第五单元 分数的意义（易错专项讲义）数学北师大版五年级上册

第五单元 分数的意义易错专项讲义 简介： 1．易错知识点梳理：本单元易错点梳理，让学生明确哪些知识点容易记混、记错。 2．易错点剖析训练：结合相关例题分类剖析常考易错点，并对易错点进行针对性训练，让学生在训练中记住易错点，攻克难关。 目录 模块一 易错知识点梳理 2 模块二 易错点剖析训练 2 易错点1：求一个数是另一个数的几分之几错误。 2 易错点2：真假分数认识错误。 4 易错点3：假分数与带分数的互化错误。 5 易错点4：分数基本性质应用不当。 6 易错点5：找几个数的公因数容易漏掉1或误将两数的乘积当成最小公倍数。 7 易错点6：约分或通分错误。 9 易错点7：运用比较分数的大小解决实际问题时,误认为用时多,效率就高。 10 模块一 易错知识点梳理 1．图形被平均分成几部分，才能用分数表示。 2．判断用分数所表示的具体数量的大小时，除了看把整体“1” 平均分成的份数和所取的份数外，还要看整体“1”的大小。 3．不是所有分数的分数单位都不相同，分母不同的分数，分数单位不同；分母相同的分数，分数单位是相同的。 4．分子和分母相同的分数也是假分数。 5．带分数是假分数的另一种书写形式。 6．除法和分数之间有一定的联系，但表示的意义并不完全相同。 7．求每份是多少，用总数量除以平均分成的份数；求每份是总数的几分之几，平均分成几份，就是几分之一。 8．分数的分母（或分子）扩大到原来的几倍，要使分数的大小不变，分子（或分母）也应扩大相同的倍数。 9．１是任何非零自然数的因数。 10．两个不同质数的最大公因数是1。 11．约分时，分子和分母可以同时除以它们的最大公因数。 12．约分时，分子和分母要约分到只含有公因数1为止。 13．通分时，分母乘几（0除外），分子也要同时乘几，分数的大小才能不变。 14．通分时，并不是只能选择分母的最小公倍数做公分母，只要是分母的公倍数就可以，但选择最小公倍数做公分母计算起来最简便。 模块二 易错点剖析与训练 易错点1：求一个数是另一个数的几分之几错误。 【典例1】 每3架飞机编成一组,可以编成4组,每组占总架数的( )。 【错误答案】 【错解分析】错误解答错在没有理解分数的意义,误认为每组有3架飞机,每组就占总架数的，这里是把所有的飞机看作一个整体，可以编成4组,表示平均分成了4份,每组就是其中的1份,用分数表示是。 【正确解答】 【易错专练1】下图中，△的个数是◯的，◯的个数是两种图形总数的。 △△△△ ○○○○○○○ 【易错专练2】如图，图中阴影部分的面积占整个图形面积的（ ）。 【易错专练3】为支援西南抗旱，军军全家每天节约5瓶水，军军每天节约1瓶水，军军节约水比全家人节约少（ ）。（填分数） 【易错专练4】五（1）班有47名同学，女生23人，男生人数是女生的（ ）。 【易错专练5】一根电线总长100米，用去30米，用去了这根电线的（ ），还剩下这根电线的（ ）。 易错点2：真假分数认识错误。 【典例2】判断:真分数都小于1,假分数都大于1。（ ） 【错误答案】正确 【错解分析】错误解答错在没有理解真分数和假分数的意义。真分数是分数的分子比分母小的分数;假分数是分子大于或等于分母的分数,所以分子与分母相同时,也就是1,是假分数。 【正确解答】错误 【易错专练1】分数，那么（ ）；当（ ）时，是最大的真分数。 【易错专练2】分数单位是的最大真分数是（ ），最小带分数是（ ）。 【易错专练3】以7为分母，写出3个真分数：（ ）、（ ）、（ ）；再写出3个假分数：（ ）、（ ）、（ ）。 【易错专练4】已知A，B均为非0自然数，若是真分数，A最小是（ ）；若是假分数，B最大是（ ）。 【易错专练5】在中，是整数。当是（ ）时，它是假分数；当是（ ）时，它是真分数；当是（ ）时，它无意义。 易错点3：假分数与带分数的互化错误。 【典例3】把假分数 化成带分数。 【错误答案】 = 17 ÷ 5 = 3.4或 = 3又2/3 【错解分析】第一个错误：结果写成了小数，题目要求是化成带分数。 第二个错误：计算商和余数时出错。17 ÷ 5 = 3...2，余数是2，所以分数部分应该是 ，错解写成了。 【正确解答】方法：分子除以分母。17 ÷ 5 = 3...2商作为带分数的整数部分，余数作为新的分子，分母不变。所以，。 【易错专练1】把下列假分数化成带分数或整数，把带分数化成假分数。              【易错专练2】把下面的假分数化成带分数或整数，把带分数化成假分数。              【易错专练3】把下列假分数化成带分数或整数，把带分数化成假分数。          【易错专练4】把下列假分数化成带分数或整数，把带分数化成假分数。          【易错专练5】把下列假分数化成带分数或整数，把带分数化成假分数。              易错点4：分数基本性质应用不当。 【典例4】判断:的分子扩大到原来的5倍,要使分数的大小不变,分母应该缩小到原来的。 【错误答案】正确 【错解分析】错误解答错在没有理解分数的基本性质。根据分数的基本性质，分数的分子扩大到原来的5倍,要使分数的大小不变,分母也应扩大到原来的5倍。要牢记分数的基本性质的关键词:同时扩大或同时缩小。 【正确解答】错误 【易错专练1】的分子增加6，要使分数大小不变，分母应该（ ）。 【易错专练2】把的分母加上15，要使分数的大小不变，分子应该扩大到原来的（ ）倍。 【易错专练3】请你写出一个与相等，分母是12的分数（ ）；再写出一个与相等，分子是12的分数（ ）。 【易错专练4】的分母增加12，要使分数的大小不变，分子要（ ）。 【易错专练5】分数的分子乘3，要使分数的大小不变，分母应当加上（ ）。 易错点5：找几个数的公因数容易漏掉1或误将两数的乘积当成最小公倍数。 【典例5】（1）判断:24和32的公因数只有2，4，8。（ ） 【错误答案】正确 【错解分析】错误解答错在漏找了公因数1。24的因数有1，24，2，12.3，8，4，6；32的因数有1，32，2，16，4，8。它们的公因数为1，2.4，8。在找一个数的因数时，一定要按照一定的顺序找，可以从第一个因数1来试，一组一组地找，不容易遗漏，而且要记住，1是所有数的因数。 【正确解答】错误 【典例5】（2）判断:2和4的最小公倍数是8。（ ） 【错误答案】正确 【错解分析】错误解答错在将⒉和4的乘积当成了2和4的最小公倍数。2的倍数有2，4，6，8……4的倍数有4，8，12……2和4的公倍数有4，8，12……则2和4的最小公倍数是4。如果较大数是较小数的倍数，那么它们的最小公倍数就是较大数。 【正确解答】错误 【易错专练1】写出下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 25和40         28和70         24，36和42 【易错专练2】找出每组数的最大公因数和最小公倍数。 12和5    24和30    14和56 【易错专练3】求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 15和20        30和24        11和33        13和9 【易错专练4】求下列各组数的最大公因数和最小公倍数。 7和11               24和96              12和18 【易错专练5】求下列每组数的最大公因数和最小公倍数。 2和5             4和6             7和49 易错点6：约分或通分错误。 【典例6】把和进行通分。 【错误答案】 【错解分析】错误解答错在只注意到让分母相同,分子,分母没有乘同一个数,对分数通分的方法没有掌握。通分时,运用分数的基本性质把分母和分子同乘或除以相同的非0数。 【正确解答】 【易错专练1】约分。        【易错专练2】圈出最简分数，并把其余的分数约分。          【易错专练3】把下面各组中的分数通分。 和    和    和 【易错专练4】把下面各组数通分。 和         和 【易错专练5】通分并比较大小。   和           和           和 易错点7：运用比较分数的大小解决实际问题时,误认为用时多,效率就高。 【典例7】明明和玲玲用打同样的一份稿件来进行打字比赛。他们两个谁打的快？ 【错误答案】＞，明明打的快 【错解分析】错误解答错在认为明明用的时间长,明明打得就快,用的时间少的打字就慢。比较和的大小时，先通分化成分母相同的分数,6和4的最小公倍数是12,把12作为两个分数的公分母,两个分数化成分母是12的分数分别是和。因为＞，所以＞，明明用的时间长，打得慢,玲玲用的时间短,打得快。 【正确解答】＞，玲玲打的快 【易错专练1】加工同样的零件，甲6分加工5个，乙5分加工4个，丙7分加工9个，三人的工作效率谁最高？ 【易错专练2】毛毛和豆豆参加了学校的“童墨飘香”书法兴趣班，坚持每天练习毛笔字，他俩谁写毛笔字的速度快？ 【易错专练3】王、张、李三个师傅在同一车间工作，王师傅3时做10个零件，张师傅4时做12个零件，李师傅5时做16个零件。平均每人做一个零件各用多少时间？谁的工作效率最高？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 分数的意义易错专项讲义 简介： 1．易错知识点梳理：本单元易错点梳理，让学生明确哪些知识点容易记混、记错。 2．易错点剖析训练：结合相关例题分类剖析常考易错点，并对易错点进行针对性训练，让学生在训练中记住易错点，攻克难关。 目录 模块一 易错知识点梳理 2 模块二 易错点剖析训练 2 易错点1：求一个数是另一个数的几分之几错误。 2 易错点2：真假分数认识错误。 5 易错点3：假分数与带分数的互化错误。 7 易错点4：分数基本性质应用不当。 10 易错点5：找几个数的公因数容易漏掉1或误将两数的乘积当成最小公倍数。 12 易错点6：约分或通分错误。 15 易错点7：运用比较分数的大小解决实际问题时,误认为用时多,效率就高。 18 模块一 易错知识点梳理 1．图形被平均分成几部分，才能用分数表示。 2．判断用分数所表示的具体数量的大小时，除了看把整体“1” 平均分成的份数和所取的份数外，还要看整体“1”的大小。 3．不是所有分数的分数单位都不相同，分母不同的分数，分数单位不同；分母相同的分数，分数单位是相同的。 4．分子和分母相同的分数也是假分数。 5．带分数是假分数的另一种书写形式。 6．除法和分数之间有一定的联系，但表示的意义并不完全相同。 7．求每份是多少，用总数量除以平均分成的份数；求每份是总数的几分之几，平均分成几份，就是几分之一。 8．分数的分母（或分子）扩大到原来的几倍，要使分数的大小不变，分子（或分母）也应扩大相同的倍数。 9．１是任何非零自然数的因数。 10．两个不同质数的最大公因数是1。 11．约分时，分子和分母可以同时除以它们的最大公因数。 12．约分时，分子和分母要约分到只含有公因数1为止。 13．通分时，分母乘几（0除外），分子也要同时乘几，分数的大小才能不变。 14．通分时，并不是只能选择分母的最小公倍数做公分母，只要是分母的公倍数就可以，但选择最小公倍数做公分母计算起来最简便。 模块二 易错点剖析与训练 易错点1：求一个数是另一个数的几分之几错误。 【典例1】 每3架飞机编成一组,可以编成4组,每组占总架数的( )。 【错误答案】 【错解分析】错误解答错在没有理解分数的意义,误认为每组有3架飞机,每组就占总架数的，这里是把所有的飞机看作一个整体，可以编成4组,表示平均分成了4份,每组就是其中的1份,用分数表示是。 【正确解答】 【易错专练1】下图中，△的个数是◯的，◯的个数是两种图形总数的。 △△△△ ○○○○○○○ 【答案】； 【分析】将◯的个数看作单位“1”，△的个数÷◯的个数＝△的个数是◯的几分之几；将图形总数看作单位“1”，◯的个数÷图形总数＝◯的个数是两种图形总数的几分之几。 【解答】 △的个数是◯的，◯的个数是两种图形总数的。 【易错专练2】如图，图中阴影部分的面积占整个图形面积的（ ）。 【答案】 【分析】设图中每个小正方形的边长为1，则三角形（阴影部分）的底为2，高为1；大长方形（整个图形）的长为4，宽为1。根据三角形的面积＝底×高÷2，用2×1÷2可求出阴影部分的面积是1；根据长方形的面积＝长×宽，用4×1可求出整个图形的面积是4；求一个数是另一个数（0除外）的几分之几的解题方法：一个数÷另一个数＝。据此求阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几，列式为1÷4。 【解答】假设图中每个小正方形的边长为1。 阴影部分的面积：2×1÷2 ＝2÷2 ＝1 整个图形的面积：4×1＝4 1÷4＝ 所以，图中阴影部分的面积占整个图形面积的。 【易错专练3】为支援西南抗旱，军军全家每天节约5瓶水，军军每天节约1瓶水，军军节约水比全家人节约少（ ）。（填分数） 【答案】 【分析】求一个数比另一个数少几分之几的解题方法：两数差量÷单位“1”的量。由题意可知：全家人节约水的瓶数是单位“1”，军军比全家人少节约5－1＝4（瓶）水，求军军节约水比全家人节约少几分之几，列式为4÷5。 【解答】（5－1）÷5 ＝4÷5 ＝ 所以军军节约水比全家人节约少。 【点评】在解答有关“甲比乙多或少几分之几”的简单实际问题时，要找准单位“1”，以单位“1”为标准，列式时以单位“1”的量作除数。 【易错专练4】五（1）班有47名同学，女生23人，男生人数是女生的（ ）。 【答案】 【分析】用全班人数减去女生人数，可得五（1）班男生人数，把女生人数看作单位“1”，根据分数除法的意义，用男生人数除以女生人数可求出男生人数是女生的几分之几。 【解答】由分析可得： （47－23）÷23 ＝24÷23 ＝ 综上所述：五（1）班有47名同学，女生23人，男生人数是女生的。 【点评】本题考查了分数除法应用题，找准单位“1”，求一个数是另外一个数的几分之几用除法。 【易错专练5】一根电线总长100米，用去30米，用去了这根电线的（ ），还剩下这根电线的（ ）。 【答案】 【分析】用去了这根电线的多少，就是利用用去的长度÷电线的总长度，结果用分数表示即可；由于还剩下100－30＝70米，用剩下的电线长度÷电线的总长度，结果用分数表示即可。 【解答】30÷100＝ 100－30＝70（米） 70÷100＝ 一根电线总长100米，用去30米，用去了这根电线的，还剩下这根电线的。 【点评】本题主要考查一个数是另一个数的几分之几，熟练掌握它的求法是解题的关键。 易错点2：真假分数认识错误。 【典例2】判断:真分数都小于1,假分数都大于1。（ ） 【错误答案】正确 【错解分析】错误解答错在没有理解真分数和假分数的意义。真分数是分数的分子比分母小的分数;假分数是分子大于或等于分母的分数,所以分子与分母相同时,也就是1,是假分数。 【正确解答】错误 【易错专练1】分数，那么（ ）；当（ ）时，是最大的真分数。 【答案】0 11 【分析】当时，根据分数的性质，分数值为0时，分子为0（分母不能为0）。所以a＝0。 真分数是指分子小于分母的分数，且真分数小于1。要使是真分数，则a＞10。又因为要使是最大的真分数，那么a应取比10大1的数，10＋1＝11，即a＝11。 【解答】当时，分子为0，所以a＝0。 当是最大的真分数时，a应取比10大1的数，10＋1＝11，即a＝11。 所以分数，那么0；当11时，是最大的真分数。 【易错专练2】分数单位是的最大真分数是（ ），最小带分数是（ ）。 【答案】 【分析】根据真分数、假分数、带分数的意义，分子小于分母的分数叫做真分数，分子等于或大于分母的分数叫做假分数，有一个自然数和一个真分数合成的数叫做带分数。据此解答即可。 【解答】由分析可得：分数单位是的最大真分数是，最小带分数是。 【易错专练3】以7为分母，写出3个真分数：（ ）、（ ）、（ ）；再写出3个假分数：（ ）、（ ）、（ ）。 【答案】 【分析】真分数的分子比分母小；假分数的分子和分母相等或分子比分母大；据此解答。 【解答】由真分数、假分数的意义可知：以7为分母的3个真分数有：、、 （答案不唯一） ；以7为分母的3个假分数有：、、。（答案不唯一） 【易错专练4】已知A，B均为非0自然数，若是真分数，A最小是（ ）；若是假分数，B最大是（ ）。 【答案】1 4 【分析】分子比分母小的分数叫真分数，分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫假分数，据此分析。 【解答】已知A，B均为非0自然数，若是真分数，A＜5，A最小是1；若是假分数，4≥B，B最大是4。 【易错专练5】在中，是整数。当是（ ）时，它是假分数；当是（ ）时，它是真分数；当是（ ）时，它无意义。 【答案】2或3 0或1 4 【分析】分子大于或等于分母的分数叫作假分数，假分数大于或等于1；真分数：分子比分母小的分数叫作真分数，真分数小于1；当分母等于0时，分数无意义。 【解答】0＜12－3a≤6时，即当12＞3a≥6时，4＞a≥2，即当a＝2或3时，是假分数； 当6＜12－3a时，即0＜6－3a，3a＜6，此时a＜2，所以a＝0或1时，是真分数； 当12－3a＝0时，即3a＝12，a＝4时，无意义。 易错点3：假分数与带分数的互化错误。 【典例3】把假分数 化成带分数。 【错误答案】 = 17 ÷ 5 = 3.4或 = 3又2/3 【错解分析】第一个错误：结果写成了小数，题目要求是化成带分数。 第二个错误：计算商和余数时出错。17 ÷ 5 = 3...2，余数是2，所以分数部分应该是 ，错解写成了。 【正确解答】方法：分子除以分母。17 ÷ 5 = 3...2商作为带分数的整数部分，余数作为新的分子，分母不变。所以，。 【易错专练1】把下列假分数化成带分数或整数，把带分数化成假分数。              【答案】；；4 【分析】把带分数化成假分数的方法：用“带分数的整数部分×分母＋分子”得到假分数的分子，分母不变。 把假分数化成带分数的方法：用分子除以分母，得到的商和余数；商是带分数的整数部分，余数是带分数的分子，分母不变。当假分数的分子为分母的倍数时，能化成整数。 【解答】＝＝，所以＝； 23÷10＝2……3，所以＝； ＝24÷6＝4，所以＝4。 【易错专练2】把下面的假分数化成带分数或整数，把带分数化成假分数。              【答案】；1；；3 【分析】假分数化成带分数：用分子÷分母＝商……余数；商就是带分数的整数部分，余数就是带分数的分子，分母不变。假分数化成整数，用假分数的分子除以分母，如果没有余数，商就是所要化成的整数。 带分数化假分数：用整数部分与分母相乘，再加上分子做假分数的分子，分母不变，据此解答。 【解答】＝31÷7＝4……3 ＝ ＝99÷99＝1 ＝＝ ＝24÷8＝3 【易错专练3】把下列假分数化成带分数或整数，把带分数化成假分数。          【答案】＝3；＝；＝ 【分析】假分数化带分数：用分子除以分母。当分子是分母的整数倍时，能化成整数，商就是这个整数。当分子不是分母的整数倍时，能化成带分数，商是带分数的整数部分，余数是分数部分的分子，分母不变。 带分数化假分数：分母不变，用分数部分的分母作分母，用分母和整数相乘的积再加上分数的分子的和作为新分子。 【解答】24÷8＝3、＝3 37÷5＝7……2、＝ 1×9＋7＝9＋7＝16、＝ 【易错专练4】把下列假分数化成带分数或整数，把带分数化成假分数。          【答案】；；2 【分析】假分数化带分数：用分子除以分母。当分子是分母的整数倍时，能化成整数，商就是这个整数。当分子不是分母的整数倍时，能化成带分数，商是带分数的整数部分，余数是分数部分的分子，分母不变。 带分数化假分数：分母不变，用分数部分的分母作分母，用分母和整数相乘的积再加上分数的分子的和作为新分子。 【解答】4×5＋3 ＝20＋3 ＝23 ＝ 7÷2＝3……1，＝ 18÷9＝2，＝2 【易错专练5】把下列假分数化成带分数或整数，把带分数化成假分数。              【答案】；4；； 【分析】假分数化成带分数或整数：用分子除以分母，得到的商是整数部分，分母不变，余数是分子；如果没有余数，则得到的商就是假分数化成整数的结果； 带分数化成假分数：分母不变，用整数部分乘分母加分子，得到的结果就是新的分子。 【解答】＝ ＝4 ＝ ＝ 易错点4：分数基本性质应用不当。 【典例4】判断:的分子扩大到原来的5倍,要使分数的大小不变,分母应该缩小到原来的。 【错误答案】正确 【错解分析】错误解答错在没有理解分数的基本性质。根据分数的基本性质，分数的分子扩大到原来的5倍,要使分数的大小不变,分母也应扩大到原来的5倍。要牢记分数的基本性质的关键词:同时扩大或同时缩小。 【正确解答】错误 【易错专练1】的分子增加6，要使分数大小不变，分母应该（ ）。 【答案】增加27 【分析】根据分数的基本性质，分数的分子分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变，本题中，要将分子增加6转化成分子乘以几，再确定分母的变化。 【解答】2＋6＝8 8÷2＝4 4×9－9 ＝36－9 ＝27 所以分母应增加27（或乘4）。 【易错专练2】把的分母加上15，要使分数的大小不变，分子应该扩大到原来的（ ）倍。 【答案】4 【分析】根据分数的基本性质：分数的分子分母同时乘或除以一个不为0的数，分数的大小不变；用分子＋15，再除以5，求出分母扩大到原来的几倍，则分子也扩大到原来的几倍，据此解答。 【解答】（5＋15）÷5 ＝20÷5 ＝4 把的分母加上15，要使分数的大小不变，分子应该扩大到原来的4倍。 【易错专练3】请你写出一个与相等，分母是12的分数（ ）；再写出一个与相等，分子是12的分数（ ）。 【答案】 【分析】根据分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以同一个不为0的数，分数大小不变，由于分母是12，相当于扩大到原来的3倍，那么分子也应该扩大到原来的3倍即可；如果分子是12，那么从3到12相当于扩大到原来的4倍，分母也应该扩大到原来的4倍。 【解答】12÷4＝3；3×3＝9 12÷3＝4；4×4＝16 与相等，分母是12的分数；再写出一个与相等，分子是12的分数。 【易错专练4】的分母增加12，要使分数的大小不变，分子要（ ）。 【答案】增加9 【分析】根据分数的基本性质，分子和分母同时乘或除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变，据此确定分母扩大的倍数，进而求出分子的值，最后求出分子应乘或加上多少。 【解答】（12＋4）÷4 ＝16÷4 ＝4 3×4＝12 12－3＝9 的分母增加12，要使分数的大小不变，分子要增加9或乘4。 【易错专练5】分数的分子乘3，要使分数的大小不变，分母应当加上（ ）。 【答案】10 【分析】把的分子乘3，根据分数的基本性质，分数的分子、分母同时乘或除以同一个不为0的数，分数的大小不变；所以要使分数的大小不变，分母也应该乘3，这时分母变为5×3＝15，再减去原来的数5，即可得到分母应增加的数。 【解答】5×3－5 ＝15－5 ＝10 分母应当加上10。 易错点5：找几个数的公因数容易漏掉1或误将两数的乘积当成最小公倍数。 【典例5】（1）判断:24和32的公因数只有2，4，8。（ ） 【错误答案】正确 【错解分析】错误解答错在漏找了公因数1。24的因数有1，24，2，12.3，8，4，6；32的因数有1，32，2，16，4，8。它们的公因数为1，2.4，8。在找一个数的因数时，一定要按照一定的顺序找，可以从第一个因数1来试，一组一组地找，不容易遗漏，而且要记住，1是所有数的因数。 【正确解答】错误 【典例5】（2）判断:2和4的最小公倍数是8。（ ） 【错误答案】正确 【错解分析】错误解答错在将⒉和4的乘积当成了2和4的最小公倍数。2的倍数有2，4，6，8……4的倍数有4，8，12……2和4的公倍数有4，8，12……则2和4的最小公倍数是4。如果较大数是较小数的倍数，那么它们的最小公倍数就是较大数。 【正确解答】错误 【易错专练1】写出下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 25和40         28和70         24，36和42 【答案】最大公因数是5，最小公倍数是200； 最大公因数是14，最小公倍数是140； 最大公因数是6，最小公倍数是504。 【分析】对于一般的两个数来说，这两个数的公有质因数连乘积是最大公因数，两个数的公有质因数与每个数特有质因数的连乘积是最小公倍数。 【解答】， 25和40的最大公因数是5，最小公倍数是； ， 28和70的最大公因数是，最小公倍数是； ，， 24，36和42的最大公因数是，最小公倍数是。 【易错专练2】找出每组数的最大公因数和最小公倍数。 12和5    24和30    14和56 【答案】12和5的最大公因数是1，最小公倍数是60； 24和30的最大公因数是6，最小公倍数是120； 14和56的最大公因数是14，最小公倍数是56 【分析】12与5互质，所以12和5的最大公因数是1，最小公倍数是它们的积； 24和30 、14和56可用短除法计算，短除法左边的因数的积就是它们的最大公因数，左边的因数与下边的因数的积就是它们的最小公倍数。 【解答】5×12＝60 12和5的最大公因数是1，最小公倍数是60。 2×3＝6 2×3×4×5＝120 24和30的最大公因数是6，最小公倍数是120。 2×7＝14 2×7×1×4＝56 14和56的最大公因数是14，最小公倍数是56。 【易错专练3】求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 15和20        30和24        11和33        13和9 【答案】15和20的最大公因数是5，最小公倍数是60； 30和24的最大公因数是6，最小公倍数是120； 11和33的最大公因数是11，最小公倍数是33； 13和9的最大公因数是1，最小公倍数是117。 【分析】先把每组数分别分解质因数，然后把它们公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数，把它们公有的质因数和独有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数；两个数为倍数关系，则最大公因数是较小的数，最小公倍数为较大的数；两个数互质，则最大公因数是1，最小公倍数就是这两个数的乘积。 【解答】15＝3×5 20＝2×2×5 所以15和20的最大公因数是5，最小公倍数是2×2×5×3＝60； 30＝2×3×5 24＝2×2×2×3 所以30和24的最大公因数是2×3＝6，最小公倍数是2×3×5×2×2＝120； 33是11的3倍，所以11和33的最大公因数是11，最小公倍数是33； 13和9互质，所以13和9的最大公因数是1，最小公倍数是13×9＝117。 【易错专练4】求下列各组数的最大公因数和最小公倍数。 7和11               24和96              12和18 【答案】7和11最大公因数是1；最小公倍数是77； 24和96的最大公因数是24；最小公倍数是96； 12和18的最大公因数是6；最小公倍数是36。 【分析】求两数的最小公倍数，就看两个数之间的关系，两个数互质，则最大公因数是1，最小公倍数就是这两个数的乘积；两个数为倍数关系，则最大公因数是较小的数，最小公倍数为较大的数；先把要求的两个数分别分解质因数，然后把它们公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数，把它们公有的质因数和独有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数。 【解答】7和11是互质数，所以7和11的最大公因数是1，最小公倍数是7×11＝77； 因为96是24的4倍，所以24和96的最大公因数是24，最小公倍数是96； 12＝2×2×3 18＝2×3×3 所以12和18的最大公因数是2×3＝6 最小公倍数是 2×2×3×3 ＝4×3×3 ＝12×3 ＝36 【易错专练5】求下列每组数的最大公因数和最小公倍数。 2和5             4和6             7和49 【答案】最大公因数：1；2；7 最小公倍数：10；12；49 【分析】当两个数是互质数时，最大公因数是1，最小公倍数是两数的乘积； 当两个数是倍数关系时，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大数； 除了以上两种情况外，可以用分解质因数或短除法去找两个数的最大公因数和最小公倍数。 【解答】由分析可得： 2和5是互质数，最大公因数是1，最小公倍数是2×5＝10； 4和6： 4＝2×2 6＝2×3 4和6的最大公因数为：2，最小公倍数是： 2×2×3 ＝4×3 ＝12 7和49是倍数关系，最大公因数是7，最小公倍数是49。 综上所述：2和5最大公因数是1，最小公倍数是10； 4和6最大公因数是2，最小公倍数是12； 7和49最大公因数是7，最小公倍数是49。 易错点6：约分或通分错误。 【典例6】把和进行通分。 【错误答案】 【错解分析】错误解答错在只注意到让分母相同,分子,分母没有乘同一个数,对分数通分的方法没有掌握。通分时,运用分数的基本性质把分母和分子同乘或除以相同的非0数。 【正确解答】 【易错专练1】约分。        【答案】；；； 【分析】把一个分数的分子、分母同时除以最大公因数，分数的值不变，这个过程叫约分，从而将这个分数化成最简分数。据此计算。 【解答】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 【易错专练2】圈出最简分数，并把其余的分数约分。          【答案】圈一圈见详解；； 【分析】分子和分母只有公因数1的分数叫作最简分数。把一个分数化成同它相等，但分子、分母都比原来小的分数的过程是约分。约分根据分数的基本性质，即分数的分子和分母，同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 【解答】 【易错专练3】把下面各组中的分数通分。 和    和    和 【答案】，；，；， 【分析】把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫通分。通分时用原分母的公倍数作公分母（为了计算简便，通常选用最小公倍数作公分母），然后把每个分数都化成用这个公倍数作分母的分数。通分根据分数的基本性质，即分数的分子和分母，同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 【解答】， ， ， 【易错专练4】把下面各组数通分。 和         和 【答案】，；， 【分析】通分时用原分母的公倍数作公分母（为了计算简便，通常选用最小公倍数作公分母），然后把每个分数都化成用这个公倍数作分母的分数；根据题意，先求出分母的公分母，再利用分数的基本性质进行通分即可。 【解答】10和15的最小公倍数是30 ＝＝ ＝＝ 4和5的最小公倍数是20 ＝＝ ＝＝ 【易错专练5】通分并比较大小。   和           和           和 【答案】＜；＞；＞ 【分析】把异分母分数化成大小和原来相等的同分母分数叫做通分，同分母分数大小比较，分子大的分数就大。由此解答。 【解答】＝＝；＝＝；＜，因此＜； ＝ ＝ ；＝＝；＞，因此＞； ＝＝；＝＝；＞，因此＞。 易错点7：运用比较分数的大小解决实际问题时,误认为用时多,效率就高。 【典例7】明明和玲玲用打同样的一份稿件来进行打字比赛。他们两个谁打的快？ 【错误答案】＞，明明打的快 【错解分析】错误解答错在认为明明用的时间长,明明打得就快,用的时间少的打字就慢。比较和的大小时，先通分化成分母相同的分数,6和4的最小公倍数是12,把12作为两个分数的公分母,两个分数化成分母是12的分数分别是和。因为＞，所以＞，明明用的时间长，打得慢,玲玲用的时间短,打得快。 【正确解答】＞，玲玲打的快 【易错专练1】加工同样的零件，甲6分加工5个，乙5分加工4个，丙7分加工9个，三人的工作效率谁最高？ 【答案】丙 【分析】根据工作效率＝工作总量÷工作时间，用加工的数量÷加工的时间即可求出效率，再根据分数和除法的关系，分子相当于被除数，分母相当于除数，把结果用分数表示出来，将这三个分数进行比较大小，据此找出工作效率最大的，也就是效率最高的。 【解答】甲：5÷6＝ 乙：4÷5＝ 丙：9÷7＝ ＞＞ 答：丙的工作效率最高。 【易错专练2】毛毛和豆豆参加了学校的“童墨飘香”书法兴趣班，坚持每天练习毛笔字，他俩谁写毛笔字的速度快？ 【答案】毛毛 【分析】先分别用写毛笔字的个数除以时间，算出毛毛和豆豆每分钟各写多少个字，然后进行比较。 异分母分数比较大小，先通分成分母相同的分数，再按照同分母分数的比较方法进行比较。 【解答】毛毛：（个） 豆豆：（个） ，，＜，所以。 答：毛毛写毛笔字的速度快。 【易错专练3】王、张、李三个师傅在同一车间工作，王师傅3时做10个零件，张师傅4时做12个零件，李师傅5时做16个零件。平均每人做一个零件各用多少时间？谁的工作效率最高？ 【答案】时；时；时；王师傅 【分析】分别用时间÷零件个数，求出三个师傅平均每人做一个零件用的时间；做一个零件用的时间越少效率越高，据此比较三人做一个零件用的时间即可，异分母分数比较大小，先通分再比较。 【解答】（时） （时） （时） 、、 答：王师傅做一个零件用时，张师傅做一个零件用时，李师傅做一个零件用时。王师傅的工作效率最高。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $