精品解析：安徽省淮北市部分学校联考2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024-2025学年度第一学期九年级阶段性评价 数学（沪科版） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 2. 已知，下列等式错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线，，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 4. 校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，D是边上一点，添加一个条件后，仍不能使的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线的一部分如图所示，图象与x轴相交，除点外的另一个交点坐标是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，已知函数的图象经过直角三角形的斜边的中点，且与直角边相交于点．若的坐标为，则的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 8. 据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点、的对应点分别是、）．若物体的高为，小孔到地面距离为，则实像的高度为（） A B. C. D. 9. 如图，矩形中，，点在边上且恰好存在点使和相似，若，，则长为（ ） A. 4 B. 6 C. 4或6 D. 6或8 10. 如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y（单位：cm2），则y与x（0≤x≤8）之间函数关系可以用图象表示为 A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若，则__________． 12. 如图，面积为8，将沿方向平移，使的对应点满足，则平移前后两三角形重叠部分的面积是________． 13. 某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，以水平地面为轴，垂直于水平地面且位于池塘中心的线为轴建立平面直角坐标系，池塘的宽，池底最深处距离水平地面，原来的水面宽，若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离变为________． 14. 如图，在中，是上一点，连接，点在上，且，为中点． （1）若，，则________． （2）且，若，，则________． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知，且，求值． 16. 已知二次函数图象经过． （1）求这个二次函数表达式； （2）求当时的值． 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，为四边形边上一点，连接并延长交延长线于点，已知． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的图形，并直接写出点的坐标； （2）以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出放大后的图形，并直接写出点坐标； 五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 某商店经营一种成本为每千克30元的水产品，据市场调查，若按每千克40元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，设每件商品涨价元，月销售利润为元． （1）求与的函数表达式；（不要求写出自变量的取值范围） （2）每千克水产品定价为多少元时，该商店每月获得的利润最大？ 20. 如图，中，是边上的高，，，作矩形，使它的一边在上，顶点，分别在、上，与的交点为，且矩形长是宽的3倍． （1）求证：； （2）试求矩形的周长． 六、解答题（本题满分12分） 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． （1）求反比例函数的解析式； （2）点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标； （3）直接写出不等式的解集． 七、解答题（本题满分12分） 22. 护林员在一个斜坡上的点A处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计）为坡地进行浇灌，，点A处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形．已知该装置最大功率的情况下，水柱在距出水口A的水平距离为时，达到距离地面的竖直高度的最大值为．设喷出的水柱距出水口的水平距离为，距地面的竖直高度为，以坡底所在的水平方向为轴，A处所在的竖直方向为轴建立平面直角坐标系，原点为，如图所示．经过测量，可知斜坡的函数表达式近似为． （1）求图中水柱所在抛物线的函数表达式； （2）若该装置浇灌的最远点为点，求喷到处的水柱距出水口的水平距离． （3）给该浇灌装置安装一个支架，可调节浇灌装置的高度，则水柱恰好可以覆盖整个坡地时，安装的支架的高度为多少米？ 八、解答题（本题满分14分） 23. 已知中，，平分，，．点、分别是边、上的点（点不与点、重合），且，、相交于点． （1）求的长； （2）如图1，如果，求的值； （3）如果是以为腰的等腰三角形，求长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期九年级阶段性评价 数学（沪科版） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数顶点式的性质，解题的关键是掌握，对称轴为直线，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， 故选：A． 2. 已知，下列等式错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查比例性质．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴不成立， 故选：D． 3. 如图，直线，，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】解： ，即， ， 解得： 故选：D． 4. 校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，理解黄金分割：把线段分成两条线段和（），且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割，点是线段的黄金分割点是解答关键． 利用黄金分割的定义来进行计算求解． 【详解】解：为的黄金分割点，， ． 故选：C． 5. 如图，D是边上一点，添加一个条件后，仍不能使的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理，依次判断，即可求解， 本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是：熟练掌握相似三角形的判定定理． 【详解】解：A、∵，， ∴，不符合题意， B、∵，， ∴，不符合题意， C、根据无法得到，符合题意， D、∵， ∴， 又∵， ∴，不符合题意， 故选：C． 6. 已知抛物线的一部分如图所示，图象与x轴相交，除点外的另一个交点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，根据抛物线解析式得出抛物线的对称轴为直线，再根据对称性即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵图象与x轴一个交点为， ∴根据对称性可得，另一个交点的坐标为，即， 故选：C． 7. 如图，已知函数的图象经过直角三角形的斜边的中点，且与直角边相交于点．若的坐标为，则的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数k值的几何意义，熟练掌握反比例函数系数k值的几何意义是关键．根据中点求出点D坐标，得到反比例函数解析式，根据k值的几何意义解答即可． 【详解】解：∵D是的中点，且的坐标为， ∴， ∵点D在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∴， 故选：C． 8. 据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点、的对应点分别是、）．若物体的高为，小孔到地面距离为，则实像的高度为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．先证明得到，再证明得到，再把①和②相加变形得到，然后把，，代入计算即可，利用平行线构建相似三角形，然后用相似三角形对应边的比相等的性质求相应线段的长或表示线段之间的关系． 【详解】解：依题意得， ， ， ， ， ， 则①②得， ， ， ，， ， 解得， 故选：B． 9. 如图，矩形中，，点在边上且恰好存在点使和相似，若，，则长为（ ） A. 4 B. 6 C. 4或6 D. 6或8 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质及矩形的性质，熟知相似三角形的性质及矩形的性质是解题的关键．对与相似时的对应关系进行分类讨论，再结合相似三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，， 设， ∴， ∵， ∴， 当时，， ∴， 解得：，， 经检验，，是分式方程的解； 当时，， ∴， 解得：， 经检验，是分式方程的解； ∴长为4或6， 故选：C． 10. 如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y（单位：cm2），则y与x（0≤x≤8）之间函数关系可以用图象表示为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】①0≤x≤4时，y=S△ABD﹣S△APQ=×4×4﹣•x•x=﹣x2+8， ②4≤x≤8时，y=S△BCD﹣S△CPQ=×4×4﹣•（8﹣x）•（8﹣x）=﹣（8﹣x）2+8， ∴y与x之间的函数关系可以用两段开口向下的二次函数图象表示，纵观各选项，只有B选项图象符合．故选B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，，即可求解的值． 【详解】解：∵， 设，， 则 故答案为． 【点睛】本题主要考查了比例的性质，熟练的利用设参数的方法是解答本题的关键． 12. 如图，的面积为8，将沿方向平移，使的对应点满足，则平移前后两三角形重叠部分的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定性质是解题的关键； 根据平移的性质，推出，根据对应边线段比等于相似比，求，再根据面积比等于相似比的平方，进行求解即可． 【详解】∵如图， 将沿方向平移， ∴，，， ， ， ∴， ∵，则， ， ∴， ， ， 故答案为：， 13. 某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，以水平地面为轴，垂直于水平地面且位于池塘中心的线为轴建立平面直角坐标系，池塘的宽，池底最深处距离水平地面，原来的水面宽，若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离变为________． 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查抛物线的实际应用，根据图象可以设出池底所在抛物线的解析式为，再把代入解析式求出解析式，再把代入解析式即可判断． 【详解】解：由图象可得，抛物线顶点坐标为，且过， ∴设出池底所在抛物线的解析式为， 把代入解析式可得， 解得， ∴， 当时，， 此时最深处到水面的距离为， 故答案为：米． 14. 如图，在中，是上一点，连接，点在上，且，为中点． （1）若，，则________． （2）且，若，，则________． 【答案】 ①. 8 ②. 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，利用相似的性质进行线段的转换即可解答． （1）利用三角形相似的性质可得，再进行线段的转换即可解答． （2）过作的平行线，交的延长线于，证明和，再利用相似的性质进行线段转换即可解答． 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∴， ∴， ∵为中点， ∴，即为中点， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：8． （2）如图，过作平行线，交的延长线于， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∵，，， 又∵， ∴， 则， 由得， 解得， ∵， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知，且，求的值． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，代数式求值，理解比例的性质是解答关键． 根据题意设，，，代入求出，，，再代入中进行计算求解． 【详解】解：， 设，，，（）． ， ， 解得， ，，， ． 16. 已知二次函数的图象经过． （1）求这个二次函数的表达式； （2）求当时的值． 【答案】（1） （2）当时， 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法． （1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）把代入函数解析式求出函数值即可． 【小问1详解】 解：把代入得， 解得， ∴这个二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：当时，． 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，为四边形边上一点，连接并延长交延长线于点，已知． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2）9 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是： （1）根据，对顶角相等，即可证明； （2）根据得出相似比，再根据相似比求出的长度，即可求解． 【小问1详解】 解：证明：∵，， ∴． 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的图形，并直接写出点的坐标； （2）以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出放大后的图形，并直接写出点坐标； 【答案】（1）图见解析，点的坐标为 （2）图见解析，点坐标为 【解析】 【分析】本题考查了作轴对称图形和位似图形，掌握轴对称图形和位似图形的性质是解题的关键． （1）利用关于y轴对称点的性质：纵坐标相同，横坐标互为相反数，得出各对应点位置，进而得出答案； （2）利用位似变换的性质得出对应点位置，进而得出答案． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求， 由图知，点的坐标为； 【小问2详解】 解：如上图所示，即为所求，点坐标为． 五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 某商店经营一种成本为每千克30元的水产品，据市场调查，若按每千克40元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，设每件商品涨价元，月销售利润为元． （1）求与的函数表达式；（不要求写出自变量的取值范围） （2）每千克水产品定价为多少元时，该商店每月获得的利润最大？ 【答案】（1） （2）每千克水产品定价为60时，该商店每月获得利润最大 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意，列出函数关系式是解答关键． （1）根据利润=每件的利润乘件数计算即可求解； （2）将二次函数解析式化为顶点式，再利用二次函数的性质求解． 【小问1详解】 解：由题意可得： ； 【小问2详解】 解： ， ，开口向下， 当时，有最大值， ， 每千克水产品定价为60时，该商店每月获得的利润最大． 20. 如图，中，是边上的高，，，作矩形，使它的一边在上，顶点，分别在、上，与的交点为，且矩形长是宽的3倍． （1）求证：； （2）试求矩形的周长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质， （1）由矩形的性质可得，即得，，进而可得，再根据相似三角形的性质即可求证； （2）设设，，由相似三角形的性质可得，解方程求出即可求解； 【小问1详解】 证明：∵四边形为矩形， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设，，则， ∵； ∴， 解得， 这个矩形的周长； 六、解答题（本题满分12分） 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． （1）求反比例函数的解析式； （2）点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标； （3）直接写出不等式的解集． 【答案】（1） （2）点的坐标为或 （3）或 【解析】 分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合； （1）根据点在直线上，得出进而将点坐标代入反比例函数解析式，待定系数法求解析式，即可； （2）将反比例函数解析式和一次函数解析式联立方程组得，，得出点坐标为，根据，建立方程，求得点纵坐标为9或，进而代入反比例函数，求得纵坐标，即可求解； （3）根据函数图象，即可求解． 【小问1详解】 解：因为点在直线上，所以，解得． 故点坐标为． 将点坐标代入反比例函数解析式得，， 所以反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 将反比例函数解析式和一次函数解析式联立方程组得，， 解得或． 故点坐标为． 又，即， 所以， 故点纵坐标为9或． 将代入得，． 将代入得，． 所以点的坐标为或． 【小问3详解】 根据函数图象可知，不等式的解集为：或． 七、解答题（本题满分12分） 22. 护林员在一个斜坡上的点A处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计）为坡地进行浇灌，，点A处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形．已知该装置最大功率的情况下，水柱在距出水口A的水平距离为时，达到距离地面的竖直高度的最大值为．设喷出的水柱距出水口的水平距离为，距地面的竖直高度为，以坡底所在的水平方向为轴，A处所在的竖直方向为轴建立平面直角坐标系，原点为，如图所示．经过测量，可知斜坡的函数表达式近似为． （1）求图中水柱所在抛物线的函数表达式； （2）若该装置浇灌的最远点为点，求喷到处的水柱距出水口的水平距离． （3）给该浇灌装置安装一个支架，可调节浇灌装置的高度，则水柱恰好可以覆盖整个坡地时，安装的支架的高度为多少米？ 【答案】（1）； （2）喷到处的水柱距出水口的水平距离为； （3）水柱恰好可以覆盖整个坡地时，安装的支架的高度为米． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，二次函数的平移是解题的关键． （1）设抛物线的函数表达式为，代入求解即可； （2）联立抛物线与直线，解出点C坐标即可解答； （3）设安装的支架高度为米，即抛物线向上平移个单位长度，设平移后的抛物线表达式为，又由直线得出，并代入平移后的抛物线求解的值即可． 【小问1详解】 解：由题意，可知，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 把代入，得， 解得， 水柱所在抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 联立， 解得：或， ， 喷到处的水柱距出水口的水平距离为． 【小问3详解】 设安装的支架高度为米，即抛物线向上平移个单位长度， 平移后的抛物线表达式为， 对于，当时，， 解得：， ， 将代入， 得， 解得：． 水柱恰好可以覆盖整个坡地时，安装的支架的高度为米． 八、解答题（本题满分14分） 23. 已知中，，平分，，．点、分别是边、上的点（点不与点、重合），且，、相交于点． （1）求的长； （2）如图1，如果，求的值； （3）如果是以为腰的等腰三角形，求长． 【答案】（1）15 （2） （3）为或 【解析】 【分析】（1）证明，可得，即可求解； （2）由（1）可得，再证明，可得，从而得到，过作交于，可得，同理，即可求解； （3）分两种情况讨论，即可求解． 【小问1详解】 解：，平分， ， ， 又， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）知，， ， ， ， ， ， ，， 又， ， ， ， ， 过作交于，如图： ， ， 同理，， ； 【小问3详解】 解：①当时， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（2）知，， ， ， ， ，． ②当时，在上截取，连接， ，； ， ， ，， ， ． 综上，若是以为腰的等腰三角形，则为或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形对应边成比例是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$