19:30，请问：该总站最后一次三辆车同时出发是什么 时候? 【专项训练】 1. 小新、小文和小辰三个人绕操场跑道练习骑自行车，他们骑一圈的时间分别 是 40秒、45秒和 1分钟，现在三个小伙伴同时从起点出发，最少要多少时间才 能同时在起点处相遇? 2. 放暑假的前一天，静静、小刚和阿罗三位好朋友商量好暑假里去“快乐图书城” 看书.静静每 2天去一次，小刚每 3天去一次，阿罗每 4天去一次，7月 2日那天， 他们三人第一次在图书馆相遇，那么，下一次相遇在几月几日? 3. 把一块长 72厘米、宽 60厘米、厚 36厘米的木料锯成尽可能大，且大小、形 状完全相同的正方体木块，锯后不能有剩余(损耗不计)，能锯成多少块? 12 / 15 【奥数拓展七】最大公因数和最小公倍数的应用（二）。 用长 9厘米、宽 6厘米、高 4厘米的小长方体木块叠成一个正方体，至少要用多 少块这样的小长方体? 【专项训练】 1. 有三根钢管，其中第一根的长度是第二根的 1.2倍，是第三根的一半，第三根 比第二根长 280厘米，现在把这三根钢管截成尽可能长而又相等的小段，问：一 共可以截成多少段? 2. 老师手里有一些糖，只分给甲组学生，每人可得到 15颗；只分给乙组学生， 每人可得到 6颗；只分给丙组学生，每人可得到 10颗，如果现在要平均分给这 三个组的学生，每人可得到多少颗糖? 3. 爷爷对毛毛说：“我现在的年龄是你的 7倍，过几年是你的 6倍，再过若干年 就分别是你的 5倍、4倍、3倍、2倍。”那么，爷爷和毛毛现在的年龄分别是多 少岁? 13 / 15 【奥数拓展八】最大公因数和最小公倍数的应用（三）。 图书室里有一批新到的课外书，无论是分成 5本一叠，还是分成 8本一叠，最后 都多出 3本，这批新到的课外书至少有多少本? 【专项训练】 1. 小莉在家整理图书，无论是分成 20本放一个抽屉，还是分成 30本放一个抽 屉，最后都多出 5本，小莉整理的这批书至少有多少本? 2. 猴妈妈分桃子，如果每堆分 11个，最后少 1个；如果每堆分 12个，还是少 1 个，这批桃子至少有多少个? 3. 五(1)班有 40多名学生，做早操时，不论是排成 2人一行、3人一行、还是 4 人一行，最后都正好少 1人，五(1)班有多少名同学? 【奥数拓展九】最大公因数和最小公倍数的应用（四）。 有一批树苗，每捆 5棵多 1棵，每捆 6棵多 2棵，每捆 7棵多 3棵，这批树苗至 少有多少棵? 14 / 15 【专项训练】 1. 有一批树苗，5棵一捆少 4棵，6棵一捆少 4棵，8棵一捆少 4棵，这批树苗 至少有多少棵? 2. 一个自然数，除以 5余 2，除以 7余 4，除以 12余 9，这个数最小是多少? 3. 李叔叔养了 400多只兔子，如果每 3只兔子关在一个笼子里，最后一个笼子 里有 1只；如果每 5只兔子关在一个笼子里，最后一个笼子里有 3只；如果每 7 只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有 5只，李叔叔一共养了多少只兔 子? 【奥数拓展十】最大公因数和最小公倍数的应用（五）。 有一些糖果，平均分给 3个小朋友多 1块，平均分给 4个小朋友多 3块，平均分 给 5个小朋友少 1块，这些糖果最少有多少块? 【专项训练】 1. 有一些糖果，平均分给 6个小朋友多 5块，平均分给 7个小朋友多 1块，平 均分给 8个小朋友少 1块，这些糖果最少有多少块? 15 / 15 2. 一群小朋友做游戏，如果 3人一组，多出 2 人；如果 5人一组，多出 4 人； 如果 8人一组，多出 3人，这群小朋友至少有多少人? 3. 有一个数，除以 3余 2，除以 5余 2，除以 7余 4，这个数最小是多少? 【奥数拓展十一】最大公因数和最小公倍数的应用（六）。 新华书店新到一批书，7 本一数多 6本，10本一数多 8本，11本一数多 5本， 这批书至少有多少本? 【专项训练】 1. 小红玩棋子，只见她将棋子分成 5颗一堆多 3颗，分成 6颗一堆多 5颗，分 成 8颗一堆多 3颗，这些棋子至少有多少颗? 2. 某整数除以 5余 4，除以 7余 2，除以 11余 8，这个整数最小是多少? 3. “乐课力”新买来一些本子，如果平均分给 10个小朋友，还剩 2本；平均分给 11个小朋友，还剩 5本；平均分给 12个小朋友，还剩 8本，那么这堆本子最少 有多少本? 1 / 16 篇首寄语 有人坚信：“奥数能培养和提高学生的思维能力，所以一定要让 学生学习奥数。”但也有人认为：“奥数难度太大，学生学起来吃力， 老师教起来麻烦。”事实上，奥数离我们很近，人教版的“数学广角”， 苏教版的“解决问题的策略”，北师大版的“数学好玩”，这些章节 编排的数学思考题都带有一定的思维性，每学期也会作为期末必考点 进行考察。从实际情况出发，绝大部分同学其实不需要涉猎高难度的 奥数内容，那么“浅奥”，就是值得我们修炼的内容了。 《2024-2025 学年五年级数学上册典型例题系列·思维素养篇》 主要分为三种专题，即从课内到奥数，从方法到思维，从基础技能到 核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝 贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 12 月 4 日 2 / 16 目 录 【课内精选一】最大公因数（一） ........................................................................................ 3 【课内精选二】最大公因数（二） ........................................................................................ 3 【课内精选三】约分 .................................................................................................................4 【课内精选四】最小公倍数（一） ........................................................................................ 6 【课内精选五】最小公倍数（二） ........................................................................................ 7 【奥数拓展一】最大公因数的应用（一） ............................................................................ 8 【奥数拓展二】最大公因数的应用（二） ............................................................................ 8 【奥数拓展三】约分的应用 .................................................................................................... 9 【奥数拓展四】最小公倍数（一） ...................................................................................... 10 【奥数拓展五】最小公倍数（二） ...................................................................................... 10 【奥数拓展六】最大公因数和最小公倍数的应用（一） ..................................................11 【奥数拓展七】最大公因数和最小公倍数的应用（二） ..................................................12 【奥数拓展八】最大公因数和最小公倍数的应用（三） ..................................................14 【奥数拓展九】最大公因数和最小公倍数的应用（四） ..................................................14 【奥数拓展十】最大公因数和最小公倍数的应用（五） ..................................................15 【奥数拓展十一】最大公因数和最小公倍数的应用（六） ..............................................16 3 / 16 2024-2025 学年五年级数学上册典型例题系列 第五单元分数的意义·思维素养篇·第二部分【从课内到奥数】 【课内精选一】最大公因数（一）。 求 18和 24的最大公因数和最小公倍数。 解析： 18和 24的最大公因数记作：(18，24)=6； 18和 24的最小公倍数记作：[18，24]=72。 【专项训练】 1. 用短除法求 12和 18的最大公因数和最小公倍数。 解析：12和 18的最大公因数是 2×3=6，最小公倍数是 2×3×2×3=36。 2. 用短除法求 20和 30的最大公因数和最小公倍数。 解析：20和 30的最大公因数是 2×5=10，最小公倍数是 2×5×2×3=60。 3. 用短除法求 84和 126的最大公因数和最小公倍数。 解析：84和 126的最大公因数是 2×3×7=42，最小公倍数是 2×3×7×2×3=252。 【课内精选二】最大公因数（二）。 有一块长 80厘米、宽 48厘米的长方形纸片，要把它剪成边长都是整厘米、面积 相等的小正方形纸片，恰无剩余，那么，至少可以剪多少块? 解析： 因为纸片恰无剩余，那么原长方形纸片的长、宽应分别是这些小正方形边长的整 数倍，我们可以看出，此题求小正方形的边长实际上是求 80和 48有哪些公因数， 而至少要剪多少块?就是求当剪下来的正方形边长最大时，可以剪多少块。 因为(80，48)=16，所以(80÷16)×(48÷16)=5×3=15(块)。 答：至少可以剪 15块。 【专项训练】 4 / 16 1. 有一块长 96厘米、宽 36厘米的长方形纸片，要把它剪成边长都是整厘米、 面积相等的小正方形纸片，恰无剩余，那么至少可以剪多少块? 解析：(96，36)=12，(96÷12)×(36÷12)=24(块)，所以，至少可以剪 24块。 2. 把一张长 1米 3分米 5厘米、宽 1米 5厘米的长方形纸剪成同样大小的正方 形纸片而没有剩余，要求剪成的纸片尽可能大，可以剪成多少张? 解析：(135，105)=15，(135×105)÷(15×15)=63(张)，所以，可以剪成 63张。 3. 五、六年级学生要去爬山，五年级去了 96人，六年级去了 64人，要把五、 六年级各分成人数相等的小队，并且每队的人数不能超过 20人，所以，每队最 多有多少人?要分几队? 解析：(96，64)=16(人)，96÷16+64÷16=10(队)。 【课内精选三】约分。 先约分，再化成带分数或整数。 75 30  135 45  24 15  270 60  【答案】 75 5 12 30 2 2   ； 135 3 3 45 1   ； 24 8 31 15 5 5   ； 270 9 14 60 2 2   【分析】约分是根据分数的基本性质，即分数的分子和分母同时乘或除以相同的 数（0除外），分数的大小不变。假分数化成带分数的方法是用分子除以分母， 当分子是分母的整数倍时，能化成整数，商就是这个整数；当分子不是分母的整 数倍时，能化成带分数，商是带分数的整数部分，余数是分数部分的分子，分母 不变。据此解答。 【详解】 75 75 15 5 30 30 15 2     5÷2＝2……1 5 12 2 2  135 135 45 3 45 45 45 1     3÷1＝3 3 3 1  24 24 3 8 15 15 3 5     8÷5＝1……3 5 / 16 8 31 5 5  270 270 30 9 60 60 30 2     9÷2＝4……1 9 14 2 2  【专项训练】 1．约分成最简分数。（结果是假分数的要化成带分数或整数） 9 12 34 85 72 32 78 26 【答案】 3 4 ； 2 5 ； 12 4；3 【分析】分子和分母只有公因数 1的分数叫作最简分数。把一个分数化成同它相 等，但分子、分母都比原来小的分数的过程是约分。约分根据分数的基本性质， 即分数的分子和分母，同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 假分数化带分数：用分子除以分母。当分子是分母的整数倍时，能化成整数，商 就是这个整数。当分子不是分母的整数倍时，能化成带分数，商是带分数的整数 部分，余数是分数部分的分子，分母不变。 【详解】 9 9 3 3= = 12 12 3 4   34 34 17 2 85 85 17 5 = =  72 72 8 9 1= = =2 32 32 8 4 4   78 78 26 3= = =3 26 26 26 1   2．把下面分数约成最简分数。 24 36 ＝ 32 40＝ 35 50＝ 21 42 ＝ 12 16＝ 【答案】 2 3 ； 4 5 ； 7 10； 1 2； 3 4 【分析】根据分数的基本性质进行约分，通常分子、分母同时除以它们的最大公 因数，结果是分子和分母只有公因数 1的最简分数。 【详解】 24 36 ＝ 24 12 36 12   ＝ 2 3 32 40＝ 32 8 40 8   ＝ 4 5 6 / 16 35 50＝ 35 5 50 5   ＝ 7 10 21 42 ＝ 21 21 42 21   ＝ 1 2 12 16＝ 12 4 16 4   ＝ 3 4 3．把下列各分数约分，是假分数的再化成带分数或整数。 3 21 24 36 135 45 39 15 78 52 【答案】 1 7 ； 2 3 ；3； 32 5； 11 2 【分析】约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做 约分；根据分数的基本性质进行约分，分子、分母同时除以它们的最大公因数， 结果就是分子和分母只有公因数 1的最简分数。 假分数化成整数：用假分数的分子除以分母，如果没有余数，商就是所要化成的 整数。分子能被分母整除的假分数可以化成整数。 假分数化成带分数：用假分数的分子除以分母，得到整数商和余数（余数比除数 小）。整数商就是带分数的整数部分，余数为真分数部分的分子，分母不变。 【详解】 3 3 3 1 21 21 3 7     24 24 12 2 36 36 12 3     135 135 45 3 3 45 45 45 1      39 39 3 13 32 15 15 3 5 5      78 78 26 3 11 52 52 26 2 2      【课内精选四】最小公倍数（一）。 求下面两组数的最小公倍数。 (1)45、60和 75；(2)24、36和 48。 解析：(1)45、60和 75的最小公倍数是 3×5×3×4×5=900，记作：[45，60，75]= 900。 (2)24、36和 48的最小公倍数是 2×2×3×2×1×3×2=144，记作：[24，36，48]=144。 【专项训练】 7 / 16 1. 用短除法计算三个数的最小公倍数。 90、120和 150 解析：1800 2. 用短除法计算三个数的最小公倍数。 72、90和 108 解析：1080 3. 用短除法计算三个数的最大公因数和最小公倍数。 252、396和 468 解析：36；36036 【课内精选五】最小公倍数（二）。 有一个电子钟，每走 9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃，中午 12点整，电子 钟既响铃又亮灯，问：下一次既响铃又亮灯是几点钟? 解析： 电子钟每走 9分钟亮一次灯，就是说亮灯的时间间隔是 9分钟；每到整点响一次 铃也就是说每隔 60分钟响一次铃，因此，问题就转化成求 9和 60的最小公倍数。 [9，60]=3×3×20=180，180分钟=3小时。 答：下一次既响铃又亮灯是下午 3点整。 【专项训练】 1. 公园广场是 2路和 3路公交车的起点站，2路公交每 4分钟发一次车，3路公 交每 5分钟发一次车，这两路公交同时发车以后，至少再过多少分钟又同时发车? 解析：20分钟 2. 一种长方形地板的长是 56厘米，宽是 16厘米，用这种地板铺成一个正方形， 至少要用多少块? 解析：14块。 3. 一对互相咬合的齿轮，一个有 140个齿，另一个有 42个齿，其中咬合的任意 一对齿从第一次咬合到再次咬合，两个齿轮各要转动多少圈? 解析：3圈；10圈。 8 / 16 【奥数拓展一】最大公因数的应用（一）。 书架上有语文书 49本，数学书 105本，外语书 63本，把它们平均分成若干堆， 每堆中这三种课本的数量分别相等，那么，最多可以分成多少堆? 解析： 根据题目的意思，实质上是求 49、105、63的最大公因数。 (49，105，63)=7。 所以，最多可以分成 7堆。 【专项训练】 1. 一个长方体木块，长 2.7分米、宽 1.8分米、高 1.5分米，要把它切成大小相 等的小正方体木块，不能有剩余，小正方体的棱长最大是多少分米? 解析：(27，18，15)=3(厘米)=0.3(分米) 2. 如图所示，路灯管理站要在马路一侧等距离装路灯，马路在乙处拐弯，要求 甲、乙、丙处各装一盏路灯，这条马路至少要装多少盏路灯? 解析：(585，360)=45，585÷45+360÷45+1=22(盏) 3. 有三堆练习本，甲堆有 120本，乙堆有 150本，丙堆有 180本，现在要将它 们都分成同样本数的小堆，不能有剩余，最少可以分成几堆? 解析：(120，150，180)=30，120÷30+150÷30+180÷30=15(堆)，所以，最少可以 分成 15堆。 【奥数拓展二】最大公因数的应用（二）。 若 A、B、C三种文具分别有 38个、78个和 128个，将每种文具都平均分给学 生，分完后剩下 2个 A、6个 B、20个 C，则学生最多有多少人? 解析： 9 / 16 根据题意，A、B、C 三种文具分别分掉 38－2=36(个)、78－6=72(个)、128－ 20=108(个)，由于每种文具又是平均分给学生，因此，这 3个数的最大公因数就 是学生的人数。 (36，72，108)=36(人)。 答：学生最多有 36人。 【专项训练】 1. 有苹果 362个，梨 234 个，平均分给若干个小朋友，最后多了 5 个苹果和 3 个梨，每人分到的苹果和梨的总数不超过 30个，那么，小朋友有多少人? 解析： 小朋友的人数应该是(362－5)=357和(234－3)=231的公因数，也就是它们最大公 因数 21的因数，又(357，231)=21，因为每人分到的水果总数不超过 30，所以， 人数只能是 21。 2. 若 115、200、268被某个大于 1的自然数除，得到的余数都相同，那么，用 2014除以这个自然数，得到的余数是多少? 解析： 根据题意，三个数中任何两个数之差都是该自然数的倍数，即 200－115=85，268－200=68，所以，85和 68的最大公因数就是该自然数，(85， 68)=17，2014÷17=118……8，所以，得到的余数是 8。 3. 有两个不同的自然数，它们的和是 120，最大公因数是 15，满足条件的自然 数有几组?分别是多少? 解析：120=15×8=15×(7+1)=15×(3+5)，所以，满足条件的自然数有两组，分别是 105和 15、45和 75。 【奥数拓展三】约分的应用。 有一个分数约成最简分数是 11 5 ，约成前分子、分母的和等于 48，那么约分前的 分数是多少? 解析： 33 15 【专项训练】 10 / 16 1. 把一个分数约成最简分数后是 13 7 ，约分前分子与分母的和等于 200，那么， 约分前的分数是多少? 解析： 130 70 2. 一个真分数分子与分母的和是 42，把它约分后是 4 3 ，原来的分数是多少? 解析： 24 18 3. 分数 2020 2017 的分子和分母同时加上同一个自然数，所得的新分数是 2021 2020 ，求 这个自然数。 解析：4043 【奥数拓展四】最小公倍数（一）。 两个数的最大公因数是 6，最小公倍数是 108，其中一个数是 12，另一个数是多 少? 解析： 设两个数分别为 A、B，它们的最大公因数与最小公倍数有下面的重要关系： (A，B)×[A，B]=A×B。 我们可以直接运用计算公式，把相关的数据代入： (A，B)×[A，B]=A×B，6×108=12×B，B=54。 答：另一个数是 54。 【专项训练】 1. 甲数是 24，甲、乙两数的最小公倍数是 168，最大公因数是 4，求乙数。 解析：28 2. 已知 A、B两个数的最大公因数是 8，A=32，B=72，那么，它们的最小公倍 数是多少? 解析：2288 3. 两个整数的最大公因数是 12，最小公倍数是 336，这两个数的差最大是多少? 解析：324 【奥数拓展五】最小公倍数（二）。 在周长是 400米的环形跑道周围每隔 10米放一盆花，放完后又从同一处开始每 11 / 16 隔 8米放一盆花，原来放花的地方不再放花，一共放了多少盆花? 解析： 按第一个放法，每隔 10米放一盆花，可以放 400÷10=40(盆)；按第二个放法， 每隔 8 米放一盆花，可以放 400÷8=50(盆)，原来放花的地方不再放花，也即 8 和 10的公倍数的地方不再放花，只要减去就行了。 400÷10－40(盆)，400÷8=50(盆)，[8，10]=40， 400÷40=10(盆)，40+50－10=80(盆)。 答：一共放了 80盆花。 【专项训练】 1. 在周长是 300 米的环形跑道周围每隔 5米放一盆花，放完后又每隔 6米放一 盆花，原来放花的地方不再放花，那么，一共放了多少盆花? 解析： 300÷5=60(盆)，300÷6=50(盆)，[5，6]=30，300÷30=10(盆)，60+50－10=100(盆)， 所以，一共放了 100盆花。 2. 从运动场一端到另一端全长 120米，每隔 6米插一面红旗，现在要改成每隔 8 米插一面红旗，那么，有多少面红旗不必拔出来? 解析： 不必拔出来的红旗应该在“6”和"8"的公倍数处，[6，8]=24，120÷24=5(面)，因为 在“头”上也有一面红旗，所以，一共有 6面红旗不必拔出来。 3. 迎宾大道长 72米，原来在路的两边，从一端起每隔 8米有一盏路灯，现在重 新安装，要从一端起每隔 6米安装一盏路灯，为节约施工成本，不需要重新安装 的路灯有多少盏? 解析： 6和 8的最小公倍数为 24，72÷24+1=4(盏)，2×4=8(盏)，所以，不需要重新安装 的路灯有 8盏。 【奥数拓展六】最大公因数和最小公倍数的应用（一）。 某市公共汽车站有三条公交路线，第一条每 8分钟发一辆车，第二条每 12分钟 发一辆车，第三条每 15分钟发一辆车，早上 5:30三条路线同时发出第一辆车， 该总站发出最后一辆车是 19:30，请问：该总站最后一次三辆车同时出发是什么 12 / 16 时候? 解析： 根据题目的意思，很明显，三辆车从车站 5:30同时发出后到下一次同时发出需 要的时间是 8、12、15的最小公倍数，同时，第二、第三、第四次每次同时发车 时所间隔的时间都是 8、12、15的最小公倍数，也就是这个最小公倍数的倍数， 而从 5:30 到 19:30之间相隔 14小时，即 14×60=840(分钟)，因此，看 840 分钟 里有多少个 8、12、15的公倍数，便可以求出这一天里三条线路的汽车有几次是 同时发出的，同时也可以求出最后一次三辆车同时发出的时刻。 [8，12，15]=120(分钟) “120分钟”指三车同时发出到下次同时发出要经过 120÷60=2(小时)，所以，该总 站最后一次三车同时发出的时刻是 19:30。 【专项训练】 1. 小新、小文和小辰三个人绕操场跑道练习骑自行车，他们骑一圈的时间分别 是 40秒、45秒和 1分钟，现在三个小伙伴同时从起点出发，最少要多少时间才 能同时在起点处相遇? 解析： [40，45，60]=360(秒)=6(分钟)，所以，这三人至少需要 6 分钟才能再次同时在 起点相遇。 2. 放暑假的前一天，静静、小刚和阿罗三位好朋友商量好暑假里去“快乐图书城” 看书.静静每 2天去一次，小刚每 3天去一次，阿罗每 4天去一次，7月 2日那天， 他们三人第一次在图书馆相遇，那么，下一次相遇在几月几日? 解析：[2，3，4]=12，12+2=14，所以，下一次相遇在 7月 14日。 3. 把一块长 72厘米、宽 60厘米、厚 36厘米的木料锯成尽可能大，且大小、形 状完全相同的正方体木块，锯后不能有剩余(损耗不计)，能锯成多少块? 解析：(72，60，36)=12，(72÷12)×(60÷12)×(36÷12)=90(块)，所以，能锯成 90块。 【奥数拓展七】最大公因数和最小公倍数的应用（二）。 用长 9厘米、宽 6厘米、高 4厘米的小长方体木块叠成一个正方体，至少要用多 少块这样的小长方体? 解析： 13 / 16 将若干个小长方体拼成一个大正方体，首先要得到大正方体的棱长，因此，关键 是求小长方体长、宽、高的最小公倍数，这就是大正方体的棱长，所以 [9，6，4]=36；(36÷9)×(36÷6)×(36÷4)=4×6×9=216(块) 答：至少要用 216块这样的小长方体。 【专项训练】 1. 有三根钢管，其中第一根的长度是第二根的 1.2倍，是第三根的一半，第三根 比第二根长 280厘米，现在把这三根钢管截成尽可能长而又相等的小段，问：一 共可以截成多少段? 解析： 设第二根钢管为“1”份，那么第一根钢管为“1.2”份，第三根钢管为“2.4”份， 280÷(2.4－1)=200(厘米)……第二根的长度，200×1.2=240(厘米)……第一根的长 度，200+280=480(厘米)……第三根的长度 (240，200，480)=40，240÷40+200÷40+480÷40=23(段)，所以，一共可以截成 23 段。 2. 老师手里有一些糖，只分给甲组学生，每人可得到 15颗；只分给乙组学生， 每人可得到 6颗；只分给丙组学生，每人可得到 10颗，如果现在要平均分给这 三个组的学生，每人可得到多少颗糖? 解析： [15，6，10]=30(颗)，可认为老师有 30 颗糖，则 30÷15=2(人)，30÷6=5(人)， 30÷10=3(人)，30÷(2+5+3)=3(颗)，所以，每人可得到 3颗糖。 3. 爷爷对毛毛说：“我现在的年龄是你的 7倍，过几年是你的 6倍，再过若干年 就分别是你的 5倍、4倍、3倍、2倍。”那么，爷爷和毛毛现在的年龄分别是多 少岁? 解析： 爷爷现在的年龄是毛毛的 7倍，过几年是毛毛的 6倍、5倍、4倍、3倍、2倍， 这说明他们的年龄差是 6、5、4、3、2的最小公倍数，可先求最小公倍数，[6， 5，4，3，2]=60，60÷(7－1)=10(岁)，10×7=70(岁)，所以，爷爷今年 70 岁，毛 毛今年 10岁。 14 / 16 【奥数拓展八】最大公因数和最小公倍数的应用（三）。 图书室里有一批新到的课外书，无论是分成 5本一叠，还是分成 8本一叠，最后 都多出 3本，这批新到的课外书至少有多少本? 解析： 由于无论怎么分每次都多出 3本，因此，我们不妨拿走 3本课外书，那么，不论 是分成 5本一叠还是分成 8本一叠，都没有剩余，这时，课外书的本数应该是 5 和 8的公倍数，再把拿走的 3本课外书还回来，就可以知道这批新到的课外书至 少有多少本。 [5，8]=40，40+3=43(本)。 答：这批新到的课外书至少有 43本。 【专项训练】 1. 小莉在家整理图书，无论是分成 20本放一个抽屉，还是分成 30本放一个抽 屉，最后都多出 5本，小莉整理的这批书至少有多少本? 解析：[20，30]=60，60+5=65(本)，所以，小莉整理的这批书至少有 65本。 2. 猴妈妈分桃子，如果每堆分 11个，最后少 1个；如果每堆分 12个，还是少 1 个，这批桃子至少有多少个? 解析：[11，12]=132，132-1=131(个)，所以，这批桃子至少有 131个。 3. 五(1)班有 40多名学生，做早操时，不论是排成 2人一行、3人一行、还是 4 人一行，最后都正好少 1人，五(1)班有多少名同学? 解析：[2，3，4]=12，12×4-1=47(人)，所以，五(1)班有 47名同学。 【奥数拓展九】最大公因数和最小公倍数的应用（四）。 有一批树苗，每捆 5棵多 1棵，每捆 6棵多 2棵，每捆 7棵多 3棵，这批树苗至 少有多少棵? 解析： 我们也可以这样理解：一个数除以 5余 1，除以 6余 2，除以 7余 3，这个数至 少是多少?因此，不妨先把这个数加上 4，那么,它除以 5、除以 6和除以 7时， 就正好能整除了，也就是说，这个数是 5、6 和 7 的公倍数，然后把多加的“4” 减去就行了。 15 / 16 [5，6，7]=210，210－4=206(棵) 答：这批树苗至少有 206棵。 【专项训练】 1. 有一批树苗，5棵一捆少 4棵，6棵一捆少 4棵，8棵一捆少 4棵，这批树苗 至少有多少棵? 解析：[5，6，8]=120，120－4=116(棵)，所以，这批树苗至少有 116棵。 2. 一个自然数，除以 5余 2，除以 7余 4，除以 12余 9，这个数最小是多少? 解析：[5，7，12]=420，420－3=417，所以，这个数最小是 417。 3. 李叔叔养了 400多只兔子，如果每 3只兔子关在一个笼子里，最后一个笼子 里有 1只；如果每 5只兔子关在一个笼子里，最后一个笼子里有 3只；如果每 7 只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有 5只，李叔叔一共养了多少只兔 子? 解析： 3、5、7的最小公倍数是 3×5×7=105，题目中说“400多只兔子”，则 105×4=420(只) 满足要求。 【奥数拓展十】最大公因数和最小公倍数的应用（五）。 有一些糖果，平均分给 3个小朋友多 1块，平均分给 4个小朋友多 3块，平均分 给 5个小朋友少 1块，这些糖果最少有多少块? 解析： [3，5]=15，15×1+4=19(块)，19÷4=4……3 答：这些糖果最少有 19块。 【专项训练】 1. 有一些糖果，平均分给 6个小朋友多 5块，平均分给 7个小朋友多 1块，平 均分给 8个小朋友少 1块，这些糖果最少有多少块? 解析：[6，8]=24，24×1－1=23(块)，23÷7=3……2，不符合； 24×2－1=47(块)，47÷7=6……5，不符合；24×3－1=71(块)，71÷7=10……1，符 合，所以，这些糖果最少有 71块。 2. 一群小朋友做游戏，如果 3人一组，多出 2 人；如果 5人一组，多出 4 人； 16 / 16 如果 8人一组，多出 3人，这群小朋友至少有多少人? 解析： [3，5]=15，15－1=14(人)；14÷8=1……6，不符合；(14+15)÷8=3……5，不符合； (14+15×2)÷8=5……4，不符合；(14+15×3)÷8=7……3，符合，所以，这群小朋友 至少有 59人。 3. 有一个数，除以 3余 2，除以 5余 2，除以 7余 4，这个数最小是多少? 解析：[3，5]=15，15×1+2=17，17÷7=2……3，不符合；15×2+2=32，32÷7=4……4， 符合，所以，这个数最小是 32。 【奥数拓展十一】最大公因数和最小公倍数的应用（六）。 新华书店新到一批书，7 本一数多 6本，10本一数多 8本，11本一数多 5本， 这批书至少有多少本? 解析：258本。 【专项训练】 1. 小红玩棋子，只见她将棋子分成 5颗一堆多 3颗，分成 6颗一堆多 5颗，分 成 8颗一堆多 3颗，这些棋子至少有多少颗? 解析：3+8×1=11，11÷6=1……5，符合条件；但 11÷5=2……1，不符合条件； 11+24×1=35，35÷5=7，不符合条件；11+24×2=59，59÷5=11……4，不符合条件； 11+24×3=83，83÷5=16……3，符合条件，所以，这些棋子至少有 83颗。 2. 某整数除以 5余 4，除以 7余 2，除以 11余 8，这个整数最小是多少? 解析：11+8=19，19÷5=3……4符合，19÷7=2……5，不符合； 19+55=74，74÷7=10……4，不符合； 74+55=129，129÷7=18……3，不符合； 129+55=184，184÷7=26……2，符合，这个整数最小是 184。 3. “乐课力”新买来一些本子，如果平均分给 10个小朋友，还剩 2本；平均分给 11个小朋友，还剩 5本；平均分给 12个小朋友，还剩 8本.那么这堆本子最少有 多少本? 解析：632本。