精品解析：黑龙江省鸡西市虎林市高级中学、鸡东县第二中学等三校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷

2024-2025年度第一学期三校联考 高二数学期中考试试题 考试时间：120分钟 试卷分值：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 经过椭圆的右焦点的直线交椭圆于，两点，是椭圆的左焦点，则的周长是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 20 3. 已知平面的法向量，平面的法向量，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 4. 已知圆与圆外切，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 抛物线的准线为l，M为上的动点，则点到与到直线的距离之和的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆与直线交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为在第一象限上的一点，若为直角三角形，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点P是椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，若，则下列说法正确的是（    ） A. 的面积为 B. 内切圆的面积为 C. 点P的纵坐标为 D. 若点M是椭圆上一动点，则的最大值为9 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有错选的得0分） 9. 已知双曲线的左、右顶点分别为，右焦点为，为上异于顶点的动点，则下列说法正确的有（    ） A. 双曲线的离心率为 B. 双曲线的渐近线方程为 C. 点到渐近线的距离为4 D. 直线与直线的斜率乘积为 10. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD，四边形ABCD是边长为2的菱形，且，，M，N分别是棱，的中点，则（ ） A. B. C. 平面平面 D. 直线PB与平面PAD所成角的正弦值为 11. 设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，若直线为的准线，则（ ） A. B. C. 以为直径的圆与相切 D. 为等腰三角形 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知双曲线C的方程为，则的取值范围为_____________． 13. 已知向量，，，则______． 14. 已知是椭圆上动点，则点到直线的距离的最大值为________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 求适合下列条件的曲线的标准方程： （1）已知动点到定点的距离和到定直线：的距离的比是常数，记点的轨迹为曲线．求曲线的标准方程； （2）求过点，的双曲线的标准方程． 16. 已知直线与圆交于，两点，且. （1）求实数的值； （2）若点为直线上的动点，求的面积. 17. 如图，四棱锥的底面是正方形，且，.四棱锥的体积为. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知双曲线，斜率为的直线过点. （1）若，且直线与双曲线只有一个公共点，求的值； （2）双曲线上有一点，的夹角为，求三角形的面积. 19. 已知椭圆的左右焦点分别为，，左顶点为，上顶点为，且，动直线与椭圆交于，两点；当直线过焦点且与轴垂直时，. （1）求椭圆的方程； （2）若直线过点，当面积为时，求直线的斜率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025年度第一学期三校联考 高二数学期中考试试题 考试时间：120分钟 试卷分值：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定抛物线的标准方程，即可求得答案. 【详解】由抛物线方程，可知抛物线标准方程为， 则，故焦点坐标为. 故选：C. 2. 经过椭圆的右焦点的直线交椭圆于，两点，是椭圆的左焦点，则的周长是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】为焦点三角形，周长等于两个长轴长，再根据椭圆方程，即可求出的周长． 【详解】 为椭圆的两个焦点， ， 的周长为． 故选：D． 3. 已知平面的法向量，平面的法向量，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由题设知，结合它们的坐标得即可求，进而求. 【详解】由，知：，则，解得，，故. 故选：C 4. 已知圆与圆外切，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】两圆外切时，两圆的圆心距等于两圆半径之和.先求出两圆的圆心坐标和半径，再根据两圆外切的性质列出等式求解的值. 【详解】对于圆，其圆心坐标，半径. 对于圆，即， 其圆心坐标，半径， 因为两圆外切，所以两圆的圆心距等于两圆半径之和. 两圆的圆心距， 根据两圆外切性质，即，解得. 故选：B. 5. 抛物线的准线为l，M为上的动点，则点到与到直线的距离之和的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线的定义将问题转化为焦点到直线的距离即可求解. 【详解】 如图，抛物线的焦点为, 根据抛物线的定义可知，点到的距离等于, 所以点到与到直线的距离之和即为与到直线的距离之和， 由图可知，与到直线的距离之和的最小值为焦点到直线的距离， 所以即为所求， 故选: D. 6. 已知椭圆与直线交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设点，利用题设条件得出利用点差法得到 ，代入结论整理得直线的斜率，即可求出直线的方程. 【详解】设点，因点为线段的中点，则（*） 又在椭圆上，则 ①， ② ， 由，可得， 将（*）代入，化简得，即，可知直线的斜率为， 故直线的方程为：，即. 故选：B. 7. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为在第一象限上的一点，若为直角三角形，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线定义以及为直角三角形，可得，再结合，即可联立得到，进而求出离心率. 【详解】由题知，， 因为点为在第一象限上的一点，所以，则， 又为直角三角形，所以不可能为， 若，则， 即，可得，无解，此时不存在， 所以，即， 所以，即， 所以，. 故选：C. 8. 已知点P是椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，若，则下列说法正确的是（    ） A. 的面积为 B. 内切圆的面积为 C. 点P的纵坐标为 D. 若点M是椭圆上一动点，则的最大值为9 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义和余弦定理求出即可判断A，根据三角形面积求出内切圆半径即可判定B，根据三角形面积建立关系求解判断C，根据椭圆的有界性可判断D. 【详解】对于A：根据椭圆定义可得，则， 在中，由余弦定理， 由①②可得， 所以得面积为，故A错误； 对于B：设内切圆半径为，因为的面积为， 所以，即，解得， 所以内切圆的面积为，故B正确； 对于C：因为的面积为，则， 解得，故C错误； 对于D：设，则，， ， 则当时，的最大值为5，故D错误； 故选：B. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有错选的得0分） 9. 已知双曲线的左、右顶点分别为，右焦点为，为上异于顶点的动点，则下列说法正确的有（    ） A. 双曲线的离心率为 B. 双曲线的渐近线方程为 C. 点到渐近线的距离为4 D. 直线与直线的斜率乘积为 【答案】BD 【解析】 【分析】综合运用双曲线的简单几何性质及点到直线距离公式、直线的斜率公式求解即可. 【详解】由双曲线知，，， 对于A，双曲线的离心率为，故A错误； 对于B，双曲线的渐近线方程为，即，故B正确； 对于C，点到渐近线的距离为，故C错误； 对于D，设，则，即，所以，即直线与直线的斜率乘积为，故D正确； 故选：BD. 10. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD，四边形ABCD是边长为2的菱形，且，，M，N分别是棱，的中点，则（ ） A. B. C. 平面平面 D. 直线PB与平面PAD所成角的正弦值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立适当的空间直角坐标系，由模长公式可验算A，由数量积的运算律可验算B，求出两个平面的法向量验算其数量积即可；对于D，求出直线方向向量与平面法向量即可验算. 【详解】由题意过点作于点，因为平面，平面， 所以， 因为，所以， 所以两两互相垂直， 故以为原点分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系： 因为， 所以， ， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，显然的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 而， 从而，令，解得， 所以， 所以，故C正确； 对于D，,设平面PAD的一个法向量为， 则，令，解得， 所以的一个法向量为，而， 从而，则直线与平面所成角的正弦值为，故D正确. 故选：BCD. 11. 设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，若直线为的准线，则（ ） A. B. C. 以为直径的圆与相切 D. 为等腰三角形 【答案】BC 【解析】 【分析】先求得焦点坐标，进而求得抛物线方程，根据弦长公式、直线和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由直线，令，解得，所以抛物线的焦点， 所以，所以A选项错误，抛物线方程为，准线为， 由消去并化简得， 解得，所以，B选项正确. 由上述分析可知，中点， 其到准线的距离是，所以以为直径的圆与相切， C选项正确. ， 所以三角形不是等腰三角形，D选项错误. 故选：BC 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知双曲线C的方程为，则的取值范围为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的方程特点可得不等式，解之即得. 【详解】由双曲线方程特点知：，解得， 故的取值范围为. 故答案为：. 13. 已知向量，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的模计算，再计算数量积得到答案. 【详解】，，解得，故， . 故答案为： 14. 已知是椭圆上动点，则点到直线的距离的最大值为________. 【答案】## 【解析】 【分析】找到与平行，且与椭圆相切的最远的一条直线，利用平行线的距离公式求距离的最大值. 【详解】要使点到直线的距离最大，只要找到与平行，且与椭圆相切的最远的一条直线， 令与平行且与椭圆相切的直线为， 联立，消去整理得， 由，即，解得或， 对于直线，与直线的距离为， 对于直线，与直线的距离为， 所以点到直线的距离最大值为. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 求适合下列条件的曲线的标准方程： （1）已知动点到定点的距离和到定直线：的距离的比是常数，记点的轨迹为曲线．求曲线的标准方程； （2）求过点，的双曲线的标准方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件列方程，化简求得曲线的标准方程. （2）设双曲线的方程为，代入点即可求解； 【小问1详解】 依题意，，即， 两边平方得， 整理得. 【小问2详解】 设双曲线的方程为，将，代入得： ，解得， 所以双曲线方程为. 16. 已知直线与圆交于，两点，且. （1）求实数的值； （2）若点为直线上的动点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆的一般方程得出圆心和半径，再由并结合弦长公式构造方程即可得； （2）由（1）可得，利用两平行线间距离公式求得点到的距离为，可求出的面积. 【小问1详解】 将圆化为， 所以其圆心，半径，作于点， 由垂径定理可得为的中点，如下图所示： 由可得， 又， 所以； 【小问2详解】 由（1）可知，所以， 直线与直线平行， 所以点到的距离为， 因此的面积为. 17. 如图，四棱锥的底面是正方形，且，.四棱锥的体积为. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：取的中点，连接，因为，， 所以， 又四棱锥的底面是正方形，所以，设到平面的距离为， 则，所以， 所以，即平面，又平面，所以平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，即可得到，设到平面的距离为，根据锥体的体积公式求出，即可得到平面，从而得证； （2）取的中点，连接，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，则，即， 如图建立空间直角坐标系，则，，， 所以，， 设平面的法向量为，则，取， 又平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知双曲线，斜率为的直线过点. （1）若，且直线与双曲线只有一个公共点，求的值； （2）双曲线上有一点，的夹角为，求三角形的面积. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】 （1）根据直线与双曲线只有一个公共点，所以联立方程组，若相切则即可，若不相切则直线与渐近线平行即可； （2）根据双曲线的定义和余弦定理即可求得三角形的面积. 【小问1详解】 当时，，则直线l的方程为， 当时，联立方程组，得， 由直线和双曲线相切的条件，可得，解得； 双曲线的渐近线为， 所以当时，直线与渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个公共点. 综上所述，当直线与双曲线只有一个公共点时或； 【小问2详解】 由双曲线，则， 又点P在双曲线上，即，即， 在中，由余弦定理， 即，解得， 所以的面积. 19. 已知椭圆的左右焦点分别为，，左顶点为，上顶点为，且，动直线与椭圆交于，两点；当直线过焦点且与轴垂直时，. （1）求椭圆的方程； （2）若直线过点，当面积为时，求直线的斜率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用椭圆顶点以及垂直关系可得，再由通径长可得，代入可得椭圆的方程； （2）设直线的方程为并于椭圆方程联立，由弦长公式以及点到直线距离公式得出面积表达式可得结果. 【小问1详解】 由椭圆顶点性质以及可得； 当直线过焦点且与轴垂直时，其方程为， 代入可求得，所以， 解得； 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由（1）可知， 设直线的方程为，，如下图所示： 联立，消去并整理可得， 由韦达定理可得； 因此， 直线的方程化为，可得点到直线的距离为； 所以的面积为， 又面积为，可得，解得； 所以直线的斜率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $