精品解析：四川省雅安中学2024-2025学年九年级上学期期中教学质量评估数学试题

雅安中学2024—2025学年上期半期教学质量评估九年级数学试题 本试卷分 A 卷和 B 卷两部分，全卷满分 150 分，答题时间 120 分钟． 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卷规定的位置上． 2.回答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案编号． 3.回答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡指定的位置内． 4.所有题目必须在答题卷作答，在试题卷上答题无效． 5.考试结束后，只将答题卷交回． A 卷（共100分） 一、单选题（本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列方程是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐项分析判断即可求解．本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程是一元二次方程． 【详解】解：A、的次数是1，故该选项不符合题意； B、是一元二次方程，故该选项符合题意； C、，若，则方程为，次数为1，故该选项不符合题意； D、不是整式方程，故该选项不符合题意； 故选：B． 2. 菱形的对角线长分别为6和8，则该菱形的面积是（ ） A. 24 B. 48 C. 12 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】由菱形的两条对角线的长分别是6和8，根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得答案． 【详解】解：∵菱形的两条对角线的长分别是6和8， ∴这个菱形的面积是：×6×8=24． 故选A． 【点睛】此题考查了菱形的性质．菱形的面积等于对角线积的一半是解此题的关键． 3. 一个不透明的盒子里有9个黄球和若干个红球，红球和黄球除颜色外其他完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在25%，那么估计盒子中红球的个数为（ ） A. 12 B. 18 C. 27 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】根据频率及概率的关系和题意可直接列式计算． 【详解】解：由题意得： 不透明盒子中球的总数为：（个），则红球的个数为：（个）； 故选C． 【点睛】本题主要考查频率与概率的关系，熟练掌握频率与概率的关系是解题的关键． 4. 下列说法正确的是（　　） A. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B. 对角线相等的平行四边形是菱形 C. 有一条对角线平分一组对角的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的判定，矩形的判定和正方形的判定对选项一一分析，选择正确答案． 【详解】解：A、对角线互相垂直平分且相等的四边形才能判定是正方形，故错误； B、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故错误； C、一条对角线平分一组对角的平行四边形能判定是菱形，故错误； D、对角线互相垂直平分的四边形能判定是菱形，故正确； 故选：D． 【点睛】本题考查菱形、矩形和正方形的判定方法．解题的关键是熟练掌握运用这些判定方法． 5. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】由一元二次方程定义得出二次项系数k≠0；由方程有两个不相等的实数根，得出“△>0”，解这两个不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：由题可得：, 解得：且； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的关键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式（组）的解集等，本题对学生的计算能力有一定的要求． 6. 在四边形中，E，F分别是边，的中点，G、H分别是对角线，的中点，依次连接E，G，F、H得到的四边形一定是（　　） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线，平行四边形的判定．熟练掌握三角形的中位线的性质，平行四边形的判定定理，是解决问题的关键． 根据三角形中位线的性质可得，，进而根据一组对边平行且相等，证明四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】∵四边形中，E、F、G、H分别是、、、的中点， ∴，．，． ∴，， ∴四边形是平行四边形． 故选：A． 7. 某市为实现碧水青山规划，今年从三月开始植树到五月底结束，三个月共植树285万棵，三月份植了60万棵，设第四、五月植树量较前一个月的平均增长率为x，则下面所列方程正确的是（　　） A. 60（1+x）2＝285 B. 60（1﹣x）2＝285 C. 60（1+x）+60（1+x）2＝285 D. 60+60（1+x）+60（1+x）2＝285 【答案】D 【解析】 【分析】可先表示出四月份植树的数量，那么五月份植树的数量=三月份植树的数量×(1+增长率)2，根据三个月共植树285万棵列出方程即可． 【详解】解：设第四、五月植树量较前一个月的平均增长率为x， 根据题意，得60+60(1+x)+60(1+x)2＝285． 故选：D 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握求平均变化率的方法：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b是解决问题的关键． 8. 如图，在中，点P为上一点，连接．再添加一个条件使与相似，则下列选项中不能作为添加条件的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是本题的关键． 利用相似三角形的判定可求解． 【详解】A．当，可得，故该选项不符合题意； B．当，可得，故该选项不符合题意； C．当，可得，故该选项不符合题意； D．当，无法证明，故该选项符合题意． 故选：D． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9. 如果，那么______． 【答案】2 【解析】 【分析】由，可得，，，再代入化简即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查分式的化简求值、比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 10. 如关于x的一元二次方程（m﹣1）x2＋5x＋m2﹣1＝0一个根为0，则m＝_____． 【答案】-1 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解．把x=0代入一元二次方程即可得． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程（m-1）x2+5x+m2-1=0一个根为0， ∴m-1≠0，且m2-1=0， 解之得，m=-1， 故答案为：-1． 【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．同时，考查了一元二次方程的概念． 11. 若，与的面积比为，则与的周长比为____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，即可求解． 【详解】解：∵与的面积比为， ∴与的相似比为 与的周长比为 故答案为：． 12. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据根与系数的关系可得，再运算，然后整体代人即可解答． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．将根与系数的关系与代数式变形相结合是解题的关键． 13. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，射线交边于点D，若，则_____度． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图，相似三角形的性质，三角形内角和定理等知识，证明，根据直角三角形两锐角互余，构建方程求解即可． 【详解】解：由作图可知，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：30． 三、解答题（本大题共6个小题，共48分）解题要求：写出必要的文字说明、计算公式及解答步骤． 14. 按要求解下列方程： （1）（因式分解法）； （2）（求根公式法）； （3）（配方法）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法求解可得； （2）利用公式法求解可得； （3）利用配方法求解可得． 【小问1详解】 解：， ， 或， ； 【小问2详解】 解：， ， 故方程有两个不相等的实数根， ， ； 【小问3详解】 解：， ， ， ． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 15. 已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为． （1）画出绕点O顺时针旋转后得到的； （2）在y轴的左侧以O为位似中心作的位似图形，使新图与原图相似比为； （3）求出的面积． （4）在坐标平面内存在点M，使得以A，B，O，M为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点M的坐标． 【答案】（1） 如图所示： （2） 如图所示： （3）的面积为10 （4）或或 【解析】 【分析】本题考查了旋转作图，位似作图，网格求三角形面积，平行四边形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）分别找出旋转后的点，然后依次连接，得，即可作答． （2）分别找出位似后的点，然后依次连接，得，即可作答． （3）运用割补法进行列式计算，即可作答． （4）根据平行四边形的性质，作出满足题意的点，然后读取它们的坐标，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的面积． 【小问4详解】 解：点M如图所示： ∴以A，B，O，M为顶点的四边形是平行四边形，则点M的坐标为或或． 16. 小明想用镜子测量一棵松树的高度，但因树旁有一条河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他两次利用镜子，如图所示，第一次他把镜子放在C点，人在F点时正好在镜子中看到树尖A；第二次把镜子放在D点，人在G点正好看到树尖A．已知小明的眼睛距离地面1.70m，量得CD＝12m，CF＝1.8m，DH＝3.8m．请你求出松树的高． 【答案】这棵古松的高约为10.2米. 【解析】 【分析】根据反射定律可以推出∠ACB=∠ECF，∠ADB=∠DGH，所以可得△BAC∽△FEC、△ADB∽△GDH，再根据相似三角形的性质解答． 【详解】解：根据反射定律可以推出∠ACB＝∠ECF，∠ADB＝∠GDH， ∵AB⊥BC，EF⊥BC，GH⊥BC， ∴△BAC∽△FEC、△ADB∽△GDF， 设AB＝x，BC＝y ∴， 解得． 答；这棵古松的高约为10.2米 【点睛】本题考查相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 17. 我国大力发展职业教育，促进劳动力就业．某职业教育培训中心开设：A（旅游管理）、B（信息技术）、C（酒店管理）、D（汽车维修）四个专业，对某中学有参加培训意向的学生进行随机抽样调查，每个被调查的学生必须从这四个专业中选择一个且只能选择一个，该培训中心将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图 根据图中信息解答下列问题： （1）本次被调查的学生有 人；扇统计图中A（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数为 ； （2）请补全条形统计图，若该中学有300名学生有培训意向，请估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有 人； （3）从选择D（汽车维修）专业的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两人去某汽车维修店观摩学习．请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到甲、丙两名同学的概率． 【答案】（1）200； （2） 补全条形统计图如下： 90 （3） 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图与扇形统计图、用树状图法求概率． （1）由选择C专业的人数除以所占百分比即可求出总数，由乘以选择A（旅游管理）专业的人数所占的比例即可得出扇形统计图中A（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数； （2）求出B专业的人数，补全条形统计图即可，根据该中学选择“信息技术”专业意向的学生所占比例估计实际人数； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 本次被调查的学生有：（人）； （2）扇形统计图中，A（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数为：， 故答案为：200；； 【小问2详解】 条形统计图中，B（信息技术）专业的人数为：（人）， 若该中学有300名学生有培训意向，估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有（人）， 故答案为：90； 【小问3详解】 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种， ∴恰好抽到甲、乙两名同学的概率为． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）证明：无论k取任何实数，方程总有实数根． （2）若，求k的值． （3）若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长． 【答案】（1） 证明：， ， ， 无论取任何实数，方程总有实数根； （2） （3）这个等腰三角形的周长为18，21 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程两个为，，则，．也考查了一元二次方程的判别式和等腰三角形的性质，三角形的三边关系． （1）根据根的判别式即可得到结论； （2）先计算，整理得到，根据非负数的性质得到，然后根据△的意义即可得到结论； （3）先解出原方程的解为，，然后分类讨论：腰长为5时，则；当底边为5时，则得到，然后分别计算三角形的周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，，， ， ， 解得：； 【小问3详解】 解：解方程得，， ①当腰长为5时，则， ， 周长； ②当底边为5时， ， ， 周长． B卷（共50分） 四、填空题（每小题4分，共20分） 19. 如图，在正方形中，对角线与相交于点O，E为上一点，，F为的中点，若的周长为18，则的长为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用斜边上的中线等于斜边的一半和的周长，求出的长，进而求出的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，利用三角形的中位线定理，即可得解． 【详解】解：的周长为18， ． 为的中点， ． ， ， ， ， ． 四边形是正方形， ，O为的中点， 是的中位线， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，斜边上的中线，三角形的中位线定理．熟练掌握斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键． 20. 如图，在中，D在AC边上，，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，记的面积为，四边形CDOE的面积为，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】作DF∥AE交BC于F，连接CO，利用OE∥DF得到，所以BE＝EF，利用DF∥AE得到，所以CF＝2EF，然后计算，进而即可求解． 【详解】解：作DF∥AE交BC于F，连接CO，如图， ∵OE∥DF，O是BD的中点， ∴，即BE＝EF， ∵DF∥AE，， ∴， ∴CF＝2EF， ∴， ∴， 又∵O是BD的中点， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．过分点作平行线构建平行线分线段成比例定理的基本图形是解决问题的关键． 21. 一只昆虫在如图所示的树枝上寻觅食物，假定昆虫在每个岔路口都会随机选择一条路径，则它获取食物的概率是___． 【答案】． 【解析】 【详解】解：根据树状图，蚂蚁获取食物的概率是=．故答案为． 考点：列表法与树状图法． 22. 已知实数α，β满足α2+3α﹣1＝0，β2﹣3β﹣1＝0，且αβ≠1，则+3β的值为________． 【答案】10 【解析】 【分析】原方程变为（）-3（）-1=0，得到、β是方程x2-3x-1=0的两根，根据根与系数的关系得到关系式，代入求出即可． 【详解】解：∵α2+3α﹣1＝0， ∴（）-3（）-1=0， ∵实数α，β满足α2+3α﹣1＝0，β2﹣3β﹣1＝0，且αβ≠1， ∴、β是方程x2﹣3x﹣1＝0的两根， ∴+β＝3， ＝﹣1，， ∴原式＝1++3β＝1+3（+β）＝1+3×3＝10， 故答案为10． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟练的根据根与系数的关系进行计算是解题的关键． 23. 如图，在菱形中，，点E，F分别在，上，且，与相交于点G，与相交于点H．下列结论：①；②；③若，则；④．其中正确的结论有_______．（只填序号即可） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质证明△ACF≌△CDE，可判断①；过点F作FP∥AD，交CE于P点，利用平行线分线段成比例可判断③；过点B作BM⊥AG于M，BN⊥GC于N，得到点A、B、C、G四点共圆，从而证明△ABM≌△CBN，得到S四边形ABCG=S四边形BMGN，再利用S四边形BMGN=2S△BMG求出结果即可判断④；证明△BCH∽△BGC，得到，推出GH·BG=BG2-BC2，得出若等式成立，则∠BCG=90°，根据题意此条件未必成立可判断②． 【详解】解：∵ABCD为菱形， ∴AD=CD， ∵AE=DF， ∴DE=CF， ∵∠ADC=60°， ∴△ACD为等边三角形， ∴∠D=∠ACD=60°，AC=CD， ∴△ACF≌△CDE（SAS），故①正确； 过点F作FP∥AD，交CE于P点． ∵DF=2CF， ∴FP：DE=CF：CD=1：3， ∵DE=CF，AD=CD， ∴AE=2DE， ∴FP：AE=1：6=FG：AG， ∴AG=6FG， ∴CE=AF=7GF，故③正确； 过点B作BM⊥AG于M，BN⊥GC于N， ∵∠AGE=∠ACG+∠CAF=∠ACG+∠GCF=60°=∠ABC， 即∠AGC+∠ABC=180°， ∴点A、B、C、G四点共圆， ∴∠AGB=∠ACB=60°，∠CGB=∠CAB=60°， ∴∠AGB=∠CGB=60°， ∴BM=BN，又AB=BC， ∴△ABM≌△CBN（HL）， ∴S四边形ABCG=S四边形BMGN， ∵∠BGM=60°， ∴GM=BG，BM=BG， ∴S四边形BMGN=2S△BMG=2××BG×BG=BG2，故④正确； ∵∠CGB=∠ACB=60°，∠CBG=∠HBC， ∴△BCH∽△BGC， ∴， 则BG·BH=BC2， 则BG·（BG-GH）=BC2， 则BG2-BG·GH= BC2， 则GH·BG=BG2-BC2， 当∠BCG=90°时，BG2-BC2=CG2，此时GH·BG= CG2， 而题中∠BCG未必等于90°，故②不成立， 故正确的结论有①③④， 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形，把不规则图形的面转化为两个全等三角形的面积是解题的关键． 五、解答题（共30分） 24. 在全国人民的共同努力下，新冠疫情防控得到有效控制，复工复产后，某玩具经销商在销售中发现：某款进价为每个30元的玩具，若以每个40元销售，一个月能售出400个，销售单价每涨1元，月销售量就减少10个，请回答以下问题： （1）若上涨a元，则销量为________个． （2）若月销售利润定为6000元，且尽可能让利消费者，销售单价应定为多少元？ （3）由于资金问题，月销售成本不超过9000元(没有库存积压)，销售单价至少定为多少元？ 【答案】（1）（400-10a）；（2）销售单价应定为50元；（3）销售单价至少应定为50元. 【解析】 【分析】（1）根据销售单价每涨1元，月销售量就减少10个可算出涨价之后少售出的，再用之前卖的减去即可； （2）可设上涨了a元，则每件的利润为“售价-进价”，再根据“每件的利润×销售量=销售利润”列方程求解，注意为了尽可能让利消费者，则应尽量少涨价格； （3）设销售单价为x元，根据“每件的进价×销售量≤9000”列式求解即可. 【详解】（1）因为销售单价每涨1元，月销售量就减少10个，当上涨a元时，销售量减少10a，可得出销售量为400-10a． 故答案为（400-10a）个． （2）解：设上涨了a元，根据题意得 （40+a-30）（400-10a）=6000， 整理得a2-30a+200=0， 解得a1=10，a2=20， 由于要尽量让利消费者，故a=10， 则销售单价为40+10=50（元）. 答：销售单价应定为50元. （3）解：设销售单价为x元，根据题意得    30×[400-10（-40）]≤9000 解得  x≥50 . 答：销售单价至少应定为50元. 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，一元二次方程的实际应用-销售问题，准确计算是解题的关键． 25. “配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．例如：我们可以通过“配方法”求代数式的最小值． 原式：． ∵，∴，∴ 可知当时有最小值是． 请阅读上述“配方法”的应用，并解答下列问题： （1）当______时代数式有最小值是______； （2）当m、n为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． （3）在长方形中，，，动点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿向点C移动，连接、、．当P、Q两点中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设的面积为S，时间为秒，用含x的关系式表示S；当x为何值时，S有最小值？并求出最小值． 【答案】（1）3；5； （2）当时，多项式有最小值是21； （3），当时，S有最小值，最小值是4． 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方式的特征是解题关键． （1）仿照例题，运用“配方法”求解即可； （2）仿照例题，运用“配方法”求解即可； （3）由题意可知，，，，进而得出，，再根据列式，然后利用“配方法”求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 即当时代数式有最小值是， 故答案为：3；5； 【小问2详解】 解： ， ， ， 当时，多项式有最小值是21； 【小问3详解】 解：由题意可知，，，， 在长方形中，，， ，，， ，， ， ， ， ， 当时，S有最小值，最小值是4． 26. 如图1，在平面直角坐标系xOy中，点，，点C在y轴的负半轴上，连接AC，BC，满足． （1）求直线BC的解析式； （2）如图2，已知直线：经过点B ①若点D为直线上一点，直线AD与直线BC交于点H，若，求点D的坐标； ②过点O作直线，若点M、N分别是直线和上的点，且满足．请问是否存在这样的点M、N，使得与相似？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）①，；②点N的坐标为（，）或（，）或（，）． 【解析】 【分析】（1）由题意利用相似三角形的判定得出△AFC∽△CFG，进而得出求出点C坐标，进而利用待定系数法求解即可； （2）①根据题意先设点D的坐标为，进而利用相似三角形的相似比建立方程求出m,注意分类讨论； ②根据题意直接利用相似三角形的性质进行分析即可，注意分类讨论. 【详解】解：（1）∵∠AOC＝∠BOC＝90°， ∴△AFC∽△CFG ∴ ∵OA＝1，OB＝4 ∴OC＝2，点C坐标为（0，） 设直线BC的解析式为 把代入得 解得：k= ∴直线BC的解析式为 （2）设点D的坐标为 ①如图1所示，作SD//y轴，AK//y轴，分别交直线BC于点S、点K． ∵ ∴ ∵∠OHK＝∠SHD， ∴△AHK∽△DHS ∴ ∵，D ∴， ∴ ∴，则 ∴ 如图2所示，作SD//y轴，HT//y轴，分别交x轴于点S、点T． ∵ ∴ ∴ ∵SD//y轴，HT//y轴 ∴∠DSA＝∠HTA， ∴△ADS∽△AHT ∴ ∵，D ∴ ∴代入得 ∴ ②如图3-1中，当∠NBM=90°时，设直线BN交y轴于点D． ∴直线l2∥BC， ∴直线l2的解析式为y=x， ∵直线l1交y轴于点K（0，-6）， ∴OK=6， ∵△BOD∽△KOB， ∴， ∴， ∴OD=， ∵直线BN的解析式为y=-x+， 由，解得， ∴点N的坐标（，）． 如图3-2中， 由，解得， ∴G（6，3）， 取点P（0，7），连接PG，PB，交PB交直线l2于点N，作NM⊥BG于点M，则BG=，PG=2，PB=， ∴PB2=PG2+BG2， ∴∠PGB=90°，tan∠PBG=2， ∵tan∠CAB=2， ∴tan∠NBM=tan∠CAB， ∴∠NBM=∠CAB， ∴△BNM∽△ABC， ∵直线PB的解析式为y=-x+7， 由，解得， ∴N（，）， 如图3-3中，取BK的中点L（2，-3），J（-4，1），连接BL，JL，JL 交直线l2于点N，作NM⊥BK于M， 同法可证，△NMB∽△BCA， ∵直线BJ的解析式为y=-x+， 由，解得， ∴N（，）． 综上所述，满足条件的点N的坐标为（，）或（，）或（，）． 【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 雅安中学2024—2025学年上期半期教学质量评估九年级数学试题 本试卷分 A 卷和 B 卷两部分，全卷满分 150 分，答题时间 120 分钟． 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卷规定的位置上． 2.回答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案编号． 3.回答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡指定的位置内． 4.所有题目必须在答题卷作答，在试题卷上答题无效． 5.考试结束后，只将答题卷交回． A 卷（共100分） 一、单选题（本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列方程是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 菱形的对角线长分别为6和8，则该菱形的面积是（ ） A. 24 B. 48 C. 12 D. 10 3. 一个不透明的盒子里有9个黄球和若干个红球，红球和黄球除颜色外其他完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在25%，那么估计盒子中红球的个数为（ ） A. 12 B. 18 C. 27 D. 36 4. 下列说法正确的是（　　） A. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B. 对角线相等的平行四边形是菱形 C. 有一条对角线平分一组对角的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 5. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 6. 在四边形中，E，F分别是边，的中点，G、H分别是对角线，的中点，依次连接E，G，F、H得到的四边形一定是（　　） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 7. 某市为实现碧水青山规划，今年从三月开始植树到五月底结束，三个月共植树285万棵，三月份植了60万棵，设第四、五月植树量较前一个月的平均增长率为x，则下面所列方程正确的是（　　） A. 60（1+x）2＝285 B. 60（1﹣x）2＝285 C. 60（1+x）+60（1+x）2＝285 D. 60+60（1+x）+60（1+x）2＝285 8. 如图，在中，点P为上一点，连接．再添加一个条件使与相似，则下列选项中不能作为添加条件的是（） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共20分） 9. 如果，那么______． 10. 如关于x的一元二次方程（m﹣1）x2＋5x＋m2﹣1＝0一个根为0，则m＝_____． 11. 若，与的面积比为，则与的周长比为____． 12. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为________． 13. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，射线交边于点D，若，则_____度． 三、解答题（本大题共6个小题，共48分）解题要求：写出必要的文字说明、计算公式及解答步骤． 14. 按要求解下列方程： （1）（因式分解法）； （2）（求根公式法）； （3）（配方法）． 15. 已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为． （1）画出绕点O顺时针旋转后得到的； （2）在y轴的左侧以O为位似中心作的位似图形，使新图与原图相似比为； （3）求出的面积． （4）在坐标平面内存在点M，使得以A，B，O，M为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点M的坐标． 16. 小明想用镜子测量一棵松树的高度，但因树旁有一条河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他两次利用镜子，如图所示，第一次他把镜子放在C点，人在F点时正好在镜子中看到树尖A；第二次把镜子放在D点，人在G点正好看到树尖A．已知小明的眼睛距离地面1.70m，量得CD＝12m，CF＝1.8m，DH＝3.8m．请你求出松树的高． 17. 我国大力发展职业教育，促进劳动力就业．某职业教育培训中心开设：A（旅游管理）、B（信息技术）、C（酒店管理）、D（汽车维修）四个专业，对某中学有参加培训意向的学生进行随机抽样调查，每个被调查的学生必须从这四个专业中选择一个且只能选择一个，该培训中心将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图 根据图中信息解答下列问题： （1）本次被调查的学生有 人；扇统计图中A（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数为 ； （2）请补全条形统计图，若该中学有300名学生有培训意向，请估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有 人； （3）从选择D（汽车维修）专业的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两人去某汽车维修店观摩学习．请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到甲、丙两名同学的概率． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）证明：无论k取任何实数，方程总有实数根． （2）若，求k的值． （3）若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长． B卷（共50分） 四、填空题（每小题4分，共20分） 19. 如图，在正方形中，对角线与相交于点O，E为上一点，，F为的中点，若的周长为18，则的长为____________． 20. 如图，在中，D在AC边上，，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，记的面积为，四边形CDOE的面积为，则____________． 21. 一只昆虫在如图所示的树枝上寻觅食物，假定昆虫在每个岔路口都会随机选择一条路径，则它获取食物的概率是___． 22. 已知实数α，β满足α2+3α﹣1＝0，β2﹣3β﹣1＝0，且αβ≠1，则+3β的值为________． 23. 如图，在菱形中，，点E，F分别在，上，且，与相交于点G，与相交于点H．下列结论：①；②；③若，则；④．其中正确的结论有_______．（只填序号即可） 五、解答题（共30分） 24. 在全国人民的共同努力下，新冠疫情防控得到有效控制，复工复产后，某玩具经销商在销售中发现：某款进价为每个30元的玩具，若以每个40元销售，一个月能售出400个，销售单价每涨1元，月销售量就减少10个，请回答以下问题： （1）若上涨a元，则销量为________个． （2）若月销售利润定为6000元，且尽可能让利消费者，销售单价应定为多少元？ （3）由于资金问题，月销售成本不超过9000元(没有库存积压)，销售单价至少定为多少元？ 25. “配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．例如：我们可以通过“配方法”求代数式的最小值． 原式：． ∵，∴，∴ 可知当时有最小值是． 请阅读上述“配方法”的应用，并解答下列问题： （1）当______时代数式有最小值是______； （2）当m、n为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． （3）在长方形中，，，动点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿向点C移动，连接、、．当P、Q两点中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设的面积为S，时间为秒，用含x的关系式表示S；当x为何值时，S有最小值？并求出最小值． 26. 如图1，在平面直角坐标系xOy中，点，，点C在y轴的负半轴上，连接AC，BC，满足． （1）求直线BC的解析式； （2）如图2，已知直线：经过点B ①若点D为直线上一点，直线AD与直线BC交于点H，若，求点D的坐标； ②过点O作直线，若点M、N分别是直线和上的点，且满足．请问是否存在这样的点M、N，使得与相似？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $