精品解析：黑龙江省大庆市2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

大庆市靓湖学校九年级期中考试 数学试题 答题时间：120分钟 总分：120分 一、选择题（本题10小题，每小题3分，共计30分） 1. “白日不到处，青春恰自来；苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值．苔花也被称为“坚韧之花”．袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的苍蒴，某孢子体的苍蒴直径约为，将数据0.0000086用科学记数法表示为，则的值是（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查用科学记数法表示较小的数，将一个数表示成的形式，其中，为整数，据此解答即可． 【详解】解：， 所以，， 故选：D． 2. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕着某个定点旋转后能与原图重合，这样的图形叫做中心对称图形．解题关键是熟记中心对称图形的概念．根据中心对称图形的概念即可求解． 【详解】解：A、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、选项中的图形是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 3. 下列说法正确的是（　　） A. 三点确定一个圆 B. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 C. 相等的圆心角所对的弦相等 D. 平分弦的直径垂直于弦． 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆的确定，三角形的外心，弧，弦，角的关系，垂径定理，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、不在同一条直线上的三个点确定一个圆，原说法错误，不符合题意； B、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，原说法正确，符合题意； C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，原说法错误，不符合题意； D、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原说法错误，不符合题意； 故选B． 4. 如图，四边形内接于，，，，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，平行线的性质等等，先根据等边对等角和三角形内角和定理得到，再由圆内接四边形对角互补求出，进而由平行线的性质得到，据此可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 5. 已知点在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征及反比例函数的性质， 根据点在反比例函数的图像上，求出的值，得到反比例函数解析式，再根据反比例函数的增减性可得结论．求出反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】解：∵点在反比例函数的图像上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∴图像位于一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， 当时，， ∴当时，． 故选：C． 6. 如图，是的切线，B为切点，连接交于点C，延长交于点D，连接，若，且，则的长是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由圆周角定理可得，等量代换可得，进而可得，根据切线的定义得出，利用勾股定理求出，则． 【详解】解：如图，连接． 由圆周角定理可得， ， ， ， ， ． 是的切线， ， ． ． 故选：D． 【点睛】本题考查圆周角定理，切线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定等，难度不大，解题的关键是先利用圆周角定理得出，进而利用上述知识点逐步求解． 7. ∠BAC放在正方形网格纸的位置如图，则tan∠BAC的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接CD，再利用勾股定理分别计算出AD、AC、BD的长，然后再根据勾股定理逆定理证明∠ADC=90°，再利用三角函数定义可得答案． 【详解】连接CD，如图： ，CD=，AC= ∵，∴∠ADC=90°，∴tan∠BAC==． 故选D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理逆定理，以及锐角三角函数定义，关键是证明∠ADC=90°． 8. 如图，在中，是直径，点是圆上一点，在的延长线上取一点，是的切线，若，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，由切线的性质，三角形内角和定理求出，再利用圆周角定理和圆的性质求得是等边三角形，结合直径所对的圆周角，利用勾股定理求得， 然后利用直角三角形的面积减去扇形的面积求解． 【详解】解：连接，如下图 ∵是的切线， ∴，即， ∴， ， ． ， ， ． ∴，， 是等边三角形， ． 在中，是直径， ， ， 即， ， ， ∴阴影部分的面积 ． 故选：D． 【点晴】本题主要考查圆周角定理，切线的性质，扇形的面积公式，等腰三角形的性质，三角形的面积，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握性质，作出辅助线是解题关键． 9. 已知二次函数(其中是自变量)的图象与轴没有公共点，且当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线与轴没有公共点，可得，求得，求出抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，再结合已知当时，随的增大而减小，可得，据此即可求得答案. 【详解】， 抛物线与轴没有公共点， ，解得， 抛物线的对称轴为直线 ，抛物线开口向上， 而当时，随的增大而减小， ， 实数的取值范围是， 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与x轴交点问题，抛物线的对称轴，二次函数图象的增减性，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 10. 如图，是的直径，弦是下半圆上一个动点，E为的中点，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，垂径定理，确定圆心，连接，则是等边三角形，即可得到，然后根据弦的中点得到，即可得到点在以为直径的圆上运动，然后计算最值即可． 【详解】解：连接. ∵ 为的中点, ， ∴点在以为直径的圆上运动. ， 是等边三角形， ， 取的中点， 则 的半径为, ∴的最小值为， 故选A． 二、填空题（本题8小题，每小题3分，共计24分） 11. 因式分解：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查提取公因式法因式分解，利用提取公因式法因式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 12. 使二次根式有意义的a的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 由题意得，，计算求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得，， 故答案为：． 13. 已知⊙O的半径为，则长为的弦所对的圆周角的度数为 _______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理，在解答此题时要进行分类讨论，首先根据题意画出图形，由垂直于，利用垂径定理得到为的中点，求出的长，在中，利用勾股定理求出，确定出为等腰直角三角形，同理为等腰直角三角形，确定出度数，利用圆周角定理即可求出与的度数． 【详解】解：如图所示， ， 为的中点，即， 在中，，， ， ， 为等腰直角三角形， ， 同理， ， 与分别是所对的圆心角和圆周角， ， 大角， ， 弦所对的圆周角为或． 故答案为：或． 14. 如果一个扇形的圆心角为，面积是，那么这个扇形的弧长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查扇形的面积公式、弧长的求解，掌握相关计算方法是解题的关键． 设扇形所在圆的半径为r，根据题意，得，解得（舍去），根据弧长公式，得即可求解． 【详解】解：设扇形所在圆的半径为r， 根据题意，得， 解得（舍去）， 根据弧长公式，得． 故答案为：． 15. 如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，过点作轴于，连接，与相交于点，若，则的值为______． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数的几何意义，矩形的判定和性质，过点作轴于，延长线段，交轴于，得出四边形是矩形，四边形是矩形，得出，，由，得到，即可求得矩形的面积，根据反比例函数系数的几何意义即可求得的值． 【详解】解：过点作轴于，延长线段，交轴于， ∵轴， 轴， 四边形是矩形，四边形是矩形， ，， ， 点在双曲线上， ， 同理， ∵， ∴， ∴ ， ， 故答案为：24． 16. 如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为M，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，设抛物线为，把点，代入即可求出解析式；当时，求得x的值，即为实心球被推出的水平距离． 【详解】解：以点O为坐标原点，射线方向为x轴正半轴，射线方向为y轴正半轴，建立平面直角坐标系， ∵出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是． 设抛物线解析式为：， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为：； 当时，， 解得，（舍去），， 即此次实心球被推出的水平距离为． 故答案为： 17. 如图所示，在直角坐标系中放置一个矩形，其中，将矩形沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A离开原点后第一次落在x轴上时，点A运动的路径线与x轴围成的面积为_______．（结果用含π的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、旋转的性质、扇形的面积公式等知识，正确作出图形是解题的关键． 根据图象可知这个面积是3个扇形面积+两个三角形的面积，再根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可． 【详解】解：点A运动的路径如图所示，见图中弧线． 由图象可知，点A运动的路径线与x轴围成的面积． 故答案为:． 18. 已知的半径为4，是上两定点，点A是上一动点，且，的平分线交于点D，过点D作的平行线交的延长线于点F．下列说法中正确的是______． ①的最大值是8；②点D为上一定点；③的最大值是；④与相交；⑤若为锐角三角形，则． 【答案】①②⑤ 【解析】 【分析】①由圆周角定理可知，当在优弧的中点时，为最大值，即可得出结论， ②由的平分线交于点D，，可得，再由是上两定点即可得出结论， ③当时，最大，再由勾股定理求出高，即可求出面积得出结论， ④连接，根据平行线的性质和切线的定义，得出DF与相切，即可得出结论， ⑤分别求出时，，时，，即可得出为锐角三角形的范围． 【详解】解：①当在优弧的中点时， 为直径，值最大，最大值为，故①正确． ②的平分线交于点D，， ， ， 是上两定点， 点D为上一定点，故②正确． ③是上两定点， 的长度不变， 则当时，的高最大， 设与交于点，连接， ， ， ， ， ，， , ， ，故③不正确． ④连接， ， ， ， ， 为的半径， 为圆的切线，故④不正确． ⑤如图，与交于点，当时，为直径， ， ， ， ，， ， ， ， 四边形为矩形， ， 如图，连接，，为直径， ， ， ， ， 为等边三角形， ， 同理可得，， ， ， ， ， 若为锐角三角形，则，故⑤正确． 正确的有①②⑤． 故答案为：①②⑤． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，圆周角定理的应用，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，做出合适的辅助线，清晰的分类讨论是解本题的关键． 三、解答题（本题10小题，共计66分） 19. 计算：． 【答案】． 【解析】 【分析】直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质和算术平方根的性质分别化简得出答案． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了实数运算和特殊角的三角函数值，正确化简各数是解题关键． 20. 先化简，再求值：，其中， 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算括号内分式的减法运算，再计算除法运算，最后把代入计算即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 21. 解分式方程： 【答案】 【解析】 【分析】先去分母，再移项，合并同类项，系数化为1，然后检验即可． 【详解】解：原方程变形为， 方程两边同时乘，得， 移项合并同类项，得， 解得， 经检验，当时，，因此是原分式方程的解． 22. 如图，为⊙O的直径，弦于点E，连接 （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．以及勾股定理．熟记相关结论是解题关键． （1）根据等弧对等角证明即可； （2）连接，根据垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，然后计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴, 在中， ∴ ∴ 23. 如图，海中有一个小岛C，某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达B点，测得小岛C位于北偏西方向上，再沿北偏东方向继续航行一段时间后到达D点，这时测得小岛C位于北偏西方向上．已知A，C相距30n mile．求C，D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）． 【答案】C，D间的距离为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．作于点，利用方向角的定义求得，，，证明是等腰直角三角形，在中，求得的长，再证明，，在中，利用三角函数的定义即可求解． 【详解】解：作于点， 由题意得，，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 在中，， 在中，，， 在中，， 答：C，D间的距离为． 24. 某公司以每件40元的价格购进一种商品，在销售过程中发现这种商品每天的销售量y（件）与每件的销售单价x（元）满足一次函数关系:y＝﹣2x+140（x＞40）． （1）当x＝50时，总利润为 　 　元； （2）若设总利润为w元，则w与x的函数关系式是 　 　； （3）若每天的销售量不少于38件，则销售单价定为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）（元）； （2）； （3）销售单价定为51元时，利润最大，最大利润是418元 【解析】 【分析】（1）将代入一次函数解析式可得销售量，然后根据每件的利润乘以数量即为总利润即可得； （2）根据利润=销售数量×每件的利润可得，把代入整理即可得w与x的函数关系式； （3）由每天的销售量不少于38件，可得，进而可求出；根据（2）中结论整理为顶点式，根据二次函数的基本性质可得，当时，w随x的增大而增大，所以当时，w有最大值，代入求解即可得． 【小问1详解】 解：当时， ， ∴销售量为40件， 利润为：（元）， 故答案为：400； 【小问2详解】 解：由题意得： ， ， ， ∴w与x的函数关系式为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 解得：； ， ∵， ∴当时，w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为：（元）， ∴销售单价定为51元时，利润最大，最大利润是418元． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用及二次函数求最值问题的知识，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 25. 高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”阅读可以启智增慧，拓展视野．为了解学生寒假阅读情况，开学初学校进行了问卷调查，并对部分学生假期（28天）的阅读总时间作了随机抽样分析，设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为t（小时），阅读总时间分为四个类别：A（），B（），C（），D（），将分类结果制成两幅统计图（尚不完整）．根据以上信息，回答下列问题： （1）请补全条形统计图； （2）扇形统计图中a的值为________； （3）若该校有2000名学生，估计寒假阅读总时间少于24小时的学生有多少名？ （4）政教处决定从本次调查阅读时长前四名学生甲、乙、丙、丁中，随机抽取2名同学参加该校“阅读之星”竞选，请用树状图或列表法求恰好选中甲和乙的概率． 【答案】（1） 补全条形统计图如下： （2） （3）估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有1000名 （4） 【解析】 【分析】本题主要考查条形统计图与扇形统计图及概率，熟练掌握条形统计图与扇形统计图及概率是解题的关键； （1）由统计图可得D组人数和所占百分比，则可求抽样总人数，进而问题可求解； （2）由（1）及统计图可知A组人数及抽样总人数，然后问题可求解； （3）由题意可得时间不少于24小时的学生所占百分比，进而问题可求解； （4）根据树状图可进行求解概率 【小问1详解】 解：本次抽样的学生人数为：（人）， ∴C组的人数为：（人）， 【小问2详解】 解：A组所占的百分比为：， ∴， 【小问3详解】 解：（名）． 答：估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有1000名． 【小问4详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙的结果有2种． ∴恰好选中甲和乙的概率为． 26. 如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）点坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点坐标代入反比例函数解析式，求出，再将点坐标代入反比例函数解析式，求出点坐标，最后将，两点坐标代入一次函数解析式即可解决问题； （2）利用反比例函数以及一次函数图象，即可解决问题； （3）根据与的面积关系，可求出点的纵坐标，据此可解决问题． 【小问1详解】 解：将代入得， ∴， 反比例函数的解析式为， 将代入得，， 点的坐标为． 将点和点的坐标代入得， ， 解得， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：根据所给函数图象可知， 当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即， 不等式的解集为：或． 【小问3详解】 解：将代入得，， 点的坐标为， ， ． 将代入得，， 点的坐标为， ， 解得． ∵点在第三象限， ∴， 将代入得，， 点坐标为． 27. 如图，是的直径，点C是上的一点，点P是延长线上的一点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，求证：； （3）若于D，，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； （2） 证明：∵， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）首先由直径得到，然后利用等边对等角得到，等量代换得到，进而证明即可； （2）利用得到，求出，然后利用直角三角形两锐角互余得到，进而求解即可； （3）设，证明出，得到，然后表示出，然后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设， 在中，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 即，整理得， 解得，（舍去）， 故． 【点睛】此题考查了直径的性质，切线的判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． 28. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的表达式； （2）当点在直线下方的抛物线上时，过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为t，的长为，请写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （3）连接，交于点，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出，再用待定系数法求出直线的解析式为：，可得出，，从而可得，再求出自变量取值范围即可； （3）分四种情形：当时，作，交于，可得出，从而，进而得出，进一步得出结果；当，和时，可得出没有最大值． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于，两点， ， 解得， 该抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：二次函数中，令，则， ， 设直线的解析式为：．将，代入得到： ，解得， 直线的解析式为：， 过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为t， ，， ， 点在直线下方的抛物线上， ； 【小问3详解】 解：如图1， 当时， 作，交于， ， ， 把代入得， ， ， ， 当时，， ， ， 如图2， 当时， 此时， ， 时，随着的增大而增大， 没有最大值， 没有最大值， 如图3， 当时， ， 当时，随着的增大而减小， 没有最大值， 没有最大值， 如图4， 当时， 由上可知， 没有最大值， 综上所述：当时，． 【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆市靓湖学校九年级期中考试 数学试题 答题时间：120分钟 总分：120分 一、选择题（本题10小题，每小题3分，共计30分） 1. “白日不到处，青春恰自来；苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值．苔花也被称为“坚韧之花”．袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的苍蒴，某孢子体的苍蒴直径约为，将数据0.0000086用科学记数法表示为，则的值是（ ） A. 6 B. C. D. 2. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（　　） A. 三点确定一个圆 B. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 C. 相等的圆心角所对的弦相等 D. 平分弦的直径垂直于弦． 4. 如图，四边形内接于，，，，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的切线，B为切点，连接交于点C，延长交于点D，连接，若，且，则的长是（ ） A. 1 B. C. D. 7. ∠BAC放在正方形网格纸的位置如图，则tan∠BAC的值为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在中，是直径，点是圆上一点，在的延长线上取一点，是的切线，若，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数(其中是自变量)的图象与轴没有公共点，且当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是(　　) A. B. C. D. 10. 如图，是的直径，弦是下半圆上一个动点，E为的中点，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题8小题，每小题3分，共计24分） 11. 因式分解：_______． 12. 使二次根式有意义的a的取值范围是______． 13. 已知⊙O的半径为，则长为的弦所对的圆周角的度数为 _______． 14. 如果一个扇形的圆心角为，面积是，那么这个扇形的弧长是______． 15. 如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，过点作轴于，连接，与相交于点，若，则的值为______． 16. 如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为M，则______． 17. 如图所示，在直角坐标系中放置一个矩形，其中，将矩形沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A离开原点后第一次落在x轴上时，点A运动的路径线与x轴围成的面积为_______．（结果用含π的式子表示） 18. 已知的半径为4，是上两定点，点A是上一动点，且，的平分线交于点D，过点D作的平行线交的延长线于点F．下列说法中正确的是______． ①的最大值是8；②点D为上一定点；③的最大值是；④与相交；⑤若为锐角三角形，则． 三、解答题（本题10小题，共计66分） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中， 21. 解分式方程： 22. 如图，为⊙O的直径，弦于点E，连接 （1）求证：； （2）若，求的长． 23. 如图，海中有一个小岛C，某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达B点，测得小岛C位于北偏西方向上，再沿北偏东方向继续航行一段时间后到达D点，这时测得小岛C位于北偏西方向上．已知A，C相距30n mile．求C，D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）． 24. 某公司以每件40元的价格购进一种商品，在销售过程中发现这种商品每天的销售量y（件）与每件的销售单价x（元）满足一次函数关系:y＝﹣2x+140（x＞40）． （1）当x＝50时，总利润为 　 　元； （2）若设总利润为w元，则w与x的函数关系式是 　 　； （3）若每天的销售量不少于38件，则销售单价定为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？ 25. 高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”阅读可以启智增慧，拓展视野．为了解学生寒假阅读情况，开学初学校进行了问卷调查，并对部分学生假期（28天）的阅读总时间作了随机抽样分析，设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为t（小时），阅读总时间分为四个类别：A（），B（），C（），D（），将分类结果制成两幅统计图（尚不完整）．根据以上信息，回答下列问题： （1）请补全条形统计图； （2）扇形统计图中a的值为________； （3）若该校有2000名学生，估计寒假阅读总时间少于24小时的学生有多少名？ （4）政教处决定从本次调查阅读时长前四名学生甲、乙、丙、丁中，随机抽取2名同学参加该校“阅读之星”竞选，请用树状图或列表法求恰好选中甲和乙的概率． 26. 如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标． 27. 如图，是的直径，点C是上的一点，点P是延长线上的一点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，求证：； （3）若于D，，，求的长． 28. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的表达式； （2）当点在直线下方的抛物线上时，过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为t，的长为，请写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （3）连接，交于点，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $