精品解析：青海省西宁市湟中区多巴高级中学2024-2025学年高二上学期第二次月考（12月）数学试卷

高二数学第二次月考试卷 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 经过点的直线斜率为，则实数等于（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用两点求斜率列式求参即可. 【详解】因为点， 所以斜率 可得. 故选：C. 2. 过点且斜率为的直线在轴上的截距为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 求出直线方程，令可得结论． 【详解】由题意直线方程为，即，令得， 所以直线在轴上截距为． 故选：B． 3. 圆与圆的位置关系为（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆和圆的位置关系判断可得答案. 【详解】由题意知，两圆的圆心分别为， 圆心距为， 两圆的半径分别为2，3， 由于， 所以两圆相交. 故选：B. 4. 已知过点的直线的方向向量，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由直线的方向向量求出直线的斜率，从而利用点斜式即可求出直线方程. 【详解】由直线的方向向量可得该直线的斜率为， 又直线过点，所以直线方程为，即. 故选：A. 5. 已知，，经过作直线，若直线与线段恒有公共点，则直线倾斜角的范围（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题知，再根据斜率范围求解倾斜角的范围即可. 【详解】 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则， 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 所以，即， 因为， 所以或， 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：C． 6. 已知椭圆经过点，当变动时，截得直线的最大弦长为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求出和，代入椭圆方程即可. 【详解】由题意可得，，所以，所以椭圆方程为. 故选：A 7. 如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的加法及减法运算法则进行线性运算，逐步表示即可得到结果. 【详解】∵点为中点， ∴， ∴. 故选：B. 8. 已知定点，是双曲线的右焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线第一定义将转化成，求得最值问题. 【详解】解：根据双曲线第一定义及是双曲线右支上的动点可得， 所以， 所以， 结合图形可得， 当且仅当三点共线时取得等号，即图形中点在处取得最小值， 所以， 所以的最小值为， 故选：C. 【点睛】与双曲线有关的取值范围问题的解题思路： （1）若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解； （2）若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决. 二、多项选择题（每题6分，错选不得分，漏选3分，共18分） 9. 在棱长为2的正方体中，如图，以为原点建立空间直角坐标系，为中点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标表示一一判定选项即可. 【详解】由题意可知，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； ，故D正确. 故选：BD 10. 如图，在正方体中，分别为的中点，则（ ） A. B. 平面 C. 平面 D. 直线与直线所成角的余弦值为 【答案】AD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，由空间向量的关系判断空间位置关系，A选项，根据得到A正确；B选项，求出平面的法向量，由得到B错误；C选项，根据，得到直线与直线不垂直；D选项，利用空间向量夹角余弦公式进行计算. 【详解】以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设， 则. . A选项，因为，所以，A正确. B选项，设平面的法向量为， 则， 令得，，故， 因为， 所以与不垂直，则直线与平面不平行，错误. C选项，若平面，则. 因为，所以直线与直线不垂直，矛盾，C错误. D选项，，D正确. 故选：AD 11. 下列说法错误有（ ） A. “”是“与直线互相垂直”的充要条件 B. 过两点的直线的方程为 C. 直线恒过定点 D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A.由两直线互相垂直求解判断；B.根据直线的两点式方程判断；C.利用判断；D分直线经过原点和不经过原点时求解判断. 【详解】对于A，当与直线互相垂直时，， 解得：或，故A错误； 对于B，过（且）两点的所有直线的方程为，故B错误； 对于C，因为， 所以直线恒过定点，故C正确； 对于D，经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为： 当直线经过原点时为， 当直线不经过原点时，设方程为，将点代入得， 则直线方程为，故D错误； 故选：ABD 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据离心率求出，进而得到. 【详解】由题意得，，解得， 故. 故答案为：1 13. 求过点且与圆相切的直线方程为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】首先判断直线的斜率存在，设设斜率为，则切线方程为，利用圆心到直线的距离等于半径得到方程，解得即可. 【详解】当直线的斜率不存在时，直线方程为，显然不符合题意， 当直线的斜率存在，设斜率为，则切线方程为，即， 所以，解得或， 所以切线方程为或. 故答案为：或 14. 双曲线：的左焦点为，右顶点为，点到渐近线的距离是点到渐近线距离的2倍，则的离心率为______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意，利用点到直线的距离公式，得到，结合离心率的定义，即可求解. 【详解】由双曲线：，可得左焦点，右顶点， 其中一条渐近线的方程为，即， 则顶点到的距离为， 焦点到的距离为， 由题可得，即， 所以，所以双曲线的离心率为. 故答案为：2. 四、解答题 15. 已知直线，直线． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用直线平行的判定列方程求参数值，需要验证所得参数是否符合要求. （2）利用直线垂直的判定列方程求参数值即可. 【小问1详解】 由，则，即， 所以或， 当，，，两线重合，不合题意； 当，，，符合题意； 综上，. 【小问2详解】 由，则，即， 所以，即或. 16. 如图，在正方体中，分别是的中点． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可； （2）根据平面法向量的性质，结合空间点到面距离公式进行求解即可. 【小问1详解】 以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， 所以直线与所成角的余弦值为； 【小问2详解】 设平面的法向量为， 则得取，则， 得平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为． 17. 在平面直角坐标系中，圆经过点和点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若直线被圆截得弦长为，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求线段的垂直平分线所在直线的方程，进而求圆心和半径，即可得方程； （2）由垂径定理可得圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式运算求解. 【小问1详解】 因为，的中点为，且直线的斜率， 则线段的垂直平分线所在直线的方程为， 联立方程，解得， 即圆心，， 所以，圆的方程为. 【小问2详解】 因为直线被曲线截得弦长为， 则圆心到直线的距离， 由点到直线的距离公式可得，解得. 18. 如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，平面平面，． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：平面平面，平面平面，平面， 平面， 又平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可得平面，从再由线面垂直的定义可得结论； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算得直线的方向向量及平面法向量，即可得所求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，过作交于点，作于点． 由（1）得平面平面， 两两垂直， 故以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由条件可得，， ． 设平面的法向量为， 则， 令，则，， 所以为平面的一个法向量． 设直线与平面所成的角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 19. 已知椭圆的离心率为，右焦点为分别为椭圆的左、右顶点. （1）求椭圆的方程; （2）过点作斜率不为0的直线，直线与椭圆交于，两点，直线与直线交于点，记的斜率为，的斜率为.求证:为定值. 【答案】（1） （2）证明：设，因为直线过点且斜率不为0， 所以可设的方程为，代入椭圆方程得，， 其判别式，所以 两式相除得，即 因为A，B分别为椭圆的左、右顶点，所以点A的坐标为，点的坐标为，所以 从而. 【解析】 【分析】（1）头题意得到等式解出的值，得出椭圆方程； （2）设直线方程和交点坐标，联立方程组消元得到一元二次方程，由根与系数的关系列出等式，表示出，列出式子并化简得结果. 【小问1详解】 依题可得，解得:，所以，即椭圆的方程为 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学第二次月考试卷 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 经过点的直线斜率为，则实数等于（ ） A. B. 1 C. D. 2. 过点且斜率为的直线在轴上的截距为（　　） A. B. C. D. 3. 圆与圆的位置关系为（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离 4. 已知过点的直线的方向向量，则的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，经过作直线，若直线与线段恒有公共点，则直线倾斜角的范围（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆经过点，当变动时，截得直线的最大弦长为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 已知定点，是双曲线的右焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（每题6分，错选不得分，漏选3分，共18分） 9. 在棱长为2的正方体中，如图，以为原点建立空间直角坐标系，为中点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方体中，分别为的中点，则（ ） A. B. 平面 C. 平面 D. 直线与直线所成角的余弦值为 11. 下列说法错误有（ ） A. “”是“与直线互相垂直”的充要条件 B. 过两点的直线的方程为 C. 直线恒过定点 D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，则__________. 13. 求过点且与圆相切的直线方程为__________. 14. 双曲线：的左焦点为，右顶点为，点到渐近线的距离是点到渐近线距离的2倍，则的离心率为______. 四、解答题 15. 已知直线，直线． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值． 16. 如图，在正方体中，分别是的中点． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求点到平面的距离． 17. 在平面直角坐标系中，圆经过点和点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若直线被圆截得弦长为，求实数的值. 18. 如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，平面平面，． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 19. 已知椭圆的离心率为，右焦点为分别为椭圆的左、右顶点. （1）求椭圆的方程; （2）过点作斜率不为0的直线，直线与椭圆交于，两点，直线与直线交于点，记的斜率为，的斜率为.求证:为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $