精品解析：辽宁省大连市滨城高中联盟2024-2025学年高三上学期期中Ⅱ考试数学试卷

滨城高中联盟2024-2025学年度上学期高三期中Ⅱ考试 数学试卷 命题人：大连市第一中学 裴世杰 校对人：大连市第一中学 聂群 李艳玲 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数，则其共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，进而求出其共轭复数，进而求出复数在复平面内的坐标，即可得到答案． 【详解】复数， 所以复数的共轭复数， 故复数在复平面内对应的点的坐标，在第四象限. 故选：D． 2. 若且，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据“1”的妙用，转化为，展开后，利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为， 则， 当，即，联立，得，时等号成立. 所以的最小值为. 故选：B 3. 圆台的上下底面半径分别为1和4，轴截面的两条对角线互相垂直，则这个圆台的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，根据圆台轴截面几何性质求出圆台的高，利用体积公式求解. 【详解】如图，圆台的轴截面为，上下底面圆的圆心分别为， 设与相交于点，因为为等腰梯形，且， ，，则圆台的高， 所以这个圆台的体积为. 故选：C. 4. 下列选项中，p是q的充要条件的是（ ） A. p：或，q：两条直线与平行 B. p：直线与曲线有两个不同交点， C. 在圆外部， D. p：直线与圆相离， 【答案】B 【解析】 【分析】充要条件是指p可以推出q，q也可以推出p，需要根据每个选项中p和q的关系进行分析判断. 【详解】对于A，若两条直线与平行， 所以，解得或，但是当时，两直线重合， 所以，则p是q的必要不充分条件，故A错误； 对于B，，可得，， 所以， 表示圆心为，半径的圆的上半部分，如图所示： 直线恒过点，一般式为， 因为直线与曲线有两个不同的交点， 所以圆心到直线的距离小于半径，即，解得， 当时，左边圆上的端点为，此时斜率为， 所以， 所以p是q的充要条件，故B正确； 对于C， 圆半径， 即，所以， 因为在圆外部， 所以，解得， 综上，所以p是q的充分不必要条件，故C错误； 对于D，圆化为标准式为：， 圆心为，半径为， 若直线与圆相离， 则圆心到直线的距离为， 两边平方化简得，综上， 所以p是q的充分不必要条件，故D错误； 故选：B. 5. ，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据两角和差的余弦公式展开，求出，的值，进而得到，再根据对数运算求出答案. 【详解】因为，， 所以，解得，， 所以， 所以， 故选：C. 6. 函数，若在上有且只有四个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过解方程，结合三角函数的性质求得的范围. 【详解】令，得. 由于，所以. 又因为在上有且只有四个零点， 所以，解得. 故选：A. 7. 已知圆，圆．若圆上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，，使得，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意画出图形，利用两点间的距离关系求出的距离，再由题意得到关于的不等式求得答案. 【详解】 如图，圆的半径为，圆上存在点， 过点作圆的两条切线，切点为，使得， 则，在中，， 又圆的半径等于，圆心坐标， ，， ， 由， 解得：，则的取值范围为. 故选：D. 8. 直线是曲线和的公切线，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别设两个切点，根据导数的几何意义分别求得切线方程，联立解方程即可. 【详解】对于，设切点为，求导得， 则在该点处的斜率为， 则切线方程为：，即， 对于，设切点为，求导得， 则在该点处的斜率为， 则切线方程为：，即， 因为是公切线， 所以，即， 所以，即， 所以 即或，解得或， 当时，此时，，所以 当时，此时，，所以， 所以或， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题中，正确的命题是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则 C. 若，，则面积最大值为3 D. ，角B的平分线BD交AC边于D，且，则的最小值为12 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正弦定理和二倍角公式即可判断AB；对C，利用余弦定理和二次函数性质即可判断；对D，根据三角形面积公式和乘“1”法即可判断. 【详解】对于A：若，根据正弦定理则， 即，因为，所以或 即或，所以为等腰三角形或直角三角形，A错误； 对B，因为，则，， 则根据正弦定理有， 故B正确； 对C，设，. 则， ， 所以 ， 当时，三角形的面积取得最大值，故C正确； 对D，由题意可知，， 由角平分线性质和三角形面积公式得， 化简得，即， 因此， 当且仅当，即时取等号，即的最小值为，则D正确. 故选：BCD. 10. 已知椭圆的左右两个焦点分别为、，左右两个顶点分别为、，P点是椭圆上任意一点（与不重合），，则下列命题中，正确的命题是（ ） A. B. 的最大面积为 C. 存在点P，使得 D. 的周长最大值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】设，表示出和，利用椭圆方程化简即可判断AC；结合图形求解可判断B；利用椭圆定义将的周长转化为，结合图形求解可判断D. 【详解】对A，由题知，，则， 设，， 则，A正确； 对B，易知当点为短轴端点时，的面积最大，最大值为，B正确； 对C，， 则，C错误； 对D，由椭圆定义可知，，所以， 又， 所以， 当三点共线，且在线段上时，等号成立，D正确. 故选：ABD 11. 如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱BD，，的中点，N点在线段上运动，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 三棱锥的体积不是定值 C. 三棱锥的外接球的表面积是 D. 当直线和所成角最小时，线段长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用空间关系证明线面平行，利用线面平行可知动点到平面的距离相等，利用外接球球心在过三角形外接圆圆心的垂线上来求解外接球半径，利用空间向量法来求异面直线所成角的最值，从而求解相关模长. 【详解】 对于A，取中点，连接，由于分别为棱BD的中点， 所以有，且， 又因为，且， 所以，且， 则四边形是平行四边行， 即，又因为平面，平面， 所以平面，故A正确； 对于B，由于，平面，平面， 所以平面，而N点在线段上运动，、 则点N到平面的距离不变，而为的中点， 所以三角形的面积是定值，即三棱锥的体积是定值，故B错误； 对于C，由直角三角形的外接圆心是点，再取的中点为， 则平面，即三棱锥的外接球的球心在上， 所以设，由棱长为2的正方体可知， ，，又因为， 所以，解得：， 即三棱锥的外接球的表面积为，故C正确； 对于D，建立如图以为原点的空间直角坐标系，可知：，设点的坐标为， 则， 所以有令，则，因为，所以，即 则上式 二次函数在递减，在递增， 所以在有最小值，即， 故上式有最大值，即， 此时线和所成角最小，所以此时， 则，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知椭圆和椭圆的离心率分别为和，若，则________． 【答案】或. 【解析】 【分析】根据离心率定义求椭圆的离心率，结合条件确定椭圆的离心率，讨论焦点位置列方程求. 【详解】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为， 则， ， ， 所以椭圆的离心率，又， 所以， 设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为， 则，所以， 所以， 当椭圆的焦点在轴上时，，所以， 当椭圆的焦点在轴上时，，所以， 所以或. 故答案为：或. 13. 如图，在五棱锥中，底面ABCDE，，，，，，则平面与平面的夹角的余弦值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，利用空间向量的夹角公式求解即可. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，， 所以, 则， 假设平面的一个法向量为， 则， 令，则，所以， 假设平面的一个法向量为， 则， 令，则，所以， 假设平面与平面的夹角为， 则， 故答案为： 14. 已知函数，若关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】构造，证明其为奇函数，再利用导函数得到的单调性，变形不等式得，则，分离参数得，然后分两方面讨论即可得到的最大值. 【详解】设，则其定义域为，且 ，故为奇函数. 而，且仅在时，所以为增函数. 同时，不等式可化为，即. 而是奇函数，故原不等式又等价于， 因为是增函数，所以等价于. 当时，这可化为，故条件即为对任意成立. ①一方面，在条件中取，即可得到，从而一定有； ②另一方面，当时，我们证明对任意的，都有. 首先，代入，然后两边同乘正数，可知该不等式等价于. 设，则，故对有，对有. 从而在上递减，在上递增，所以对均有. 这就意味着，所以 . 从而由即可得到. 即当时，不等式对恒成立， 综合①②两方面，可知的最大值为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：解答不等式恒成立问题常见方法：1，利用最小值大于零或令最大值小于零；2，分离参数后再求最值；3，利用数形结合求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，中的三个内角，，的对边长分别为，，，． （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，，求周长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助三角恒等变换可将原函数化为正弦型函数，结合正弦性函数性质计算即可得解； （2）结合正弦定理可将边化为角，结合三角恒等变换可将周长用表示，结合锐角三角形定义可得的范围，即可得周长的取值范围. 【小问1详解】 ， 由，则，则， 即，又，故； 【小问2详解】 由正弦定理可得， ， 则 ， 由为锐角三角形，，则有，解得， 则，由在上单调递增，故， ，， 故，故， 即周长的取值范围为. 16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，，E，F分别是SC，BD的中点． （1）求证：∥平面SAB； （2）求三棱锥的体积； （3）求直线AD与平面BED所成角的正弦值． 【答案】（1） 连接， 因为ABCD是菱形，F是BD的中点，可知是的中点， 且E是SC的中点，则∥， 又因为平面SAB，平面SAB，所以∥平面SAB. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，可得∥，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）取的中点，可证平面，可得，进而分析长度结合余弦定理可得，过点作平面的垂线，垂足为，可得，求得，即可求体积； （3）建系标点，求平面BED的法向量，利用空间向量求线面夹角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接， 因为，则， 又因为，，平面， 所以平面，且平面，可知， 且点为的中点，则， 结合题意可知：， 又因为，在中，可得， 且，可知， 由平面，平面， 可知平面平面，且平面平面， 过点作平面的垂线，垂足为， 由面面垂直的性质可知，则，， 所以三棱锥的体积. 【小问3详解】 以为坐标原点，分别为轴，平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得， 设平面BED的法向量为，则， 令，则，可得， 则， 所以直线AD与平面BED所成角的正弦值为. 17. 已知函数，恒有． （1）求实数a的值； （2）证明：对任意的，有． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，求导可得，然后分与讨论，转化为最值问题，然后由导数判断函数的单调性得到函数极值点，即可得到结果； （2）根据题意，先得到的解析式，然后由作差法代入计算，即可证明. 【小问1详解】 由可得， 当时，因为，所以，即， 所以函数在上单调递增， 当时，，，不满足恒成立， 当时，令，即，解得， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以在处取得最小值，， 因为恒成立，所以， 令，则， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以在处取得最大值， 所以得解为. 【小问2详解】 由（1）可知，则，， ， 要证，即证， 化简右边可得， 则只需证， 进一步化简得， 化简可得， 因为，所以， 则成立. 18. 已知椭圆C的两个焦点，，过点且与坐标轴不平行的直线l与椭圆C相交于M，N两点，的周长等于16. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若过点的直线与椭圆C交于两点A，B，设直线，的斜率分别为，. （i）求证：为定值； （ii）求面积的最大值. 【答案】（1）； （2）（i）证明见解析；（ii）面积的最大值为. 【解析】 【分析】（1）依据题意列出关于的方程组求出即可得解； （2）（i）依据题意分直线斜率为0时和直线斜率不为0时两种情况结合韦达定理计算分析即可求证；（ii）由（i）先求出，再由面积公式结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意可得椭圆焦点在x轴上，且， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）证明：由题意可知直线斜率存在， 当直线斜率为0时，显然，所以； 当直线斜率不为0时，设直线方程为， 联立， 则， 设，则， 所以， 因为， 所以. 综上，为定值0. （ii）由（i）可得， 所以， 所以，当且仅当即时等号成立， 所以面积的最大值为. 19. 新定义：在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是一个函数图象，即对于，直线与函数的图象至多有一个交点，则称为“旋转函数”． （1）判断函数是否为“旋转函数”并说明理由； （2）判断函数是否为“旋转函数”并说明理由； （3）已知函数是“旋转函数”，求的最大值． 【答案】（1） 函数不是“旋转函数”，理由如下： 如果是“旋转函数”，即和最多一个交点， 显然，当时，两条直线重合，有无数个交点，与“旋转函数”的定义矛盾， 所以：不是“旋转函数”； （2） 由题意可知,与函数的图象最多1个交点才能是“旋转函数”. 设, . 由得,由得, 即在单调递减,在单调递增. 其中, 当时,和有两个交点， 所以不是“旋转函数”； （3） 【解析】 【分析】（1）根据“旋转函数”的定义判断即可； （2）根据“旋转函数”的定义判断即可； （3）依题意与最多一个交点，故函数在上是单调函数，利用导数研究单调性即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意,与最多一个交点,其中, 即与图象最多一个交点， 所以在上是单调函数， ， ， 因为，所以， 所以在上恒成立, ,所以，即 解得,即的最大值为. 由于，则在上不可能恒成立， 此时在上不是单调函数，则不是“旋转函数”，不满足题意. 综上：的最大值为. 【点睛】关键点点睛：理解“旋转函数”的定义是解决本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 滨城高中联盟2024-2025学年度上学期高三期中Ⅱ考试 数学试卷 命题人：大连市第一中学 裴世杰 校对人：大连市第一中学 聂群 李艳玲 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数，则其共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 若且，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 3. 圆台的上下底面半径分别为1和4，轴截面的两条对角线互相垂直，则这个圆台的体积是（ ） A. B. C. D. 4. 下列选项中，p是q的充要条件的是（ ） A. p：或，q：两条直线与平行 B. p：直线与曲线有两个不同交点， C. 在圆外部， D. p：直线与圆相离， 5. ，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 函数，若在上有且只有四个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆，圆．若圆上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，，使得，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 8. 直线是曲线和的公切线，则（ ） A. B. C. 或 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题中，正确的命题是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则 C. 若，，则面积最大值为3 D. ，角B的平分线BD交AC边于D，且，则的最小值为12 10. 已知椭圆的左右两个焦点分别为、，左右两个顶点分别为、，P点是椭圆上任意一点（与不重合），，则下列命题中，正确的命题是（ ） A. B. 的最大面积为 C. 存在点P，使得 D. 的周长最大值是 11. 如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱BD，，的中点，N点在线段上运动，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 三棱锥的体积不是定值 C. 三棱锥的外接球的表面积是 D. 当直线和所成角最小时，线段长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知椭圆和椭圆的离心率分别为和，若，则________． 13. 如图，在五棱锥中，底面ABCDE，，，，，，则平面与平面的夹角的余弦值为________． 14. 已知函数，若关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，中的三个内角，，的对边长分别为，，，． （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，，求周长的取值范围． 16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，，E，F分别是SC，BD的中点． （1）求证：∥平面SAB； （2）求三棱锥的体积； （3）求直线AD与平面BED所成角的正弦值． 17. 已知函数，恒有． （1）求实数a的值； （2）证明：对任意的，有． 18. 已知椭圆C的两个焦点，，过点且与坐标轴不平行的直线l与椭圆C相交于M，N两点，的周长等于16. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若过点的直线与椭圆C交于两点A，B，设直线，的斜率分别为，. （i）求证：为定值； （ii）求面积的最大值. 19. 新定义：在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是一个函数图象，即对于，直线与函数的图象至多有一个交点，则称为“旋转函数”． （1）判断函数是否为“旋转函数”并说明理由； （2）判断函数是否为“旋转函数”并说明理由； （3）已知函数是“旋转函数”，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $