4.2 整式的加减【九大考点+九大题型】-2025-2026学年人教版七年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破

4.2 整式的加减 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一：合并同类项 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。 合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。 合并同类项的步骤： （1）准确的找出同类项； （2）运用加法交换律，把同类项交换位置后结合在一起； （3）利用法则，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变； （4）写出合并后的结果。 知识点二：去括号的法则 （1）括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项的符号都不变； （2）括号前面是“—”号，把括号和它前面的“—”号去掉，括号里各项的符号都要改变。 知识点三：整式的加减 进行整式的加减运算时，如果有括号先去括号，再合并同类项。 整式加减的步骤： （1）列出代数式； （2）去括号； （3）合并同类项。 【题型探究】 题型一：同类项判断 【例1】．（25-26七年级上·全国）在多项式中，与 是同类项；与 是同类项； 没有同类项． 【跟踪训练1】．（24-25七年级上·福建漳州·期中）下列每组单项式中是同类项的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【跟踪训练2】．（24-25七年级上·全国）判断下列各题中的两项是不是同类项（在括号内填“是”或“否”）． （1）与( )；（2）与( )；（3）与( )； （4）与( )；（5）与( )；（6）与( )． 题型二：根据同类型求指数字母或者代数的值 【例2】．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）若单项式与的和仍为单项式，则的值是 ． 【跟踪训练1】．（25-26七年级上·上海·阶段练习）已知和是同类项，则 ． 【跟踪训练2】．（25-26七年级上·全国）若，则 ． 题型三：合并同类项问题 【例3】．（25-26七年级上·全国·期中）合并同类项： (1)； (2)． 【跟踪训练1】．（24-25七年级上·甘肃武威·期中）化简： (1)； (2)． 【跟踪训练2】．（25-26七年级上·全国·期中）合并同类项 (1) (2) 题型四：去括号和添括号问题 【例4】．（25-26七年级上·全国·课后作业）先去括号，再合并同类项． (1)； (2)； (3)； (4)． 【跟踪训练1】．（2024七年级上·上海·专题练习）去括号或添括号． (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【跟踪训练2】．（25-26七年级上·全国·课后作业）先去括号，再合并同类项： (1)． (2)． (3)． (4)． 题型五：整式的加减运算 【例5】．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)． (2)． (3)． 【跟踪训练1】．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【跟踪训练2】．（25-26七年级上·全国·课后作业）化简： (1)． (2)． (3)． (4)． 题型六：整式加减中的化简求值问题 【例6】．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）先化简，再求值：，其中，． 【跟踪训练1】．（2025七年级上·湖南·专题练习）先化简，再求值：，其中． 【跟踪训练2】．（2025七年级上·重庆·专题练习）先化简，再求值：，其中满足． 题型七：整式加减中的无关型问题 【例7】．（25-26七年级上·全国·期中）已知代数式． (1)求的值． (2)当，时，求的值． (3)当的值与y的值无关时，求x的值． 【跟踪训练1】．（24-25七年级上·湖北黄石·期末）已知代数式，． (1)当，时，求的值； (2)若的值与x的取值无关，求y的值． 【跟踪训练2】．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）已知多项式，． (1)求； (2)若的值与无关，求的值． 题型八：带字母的绝对值化简问题 【例8】．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段练习）有理数，，在数轴上的位置如图． (1)用“>”或“<”填空：_____0，_____0，_____0； (2)已知，到原点的距离是到原点距离的3倍，化简：； (3)若在，之间，化简：． 【跟踪训练1】．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）有理数、、在数轴上的位置如图： (1)用“”或“”填空：____，____，____，____． (2)化简：． 【跟踪训练2】．（25-26七年级上·山东·阶段练习）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“>”“<”或“＝”填空：b 0， 0， 0， 0； (2) ； (3)化简：． 题型九：整式加减的应用 【例9】．（25-26七年级上·全国·课后作业）我校七年级有象棋、足球、演讲、美术四个社团，参加象棋社团的有x人，参加足球社团的人数比象棋社团的人数的两倍少y人，参加演讲社团的人数比足球社团的人数的一半多1人，每个学生都限报一项，参加社团的学生共有人． (1)足球社团的学生比演讲社团多多少人（用含x，y的式子表示）？ (2)若，求美术社团的人数． 【跟踪训练1】．（2025七年级上·湖北·专题练习）现有一种新型网约车是一款全自动无人驾驶的网约车，已经在全国多个城市开放运营．某城市的新型网约车的计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 元/公里 元/分钟 元/公里 （注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式为：行车里程公里以内（含公里）不收远途费，超过公里的，超出部分每公里加收1元．） (1)若小东乘坐新型网约车，行车里程为公里，行车时间为分钟，则需付车费多少元？ (2)若小明乘坐新型网约车，行车里程为a公里，行车时间为b分钟（a，b为整数），请分别计算当和当时，小明应付车费多少元？（用含a，b的式子表示，并化简） (3)小王和小张各自乘坐新型网约车，小王比小张的行车里程少3公里，行程结束后反而多付了6元，两人计费项目也相同（远途费为0时视为没有这个计费项目），那么这两辆新型网约车的行车时长相差多少分钟？ 【跟踪训练2．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“标准多项式”．例如：多项式的系数和为，所以多项式是“标准多项式”．请根据这个定义解答下列问题： (1)在下列多项式中，属于“标准多项式”的是______；（填写序号） ①；②；③． (2)若多项式是关于x，y的“标准多项式”（其中m、n均为整数），则多项式也是关于x，y的“标准多多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． (3)已知，，，且（其中m，，t均为整数），请证明多项式也是关于x，y的“标准多项式”． 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26七年级上·江苏·期中）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·江苏·阶段练习）已知a，b，c在数轴上的大小关系是，则（   ） A． B． C．0 D． 3．（25-26七年级上·上海浦东新·阶段练习）下列去括号、添括号的结果中，正确的是（    ） A．； B．； C．； D．． 4．（25-26七年级上·上海·阶段练习）如果A是一个五次整式，B是一个四次整式，则一定是（    ） A．次数大于五次的整式 B．五次整式 C．九次整式 D．次数小于五次的整式. 5．（25-26七年级上·吉林长春·期中）把如图的两张大小相同的长方形卡片放置在图与图中的两个相同大长方形中，已知这两个大长方形的长比宽长，若记图中阴影部分的周长为，图中阴影部分的周长为，那么（    ） A． B． C． D． 6．（2025七年级上·四川·专题练习）(24-25七上·四川德阳中江县·期中)两个单项式与相加等于0，则的值是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 7．（24-25七年级上·湖北黄石·期末）如图，数轴上的三点，，分别表示有理数，，，化简（    ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·福建漳州·期中）一个两位数的个位数字是a，十位数字是b，把它们对调后得到另一个两位数，则下列说法正确的是（　　） A．这两个两位数的和是 B．这两个两位数的和是 C．这两个两位数的和是 D．这两个两位数的差是 9．（25-26七年级上·重庆万州·阶段练习）有理数在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥．其中结论正确的个数是（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 10．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）测量一座山的高度时，有时需要在若干个观测点中测量两个相邻可视观测点的相对高度，如“”表示“观测点A比观测点C高”，再用这些相对高度计算出山的总高度．如表是某次测量数据的部分记录，根据这次测量的数据，可得（　　） A． B． C． D． 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）多项式的值（    ） A．只与x有关 B．只与y有关 C．与x，y均有关 D．与x，y均无关 12．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）已知，，的大小关系如图所示，则下列四个结论中正确的个数是（   ） ； ； ；    ． A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 13．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）多项式合并同类项后不含项，则的值是 ． 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）（ ）； （2）（ ）； （3）（ ）． 15．（25-26七年级上·重庆忠县·阶段练习）若，，，，则 ． 16．（25-26七年级上·重庆北碚·阶段练习）对于任意一个个位数字不为0的四位数M，都可以看作由前面三位数和最后一位数组成，交换这个数的前面三位数和最后一位数的位置，将得到一个新的四位数N，记，例如：，则，，则 ；若四位数，满足，且，则 ． 三、解答题 17．（2025七年级上·全国·专题练习）化简下面各题． (1) (2) (3) (4) 18．（24-25七年级上·甘肃武威·期中）先化简，再求值 (1)  其中 ． (2)   其中 ． (3) 其中． 19．（25-26七年级上·全国·课后作业）直接求整式加减的结果→已知整式加减的结果求未知整式 （1）若一个多项式减去，结果得，则这个多项式为 ． （2）若一个多项式加上，结果是，则这个多项式为 ． 20．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）已知，晓风错将“”看成“”，算得结果． (1)计算的表达式； (2)求正确的结果的表达式； (3)晓华说（2）中的结果的大小与的取值无关，对吗？若，，求（2）中代数式的值． 21．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段练习）我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离，因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离．请用数轴解决以下问题： （1）式子在数轴上的意义是_______． （2）当取最小值时，可以取整数_______（符合条件的请写全）； （3）最小值为________； 【解决问题】 （4）如图，一条笔直的公路边有四个居民区、、、和市民广场．居民区、、、分别位于市民广场左侧，左侧右侧，右侧．现要在该公路边上建一个便民服务点，那么这个便民服务点建在何处，能使服务点到四个居民区、、、总路程最短？最短路程是多少？试说明理由． 22．（25-26七年级上·江苏南京·阶段练习）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答后面“探究”中的问题． 【提出问题】已知三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】解：由题意可知，，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． 当，，都是正数，即，，时，； 当，，中有一个正数，另两个为负数时，设，，，则；所以的值为或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题． (1)已知三个有理数，，满足，求的值； (2)已知，且，求的值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2 整式的加减 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一：合并同类项 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。 合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。 合并同类项的步骤： （1）准确的找出同类项； （2）运用加法交换律，把同类项交换位置后结合在一起； （3）利用法则，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变； （4）写出合并后的结果。 知识点二：去括号的法则 （1）括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项的符号都不变； （2）括号前面是“—”号，把括号和它前面的“—”号去掉，括号里各项的符号都要改变。 知识点三：整式的加减 进行整式的加减运算时，如果有括号先去括号，再合并同类项。 整式加减的步骤： （1）列出代数式； （2）去括号； （3）合并同类项。 【题型探究】 题型一：同类项判断 【例1】．（25-26七年级上·全国）在多项式中，与 是同类项；与 是同类项； 没有同类项． 【答案】 【分析】本题考查同类项的定义，解题的关键是正确理解同类项的定义，本题属于基础题型． 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 【详解】解：与是同类项；与是同类项；没有同类项． 故答案为：；；． 【跟踪训练1】．（24-25七年级上·福建漳州·期中）下列每组单项式中是同类项的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】本题考查了同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．根据同类项的定义逐项分析即可得解，熟练掌握同类项的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、符合同类项的定义，是同类项，符合题意； B、相同字母的指数不相同，不是同类项，不符合题意； C、所含字母不相同，不是同类项，不符合题意； D、所含字母不相同，不是同类项，不符合题意； 故选：A． 【跟踪训练2】．（24-25七年级上·全国）判断下列各题中的两项是不是同类项（在括号内填“是”或“否”）． （1）与( )；（2）与( )；（3）与( )； （4）与( )；（5）与( )；（6）与( )． 【答案】 是 否 否 否 是 是 【分析】根据同类项的定义逐个进行分析即可． 【详解】解：（1）是同类项，因为所含字母相同，都有，并且的次数都是1，的次数都是2，满足同类项的概念； （2）不是同类项，因为所含字母不相同，不满足同类项的概念； （3）不是同类项，因为所含指数不相同，不满足同类项的概念； （4）不是同类项，因为所含字母不相同，不满足同类项的概念； （5）是同类项，因为所含字母相同，都有，的次数分别是3，2，满足同类项的概念； （6）是同类项，因为都是数字，满足同类项的概念； 故答案为：①是 ②否 ③否 ④否 ⑤是 ⑥是． 【点睛】本题考查了同类项的定义，解决本题的关键是熟知定义． 题型二：根据同类型求指数字母或者代数的值 【例2】．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）若单项式与的和仍为单项式，则的值是 ． 【答案】5 【分析】本题考查同类项的定义；单项式与的和仍为单项式，说明这两个单项式是同类项能够合并，同类项是所含字母相同且相同字母的指数也相同，据此求解即可 【详解】解：∵单项式与的和仍为单项式 ∴与是同类项 ∴，， ∴， 故答案为：5 【跟踪训练1】．（25-26七年级上·上海·阶段练习）已知和是同类项，则 ． 【答案】13 【分析】本题考查了同类项的定义．根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，因此，两个单项式中对应字母的指数必须相等，由此可求出m、n的值，从而得出的值. 【详解】解：∵和是同类项 ∴，， ∴，， ∴. 故答案为13. 【跟踪训练2】．（25-26七年级上·全国）若，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了同类项与合并同类项、代数式求值，熟练掌握同类项的定义是解题关键． 根据，可得，求出后再代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴. 故答案为：. 题型三：合并同类项问题 【例3】．（25-26七年级上·全国·期中）合并同类项： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查合并同类项，准确的计算是解决本题的关键． （1）根据合并同类项法则可求解； （2）根据合并同类项法则可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【跟踪训练1】．（24-25七年级上·甘肃武威·期中）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先去括号，再合并同类项即可得解； （2）合并同类项即可得解． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【跟踪训练2】．（25-26七年级上·全国·期中）合并同类项 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式的加减，掌握去括号运算并正确合并同类项是解题的关键． （1）直接合并同类项，进而得出答案； （2）直接去括号，再合并同类项得出答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 题型四：去括号和添括号问题 【例4】．（25-26七年级上·全国·课后作业）先去括号，再合并同类项． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了去括号和合并同类项，熟练掌握去括号法则和合并同类项法则是解题的关键． 根据去括号法则和合并同类项法则求解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 【跟踪训练1】．（2024七年级上·上海·专题练习）去括号或添括号． (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的知识点是去括号和添括号，解题关键是熟练掌握去括号和添括号法则． 根据去括号和添括号法则分别进行解答即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：． 故答案为：． （3）解：． 故答案为：． （4）解：． 故答案为：． 【跟踪训练2】．（25-26七年级上·全国·课后作业）先去括号，再合并同类项： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了整式的加减，整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项． （1）（2）（3）（4）先去括号，再合并同类项即可求解． 【详解】（1）解：原式． （2）原式． （3）原式． （4）原式． 题型五：整式的加减运算 【例5】．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了整式的加减，解题的关键是熟练掌握合并同类项的法则． （1）（2）（3）首先去括号，然后合并同类项即可求解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）原式 ． （3）原式 ． 【跟踪训练1】．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减运算，熟练掌握去括号，合并同类项的法则，是解题的关键： （1）去括号，合并同类项即可； （2）去括号，合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 【跟踪训练2】．（25-26七年级上·全国·课后作业）化简： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，熟练掌握整式加减运算法则是解决此题的关键． （1）（2）（3）（4）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）原式． （2）原式． （3）原式． （4）原式 ． 题型六：整式加减中的化简求值问题 【例6】．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，17 【分析】本题考查了整式的加减－化简求值，一般先把所给整式去括号合并同类项，再把所给字母的值或代数式的值代入计算．先去括号合并同类项，然后把所给字母的值代入计算即可． 【详解】解： ∵，， ∴原式 ． 【跟踪训练1】．（2025七年级上·湖南·专题练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】，14 【分析】此题考查了整式的加减——化简求值，熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解本题的关键． 原式去括号，合并同类项得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求值． 【详解】解：原式 ， 当时，原式 ． 【跟踪训练2】．（2025七年级上·重庆·专题练习）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】； 【分析】本题考查非负数偶次幂、绝对值的性质，整式的加减，掌握去括号、合并同类项法则是解题的关键．由非负数的性质可求出x、y的值，再将原式去括号、合并同类项化简后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ， ， ， ∴原式， ． 题型七：整式加减中的无关型问题 【例7】．（25-26七年级上·全国·期中）已知代数式． (1)求的值． (2)当，时，求的值． (3)当的值与y的值无关时，求x的值． 【答案】(1) (2)19 (3) 【分析】本题考查整式的加减运算，化简求值，无关型问题，熟练掌握相关运算法则，正确的计算是解题的关键： （1）去括号，合并同类项进行计算即可； （2）整体代入法进行计算即可； （3）根据的值与y的值无关，得到含的项的系数为0，进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）当，时， ； （3）∵的值与y的值无关 ∴， 解得． 【跟踪训练1】．（24-25七年级上·湖北黄石·期末）已知代数式，． (1)当，时，求的值； (2)若的值与x的取值无关，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算、代数式求值以及根据代数式的值与某字母无关求参数的值． （1）根据题意先求出的表达式，利用去括号法则去掉括号，再合并同类项得到的最简形式； （2）由于的值与x的取值无关，说明含x的项的系数为0，在的最简形式中找出含x的项，令其系数为0，解方程求出y的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， 当，时， ∴原式． （2）解：由（1）知，， ∵的值与x的取值无关， ∴含x的项的系数为0， 在中，含x的项为，其系数为， ∴， 解得． 【跟踪训练2】．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）已知多项式，． (1)求； (2)若的值与无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减，代数式的值与某个字母无关，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）将的代数式代入，去括号合并同类项即可； （2）将化简后的的代数式变形为，代数式的值与y无关，即，即可解得题目所求． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ∵代数式的值与无关， ∴， ． 题型八：带字母的绝对值化简问题 【例8】．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段练习）有理数，，在数轴上的位置如图． (1)用“>”或“<”填空：_____0，_____0，_____0； (2)已知，到原点的距离是到原点距离的3倍，化简：； (3)若在，之间，化简：． 【答案】(1)，， (2)2 (3) 【分析】本题考查有理数的大小比较，绝对值，有理数的加减，掌握知识点是解题的关键． （1）根据数轴上左边的数小于右边的数进行判断即可； （2）先求出，，再去绝对值，最后进行有理数的加减即可； （3）先求出，再去绝对值，最后进行有理数的加减即可． 【详解】（1）解：由数轴，得， ∴，，． 故答案为：，，； （2）解：，到原点的距离是到原点距离的3倍， ， ∵， ∴，， ； （3）解：在，中间， ∴， ． 【跟踪训练1】．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）有理数、、在数轴上的位置如图： (1)用“”或“”填空：____，____，____，____． (2)化简：． 【答案】(1)；；； (2) 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的四则混合计算，化简绝对值： （1）根据数轴可得，据此根据有理数的加减计算法则求解即可； （2）由（1）可知，，据此化简绝对值，然后根据有理数的四则混合计算法则求解即可． 【详解】（1）解：由数轴可知，， ∴， 故答案为：；；；； （2）解：由（1）可知，， ∴ ． 【跟踪训练2】．（25-26七年级上·山东·阶段练习）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“>”“<”或“＝”填空：b 0， 0， 0， 0； (2) ； (3)化简：． 【答案】(1)<；<；>；< (2) (3) 【分析】本题主要考查数轴表示数的意义和方法、有理数的加减法、绝对值等知识点，根据有理数在数轴上的位置确定其取值范围是解题的关键． （1）根据有理数a，b，c在数轴上的取值范围，进而确定各代数式的正负即可解答； （2）判断的符号，然后再取绝对值、合并同类项即可； （3）判断的符号，然后再取绝对值、合并同类项即可． 【详解】（1）解：由有理数a，b，c在数轴上的位置，可得：， ∴，，，． 故答案为：，，，． （2）解：∵， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴ ． 题型九：整式加减的应用 【例9】．（25-26七年级上·全国·课后作业）我校七年级有象棋、足球、演讲、美术四个社团，参加象棋社团的有x人，参加足球社团的人数比象棋社团的人数的两倍少y人，参加演讲社团的人数比足球社团的人数的一半多1人，每个学生都限报一项，参加社团的学生共有人． (1)足球社团的学生比演讲社团多多少人（用含x，y的式子表示）？ (2)若，求美术社团的人数． 【答案】(1)人 (2)67 【分析】本题考查了整式的加减与实际问题，正确合并同类项是解题的关键． （1）利用整式的加减运算法则计算得出答案； （2）利用整式的加减运算法则化简整式，再代入数值计算得出答案． 【详解】（1）解：由题意，得参加足球社团的有人，参加演讲社团的有人． 故足球社团的学生比演讲社团多 人． （2）由题意，得参加社团的学生共有人， 所以参加美术社团的有人． 因为，所以． 故美术社团的人数为67． 【跟踪训练1】．（2025七年级上·湖北·专题练习）现有一种新型网约车是一款全自动无人驾驶的网约车，已经在全国多个城市开放运营．某城市的新型网约车的计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 元/公里 元/分钟 元/公里 （注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式为：行车里程公里以内（含公里）不收远途费，超过公里的，超出部分每公里加收1元．） (1)若小东乘坐新型网约车，行车里程为公里，行车时间为分钟，则需付车费多少元？ (2)若小明乘坐新型网约车，行车里程为a公里，行车时间为b分钟（a，b为整数），请分别计算当和当时，小明应付车费多少元？（用含a，b的式子表示，并化简） (3)小王和小张各自乘坐新型网约车，小王比小张的行车里程少3公里，行程结束后反而多付了6元，两人计费项目也相同（远途费为0时视为没有这个计费项目），那么这两辆新型网约车的行车时长相差多少分钟？ 【答案】(1)元 (2)当时，小明付费元；当时，小明付费元 (3)分钟或分钟 【分析】本题主要考查了列代数式、代数式求值、整式的加减的应用等知识点，理解题意、列出代数式是解题的关键． （1）根据表中新型网约车的计价规则计算即可解答； （2）根据或分情况讨论，分别用代数式表示出小明应付车费即可； （3）先根据行车里程数分情况讨论，再根据题意在每种情况下分别表示出小王和小张的行车时长，并算出相差的时长即可． 【详解】（1）解：根据计费规则，当行车里程为公里，行车时间为分钟时， 小东需付车费：（元）， 答：需付车费55元． （2）解：根据计费规则，当时，小明应付车费：（元）； 当时，小明应付车费：（元）． 综上，当时，小明付费元；当时，小明付费元． （3）解：设小张的行车里程为x公里，则小王的行车里程为公里，小张付费y元，则小王付费元， 当行车里程公里以内时，小张行车时长：（分钟），小王行车时长：（分钟）， ∴行车时长差为：（分钟）； 当里程超过公里时，小张行车时长：（分钟），小王行车时长：（分钟）， ∴行车时长差为：（分钟）． 答：这两辆新型网约车的行车时长相差为分钟或分钟． 【跟踪训练2．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“标准多项式”．例如：多项式的系数和为，所以多项式是“标准多项式”．请根据这个定义解答下列问题： (1)在下列多项式中，属于“标准多项式”的是______；（填写序号） ①；②；③． (2)若多项式是关于x，y的“标准多项式”（其中m、n均为整数），则多项式也是关于x，y的“标准多多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． (3)已知，，，且（其中m，，t均为整数），请证明多项式也是关于x，y的“标准多项式”． 【答案】(1)①③ (2)是，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了新定义“标准多项式”，整式的加减运算，理解定义是解题的关键． （1）根据“标准多项式”的定义求解即可； （2）根据多项式是关于，的“标准多项式”，可设（为整数，），则，多项式的系数和为，得到，即可求解； （3）先根据整式加减预算法则求出，再结合“标准多项式”的定义证明即可． 【详解】（1）解：①多项式的系数和为， 该多项式是“标准多项式”， ②多项式的系数和为，不是的整数倍， 该多项式不是“标准多项式”， ③多项式的系数和为， 该多项式是“标准多项式”， 故答案为：①③； （2）解：是，理由如下： 多项式是关于，的“标准多项式”， 为的整数倍， 设（为整数，）， 则， 多项式的系数和为， ， ， 是的整数倍，即是的整数倍， 多项式是关于，的“标准多项式”（其中，均为整数），则多项式也是关于，的“标准多项式”； （3）证明：∵，，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴多项式为， 多项式的系数和为， ∴多项式也是关于x，y的“标准多项式”． 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26七年级上·江苏·期中）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查整式的加减运算，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则．按照去括号，合并同类项的顺序化简即可． 【详解】解：． 故选：A． 2．（25-26七年级上·江苏·阶段练习）已知a，b，c在数轴上的大小关系是，则（   ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了化简绝对值，整式的加减计算，解题的关键是掌握以上知识点． 根据题意得到，，，化简绝对值，然后合并同类项即可． 【详解】解：∵ ∴，，， ∴ ． 故选：B． 3．（25-26七年级上·上海浦东新·阶段练习）下列去括号、添括号的结果中，正确的是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的去括号、添括号，熟练掌握整式的去括号、添括号法则是解题关键．根据整式的去括号、添括号法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项错误； B、，则此项正确； C、，则此项错误； D、，则此项错误； 故选：B． 4．（25-26七年级上·上海·阶段练习）如果A是一个五次整式，B是一个四次整式，则一定是（    ） A．次数大于五次的整式 B．五次整式 C．九次整式 D．次数小于五次的整式. 【答案】B 【分析】本题考查整式的加减.多项式的次数由最高次项决定. 【详解】解：∵整式相减后的次数不超过原式中较高的次数， 又∵A是五次整式，B是四次整式， ∴的次数至多为五次， 并且A的五次项系数在减法中不会被B影响，因为B最高为四次项， ∴中仍存在五次项， ∴一定是五次整式. 故选：B. 5．（25-26七年级上·吉林长春·期中）把如图的两张大小相同的长方形卡片放置在图与图中的两个相同大长方形中，已知这两个大长方形的长比宽长，若记图中阴影部分的周长为，图中阴影部分的周长为，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减，根据实际意义列出相对应的代数式并化简是解题的关键．设小长方形的长为，宽为，大长方形的长为，宽为， 分别求出两阴影部分的周长，再作差，根据整式的加减化简即可． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为，大长方形的长为，宽为， 由图可得，， 这两个大长方形的长比宽长 ， ， 由图可知：阴影部分的周长， 由图可知：阴影部分的周长， ， 故选：． 6．（2025七年级上·四川·专题练习）(24-25七上·四川德阳中江县·期中)两个单项式与相加等于0，则的值是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了合并同类项，同类项的定义，代数式求值，根据题意可得单项式与是同类项且两个单项式的系数互为相反数，据此求出a、b、c的值进一步即可得到答案． 【详解】解：∵单项式与相加等于0， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 7．（24-25七年级上·湖北黄石·期末）如图，数轴上的三点，，分别表示有理数，，，化简（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查数轴和绝对值，根据数轴得出的符号及绝对值的性质是解题的关键． 由数轴可知，易得，根据绝对值性质取绝对值符号后合并即可解答． 【详解】解：由数轴可知， 即， 所以 ． 故选：A． 8．（24-25七年级上·福建漳州·期中）一个两位数的个位数字是a，十位数字是b，把它们对调后得到另一个两位数，则下列说法正确的是（　　） A．这两个两位数的和是 B．这两个两位数的和是 C．这两个两位数的和是 D．这两个两位数的差是 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减. 根据题意表示出两位数及对调后的两位数，计算后即可做出判断． 【详解】解：两位数为，对调后的两位数为， 则两个两位数之和为，之差为或， 故选：C． 9．（25-26七年级上·重庆万州·阶段练习）有理数在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥．其中结论正确的个数是（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查根据数轴判断式子的符号．由数轴可得，，且，进而根据有理数的运算法则逐个判断即可． 【详解】解：由数轴可得，，a在和之间，b在0与1之间， c在2与3之间， ，①正确； ，②正确； ，，，③正确； ，④错误； ，⑤正确； ，，⑥错误； 综上可知，正确的有①②③⑤，共4个， 故选：C． 10．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）测量一座山的高度时，有时需要在若干个观测点中测量两个相邻可视观测点的相对高度，如“”表示“观测点A比观测点C高”，再用这些相对高度计算出山的总高度．如表是某次测量数据的部分记录，根据这次测量的数据，可得（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，正数和负数，将表中有理数相加即可得到的值． 【详解】解： ， 故选：C． 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）多项式的值（    ） A．只与x有关 B．只与y有关 C．与x，y均有关 D．与x，y均无关 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减，正确的运算是解题的关键． 原式去括号合并后，即可作出判断． 【详解】解： ∴只与有关， 故选：A ． 12．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）已知，，的大小关系如图所示，则下列四个结论中正确的个数是（   ） ； ； ；    ． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上点的位置判断式子的符号，化简绝对值，有理数加减运算，由数轴可知，然后逐一排除即可，掌握这些知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，原结论正确，符合题意； ，原结论错误，不符合题意； ，原结论正确，符合题意； ，原结论正确，符合题意； 综上可知正确，共个， 故选：． 二、填空题 13．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）多项式合并同类项后不含项，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题，合并同类项后不含项项，则合并后的系数为，由此可解，解题的关键是掌握合并同类项法则． 【详解】解：， ∵合并同类项后不含项， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）（ ）； （2）（ ）； （3）（ ）． 【答案】 【分析】本题考查了添括号，如果括号前面是负号，括号里的各项都改变符号，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据添括号的方法直接进行解答即可； （2）根据添括号的方法直接进行解答即可； （3）根据添括号的方法直接进行解答即可； 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）， 故答案为：． 15．（25-26七年级上·重庆忠县·阶段练习）若，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法，有理数的减法，绝对值．根据，求出异号，由得中正数的绝对值更大，再代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴异号， ∵， ∴， ∴中正数的绝对值更大， ∴，， ∴， 故答案为：． 16．（25-26七年级上·重庆北碚·阶段练习）对于任意一个个位数字不为0的四位数M，都可以看作由前面三位数和最后一位数组成，交换这个数的前面三位数和最后一位数的位置，将得到一个新的四位数N，记，例如：，则，，则 ；若四位数，满足，且，则 ． 【答案】 309 7208 【分析】本题主要考查整式的加减，理解题意是解题的关键．根据题意列出算式即可；先根据题意求得，结合已知条件可求出d的值，再求出的值，最后由，进而得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：309；7208． 三、解答题 17．（2025七年级上·全国·专题练习）化简下面各题． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查整式的加减运算，掌握合并同类项法则是解题的关键．（1）先去括号，再合并同类项即可；（2）先去括号，再合并同类项即可；（3）先去括号，再合并同类项即可；（4）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 18．（24-25七年级上·甘肃武威·期中）先化简，再求值 (1)  其中 ． (2)   其中 ． (3) 其中． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查整式的加减求值，解答本题的关键是明确整式加减的计算方法． （1）先去括号，然后合并同类项即可化简题目中的式子，再将的值代入化简后的式子即可解答本题； （2）合并同类项即可化简题目中的式子，再将、的值代入化简后的式子即可解答本题； （3）先去括号，然后合并同类项即可化简题目中的式子，再将、的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】（1）解： ． 当时，原式． （2）解： 当时，原式． （3）解： 当时， 原式 19．（25-26七年级上·全国·课后作业）直接求整式加减的结果→已知整式加减的结果求未知整式 （1）若一个多项式减去，结果得，则这个多项式为 ． （2）若一个多项式加上，结果是，则这个多项式为 ． 【答案】 【分析】直接列出整式的加减运算式子，根据整式的加减法则计算即可． 【详解】解：（1）由题可知 ①=， ， ； （2）②=， ， ． 【点睛】此题主要考查了整式的加减，列出整式的加减并进行化简是解题的关键. 20．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）已知，晓风错将“”看成“”，算得结果． (1)计算的表达式； (2)求正确的结果的表达式； (3)晓华说（2）中的结果的大小与的取值无关，对吗？若，，求（2）中代数式的值． 【答案】(1) (2) (3)结果的大小与的取值无关，0 【分析】本题主要考查整式的加减，涉及的知识有：去括号、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）由得，将C、A代入计算可得； （2）将A、B代入计算即可； （3）由化简后的代数式中无字母c可知其值与c无关，将a、b的值代入计算即可. 【详解】（1）解：∵ ∴ . 故的表达式为. （2）解： . 故正确的结果的表达式为. （3）解：由（2）得 ∵代数式中无字母c ∴其值与c无关是对的 将，代入得： . 21．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段练习）我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离，因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离．请用数轴解决以下问题： （1）式子在数轴上的意义是_______． （2）当取最小值时，可以取整数_______（符合条件的请写全）； （3）最小值为________； 【解决问题】 （4）如图，一条笔直的公路边有四个居民区、、、和市民广场．居民区、、、分别位于市民广场左侧，左侧右侧，右侧．现要在该公路边上建一个便民服务点，那么这个便民服务点建在何处，能使服务点到四个居民区、、、总路程最短？最短路程是多少？试说明理由． 【答案】（1）数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离；（2），，，，；（3）；（4）便民服务点P建在点B或点C处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短，最短距离是 【分析】本题考查了数轴表示数的意义和绝对值的意义，理解绝对值的意义是解题的关键． （1）根据题意即可得出结论； （2）的最小值表示有理数x的点到的点的距离与表示x的点到3的点的距离之和，x应该在和3之间的线段上，即可求出结果； （3）根据的几何意义是表示x的点到的距离减去x到3的距离，可得时取得最大值， 即可求出结果； （4）设便民服务点P在数轴上表示x的点处，由题意可得点P到各点的距离之和即，求出最小值即可． 【详解】（1）解：由题意可知，式子在数轴上的意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离； 故答案为：数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离． （2）解：根据题意可得， 的几何意义是数轴上表示有理数x的点到表示的点距离与表示x的点到3的点的距离之和， ∴当时，取最小值， 即当x可以取整数，，，，； 故答案为：，，，，． （3）解：的几何意义是表示x的点到的点的距离减去表示x的点到表示3的点的距离， 时取得最小值， 的最小值是：． （4）解：设便民服务点P在数轴上表示x的点处， 根据题意可得，便民服务点到四点的距离为， 当表示x的点在表示的点到表示1的点的线段上，有最小值，即， 当时， 取得最小值， 此时， 答：便民服务点建在点或点处，能使服务点到四个居民区、、、总路程最短，最短距离是． 22．（25-26七年级上·江苏南京·阶段练习）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答后面“探究”中的问题． 【提出问题】已知三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】解：由题意可知，，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． 当，，都是正数，即，，时，； 当，，中有一个正数，另两个为负数时，设，，，则；所以的值为或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题． (1)已知三个有理数，，满足，求的值； (2)已知，且，求的值． 【答案】(1)或1 (2)或 【分析】本题考查了绝对值的意义、有理数的乘法、有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）由题意可知，a，b，c三个有理数都为负数或其中一个为负数，另两个为正数．分两种情况，分别计算即可得解； （2）由绝对值的性质并结合题意可得，．再分两种情况计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可知，a，b，c三个有理数都为负数或其中一个为负数，另两个为正数． ①当a，b，c都是负数，即，，时，； ②当a，b，c中有一个负数，另两个为正数时，设，，，则； 所以的值为或1． （2）解：由，，得，． 因为，所以，． 当，时，； 当，时，． 所以的值为或． 学科网（北京）股份有限公司 $