精品解析：河北省沧州市泊头市2024-2025学年九年级上学期期中教学质量检测数学试题

2024—2025学年度第一学期期中教学质量检测九年级 数学试卷（BT） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，那么下列等式中一定正确的是 （ ） A B. C. D. 3. 中，，，则的值（    ） A B. C. D. 4. 方程的解是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 某公司全体职工的月工资统计如下表： 月工资（元） 人数（人） 对于表格数据，公司的普通职工最关注的统计量是（ ） A. 中位数和众数 B. 平均数和众数 C. 平均数和中位数 D. 平均数和方差 6. 若，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 红河州博物馆拟招聘一名优秀志愿讲解员，其中小刚笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为92分、96分、90分．综合成绩中笔试占，试讲占、面试占，那么小刚最后得分为（ ） A. 92分 B. 93.4分 C. 93.6分 D. 94分 8. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，，，．将沿图中的剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 10. 某班级举办了一次生物实验操作竞赛，满分10分，这次竞赛中，甲、乙两组学生成绩如下（单位：分）：甲：4，6，7，9，9，10；乙：6，6，8，8，8，9．其中9分及9分以上为优秀，则下列说法正确的是（ ） A. 甲组平均成绩高于乙组 B. 甲组成绩比乙组更稳定 C. 甲组成绩中位数与乙组相同 D. 乙组成绩优秀率更高 11. 如图，小乐和小静一起从点出发去拍摄木棉树．小乐沿着水平面步行17m到达点时拍到树顶点，仰角为；小静沿着坡度的斜坡步行13m到达点C时拍到树顶点F，仰角为，那么这棵木棉树的高度约（ ）m．（结果精确到1m）（参考数据：，，） A. 22 B. 21 C. 20 D. 19 12. 如图，在矩形中，，点在上，将沿直线折叠，使点A恰好落在上的点处，连接，分别与矩形的两条对角线交于点和点，则下列结论错误的是（ ）． A. 是等腰直角三角形 B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 若一组数据3，x，4，5，6的众数是5，则这组数据的中位数是________． 14. 关于的一元二次方程的常数项为，则的值是______． 15. 如图，广场上有一盏路灯挂在高的电线杆顶上，记电线杆的底部为，把路灯看成一个点光源，身高的小明站在点处，且，当小明沿直线，向路灯方向移动后，他的影长缩短了______． 16. 定义：一元二次方程是一元二次方程的倒方程．则有下列四个结论： ①如果是的倒方程的解，则； ②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根； ③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解； ④如果一元二次方程与它的倒方程有相同的根，那么这个根一定是． 其中正确的结论是______．（填序号） 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 某校德育处组织三好学生评比活动，每班只有一个名额．现某班有甲、乙、丙三名学生参与竞选，根据“品行规范”、“学习规范”进行量化考核，成绩（单位：分）统计如图所示．若“品行规范”、“学习规范”考核成绩均不低于三名学生的平均分的学生，才能被推选为三好学生，请通过计算判断应推选谁？ 18. 已知一元二次方程 （1）若方程有两个实数根，求m的取值范围； （2）若方程的两个实数根为， 且求m的值． 19. 如图所示，在学习《图形的相似》时，小华利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形． （1）在图中标出与的位似中心点的位置； （2）若以点为位似中心，在图中轴的左侧画出的位似图形，且与的位似比为； （3）在中，若边上一点坐标为，则点在上的对应点的坐标为 ． 20. 如图，在中，，，为上一点，，为边上一点（不与，重合），作，使交的边于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 21. 根据以下素材，探索完成任务． 如何改造硬纸板制作无盖纸盒？ 背景 学校手工社团想把一张长，宽的矩形硬纸板（如图），制作成一个高为，容积为的无盖长方体纸盒，且纸盒的长不小于（硬纸板的厚度忽略不计）． 方案 将矩形硬纸板竖着裁剪，横着裁剪（阴影部分），剩余纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形（如图）． 问题解决 方案中，当时，求的值． 22. 某校进行消防安全知识测试，如图，测试成绩分为A，B，C，D四个等级，依次记为10分，9分，8分，7分，学校随机抽取了20名学生的成绩进行整理，得到了如下信息： （1）此次测试中被抽查学生成绩的众数，中位数和平均数； （2）为了使平均数更准确一些，又从学生成绩中又抽取了10名学生的成绩，其中9分的有6个，8分的有2名，有两名学生M和N的成绩被墨水污染（不是8和9），但已知组成的新数据的平均数为8.3，求两名学生M和N的成绩，并与（1）相比众数是否发生变化． 23. 为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座高为，，支架为，面板长为，为．（厚度忽略不计） （1）求支点C离桌面的高度；（结果保留根号） （2）当面板绕点C转动时，面板与桌面夹角满足时，保护视力的效果较好．当从变化到的过程中，面板上端E离桌面的高度增加还是减少？面板上端E离桌面的高度增加或减少了多少？（结果精确到，参考数据：，，） 24. 【问题背景】一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．已知是的角平分线．求证：． （1）【初步探究】小慧想到了构造角平分线的平行线来解决问题，所以她给出的证明思路是：如图1，过点C作，交的延长线于点E，……就可以运用所学知识予以证明．请你沿着小慧提供的思路写出下面的证明过程； （2）【类比研究】小慧类比上面的思路继续研究，如图2，已知是一个外角的平分线，是否还成立？请说明理由； （3）【应用拓展】直接利用上面的结论解决问题：如图3，在中，，D是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的E点处．若，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第一学期期中教学质量检测九年级 数学试卷（BT） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可求解，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程，一般形式为． 【详解】解：、，含有两个未知数，不是一元二次方程，原选项不符合题意； 、，等号左边有分式，不是一元二次方程，原选项不符合题意； 、，是一元一次方程，原选项不符合题意； 、，是一元二次方程，原选项符合题意； 故选：． 2. 已知，那么下列等式中一定正确的是 （ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质，解题的关键是掌握内项之积等于外项之积、合比性质和等比性质．根据比例的性质分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：， ，， A、，故本选项错误，不符合题意； B、当，时，，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 3. 中，，，则的值（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理和特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 根据，，求出的值，即可求解． 【详解】解：如下图： ∵中，， ∴， ∴． 故选：C． 4. 方程的解是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，先移项得到，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可． 【详解】解：， ， 或， 所以，． 故选：B． 5. 某公司全体职工的月工资统计如下表： 月工资（元） 人数（人） 对于表格数据，公司的普通职工最关注的统计量是（ ） A. 中位数和众数 B. 平均数和众数 C 平均数和中位数 D. 平均数和方差 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了统计量的选择的知识，根据中位数、众数、平均数及极差的意义分别判断后即可得到正确的选项，解题的关键是了解有关统计量的意义． 【详解】解：∵数据的极差较大， ∴平均数不能反映数据的集中趋势， ∴普通员工最关注的数据是中位数和众数， 故选：． 6. 若，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，三角形的内角和定理．根据∽，则，最后由三角形的内角和定理计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． 7. 红河州博物馆拟招聘一名优秀志愿讲解员，其中小刚笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为92分、96分、90分．综合成绩中笔试占，试讲占、面试占，那么小刚的最后得分为（ ） A. 92分 B. 93.4分 C. 93.6分 D. 94分 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查加权平均数，根据加权平均数的定义列式计算即可 【详解】解：小刚的最后得分为分 故选：C 8. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，根据“今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元”即可列出方程． 【详解】解：设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，由题意可得 ， 故选：B 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找到等量关系，正确列出方程是解题的关键． 9. 如图，中，，，．将沿图中的剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据相似三角形的判定逐一判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴，故选项不符合题意； B、∵，， ∴，故选项不符合题意； C、由图形可知，只有，不能判断，故选项符合题意； D、∵，， ∴，故选项不符合题意； 故选：C． 10. 某班级举办了一次生物实验操作竞赛，满分10分，这次竞赛中，甲、乙两组学生成绩如下（单位：分）：甲：4，6，7，9，9，10；乙：6，6，8，8，8，9．其中9分及9分以上为优秀，则下列说法正确的是（ ） A. 甲组平均成绩高于乙组 B. 甲组成绩比乙组更稳定 C. 甲组成绩中位数与乙组相同 D. 乙组成绩优秀率更高 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平均数、方差、中位数以及优秀率，掌握各自的定义以及计算公式是解题的关键． 分别求出甲、乙两组学生成绩的平均数、方差、中位数以及优秀率即可． 【详解】解：甲组平均成绩为：分， 乙组平均成绩为：分， ∴甲组平均成绩等于乙组，A选项说法错误，不符合题意； 甲组成绩的方差为：， 乙组成绩的方差为：， ∴乙组成绩比甲组更稳定，B选项说法错误，不符合题意； 甲组成绩中位数为：， 乙组成绩中位数为：， ∴甲组成绩中位数与乙组相同，C选项说法正确，符合题意； 甲组成绩优秀率为：， 乙组成绩优秀率为：， ∴甲组成绩优秀率更高，D选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 11. 如图，小乐和小静一起从点出发去拍摄木棉树．小乐沿着水平面步行17m到达点时拍到树顶点，仰角为；小静沿着坡度的斜坡步行13m到达点C时拍到树顶点F，仰角为，那么这棵木棉树的高度约（ ）m．（结果精确到1m）（参考数据：，，） A. 22 B. 21 C. 20 D. 19 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得：，，米，再根据已知可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算可得米，米，最后设米，则米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程进行计算，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意得：，，米， 斜坡的坡度， ， 设米，则米， 在中，（米， 米， ， 解得：， 米，米， 设米， 米， 在中，， 米， 在中，， 米， ， ， 解得：， （米， 这棵木棉树的高度约为20米， 故选：C． 12. 如图，在矩形中，，点在上，将沿直线折叠，使点A恰好落在上的点处，连接，分别与矩形的两条对角线交于点和点，则下列结论错误的是（ ）． A. 是等腰直角三角形 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正弦的定义等知识点，灵活运用相关性质和判定成为解题的关键． 根据折叠的性质和矩形的性质可判定A选项；根据折叠的性质以及相似三角形的判定与性质可得判定B选项；根据平行线等分线段定理可判定C选项；如图，过点作于点，再求得、，然后运用正弦的定义即可解答． 【详解】解：将沿直线折叠， ， ， ， 是等腰直角三角形，故选项A正确，不符合题意； ， ， 将沿直线折叠， ， ， ， ， ，故选项B正确，不符合题意；， ， ， ， ，故选项C正确，不符合题意； 如图，过点作于点， ， ． ， ， ， ， ． 故选项D错误． 故选D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 若一组数据3，x，4，5，6的众数是5，则这组数据的中位数是________． 【答案】5 【解析】 【分析】先根据众数是5得到，把数据从小到大排列后按照中位数的定义即可得到答案． 【详解】解：∵一组数据3，x，4，5，6的众数是5， ∴， 把数据从小到大排列后可得，3，4，5，5，6, ∴这组数据的中位数是5， 故答案为：5 【点睛】此题考查了众数和中位数，熟练掌握众数和中位数的求法是解题的关键． 14. 关于的一元二次方程的常数项为，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的概念，由题意常数项为0，可得，根据一元二次方程的定义得出，即可求解． 【详解】解：∵的一元二次方程的常数项为， ∴且， ∴ 故答案为：． 15. 如图，广场上有一盏路灯挂在高的电线杆顶上，记电线杆的底部为，把路灯看成一个点光源，身高的小明站在点处，且，当小明沿直线，向路灯方向移动后，他的影长缩短了______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据相似三角形的判定和性质定理得到的长，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，∵， ∴， ∴即 解得： 当小明沿直线，向路灯方向移动后，设小明站在点处， 同理可得则 解得： ∴他的影长缩短了 故答案为：． 16. 定义：一元二次方程是一元二次方程的倒方程．则有下列四个结论： ①如果是的倒方程的解，则； ②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根； ③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解； ④如果一元二次方程与它的倒方程有相同的根，那么这个根一定是． 其中正确的结论是______．（填序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】①将代入的倒方程求出的值即可作出判断； ②利用和根的判别式进行判断即可； ③确定倒方程的判别式与零的关系即可作出判断； ④解一元二次方程与它的倒方程构成的方程组即可作出判断； 【详解】解：①∵的倒方程是， 又∵是的倒方程的解， ∴， 解得：，故结论①正确； ②一元二次方程是一元二次方程的倒方程， ∵， ∴， ∴这两个方程都有两个不相等的实数根，故结论②正确； ③∵一元二次方程无解， ∴， ∴， ∵一元二次方程倒方程是， 又∵， ∴它的倒方程也无解，故结论③正确； ④∵一元二次方程与它的倒方程有相同的根， ∴ 解得：， ∴这个根一定是，故结论④错误， 综上所述，正确的结论是①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查倒方程的定义，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，解一元一次方程，解方程组．解题的关键是掌握：式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 某校德育处组织三好学生评比活动，每班只有一个名额．现某班有甲、乙、丙三名学生参与竞选，根据“品行规范”、“学习规范”进行量化考核，成绩（单位：分）统计如图所示．若“品行规范”、“学习规范”考核成绩均不低于三名学生的平均分的学生，才能被推选为三好学生，请通过计算判断应推选谁？ 【答案】应推选乙 【解析】 【分析】本题主要考查平均数，根据题意，分别求出“品行规范”的平均数，“学习规范”的平均分，进行比较即可求解； 【详解】解：“品行规范”的平均分为：（分）， ∴甲、乙两位同学的品行规范得分不低于平均分； “学习规范”的平均分为：（分）， ∴乙、丙两位同学的学习规范得分不低于平均分； ∴两项均满足的为乙同学， ∴应推选乙． 18. 已知一元二次方程 （1）若方程有两个实数根，求m的取值范围； （2）若方程的两个实数根为， 且求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、一元二次方程的根与系数的关系等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）结合该一元二次方程有两个实数根，由一元二次方程的根的判别式列出不等式并求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可知，，结合，求出m的值即可获得答案． 【小问1详解】 解：在方程中，， 当方程有两个实数根时，， ∴ 解得：； 【小问2详解】 解：由根与系数的关系得：， ∵ ， ∴， 解得：， 由（1）可知 ， ∴． 19. 如图所示，在学习《图形的相似》时，小华利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形． （1）在图中标出与的位似中心点的位置； （2）若以点为位似中心，在图中轴的左侧画出的位似图形，且与的位似比为； （3）在中，若边上一点的坐标为，则点在上的对应点的坐标为 ． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了作图-位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．也考查了位似的性质． 连接、、，、、的交点就是位似中心； 连接、、，分别取、、的中点、、，连接、、得到，即为所求； 因为与的位似比为，点的坐标为，则点在上的对应点的坐标为． 【小问1详解】 解：如下图所示，连接、、， 、、的交点就是位似中心； 小问2详解】 解：如下图所示，连接、、， 分别取、、的中点、、， 连接、、得到， 即为所求； 【小问3详解】 解：与的位似比为，点的坐标为， 则点在上的对应点的坐标为． 20. 如图，在中，，，为上一点，，为边上一点（不与，重合），作，使交的边于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质证明即可； （）先由已知和勾股定理分别求出，，，再根据相似三角形的性质得到，进而求解即可； 本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的外角性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵在中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴， 即， 解得：． 21. 根据以下素材，探索完成任务． 如何改造硬纸板制作无盖纸盒？ 背景 学校手工社团想把一张长，宽的矩形硬纸板（如图），制作成一个高为，容积为的无盖长方体纸盒，且纸盒的长不小于（硬纸板的厚度忽略不计）． 方案 将矩形硬纸板竖着裁剪，横着裁剪（阴影部分），剩余纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形（如图）． 问题解决 方案中，当时，求的值． 【答案】的值为． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程，求出的值，再进行验证即可，解题的关键是根据等量关系列出方程． 【详解】解：当时，根据题意得： ，解得：，， 当时，盒子的长为，符合题意； 当时，盒子的长为，不符合题意，应舍去； ∴的值为． 22. 某校进行消防安全知识测试，如图，测试成绩分为A，B，C，D四个等级，依次记为10分，9分，8分，7分，学校随机抽取了20名学生的成绩进行整理，得到了如下信息： （1）此次测试中被抽查学生成绩的众数，中位数和平均数； （2）为了使平均数更准确一些，又从学生成绩中又抽取了10名学生的成绩，其中9分的有6个，8分的有2名，有两名学生M和N的成绩被墨水污染（不是8和9），但已知组成的新数据的平均数为8.3，求两名学生M和N的成绩，并与（1）相比众数是否发生变化． 【答案】（1）众数为7分，中位数为8分，平均数为分 （2）M和N的成绩分别为10分和7分，众数没有发生变化 【解析】 【分析】本题考查了众数，中位数，平均数的求解，熟练掌握相关定义是解题关键． （1）根据众数，中位数，平均数的定义进行求解即可； （2）先求出剩下的2名成绩的平均数，从而得出两名学生的成绩，再根据众数定义进行求解即可． 【小问1详解】 解：由条形图可知，抽查学生的成绩7分的有8人，人数最多， 众数为7， 此次抽测的学生为20名，第10，11名的学生分数都为8分， 中位数为分， 平均数为； 【小问2详解】 解：后来抽取的10名学生的剩下的2名成绩的平均数， 所以这两名学生M和N的成绩分别为10分和7分， 原来一组数据的众数为7，后来组成的新数据的众数为7，所以众数没有发生变化． 23. 为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座高为，，支架为，面板长为，为．（厚度忽略不计） （1）求支点C离桌面的高度；（结果保留根号） （2）当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角满足时，保护视力的效果较好．当从变化到的过程中，面板上端E离桌面的高度增加还是减少？面板上端E离桌面的高度增加或减少了多少？（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】（1） （2）高度是增加了，增加了约 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）过点C作于点F，过点B作于点M，则四边形为矩形，可得，．求出，解直角三角形求出的长，即可得解； （2）过点C作，过点E作于点H，分别求出从变化到的过程中的值，即可得解． 【小问1详解】 解：过点C作于点F，过点B作于点M， ∴． 由题意得，， ∴四边形为矩形， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 答：支点C离桌面的高度为． 【小问2详解】 解：过点C作，过点E作于点H， ∴． ∵，， ∴． 当时，； 当时，； ∴ ∴当从变化到的过程中，面板上端E离桌面的高度是增加了，增加了约． 24. 【问题背景】一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．已知是的角平分线．求证：． （1）【初步探究】小慧想到了构造角平分线的平行线来解决问题，所以她给出的证明思路是：如图1，过点C作，交的延长线于点E，……就可以运用所学知识予以证明．请你沿着小慧提供的思路写出下面的证明过程； （2）【类比研究】小慧类比上面的思路继续研究，如图2，已知是一个外角的平分线，是否还成立？请说明理由； （3）【应用拓展】直接利用上面结论解决问题：如图3，在中，，D是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的E点处．若，，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析 （2）成立，见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理可得，角平分线的概念和平行线性质可得出，再根据等角对等边得出，最后根据等量代换即可得证； （2）过点C作，交于点E，根据平行线分线段成比例定理可得，角平分线的概念和平行线性质可得出，再根据等角对等边得出，最后根据等量代换即可得证； （3）由勾股定理可得，由折叠的性质得出，，由（1）知，，从而求得，即可得出答案． 【小问1详解】 证明：∵ ，， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 成立；理由如下： 过点C作，交于点E， 证明： ，， 是的角平分线， ， ， ； ， ， ； 【小问3详解】 在中，，，， ， 由折叠性质可知：，， 由（1）可知：， ． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握相关性质定理、灵活转化比例关系是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$