专题强化08：几何图形 、线段和角压轴题归纳【8大题型 培优】-2024-2025学年七年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版2024）

专题强化08：几何图形 、线段和角压轴题归纳 【题型归纳】 · 题型01：立体图形 · 题型02：平面图形的认识 · 题型03：线段的计算问题 · 题型04：线段的动点问题 · 题型05：角的运算问题 · 题型06：角平分线问题 · 题型07：补角与余角问题 · 题型08：角综合压轴问题 【题型探究】 题型01：立体图形 1．（22-23七年级上·山东青岛·期末）一个几何体由一些完全相同的小立方块搭成，从正面和从上面看到的这个几何体的形状图如下，那么搭成这样一个几何体，最少需要a个这样的小立方块，最多需要b个这样的小立方块，则（） A． B． C．1 D． 2．（24-25七年级上·全国·期末）用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3 个长方形侧面和 2个正三角形底面组成．硬纸板以如图两种方法裁剪(裁剪后边角料不再利用)．A方法：剪6个侧面；B方法：剪4个侧面和5个底面．现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法．若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，则能做成三棱柱盒子的个数为（   ） A．24 B．30 C．32 D．36 3．（21-22六年级上·黑龙江大庆·期末）桌面上摆着一个由一些相同的小正方体搭成的立体图形，从它的正面看到的形状是  ，从它的左面看到的形状是 ，这个立体图形可能是（    ） A． B． C． D． 题型02：平面图形的认识 4．（20-21七年级下·浙江湖州·期末）若用如图①这样一副七巧板，拼成图②的图案，则图②中阴影部分的面积是空白部分面积的（    ） A． B． C． D． 5．（20-21七年级上·山东威海·期末）七巧板是大家熟悉的一种益智类玩具．用七巧板能拼出许多有趣的图案．小明将一个直角边长为的等腰直角三角形纸板，切割七块．正好制成一副七巧板，则图中阴影部分的面积为（　　　） A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·广东佛山·期末）七巧板被西方人称为“东方魔术”．下面的两幅图是由同一副七巧板拼成的．已知七巧板拼成的正方形（如图边长为．若图2的“小兔子”图案中的阴影部分面积为，那么 ． 题型03：线段的计算问题 7．（23-24七年级上·福建厦门·期末）如图，已知线段，点C是的中点，点D是的三等分点，且点D在点C的右边． (1)若，求的长； (2)在线段上是否存在一点E，使得点E是的中点，同时点C也是的中点？若存在，请用圆规找出点E的位置，并说明理由；若不存在，请说明理由． 8．（23-24七年级上·江西南昌·期末）已知线段，C是线段上任意一点（不与点A，B重合）． (1)若M，N分别是的中点，求的长度； (2)若，，求的长； (3)在（2）的条件下，若且G点在直线上，，求的长度． 9．（22-23七年级上·河南新乡·期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴趣： 如图1，点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长． (1)根据题意，小明求得______． (2)小明在求解（1）的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设，是线段上任意一点（不与点，重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． ①如图1，，分别是，的中点，则______． ②如图2，，分别是，的三等分点，即，，求的长． ③若，分别是，的等分点，即，，则______． 题型04：线段的动点问题 10．（23-24七年级上·江西抚州·期中）如图，在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a，c满足．    (1)______，______，______． (2)点P从点A出发，以秒的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点C出发，沿数轴向左匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点A时，点P，Q停止运动．当时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，求点Q的运动速度；（注：点O为数轴原点） (3)在（2）的条件下，当点P运动到线段上时，分别取和的中点E，F．请问：的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 11．（22-23七年级上·福建福州·期末）如图，在数轴上点A表示的数是a，点B表示的数是b，且， (1)填空： ， ； (2)在线段上有一点C，满足，求点C表示的数； (3)动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速移动；动点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速移动，设运动时间为t秒，当时，的值是否发生变化？若不变求出其值；若变化，写出范围． 12．（21-22七年级上·重庆綦江·期末）已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上） (1)若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值． (2)若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝　　BM． (3)在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值． 题型05：角的运算问题 13．（22-23七年级上·江苏南通·期末）如图，，则，，之间的数量关系为（    ） A． B． C． D． 14．（22-23七年级上·湖北武汉·期末）如图，把一个角沿过点O的射线对折后得到的图形为，现从点O引一条射线，使，再沿把角剪开．若剪开后再展开，得到的三个角中，有且只有一个角最大，最大角是最小角的三倍，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 15．（20-21七年级下·江苏镇江·期中）已知中，是边上的高，平分．若，，，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 题型06：角平分线问题 16．（23-24七年级上·宁夏银川·期末）如图所示，，都是以O为顶点的直角，下列结论：①；②；③；④若平分，则平分；⑤与的平分线是同一条射线．以上结论正确的有（    ） A．①②④⑤ B．①③④⑤ C．①②③④ D．①②③⑤ 17．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）如图，点在直线上，点、与点、分别在直线两侧，且，． (1)如图1，若平分，平分，过点作射线，求的度数； (2)如图2，若在内部作一条射线，若：：，，试判断与的数量关系． 18．（23-24七年级下·河北张家口·期中）定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为补角，则称该射线为的“好线”．如图，点O在直线上，在直线上方，且，射线是的“好线”． (1)若，且OE在内部，求的度数； (2)若OE恰好平分，求的度数； (3)若OF是的平分线，OG是的平分线，直接写出与的数量关系． 题型07：补角与余角问题 19．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，射线在的内部，平分，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，平分，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，，，求的度数． 20．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）定义：从（）的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为补角，则称该射线为的“好线”．如图，点在直线上，在直线上方，且，射线是的“好线”； (1)若，且在内部，则 ； (2)若恰好平分，请求出的度数； (3)若是的平分线，是的平分线，请画出图形，探究与的数量关系，并说明理由． 21．（23-24七年级上·福建福州·期末）阅读理解： 如图，从的顶点出发，在的内部作一条射线，将分得的两个角为和，其中至少有一个角与互为补角，则称该射线为的“分补线”．请回答以下问题： (1)若，，请判断此时是否为的“分补线”，并说明理由； (2)若平分，为的“分补线”， ①当与重合时，求的度数； ②当为的“分补线”时，请画出图形并求出此时的度数． 题型08：角综合压轴问题 22．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）【阅读材料】 如图①，已知，在内部画射线，得到三个角，分别为、、．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“2倍角线”． 【解决问题】 如图②，已知，射线从出发，以每秒的速度绕O点逆时针旋转；射线从出发，以每秒的速度绕O点顺时针旋转，射线、同时出发，当一条射线回到出发位置的时候，整个运动随之停止，设运动的时间为． (1)如图①，角的平分线________这个角的“2倍角线”（填“是”或“不是”）； (2)如图①，若，射线为的“2倍角线”，则_______． (3)如图②，当射线、旋转到同一条直线上时，求t的值； 23．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图1，已知，，在内，在内，绕点O旋转，在旋转过程中始终有，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2，则_____°； (2)从图2中的位置绕点O顺时针旋转，求、的度数．（用 n的代数式表示） (3)从图2中的位置绕点 O逆时针旋转（且），求的度数． 24．（23-24七年级上·山东济宁·期末）如图，点在直线上，，在平面内，过点任画射线． (1)填空：若与 互余，则的度数是________； (2)射线绕点从射线的位置出发，顺时针旋转，平分． ①若，求的度数； ②在射线旋转过程中，是否存在的值，使得与互余？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【专题训练】 一、单选题 25．（24-25七年级上·辽宁锦州）下列说法正确的有（    ） （1）棱柱有个顶点，条棱，个面（为不小于的正整数）； （2）将正方体展开需要剪开条棱； （3）圆锥的侧面展开图是一个圆； （4）用平面去截一个正方体，截面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形． A．个 B．个 C．个 D．个 26．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）点C是线段上任意一点，点分别是的中点，下列说法正确的是（   ）    A． B．当点C为的中点时， C．如果，那么 D．如果，那么 27．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图，为直线上从左到右的三个点，，动点分别从两点同时出发，向右运动，点的速度是点的速度的3倍．在运动过程中，若要知道的长，则只要知道下列哪条线段的长，该线段是（    ）    A． B． C． D． 28．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，点在线段的延长线上，，记线段和的中点分别为，；线段和的中点分别为，；线段和的中点分别为和；，依次进行这样的标记，则（    ）    A． B． C． D． 29．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）如图，数轴上O，A两点的距离为12，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点（，n是整数）处，问经过这样2024次跳动后的点与的中点的距离是（  ） A．12﹣3× B．9﹣3× C．12﹣3× D．9﹣3× 30．（22-23七年级上·江苏宿迁·期末）动手操作：做一个正方体木块，在正方体的各面分别写上1，2，3，4，5，6这6个不同的数字，若它可以摆放成如图所示的两种不同位置，请你判断数字5对面的数字是（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 31．（22-23七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，点、、在同一直线上，为的中点，为的中点，为的中点，则下列说法：，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 32．（22-23七年级上·河南郑州·期中）如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；连续这样操作15次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和＝（　　） A． B． C． D． 33．（21-22七年级上·浙江湖州·期末）如图1所示，在长方形ABCD的内部放置了四个周长均为12的小长方形．现将长方形EFGH放置于大长方形ABCD内，且与四个小长方形有重叠（重叠部分均为长方形），如图2所示．已知AB=10，BC=8，四个重叠部分的周长之和为28，则长方形EFGH的周长为（     ） A．20 B．24 C．26 D．28 二、填空题 34．（23-24六年级下·上海青浦·期末）已知线段厘米，延长线段到点 C，点M是线段的中点，如果 ，那么 厘米． 35．（24-25六年级上·山东东营·阶段练习）有一个正方体的六个面上分别标有数字，从三个不同的角度观察这个正方体所得到的结果如图所示，如果标有数字的面所对面上的数字记为，的面所对面上数字记为，那么的值为 ． 36．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）一个圆柱体食品罐（如图），沿着虚线把侧面商标纸剪开，展开后得到一个面积为31.4平方厘米的平行四边形，那么这个食品罐的体积是 立方厘米． 37．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）如图1，一款暗插销由外壳，开关，锁芯三部分组成，其工作原理如图2，开关绕固定点O转动，由连接点D带动锁芯移动．图3为插销开启状态，此时连接点D在线段上，如位置．开关绕点O顺时针旋转后得到，锁芯弹回至位置（点B与点重合），此时插销闭合如图4．已知，，则 ． 38．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，直线与相交于点，，将一等腰直角三角尺的直角顶点与重合，平分．将三角尺以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时直线以每秒的速度绕点顺时针旋转，设运动时间为秒，若直线平分，则的值为 ．    39．（22-23七年级上·浙江·期末）如图，在线段上，下列说法：直线上以为端点的线段共有条；若，且把三等分，则图中只能确定对互补的角；若（其中，则以为顶点的所有小于平角的角的度数和为；若线段上再增加个点，并连接，当时，图中一共有条线段；其中说法正确的是 ．（填序号） 40．（2023七年级上·全国·专题练习）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个部分的射线，叫做这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，，则OB是的一条三分线．    （1）如图1，若，则 ； （2）如图2，若，，是的两条三分线，且． ①则 ； ②若以点为中心，将顺时针旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 ． 三、解答题 41．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示，O是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若，求的度数． (2)在图1中，若，直接写出的度数： （用含的代数式表示）． (3)将图1中的绕顶点O顺时针开始旋转． ①当旋转至如图2的位置时，请探究与的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； ②过点O的一条射线，使得恰好平分，在图1和图2中分别探究与的度数之间的关系，请直接写出结论． 42．（24-25七年级上·北京·期中）对于数轴上的点A，B，C，D，点M，N分别是线段，的中点，若，则将e的值称为线段，的相对离散度，特别地，当点M，N重合时，规定．设数轴上的点O表示的数是0，点T表示的数是2． (1)若数轴上点A，B，C，D表示的数分别是，，3，5，则线段的中点表示的数是______，线段，的相对离散度是______． (2)设数轴上点O右侧的点S表示的数是s，若线段，的相对离散度，求s的值． (3)数轴上点P，Q都在O点的右侧（其中P，Q不重合），点R是线段的中点，设线段，的相对离散度为，线段，的相对离散度为，当时，直接写出R所表示的数r的取值范围．（参考材料：1、若，则．其中，且；2、如图：点M把线段分成相等的两条线段与，点M叫作线段的中点） 43．（24-25七年级上·广东深圳·期中）【综合实践】某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【知识准备】 （1）下列图形中，不是无盖正方体的表面展开图的是_______；（填序号） 【实践探索】 （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒） ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面周长为______（用含a，b的式子表示）； ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，．则该长方体纸盒的体积为_____． 【实践分析】 （3）一个无盖长方体的长、宽、高分别为，（它缺一个长为，宽为的长方形盖子），如图是该长方体的一种平面展开图，它的外围周长为．事实上，该长方体的平面展开图还有不少，请你画出该无盖长方体外围周长最大的一种表面展开图，并求出最大外围周长的值． 44．（23-24七年级下·山东潍坊·阶段练习）综合与探究 旧知回顾： （）如图，线段厘米，为线段上的一个动点，点，分别是，的中点． 若厘米，则线段的长为__________厘米． 设厘米，则线段的长为__________厘米． 知识迁移： （）我们发现角的很多规律和线段一样，如图，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数． 拓展探究： （）已知在内的位置如图所示，，，且，，求的度数．（用含的代数式表示）    45．（22-23七年级下·浙江）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的，那么这两条射线所成的角叫做这个角的伴随角．如图1，若，则是的伴随角． (1)如图1，已知，，是的伴随角，则__________； (2)如图2，已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度（）至，当旋转的角度为何值时，是的伴随角． (3)已知，把一块含有角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点以4度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图4），问：在旋转一周的过程中，射线，，，能否构成伴随伴随角？若能，请求出旋转的时间；若不能，请说明理由． 46．（23-24七年级上·安徽合肥·单元测试）如图，，，平分，平分． (1)求的度数； (2)将绕着点顺时针旋转，仍然分别作，的平分线，，能否求出的度数？若能，请求出其值；若不能，请说明理由； (3)若（），，仍然分别作（）中操作，能否求出的度数？若能，直接写出的度数． 47．（23-24七年级上·广东广州·期末）（1）如图，线段，C为的中点，点P从点A出发，以的速度沿线段向右运动，到点B停止；点Q从点B出发，以的速度沿线段向左运动，到点A停止．若P，Q两点同时出发，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止．设点P的运动时间为x（）s． （ⅰ）________cm． （ⅱ）是否存在某一时刻，使得C，P，Q这三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由． （2）一副三角板按左图中的方式拼接在一起，其中边、与直线上，，． （ⅰ）________度． （ⅱ）如图，三角板固定不动，将三角板绕点O按顺时针方向旋转角（即），在转动过程中两个三角板一直处于直线的上方． ①当平分，，其中的两边组成的角时，________． ②在旋转过程中，是否存在某一时刻满足？若存在，求此时的角；若不存在，请说明理由． 48．（23-24七年级上·陕西西安·期末）如图1，点O是弹力墙上一点，魔法棒从的位置开始绕点O向的位置顺时针旋转，当转到位置时，则从位置弹回，继续向位置旋转．按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转． 第1步，从（在上）开始旋转至； 第2步，从开始继续旋转至； 第3步，从开始继续旋转至， …． 例如：当时．，，，的位置如图2所示，其中恰好落在上，；当时，，，，，的位置如图3所示，其中第4步旋转到后弹回，即，而恰好与重合． 根据以上材料，解决如下问题： (1)若，则度数是 ； (2)若，恰好与重合，求的值； (3)若，是否存在对应的值使？若存在，请求出对应的α值，若不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化08：几何图形 、线段和角压轴题归纳 【题型归纳】 · 题型01：立体图形 · 题型02：平面图形的认识 · 题型03：线段的计算问题 · 题型04：线段的动点问题 · 题型05：角的运算问题 · 题型06：角平分线问题 · 题型07：补角与余角问题 · 题型08：角综合压轴问题 【题型探究】 题型01：立体图形 1．（22-23七年级上·山东青岛·期末）一个几何体由一些完全相同的小立方块搭成，从正面和从上面看到的这个几何体的形状图如下，那么搭成这样一个几何体，最少需要a个这样的小立方块，最多需要b个这样的小立方块，则（） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了几何体的三视图，考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．由图可得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层立方体的个数，由主视图可得第二层立方体的可能的个数，相加即可，最后将的值代入即可求解． 【详解】解：综合主视图和俯视图，这个几何体的底层有4个小正方体， 第二层最少有2个，最多有4个， 因此搭成这样的一个几何体至少需要小正方体木块的个数为∶(个)， 至多需要小正方体木块的个数为∶(个)， 故选∶A． 2．（24-25七年级上·全国·期末）用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3 个长方形侧面和 2个正三角形底面组成．硬纸板以如图两种方法裁剪(裁剪后边角料不再利用)．A方法：剪6个侧面；B方法：剪4个侧面和5个底面．现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法．若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，则能做成三棱柱盒子的个数为（   ） A．24 B．30 C．32 D．36 【答案】B 【分析】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，列代数式的运用，读懂题意，列出方程是解题的关键． 由张用方法，就有张用方法，则可分别表示出侧面个数和底面个数；再由侧面个数和底面个数比为建立方程求出的值，于是可求出三棱柱盒子的个数． 【详解】解：裁剪时张用方法，裁剪时张用方法， 侧面的个数为：个，底面的个数为：个； 由题意得：，   解得：， 盒子的个数为：（个）， 故选B． 3．（21-22六年级上·黑龙江大庆·期末）桌面上摆着一个由一些相同的小正方体搭成的立体图形，从它的正面看到的形状是  ，从它的左面看到的形状是 ，这个立体图形可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合立体图形从正面看到的形状和从它的左面看到的形状，对照选项逐项分析，得出正确结论． 【详解】解：A．从正面能看到4个正方形，分两层，下层3个，上层1居中，与题干中正面看到的形状不符，故A不符合题意； B．从左面能看到3个正方形，分两层，下层2个，上层1个，左齐，与题干中左面看到的形状不符，故B不符合题意； C．从正面能看到4个正方形，分两层，下层3个，上层1个，左齐；从左面能看到4个正方形，分两层，下层3个，上层1个，右齐，与题干中从正面看到的形状和从它的左面看到的形状相符，故C符合题意； D．从左面能看到四个正方形，分两层，下层3个，上层1个，右齐，与题干中左面看到的形状不符，故D不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查作简单图形的三视图，能正确辨认从正面、上面、左面（或右面）观察到的简单几何体的平面图形． 题型02：平面图形的认识 4．（20-21七年级下·浙江湖州·期末）若用如图①这样一副七巧板，拼成图②的图案，则图②中阴影部分的面积是空白部分面积的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】图②中阴影部分的面积是三个等腰直角三角形面积的和，设图①中拼成的大正方形的边长为1，分别求出三个等腰直角三角形的面积，再相加，然后求出空白部分的面积，最后相除即可求出答案． 【详解】解：如图： 设图①中拼成的大正方形的边长为1，则整个图案的面积是12＝1． ∵S1＝， S2＝×（×）＝， S3＝×（×）×（×）＝， ∴阴影部分的面积＝S1＋S2＋S3＝＋＋＝， ∴空白部分的面积是1−＝， ∴图②中阴影部分的面积是空白部分面积的． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了七巧板问题．解题的关键是熟练掌握正方形、三角形的面积的求法． 5．（20-21七年级上·山东威海·期末）七巧板是大家熟悉的一种益智类玩具．用七巧板能拼出许多有趣的图案．小明将一个直角边长为的等腰直角三角形纸板，切割七块．正好制成一副七巧板，则图中阴影部分的面积为（　　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据七巧板意义，计算出阴影等腰直角三角形的直角边的长即可. 【详解】如图，根据题意，得 BC=20，CD=BD=10=EM， ∴EG=GM=5， ∴EF=FG=5， ∴， 故选B. 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，等腰直角三角形的面积，熟练掌握七巧板制作规律和制作特点是解题的关键. 6．（23-24七年级下·广东佛山·期末）七巧板被西方人称为“东方魔术”．下面的两幅图是由同一副七巧板拼成的．已知七巧板拼成的正方形（如图边长为．若图2的“小兔子”图案中的阴影部分面积为，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查七巧板的知识，设阴影小正方形的边长为，根据阴影部分面积为梯形的面积列方程即可求出x值，然后求边长即可． 【详解】解：设小正方形边长为，依题意可得， ， 解得：， ， 故答案为：． 题型03：线段的计算问题 7．（23-24七年级上·福建厦门·期末）如图，已知线段，点C是的中点，点D是的三等分点，且点D在点C的右边． (1)若，求的长； (2)在线段上是否存在一点E，使得点E是的中点，同时点C也是的中点？若存在，请用圆规找出点E的位置，并说明理由；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1 (2)存在，画图及理由见解析 【分析】（1）根据中点定义，三等分点定义，得到，，根据，，即得； （2）以点D为圆心， 长为半径画弧，交 于点E，E即为的中点，C为的中点．理由：根据，得到，得到，得到E是的中点，根据，得到，得到C是的中点． 【详解】（1）∵点C是的中点，点D是的三等分点， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）存在，理由如下， 以点D为圆心，以长为半径画弧，交 于点E，E即为所求作，如图． 理由：∵， ∴， ∴， ∴E是的中点， ∵， ∴， ∴， ∴C是的中点． 8．（23-24七年级上·江西南昌·期末）已知线段，C是线段上任意一点（不与点A，B重合）． (1)若M，N分别是的中点，求的长度； (2)若，，求的长； (3)在（2）的条件下，若且G点在直线上，，求的长度． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了线段的n等分点有关的计算，线段的和差，理解线段n等分点的定义是解答本题的关键． （1）由中点的定义可得，，然后根据求解即可； （2）由，可得，，然后根据求解即可； （3）先求出线段的长，然后分点G在线段上和点G在线段的延长线上两种情况求解即可． 【详解】（1）∵M，N分别是的中点， ∴，， ∴． ∵， ∴； （2）∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． 当点G在线段上时，； 当点G在线段的延长线上时，． 综上可知，的长度为或． 9．（22-23七年级上·河南新乡·期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴趣： 如图1，点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长． (1)根据题意，小明求得______． (2)小明在求解（1）的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设，是线段上任意一点（不与点，重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． ①如图1，，分别是，的中点，则______． ②如图2，，分别是，的三等分点，即，，求的长． ③若，分别是，的等分点，即，，则______． 【答案】(1)3 (2)①；②；③ 【分析】（1）由，，得，根据，分别是，的中点，即得，，故； （2）①由，分别是，的中点，知，，即得，故； ②由，，知，，即得，故； ③由，，知，，即得，故． 【详解】（1）解：，， ， ，分别是，的中点， ，， ； 故答案为：； （2）解：①，分别是，的中点， ，， ， ， ； 故答案为：； ②，， ，， ， ， ； ③，， ，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算． 题型04：线段的动点问题 10．（23-24七年级上·江西抚州·期中）如图，在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a，c满足．    (1)______，______，______． (2)点P从点A出发，以秒的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点C出发，沿数轴向左匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点A时，点P，Q停止运动．当时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，求点Q的运动速度；（注：点O为数轴原点） (3)在（2）的条件下，当点P运动到线段上时，分别取和的中点E，F．请问：的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)，1，7 (2)点Q的运动速度是或者 (3)不变，值为2 【分析】（1）根据绝对值的非负性以及平方的非负性，得，的值，结合b是最小的正整数，即可得的值； （2）先求出点Q，此时，再进行分类讨论，当点P在上时或当点P在上时，根据线段之间的和差关系以及路程等于时间乘速度等知识进行列式，即可作答； （3）易得，，根据线段之间的和差关系得，再代入，化简即可作答． 【详解】（1）解：因为 所以， 因为b是最小的正整数， 所以； （2）解：∵点Q运动到的位置恰好是线段OA的中点， ∴点Q表示的数是，此时， 由，可分两种情况： ①当点P在上时，得， 此时； ∴点P运动的时间为， ∴点Q的运动速度； ②当点P在上时，得， 此时， ∴点P的运动时间是， ∴点Q的运动速度， 综上，点Q的运动速度是或者； （3）解：不变，理由如下： 设运动时间为t秒，此时，， ∵点E是的中点， ∴， ∵点F是的中点，， ∴， ∴，        ． ∴． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性以及在数轴上表示有理数，数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题，线段之间的和差关系等知识内容，涉及分类讨论，难度适中，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 11．（22-23七年级上·福建福州·期末）如图，在数轴上点A表示的数是a，点B表示的数是b，且， (1)填空： ， ； (2)在线段上有一点C，满足，求点C表示的数； (3)动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速移动；动点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速移动，设运动时间为t秒，当时，的值是否发生变化？若不变求出其值；若变化，写出范围． 【答案】(1)8， (2) (3)的值不会发生变化，详见解析 【分析】（1）根据非负数的性质，可得，即可求解； （2）先求出，可得，即可求解； （3）根据题意可得依题意得：，从而得到，，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：； 故答案为：8， （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点 C 表示的数为； （3）解：的值不会发生变化， 依题意得：， ∴，， ∴， ∴ 的值不会发生变化． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质，线段的和与差，数轴上的动点问题，利用数形结合思想解答是解题的关键． 12．（21-22七年级上·重庆綦江·期末）已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上） (1)若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值． (2)若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝　　BM． (3)在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）计算出CM和BD的长，进而可得出答案； （2）由AC=AM－CM，MD=BM－BD，MD=3AC结合（1）问便可解答； （3）由AN＞BN，分两种情况讨论：①点N在线段AB上时，②点N在AB的延长线上时；结合图形计算出线段的长度关系即可求解； 【详解】（1）解：当点C、D运动了1s时，CM＝1cm，BD＝3cm ∵AB＝11cm，CM＝1cm，BD＝3cm ∴AC+MD＝AB﹣CM﹣BD＝11﹣1﹣3＝7cm． （2）解：设运动时间为t， 则CM＝t，BD＝3t， ∵AC＝AM﹣t，MD＝BM﹣3t， 又MD＝3AC， ∴BM﹣3t＝3AM﹣3t， 即BM＝3AM， ∴AM=BM 故答案为：． （3）解：由（2）可得： ∵BM＝AB﹣AM ∴AB﹣AM＝3AM， ∴AM＝AB， ①当点N在线段AB上时，如图 ∵AN﹣BN＝MN， 又∵AN﹣AM＝MN ∴BN＝AM＝AB， ∴MN＝AB，即=． ②当点N在线段AB的延长线上时，如图 ∵AN﹣BN＝MN， 又∵AN﹣BN＝AB ∴MN＝AB， ∴=1,即=． 综上所述＝或 【点睛】本题考查求线段长短的知识，关键是细心阅读题目，根据条件理清线段的长度关系再解答． 题型05：角的运算问题 13．（22-23七年级上·江苏南通·期末）如图，，则，，之间的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了与余角有关的计算．解题的关键是熟练掌握余角的定义．两个角的和等于，称为这两个角互为余角． 根据余角性质可得，得到，结合，即可得到答案． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 14．（22-23七年级上·湖北武汉·期末）如图，把一个角沿过点O的射线对折后得到的图形为，现从点O引一条射线，使，再沿把角剪开．若剪开后再展开，得到的三个角中，有且只有一个角最大，最大角是最小角的三倍，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由题可知，沿过O的射线分为了射线和射线两种情况，分类讨论两种情况，利用建立等量关系即可解决． 【详解】解：①由题意得，三个角分别是、、， 且，， 又 ， ， ②三个角分别是、、， 有且只有一个角最大，即为， 且，， 又 ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了角的和差倍分，解决本题的关键是读清题意，找到不同情况，利用题目中的等量建立方程解得参数的值． 15．（20-21七年级下·江苏镇江·期中）已知中，是边上的高，平分．若，，，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目由于在三角形中未确定大小，所以需要进行分类讨论：（1），作出符合题意的相应图形，由图可得：，根据角平分线的性质得：，在中，，故可得；（2）时，由图可得：，，在中，，故可得；综上可得：． 【详解】解：（1）如图1所示：时， 图1 ∵CD是AB边上的高， ∴，， ∵，， ∴， ∵CE平分， ∴， 在中，， ∴； （2）如图2所示：时， 图2 ∵CD是AB边上的高， ∴，， ∵，， ∴， ∵CE平分， ∴， 在中，， ∴； 综合（1）（2）两种情况可得：． 故选：D． 【点睛】题目主要考查对三角形分类讨论、数形结合思想，主要知识点是三角形的角平分线、高线的基本性质及图形内角的运算，题目难点是在依据题意进行分类讨论的情况下，作出相应的三角形图形． 题型06：角平分线问题 16．（23-24七年级上·宁夏银川·期末）如图所示，，都是以O为顶点的直角，下列结论：①；②；③；④若平分，则平分；⑤与的平分线是同一条射线．以上结论正确的有（    ） A．①②④⑤ B．①③④⑤ C．①②③④ D．①②③⑤ 【答案】B 【分析】此题主要考查学生对角的计算，角平分线的理解和掌握，根据余角的性质，角平分线的定义，对五个结论逐一进行判断即可． 【详解】①∵， ∴， ∴， 故正确； ⑤∵,,， ∴， ∴的平分线与的平分线是同一条射线 故正确； 故选B. 17．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）如图，点在直线上，点、与点、分别在直线两侧，且，． (1)如图1，若平分，平分，过点作射线，求的度数； (2)如图2，若在内部作一条射线，若：：，，试判断与的数量关系． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题主要考查角度的和差计算，角平分线的定义， （1）根据角平分线定义和周角是可得的度数；分两种情况：当在下方时；当在上方时，计算即可； （2）由，，设，则，再结合角平分线的性质可用表达出的度数，求出与的度数． 【详解】（1）平分， ， ， ． 当在下方时， 平分，， ， ， ， ， ． 当在上方时， 平分，， ， ， ， ，， ； （2）设，则， ， ， ， ， ， ． 当在的下方时，同理可得 ， ， ， ， ， ． 综上所述：或 18．（23-24七年级下·河北张家口·期中）定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为补角，则称该射线为的“好线”．如图，点O在直线上，在直线上方，且，射线是的“好线”． (1)若，且OE在内部，求的度数； (2)若OE恰好平分，求的度数； (3)若OF是的平分线，OG是的平分线，直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了几何图形中角度的计算，补角的定义，角平分线的定义，角的和差关系，根据题意，画出图形是解题的关键． （）根据“好线”的定义即可求解； （）根据“好线”和角平分线的定义求解即可； （）分两种情况：在内部和在内部，进行解答即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵射线是的“好线”， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，平分， ∵射线是的“好线”， ∴， ∵， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：或． 理由：当在内部时，如图， 由（）可得，， 设，则，， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴， ∴； 当在内部时，如图， 由（）可得， 设，则， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴， ∴； 综上，当在内部时，；当在内部时，． 题型07：补角与余角问题 19．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，射线在的内部，平分，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，平分，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】此题考查了三角形内角和定理，角的和差计算，掌握角平分线的性质和互为补角的关系是解题的关键． （1）由平分得到，再根据和 互为补角即可得到的度数； （2）由平分得到，再根据和互为补角得到， 从而得到，最后根据即可完成证明； （3）在()的条件下可得到，，由得到，最后由和可求得的度数． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2）证明：∵平分， ∴.， ∵， ∴， ∴， 由()知：，即 ， ∴， ∴， ∴； （3）解：在()的条件下， ，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 20．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）定义：从（）的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为补角，则称该射线为的“好线”．如图，点在直线上，在直线上方，且，射线是的“好线”； (1)若，且在内部，则 ； (2)若恰好平分，请求出的度数； (3)若是的平分线，是的平分线，请画出图形，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】本题考查了补角的定义和性质，角平分线的定义，角的和差关系，根据题意，画出图形是解题的关键． （）根据“好线”的定义即可求解； （）根据“好线”和角平分线的定义求解即可； （）分两种情况：在内部和在内部，进行解答即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵射线是的“好线”， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，平分， ∵射线是的“好线”， ∴， ∵， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：或． 理由：当在内部时，如图， 由（）可得，， 设，则，， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴， ∴； 当在内部时，如图， 由（）可得， 设，则， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴， ∴； 综上，当在内部时，；当在内部时，． 21．（23-24七年级上·福建福州·期末）阅读理解： 如图，从的顶点出发，在的内部作一条射线，将分得的两个角为和，其中至少有一个角与互为补角，则称该射线为的“分补线”．请回答以下问题： (1)若，，请判断此时是否为的“分补线”，并说明理由； (2)若平分，为的“分补线”， ①当与重合时，求的度数； ②当为的“分补线”时，请画出图形并求出此时的度数． 【答案】(1)是的“分补线”，理由见解析； (2)①；②或 【分析】本题考查了角平分线的定义，补角等，理解“分补线”的概念是解题的关键． （1）先求出的度数，根据，即可判断； （2）根据角平分线的定义和“分补线”的定义，分和，根据，建立方程，解方程，进一步求解即可； 【详解】（1）解：是的“分补线，理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴是的“分补线； （2）解：①当与重合时， ∵平分， ∴， ∵为的“分补线”， ∴， ∴， ②设 ∵平分，为的“分补线”， ∴， ∴ 又∵为的“分补线”，则在的内部， 如图所示， 当 ∴ ∵ ∴ 即 解得： ∵为的“分补线”， 当， ∴ ∵ ∴ 解得： 综上所述，或 题型08：角综合压轴问题 22．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）【阅读材料】 如图①，已知，在内部画射线，得到三个角，分别为、、．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“2倍角线”． 【解决问题】 如图②，已知，射线从出发，以每秒的速度绕O点逆时针旋转；射线从出发，以每秒的速度绕O点顺时针旋转，射线、同时出发，当一条射线回到出发位置的时候，整个运动随之停止，设运动的时间为． (1)如图①，角的平分线________这个角的“2倍角线”（填“是”或“不是”）； (2)如图①，若，射线为的“2倍角线”，则_______． (3)如图②，当射线、旋转到同一条直线上时，求t的值； 【答案】(1)是； (2)，，； (3)4或10或16． 【分析】本题主要考查了一元一次方程在新定义中的应用、角平分线的性质等知识点，找准等量关系、据此列出方程是解题的关键． （1）由角平分线的定义和2倍角线的定义进行判断即可； （2）分、、三种情况，分别根据“2倍角线”的定义列出方程求解即可； （3）分三种情况讨论，分别列出方程可求t的值即可． 【详解】（1）解：∵一个角的平分线平分这个角，且这个角是所分两个角的2倍， ∴一个角的角平分线是这个角的“2倍角线” ． 故答案为：是． （2）解：①若时，且，解得：； ②若时，且，解得：； ③若时，且，解得：． 故答案为：，，． （3）解：由题意得，运动时间范围为：，则有： ①，解得； ②，解得； ③，解得． 综上，t的值为3或9或15． 23．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图1，已知，，在内，在内，绕点O旋转，在旋转过程中始终有，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2，则_____°； (2)从图2中的位置绕点O顺时针旋转，求、的度数．（用 n的代数式表示） (3)从图2中的位置绕点 O逆时针旋转（且），求的度数． 【答案】(1)100 (2)， (3) 【分析】本题考查了角的数量关系，数形结合是解答本题的关键． （1）根据可得答案； （2）先分别表示出，，然后根据，求解即可； （3）分二种情况：①当时，②当时，画出图形计算即可． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴ ； 故答案为：100； （2）如图， ∵，，， ∴，， ∵，， ∴，； （3）①当时，如图， ∵， ∴，， ∵，， ∴ ； ②当时，如图， ∵， ∴， ， ∴ ． 综上所述：的度数为． 24．（23-24七年级上·山东济宁·期末）如图，点在直线上，，在平面内，过点任画射线． (1)填空：若与 互余，则的度数是________； (2)射线绕点从射线的位置出发，顺时针旋转，平分． ①若，求的度数； ②在射线旋转过程中，是否存在的值，使得与互余？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)①；②存在，或，理由见解析 【分析】（1）当与互余时有以下两种情况：（ⅰ）当在的上方时，（ⅱ）当在的下方时，根据两种不同情况画出图形，计算出的度数即可； （2）①当，画出图形，计算出的度数即可； ②依题意得：，然后分两种情况讨论如下：（ⅰ）当在内部时，（ⅱ）当在内部时，根据两种不同情况画出图形，计算出的度数即可． 【详解】（1）解：若与互余， 有以下两种情况： （ⅰ）当在的上方时，如图1所示： 点在直线上，， ， ， 与互余， ， 即， ； （ⅱ）当在的下方时，如图2所示： ， 与互余， ， ， ， ， 综上所述：的度数是或． 故答案为：或． （2）解：①，如图3所示： 点在直线上，， ， 平分， ， ； ②存在，或，理由如下： 依题意得：， 分两种情况讨论如下： （ⅰ）当在内部时，如图4所示： 与互余， ， 即， ， 平分， ， 当与互余时，； （ⅱ）当在内部时，如图5所示： 与互余， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 当与互余时，． 综上所述：当或时，使得与互余． 【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，互为余角的定义，角的计算，理解角平分线的定义，互为余角的定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． 【专题训练】 一、单选题 25．（24-25七年级上·辽宁锦州）下列说法正确的有（    ） （1）棱柱有个顶点，条棱，个面（为不小于的正整数）； （2）将正方体展开需要剪开条棱； （3）圆锥的侧面展开图是一个圆； （4）用平面去截一个正方体，截面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题主要考查了几何体中的点棱面，几何体展开图的认识，截一个几何体等知识点，熟练掌握各种几何体的定义和特征是解题的关键． 根据几何体中的点棱面，几何体展开图的认识，截一个几何体的方法逐项判断即可． 【详解】解：（1）棱柱有个顶点，条棱，个面（为不小于的正整数），故原来的说法错误； （2）正方体有个面，条棱，要将其展开成一个平面图形，必须要有条棱连接，因此需要剪开条棱才能实现展开，故该说法正确； （3）圆锥的侧面展开图是一个扇形，故原来的说法错误； （4）用平面去截一个正方体，截面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形，故该说法正确； 说法正确的有个， 故选：． 26．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）点C是线段上任意一点，点分别是的中点，下列说法正确的是（   ）    A． B．当点C为的中点时， C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段的中点性质，根据线段的中点性质可推出，，当时，，即可推出，进而即可得解，解题的关键是能正确表示线段的和差倍分． 【详解】A：∵M、N分别是、的中点， ∴，， ∵C为上任意一点， ∴不一定等于， ∴不一定等于， ∴A错误，不符合题意； B：当C为中点时，， ∴， ∴， ∴B错误，不符合题意； C：∵， ∴， ∴， ∴C正确，符合题意； D：∵， ∴， ∴， ∴D错误，不符合题意； 故选：C． 27．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图，为直线上从左到右的三个点，，动点分别从两点同时出发，向右运动，点的速度是点的速度的3倍．在运动过程中，若要知道的长，则只要知道下列哪条线段的长，该线段是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段的和差关系，根据题意可设，，则，，可求出，，，进而得出，即可得出答案． 【详解】解：设，则， ∵动点分别从两点同时出发，向右运动，点的速度是点的速度的3倍， ∴， 设，则， ∴， ， ∴， 故选：D． 28．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，点在线段的延长线上，，记线段和的中点分别为，；线段和的中点分别为，；线段和的中点分别为和；，依次进行这样的标记，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段的和差，中点的性质，根据图形，找到线段之间的关系，即可求解，根据图形找到线段之间的关系是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， ， ， ， ， ， ∴ ， ， ， ， 故选：． 29．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）如图，数轴上O，A两点的距离为12，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点（，n是整数）处，问经过这样2024次跳动后的点与的中点的距离是（  ） A．12﹣3× B．9﹣3× C．12﹣3× D．9﹣3× 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形类的规律，数轴上两点的距离．熟练掌握各个点跳动的规律，是解题关键． 根据题意，第一次跳动到的中点处，离原点的长度为，第二次从处跳动到处，离原点的长度为，可推出跳动n次距离原点的长度为，即点表示的数为，则点表示的数为，再推出的中点表示的数为9，即可解答． 【详解】∵数轴上O，A两点的距离为12， ∴点A表示的数为12， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， ……， 表示的数为， ∴经过这样2024次跳动后的点表示的数为， ∵点A表示的数为12，表示的数为6， ∴的中点表示的数为， ∴经过这样2024次跳动后的点与的中点的距离为， ， 故选：B． 30．（22-23七年级上·江苏宿迁·期末）动手操作：做一个正方体木块，在正方体的各面分别写上1，2，3，4，5，6这6个不同的数字，若它可以摆放成如图所示的两种不同位置，请你判断数字5对面的数字是（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】D 【分析】根据图形以及数字的摆放，第一图可得的下面为1，1的右边为4，第二个图可知的下面是5，5的右边是2，画出展开图即可求解． 【详解】解：根据图形以及数字的摆放，第一图可得的下面为1，1的右边为4， 第二个图可知的下面是5，5的右边是2 将正方形展开如图所示， ∴的对面是， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方体展开图，相对面上的字，注意数字的摆放是解题的关键． 31．（22-23七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，点、、在同一直线上，为的中点，为的中点，为的中点，则下列说法：，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线段中点的定义和线段的和差分别计算即可. 【详解】① ∵H是的中点， ∵分别是的中点， .     ∴①正确. ② 由①知 ∴②错误. ③ ∴③正确. ④      ∴④正确. 综上，①③④正确. 故选：D 【点睛】本题主要考查了线段中点的定义，线段的和差.根据线段的和差进行求解是解题的关键. 32．（22-23七年级上·河南郑州·期中）如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；连续这样操作15次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和＝（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线段中点定义先求出的长度，再由的长度求出的长度，从而找到的规律，即可求出结果． 【详解】解：线段，线段和的中点分别为，， ， 线段和的中点，， ， 发现规律： ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了线段规律性问题，与中点有关的计算，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，比较有难度． 33．（21-22七年级上·浙江湖州·期末）如图1所示，在长方形ABCD的内部放置了四个周长均为12的小长方形．现将长方形EFGH放置于大长方形ABCD内，且与四个小长方形有重叠（重叠部分均为长方形），如图2所示．已知AB=10，BC=8，四个重叠部分的周长之和为28，则长方形EFGH的周长为（     ） A．20 B．24 C．26 D．28 【答案】C 【分析】如图，由AB=10，BC=8，得AB+BC+CD+DA=2（AB+BC）=36，而长方形ABCD的内部放置了四个周长均为12的小长方形，故AN+AO=BM+BL=CK+CJ=DI+PD=6，可得MN+LK+IJ+OP=12，即XW+UV+ST+QR=12，又四个重叠部分的周长之和为28，可得EX+EQ+RH+HS+TG+GU+FV+WF=14，即可求出EF+FG+HG+EH=26，即长方形EFGH的周长为26． 【详解】解：如图： ∵AB=10，BC=8， ∴AB+BC+CD+DA=2（AB+BC）=36， ∵长方形ABCD的内部放置了四个周长均为12的小长方形， ∴AN+AO=BM+BL=CK+CJ=DI+PD=×12=6， ∴（AB+BC+CD+DA）-（AN+AO）-（BM+BL）-（CK+CJ）-（DI+PD）=36-6-6-6-6=12，即MN+LK+IJ+OP=12， ∴XW+UV+ST+QR=12， ∵四个重叠部分的周长之和为28， ∴EX+EQ+RH+HS+TG+GU+FV+WF=×28=14， ∴（EX+EQ+RH+HS+TG+GU+FV+WF）+（XW+UV+ST+QR）=14+12=26， ∴EF+FG+HG+EH=26，即长方形EFGH的周长为26， 故选：C． 【点睛】本题考查长方形周长，解题的关键是掌握长方形周长等于长加宽和的2倍． 二、填空题 34．（23-24六年级下·上海青浦·期末）已知线段厘米，延长线段到点 C，点M是线段的中点，如果 ，那么 厘米． 【答案】或 【分析】本题考查了线段的中点，分类讨论，即点在B点左边或者右边，两种情况，用线段的和差进行解答即可，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键． 【详解】解：如图，当点在B点左边时， 点 M是线段的中点， ， ， ， 厘米， 厘米； 如图，当点在B点右边时， 利用上述原理可得 厘米， 厘米， 综上所述，或厘米， 故答案为：或． 35．（24-25六年级上·山东东营·阶段练习）有一个正方体的六个面上分别标有数字，从三个不同的角度观察这个正方体所得到的结果如图所示，如果标有数字的面所对面上的数字记为，的面所对面上数字记为，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方体相对两面上的数字问题，代数式求值，根据与相邻的面的数字有判断出的对面数字是，与相邻的面的数字有判断出的对面数字是，从而确定出的对面数字是，然后确定出的值，相加即可求解，根据正方体上的数字确定出的值是解题的关键． 【详解】解：由图可知，与相邻的面的数字有， ∴的对面数字是， 与相邻的面的数字有， ∴的对面数字是， ∴的对面数字是， ∵标有数字的面所对面上的数字记为，的面所对面上数字记为， ∴，， ∴， 故答案为：． 36．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）一个圆柱体食品罐（如图），沿着虚线把侧面商标纸剪开，展开后得到一个面积为31.4平方厘米的平行四边形，那么这个食品罐的体积是 立方厘米． 【答案】15.7 【分析】本题主要考查了圆柱体．熟练掌握圆柱体侧面积公式，底面积公式，体积公式，是解决问题的关键． 根据圆柱体的侧面积31.4，高5，求出底面半径，再求出底面积，最后求出体积． 【详解】解：∵圆柱体的高为5，侧面积为31.4， ∴圆柱体底面周长为： ∴底面半径为：， ∴体积为：． 故答案为：15.7． 37．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）如图1，一款暗插销由外壳，开关，锁芯三部分组成，其工作原理如图2，开关绕固定点O转动，由连接点D带动锁芯移动．图3为插销开启状态，此时连接点D在线段上，如位置．开关绕点O顺时针旋转后得到，锁芯弹回至位置（点B与点重合），此时插销闭合如图4．已知，，则 ． 【答案】22 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，结合图形得出当点D在O的右侧时，即位置时，B与点E的距离为，当点D在O的左侧时，即位置时，B与点E重合，即位置，得出，再由图形中线段间的关系得出，即可求解． 【详解】解：由图3得，当点D在O的右侧时，即位置时，B与点E的距离为， 由图4得，当点D在O的左侧时，即位置时，B与点E重合，即位置， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：22． 38．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，直线与相交于点，，将一等腰直角三角尺的直角顶点与重合，平分．将三角尺以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时直线以每秒的速度绕点顺时针旋转，设运动时间为秒，若直线平分，则的值为 ．    【答案】36或108 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，旋转等知识点，分两种情况进行讨论：当平分时，；当平分时，，分别利用t表示角度，根据等量关系列方程求解即可，利用旋转的速度，角度，时间的关系，应用方程的思想是解决问题的关键． 【详解】∵平分， ∴， ∴， ①当平分时，， 此时， ∴ ∴， 解得，   ． ②当平分时，， 此时，， ∴， 解得． 故答案为：36或108．   ． 39．（22-23七年级上·浙江·期末）如图，在线段上，下列说法：直线上以为端点的线段共有条；若，且把三等分，则图中只能确定对互补的角；若（其中，则以为顶点的所有小于平角的角的度数和为；若线段上再增加个点，并连接，当时，图中一共有条线段；其中说法正确的是 ．（填序号） 【答案】/ 【分析】本题考查了互为补角的定义，角度和差，线段的定义，根据线段的定义，找出线段的条数即可；首先根据题意画出图形，再根据已知条件得出相关角的度数，根据互为补角的定义找出互补的角即可；根据题意画出图形，设出符合题意的一般角，得出结论即可；根据题意画出图形，数出线段的条数即可；解题的关键是根据题意画出图形． 【详解】直线上以为端点的线段有线段、、、、、，共有条，故①正确； 如图，， 且，把三等分， ∴， ∴， ∴，，，，共对， 故正确； 如图， ∵，， ∴设，， 则， 则以为顶点的所有小于平角的角的为：，，，，，， 则它们之和为：，故不正确； 如图，当时，与点连接的线段有条， 线段上共有个点，线段有： （条），故不正确； 故答案为：． 40．（2023七年级上·全国·专题练习）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个部分的射线，叫做这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，，则OB是的一条三分线．    （1）如图1，若，则 ； （2）如图2，若，，是的两条三分线，且． ①则 ； ②若以点为中心，将顺时针旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 ． 【答案】 /度 /度 或 【分析】本题属于新定义类型的问题，主要考查了角的计算，解决问题的关键是掌握角的三分线的定义，解题时注意分类思想的运用，分类时不能重复，也不能遗漏． （1）根据三分线的定义计算即可； （2）①根据三分线的定义计算即可；②根据三分线的定义可得，由旋转得，然后分两种情况：当是的三分线，且时；当是的三分线，且时，分别求出和的值即可． 【详解】解：（1）解：∵， ∴, 故答案为：； （2）①∵，是的两条三分线，， ∴， 故答案为：； ②∵，，是的两条三分线， ∴， 由旋转得：， 分两种情况： 当是的三分线，且时，可得， ∴， ∴，即； 当是的三分线，且时，可得， ∴，即； 故答案为：或． 三、解答题 41．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示，O是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若，求的度数． (2)在图1中，若，直接写出的度数： （用含的代数式表示）． (3)将图1中的绕顶点O顺时针开始旋转． ①当旋转至如图2的位置时，请探究与的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； ②过点O的一条射线，使得恰好平分，在图1和图2中分别探究与的度数之间的关系，请直接写出结论． 【答案】(1) (2) (3)①．理由见解析；②， 【分析】本题主要考查角的运算、角平分线的定义，解题关键是正确运用相关定义，利用角的和差倍分关系进行计算． （1）利用平角的定义可得，由角平分线的定义得，则． （2）利用平角的定义可得，由角平分线的定义得，则． （3）①当旋转至题图2的位置时，设，同理可得，则，即，由，，两式相减即可得到结果； ②在图1中，反向延长得到射线  ，由对顶角和角平分线的性质易得，于是，由（2）可知，进而，即；在图1中，由角平分线的性质和平角的定义易得，即，由知，于是，将代入上式，化简即可得到结果． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， 是直角，即， ； （2）解：， ， 平分， ， 是直角，即， ， 故答案为：； （3）解：①．理由如下： 当旋转至题图2的位置时， 设，则， 平分， ， ， ，即， ， ， ， ； ②在图1中，．理由如下： 由已知，过点O的一条射线，使得恰好平分，反向延长得到射线，如图， 则平分， ， 又， ， ， 由（2）知，若，则， ， ，即； 在图2中，．理由如下： 平分， ， 又， ，即， 由①知，， ， ， ， 将代入，得， 整理得． 42．（24-25七年级上·北京·期中）对于数轴上的点A，B，C，D，点M，N分别是线段，的中点，若，则将e的值称为线段，的相对离散度，特别地，当点M，N重合时，规定．设数轴上的点O表示的数是0，点T表示的数是2． (1)若数轴上点A，B，C，D表示的数分别是，，3，5，则线段的中点表示的数是______，线段，的相对离散度是______． (2)设数轴上点O右侧的点S表示的数是s，若线段，的相对离散度，求s的值． (3)数轴上点P，Q都在O点的右侧（其中P，Q不重合），点R是线段的中点，设线段，的相对离散度为，线段，的相对离散度为，当时，直接写出R所表示的数r的取值范围．（参考材料：1、若，则．其中，且；2、如图：点M把线段分成相等的两条线段与，点M叫作线段的中点） 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）分别求出线段、及其中点、，进而求出线段，然后依据相对离散度的计算公式进行解答即可； （2）设线段、的中点为、，分别求出线段、及其中点、，进而求出线段，然后依据相对离散度的计算公式列出关于的方程，解方程即可求出的值； （3）设数轴上点、对应的数分别为、，则点所对应的数，依据相对离散度的计算公式分别得出、，根据，得到关于、的方程，然后运用分类讨论思想，最终得出的取值范围． 【详解】（1）解：数轴上点A，B，C，D表示的数分别是，，3，5， ，线段的中点表示的数是， ，线段的中点表示的数是， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）解：设线段，的中点为，， 数轴上的点O表示的数是0，点O右侧的点S表示的数是s，点T表示的数是2， ，， 点，在数轴上表示的数分别为，， ， 线段，的相对离散度为，且， ， ， 解得：或， 的值为或； （3）解：，理由如下： 设数轴上点、对应的数分别为、， 数轴上点、都在点的右侧（其中、不重合）， ，，且， ，，， 点是线段的中点， 点所表示的数， 设线段，的中点为，，则对应的数为，对应的数为， ， 线段，的相对离散度为，且， ， ， 同理可得：， ， ， 分四种情况讨论： 当，时， 解得：， 、不重合， ， 此种情况不合题意，故舍去； 当，时， 解得：， 同样，此种情况不合题意，故舍去； 当，时， 解得：； 当，时， 解得：； 综上，， ， ， ， 即：， ， 即：， ， 即：． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，线段中点的有关计算，等式的性质，绝对值方程等知识点，准确理解题目中的定义与公式并能熟练应用是解题的关键． 43．（24-25七年级上·广东深圳·期中）【综合实践】某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【知识准备】 （1）下列图形中，不是无盖正方体的表面展开图的是_______；（填序号） 【实践探索】 （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒） ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面周长为______（用含a，b的式子表示）； ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，．则该长方体纸盒的体积为_____． 【实践分析】 （3）一个无盖长方体的长、宽、高分别为，（它缺一个长为，宽为的长方形盖子），如图是该长方体的一种平面展开图，它的外围周长为．事实上，该长方体的平面展开图还有不少，请你画出该无盖长方体外围周长最大的一种表面展开图，并求出最大外围周长的值． 【答案】（1）②（2）①②1000（3）见解析， 【分析】本题考查简单几何体的展开图，熟练根据简单几何的展开图得出长方体的长宽高是解题的关键． （1）根据无盖正方体纸盒的面数和构成求解； （2）①根据正方形周长公式即可得解； ②根据长方体的体积公式即可得解； （3）根据边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，露出外围的边都是长边画图，再据此求解即可． 【详解】（1）解：②不能折成一个无盖正方体纸盒，①③④能折成一个无盖正方体纸盒， 故答案为：②； （2）①解：由题意可知，长方体纸盒的底面为正方形，其边长为， ∴长方体纸盒的底面周长为， 故答案为：； ②由题意可知，该长方体纸盒的长为，高为，宽为， ∴该长方体纸盒的体积为， 故答案为：1000； （3）解：由题意知：边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，如图， 所以该长方体表面展开图的最大外围周长为． 44．（23-24七年级下·山东潍坊·阶段练习）综合与探究 旧知回顾： （）如图，线段厘米，为线段上的一个动点，点，分别是，的中点． 若厘米，则线段的长为__________厘米． 设厘米，则线段的长为__________厘米． 知识迁移： （）我们发现角的很多规律和线段一样，如图，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数． 拓展探究： （）已知在内的位置如图所示，，，且，，求的度数．（用含的代数式表示）    【答案】（）；；（）；（）． 【分析】（）先求出的长，再根据线段的中点的定义求出的长，即可求出的长；方法同上； （）根据角平分线的定义得出，，再根据 即可求解； （）求出的度数，根据， ，得出，，根据求解即可； 本题考查了线段的和差，线段中点的定义，角的和差，角平分线的定义，根据图形得出线段之间的等量关系、角之间的等量关系是解题的关键． 【详解】解：（）∵厘米，厘米， ∴厘米， ∵点，分别是，的中点， ∴厘米，厘米， ∴厘米， 故答案为：； ∵厘米，厘米， ∴厘米， ∵点，分别是，的中点， ∴厘米，厘米， ∴厘米， 故答案为：； （）∵射线平分，射线平分， ∴，， ∵， ， 即的度数为； （）∵，， ，， ，， ， ， ， ， ， 即的度数为． 45．（22-23七年级下·浙江·开学考试）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的，那么这两条射线所成的角叫做这个角的伴随角．如图1，若，则是的伴随角． (1)如图1，已知，，是的伴随角，则__________； (2)如图2，已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度（）至，当旋转的角度为何值时，是的伴随角． (3)已知，把一块含有角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点以4度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图4），问：在旋转一周的过程中，射线，，，能否构成伴随伴随角？若能，请求出旋转的时间；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能构成伴随角；或或或 【分析】本题主要考查了角的计算，一元一次方程，解题的关键是理解伴随角的定义． （1）根据伴随角的定义可求得，进一步解答即可； （2）首先求得，然后根据伴随角的定义进一步解答即可； （3）根据伴随角的定义列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：是的伴随角，， ， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， 是的伴随角， ， ， 旋转的角度为时，是的伴随角； （3）解：在旋转一周的过程中，射线，，，能构成伴随角； 理由：设按顺时针方向旋转一个角度，旋转的时间为， 如图1， 是的伴随角，， ， ， 解得：， ； 如图2， 是的伴随角，， ， ， ， ； 如图3， 是的伴随角，， ， ， ， ， 如图4， 是的伴随角，， ， ， 解得：， ； 综上所述，当旋转的时间为或或或时，射线，，，能构成伴随角． 46．（23-24七年级上·安徽合肥·单元测试）如图，，，平分，平分． (1)求的度数； (2)将绕着点顺时针旋转，仍然分别作，的平分线，，能否求出的度数？若能，请求出其值；若不能，请说明理由； (3)若（），，仍然分别作（）中操作，能否求出的度数？若能，直接写出的度数． 【答案】(1)； (2)能，或； (3)能或． 【分析】本题考查了角的和差定义、角平分线的定义，利用分类讨论思想是解题的关键． （1）根据题意可知，，由平分，平分；推出，，由图形可知，，即； （2）根据（）的求解思路，分在直线的右侧、的下方，在直线的右侧、的上方，在直线的左侧、的上方，当在直线的左侧、的下方，类讨论求解即可； （3）根据（）的求解思路，分在直线的右侧、的下方，在直线的右侧、的上方，在直线的左侧、的上方，当在直线的左侧、的下方，类讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； （2）解：能．当在直线的右侧、的下方时，如图， 设， ∵，， ∴， ∵、分别平分，， ∴， ∴， ∴； 当在直线的右侧、的上方时，如图， 设， ∵，， ∴， ∵、分别平分，， ∴， ∴， ∴； 当在直线的左侧、的上方时，如图， 设， ∵，， ∴， ∵、分别平分，， ∴， ∴， ∴； 当在直线的左侧、的下方时，如图， 设， ∵，， ∴， ∵、分别平分，， ∴， ∴， ∴； 综上可得的度数为或； （3）解：能．当在直线的右侧、的下方时，如图， ∵，， ∴， ∵、分别平分，， ∴， ∴， ∴； 当在直线的右侧、的上方时，如图， ∵，， ∴， ∵、分别平分，， ∴， ∴， ∴； 当在直线的左侧、的上方时，如图， ∵，， ∴， ∵、分别平分，， ∴， ∴， ∴； 当在直线的左侧、的下方时，如图， ∵，， ∴， ∵、分别平分，， ∴， ∴， ∴； 综上可得的度数为或． 47．（23-24七年级上·广东广州·期末）（1）如图，线段，C为的中点，点P从点A出发，以的速度沿线段向右运动，到点B停止；点Q从点B出发，以的速度沿线段向左运动，到点A停止．若P，Q两点同时出发，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止．设点P的运动时间为x（）s． （ⅰ）________cm． （ⅱ）是否存在某一时刻，使得C，P，Q这三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由． （2）一副三角板按左图中的方式拼接在一起，其中边、与直线上，，． （ⅰ）________度． （ⅱ）如图，三角板固定不动，将三角板绕点O按顺时针方向旋转角（即），在转动过程中两个三角板一直处于直线的上方． ①当平分，，其中的两边组成的角时，________． ②在旋转过程中，是否存在某一时刻满足？若存在，求此时的角；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（ⅰ）10（ⅱ）；（2）（ⅰ）75（ⅱ）①的值为，，②当或时，存在 【分析】（1）（ⅰ）根据线段中点，可得答案；（ⅱ）根据线段中点的性质，可得方程，根据解方程，可得答案． （2）（ⅰ）根据平角的定义即可得到结论；（ⅱ）①根据已知条件和角平分线的定义即可得到结论；②当在的左侧时，当在的右侧时，列方程即可得到结论． 【详解】解：（1）（ⅰ）∵C为的中点 ∴． 故答案为：10； （ⅱ）存在， ①∵P的速度2，Q的速度是1， ∴， 又， ∴ ∴不是线段的中点； ②为线段的中点，得 ，解得； ③为线段的中点，得 ，解得 综上所述：或． （2）（ⅰ），， ， 故答案为：75； （ⅱ）①当平分时， ，， ， ， ， 当平分时， ， ， ； 当平分时， ， ， ， 综上所述，旋转角度的值为，，； ②当在的左侧时，则，， ， ， ； 当在的右侧时，则，， ， ， ， 综上所述，当或时，存在． 【点睛】本题考查了两点间的距离，角的计算，特殊角，角平分线的定义，利用线段中点的性质得出关于的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． 48．（23-24七年级上·陕西西安·期末）如图1，点O是弹力墙上一点，魔法棒从的位置开始绕点O向的位置顺时针旋转，当转到位置时，则从位置弹回，继续向位置旋转．按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转． 第1步，从（在上）开始旋转至； 第2步，从开始继续旋转至； 第3步，从开始继续旋转至， …． 例如：当时．，，，的位置如图2所示，其中恰好落在上，；当时，，，，，的位置如图3所示，其中第4步旋转到后弹回，即，而恰好与重合． 根据以上材料，解决如下问题： (1)若，则度数是 ； (2)若，恰好与重合，求的值； (3)若，是否存在对应的值使？若存在，请求出对应的α值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题主要考查角度的计算的相关知识，可结合平角的性质及角度的加减进行计算分析． （1）根据题意，明确每次旋转的角度，计算即可； （2）根据各角的度数，找出等量关系式，列出方程，求出的度数即可； （3）类比第（2）小题的算法，分三种情况讨论，求出的度数即可． 【详解】（1）解：如图，当，，， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，∵，且， ∴， 由题可得：， 解得：； （3）解：如图，与都不回弹时， ，解得； 如图，当在的左边， ， ∴， ∴，解得：， 如图，当在的右边， 根据题意得：，解得：， 综上，对应的值是或或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$