专题08 圆中的最值模型之阿氏圆模型-2024-2025学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版）

专题08 圆中的最值模型之阿氏圆模型 最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的阿氏圆问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.阿氏圆模型 1 13 模型1.阿氏圆模型 动点到两定点距离之比为定值（即：平面上两点A、B，动点P满足 PA/PB=k（k为常数，且k≠1）），那么动点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆。 如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB（即）， 连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？最小值是多少呢？ 如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r（即），∵，∴， ∵∠POC=∠BOP，∴△POC∽△BOP，∴，即k·PB=PC。 故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值。 其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小，如图3所示。 阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在于如何构造母子相似。 阿氏圆最值问题常见考法：点在圆外：向内取点（系数小于1）；点在圆内：向外取点（系数大于1）；一内一外：提系数；隐圆型阿氏圆等。 注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题． 例1．（2024·湖北武汉·九年级校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP＋BP的最小值为（    ） A．7 B．5 C． D． 例2．（2024·四川成都·模拟预测）如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______． 例3．（2024·四川成都·九年级校考期中）如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，BA＝BC＝2，以B为圆心作圆B与AC相切，点P是圆B上任一动点，连接PA、PC，则PA+PC的最小值为 ． 例4．（2024·重庆·校考一模）如图，在中，点A、点B在上，，，点C在OA上，且，点D是的中点，点M是劣弧AB上的动点，则的最小值为 ． 例5．（2024·福建·九年级校考期中）如图，正方形边长为4，是的中点，在上，的最大值是 　　，的最小值是 　　. 例6．（2023·江苏盐城·模拟预测）如图所示的平面直角坐标系中，，，是第一象限内一动点，，连接、，(1)求直线的解析式．(2)求的最小值． 例7．（2024·重庆·模拟预测）正方形ABCD中，AB＝2，点M是BC中点，点P是正方形内一点，连接PC，PM，当点P移动时，始终保持∠MPC＝45°，连接BP，点E，F分别是AB，BP中点，求3BP＋2EF的最小值为 ．    例8．（2024·广东·校考二模）（1）初步研究：如图1，在△PAB中，已知PA=2，AB=4，Q为AB上一点且AQ=1，证明：PB=2PQ；（2）结论运用：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推广：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠A=60°，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC−PB的最大值． 例9．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点．    (1)求直线及抛物线的表达式；(2)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)以点为圆心，画半径为2的圆，点为上一个动点，请求出的最小值． 1．（2024·山东泰安·二模）如图，在中，，，，以为圆心，为半径作，为上一动点，连接、，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024·四川宜宾·二模）正方形边长为6，点E是边上的动点，连接，交于点P，过点A作，交于点F、Q，过点B作于点G，交于点H，连接．以下说法：①当时，点F为的中点；②当时；③；④点E运动过程中，有最小值6．其中结论正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 3．（2023春·江苏·九年级校考阶段练习）如图，正方形的边长为4，的半径为2，为上的动点，则的最大值是 ． 4．（2023·山东·九年级专题练习）如图，在中，，，，圆C半径为2，P为圆上一动点，连接最小值__________．最小值__________． 5．（2023·广东·九年级专题练习）如图，菱形的边长为2，锐角大小为，与相切于点E，在上任取一点P，则的最小值为___________． 6．（2024·湖北武汉·模拟预测）【新知探究】新定义：平面内两定点 A, B ，所有满足 k ( k 为定值)的 P 点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”， 【问题解决】如图，在△ABC 中，CB 4 ， AB 2AC ，则△ABC 面积的最大值为_____． 7．（2024·四川成都·一模）如图，矩形中，已知为边上一动点，将沿边翻折到．点与点重合．连接．则的最小值为 ． 8．（2024·四川自贡·模拟预测）如图，在中，，以O为圆心，4为半径作，分别交两边于点C，D两点，P为劣孤上一动点，则的最小值 ． 9．（2024九年级·广东·专题练习）如图，的半径为，，Q为上一动点，则的最小值 ．的最小值 10．（2024九年级·广东·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径的圆与两坐标轴分别交于A，B两点，D是弧上一动点，则的最小值 ． 11．（23-24九年级上·重庆江津·阶段练习）如图，等边△ABC的边长为6，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则2PB＋PC的最小值为 ． 12．（2023·广东广州·二模）【问题情境】（1）如图1，四边形是正方形，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，若，则的长度是_________； 【类比探究】（2）如图2，四边形是矩形，，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接，判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由； 【拓展提升】（3）如图3，在（2）的条件下，连接BG，求的最小值．    13．（2024·重庆·二模）在中，，点E是内部的一点，连接，且，延长交于点D．    (1)如图1，若，求的长． (2)如图2，过点A作交的延长线于点F，过点B作交于点M，求证：．(3)如图3，在（1）问的条件下，点H是的中点，点О是直线上的动点，连接，将沿翻折得到，连接，直接写出当取最小值时的值． 14．（23-24九年级下·江苏苏州·开学考试）请认真阅读下列材料：如图①，给定一个以点O为圆心，r为半径的圆，设点A是不同于点O的任意一点，则点A的反演点定义为射线上一点，满足． 显然点A也是点的反演点．即点A与点互为反演点，点O为反演中心，r称为反演半径．这种从点A到点的变换或从点到点A的变换称为反演变换． 例如：如图②，在平面直角坐标系中，点，以点O为圆心，为半径的圆，交y轴的正半轴于点B；C为线段的中点，P是上任意一点，点D的坐标为；若C关于的反演点分别为． （1）求点的坐标；（2）连接、，求的最小值． 解：（1）由反演变换的定义知：，其中，． ∴，故点的坐标为； （2）如图③，连接、，由反演变换知， 即，而，∴．∴，即． ∴．故的最小值为13. 请根据上面的阅读材料，解决下列问题：如图④，在平面直角坐标系中，点，以点O为圆心，为半径画圆，交y轴的正半轴于点B，C为线段的中点，P是上任意一点，点D的坐标为． （1）点D关于的反演点的坐标为________；（2）连接、，求的最小值；（3）如图⑤，以为直径作，那么上所有的点（点O除外）关于的反演点组成的图形具有的特征是． 15．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）（1）如图，在中，D为上一点，．求证：；（2）如图2，在菱形中，E，F分别为上的点，且，射线交的延长线于点M，射线交的延长线于点N．若 求：①的长；②的长；（3）如图3，在菱形中，点E为的中点，在平面内存在点F，且满足，以为一边作（顶点F、A、P按逆时针排列），使得，且，请直接写出的最小值． 16．（2024·浙江·一模）问题提出：如图1，在等边△ABC中，AB＝9，⊙C半径为3，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+BP的最小值 (1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路，通过构造一对相似三角形，将BP转化为某一条线段长，具体方法如下：(请把下面的过程填写完整) 如图2，连结CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有 又∵∠PCD＝∠　 　 ∴△　 　∽△　 　 ∴ ∴PD＝BP ∴AP+BP＝AP+PD ∴当A，P，D三点共线时，AP+PD取到最小值 请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为　 　． (2)自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，P为矩形内部一点，且PB＝4，则AP+PC的最小值为　 　．(请在图3中添加相应的辅助线) (3)拓展延伸：如图4，在扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4．OA＝2，OB＝3，点P是上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 圆中的最值模型之阿氏圆模型 最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的阿氏圆问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.阿氏圆模型 1 13 模型1.阿氏圆模型 动点到两定点距离之比为定值（即：平面上两点A、B，动点P满足 PA/PB=k（k为常数，且k≠1）），那么动点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆。 如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB（即）， 连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？最小值是多少呢？ 如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r（即），∵，∴， ∵∠POC=∠BOP，∴△POC∽△BOP，∴，即k·PB=PC。 故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值。 其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小，如图3所示。 阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在于如何构造母子相似。 阿氏圆最值问题常见考法：点在圆外：向内取点（系数小于1）；点在圆内：向外取点（系数大于1）；一内一外：提系数；隐圆型阿氏圆等。 注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题． 例1．（2024·湖北武汉·九年级校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP＋BP的最小值为（    ） A．7 B．5 C． D． 【答案】B 【详解】思路引领：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．利用相似三角形的性质证明MPPA，可得AP+BP＝PM+PB≥BM，利用勾股定理求出BM即可解决问题． 答案详解：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM． ∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，∴PC2＝CM•CA，∴， ∵∠PCM＝∠ACP，∴△PCM∽△ACP，∴，∴PMPA，∴AP+BP＝PM+PB， ∵PM+PB≥BM，在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7， ∴BM5，∴AP+BP≥5，∴AP+BP的最小值为5．故选：B． 例2．（2024·四川成都·模拟预测）如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______． 【答案】 【分析】如图，连接，在上取一点，使得，进而证明,则在点P运动的任意时刻，均有PM=，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD，在△PDM中，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值，勾股定理即可求得． 【详解】如图，连接，在上取一点，使得， ， 在△PDM中，PD-PM＜DM，当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值， 四边形是正方形 在中，故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，构造是解题的关键． 例3．（2024·四川成都·九年级校考期中）如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，BA＝BC＝2，以B为圆心作圆B与AC相切，点P是圆B上任一动点，连接PA、PC，则PA+PC的最小值为 ． 【答案】 【分析】作BH⊥AC于H，取BC的中点D，连接PD，PB，AD，如图，根据切线的性质得BH为⊙B的半径，再根据等腰直角三角形的性质得到BH＝AC＝，接着证明△BPD∽△BCP得到PD＝PC，所以PA+PC＝PA+PD，而PA+PD≥AD（当且仅当A、P、D共线时取等号），从而计算出AD得到PA+PC的最小值，乘以可得结论． 【详解】解：过B作BH⊥AC于H，取BC的中点D，连接PD，PB，AD， ∵AC为切线，∴BH为⊙B的半径， ∵∠B＝90°，AB＝CB＝2，∴AC＝BA＝2，∴BH＝AC＝，∴BP＝， ∴，，∴，而∠PBD＝∠CBP，∴△BPD∽△BCP， ∴，∴PD＝PC，∴PA+PC＝PA+PD， 而PA+PD≥AD（当且仅当A、P、D共线时且P在AD之间时取等号）， 而AD＝＝，∴PA+PD的最小值为，即PA+PC的最小值为， 则PA+PC的最小值．故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．解决问题的关键是利用相似比确定线段之间的关系．同时也考查了等腰直角三角形的性质． 例4．（2024·重庆·校考一模）如图，在中，点A、点B在上，，，点C在OA上，且，点D是的中点，点M是劣弧AB上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．延长到T，使得，连接，．利用相似三角形的性质证明，求的最小值问题转化为求的最小值．利用两点之间线段最短得到，利用勾股定理求出即可解题． 【详解】解：延长到T，使得，连接，． ，，点D是的中点，，， ，，，， ，，， ，，又在中，，， ，， 的最小值为，故答案为：． 例5．（2024·福建·九年级校考期中）如图，正方形边长为4，是的中点，在上，的最大值是 　　，的最小值是 　　. 【解答】解：(1)如图，连接，，交于点，连接，，， 四边形是正方形，，，，，， ，，，， ，， 当、、在一条直线上时，，. (2)延长CD至点H，使CH=2CD 显然，由（1）可知 ∴ 由勾股定理可得，，故. 例6．（2023·江苏盐城·模拟预测）如图所示的平面直角坐标系中，，，是第一象限内一动点，，连接、， (1)求直线的解析式．(2)求的最小值． 【答案】(1)直线的解析式为(2)的最小值为 【分析】本题考查了一次函数，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是添加辅助线，构造相似三角形解决问题．（1）利用待定系数法求解即可；（2）取点，连接，，证明，利用相似三角形的性质得到，推出，求出，即可求解． 【详解】（1）解：设直线的解析式为，将，代入得： ，解得：，直线的解析式为； （2）如图，取点，连接，， ，，，，，，，，， ，，，， ，，，的最小值为． 例7．（2024·重庆·模拟预测）正方形ABCD中，AB＝2，点M是BC中点，点P是正方形内一点，连接PC，PM，当点P移动时，始终保持∠MPC＝45°，连接BP，点E，F分别是AB，BP中点，求3BP＋2EF的最小值为 ．    【答案】2 【分析】根据题意连接AP可得EF为中位线，将所求3BP＋2EF转化为3（PB+PA），始终保持∠MPC为45°，可知P轨迹是圆弧，并找到圆心为O，连接OA，在OA上取N使得ON=OP，构造出△OPN∽△OAP，由此可将3（PB+PA）转化为3（PB+PN），利用两点之间线段最短，计算出3BN的值即可． 【详解】根据条件始终保持∠MPC＝45°，所以点P的轨迹为圆弧，设圆心为O，如图1：        ∵正方形ABCD中AB=，M为中点∴CM=BM=，∵∠MPC＝45°∴半径为1 作辅助线：连接OA，在OA上取N使得ON=OP，连接AP，OP，PN，如图2： 根据题意正方形对角线AC=4，所以OA=3=3OP，∴，∠NOP=∠AOP∴△OPN∽△OAP ∴即PN=PA∴3BP＋2EF=3BP+AP=3（BP+AP）=3（BP+PN） 连接BN，交圆弧于P点，此时B、P、N三点共线，即BP+PN取得最小值，过G作NG⊥BC交BC于G，如图所示：∵CN=OC+CN=1+=，∴NG=CG=，∴BG=，根据勾股定理可得，BN=, ∴3BP＋2EF=3（BP+PN）=3BN=．故答案为：． 【点睛】本题属于圆的综合题，结合了相似三角形，动点轨迹，最短距离以及圆的相关知识，属于压轴题，学生必须熟练掌握构造相似三角形的方法，并找到动点轨迹为圆弧，再结合最短距离求解本题． 例8．（2024·广东·校考二模）（1）初步研究：如图1，在△PAB中，已知PA=2，AB=4，Q为AB上一点且AQ=1，证明：PB=2PQ；（2）结论运用：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推广：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠A=60°，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC−PB的最大值． 【答案】（1）见解析；（2）10；（3） 【分析】（1）证明△PAQ∽△BAP，根据相似三角形的性质即可证明PB=2PQ； （2）在AB上取一点Q，使得AQ=1，由（1）得PB=2PQ，推出当点C、P、Q三点共线时，PC+PQ的值最小，再利用勾股定理即可求得2PC+PB的最小值；（3）作出如图的辅助线，同（2）法推出当点P在CQ交⊙A的点P′时，PC−PQ的值最大，再利用勾股定理即可求得2PC−PB的最大值． 【详解】解：（1）证明：∵PA=2，AB=4，AQ=1，∴PA2=AQ⋅AB=4．∴． 又∵∠A=∠A，∴△PAQ∽△BAP．∴．∴PB=2PQ； （2）如图，在AB上取一点Q，使得AQ=1，连接AP，PQ，CQ． ∴AP=2，AB=4，AQ=1．由（1）得PB=2PQ，∴2PC+PB=2PC+2PQ=2(PC+PQ)． ∵PC+PQ≥QC，∴当点C、P、Q三点共线时，PC+PQ的值最小． ∵QC==5，∴2PC+PB=2(PC+PQ)≥10．∴2PC+PB的最小值为10． （3）如图，在AB上取一点Q，使得AQ=1，连接AP，PQ，CQ，延长CQ交⊙A于点P′，过点C作CH垂直AB的延长线于点H．易得AP=2，AB=4，AQ=1． 由（1）得PB=2PQ，∴2PC−PB=2PC−2PQ=2(PC−PQ) ， ∵PC−PQ≤QC，∴当点P在CQ交⊙A的点P′时，PC−PQ的值最大． ∵QC= =，∴2PC−PB=2(PC−PQ)≤2．∴2PC−PB的最大值为2． 【点睛】本题考查了圆有关的性质，正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决． 例9．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点．    (1)求直线及抛物线的表达式；(2)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)以点为圆心，画半径为2的圆，点为上一个动点，请求出的最小值． 【答案】(1)直线的解析式为；抛物线解析式为 (2)存在，点M的坐标为或 或(3) 【分析】（1）根据对称轴，，得到点A及B的坐标，再利用待定系数法求解析式即可； （2）先求出点D的坐标，再分两种情况：①当时，求出直线的解析式为，解方程组，即可得到点M的坐标；②当时，求出直线的解析式为，解方程组，即可得到点M的坐标；（3）在上取点，使，连接，证得，又，得到，推出，进而得到当点C、P、F三点共线时，的值最小，即为线段的长，利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴，，∴， 将代入直线，得，解得，∴直线的解析式为； 将代入，得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）存在点，∵直线的解析式为，抛物线对称轴与轴交于点． ∴当时，，∴， ①当时，设直线的解析式为，将点A坐标代入， 得，解得，∴直线的解析式为， 解方程组，得或，∴点M的坐标为； ②当时，设直线的解析式为，将代入， 得，解得，∴直线的解析式为， 解方程组，解得或，∴点M的坐标为 或 综上，点M的坐标为或 或； （3）如图，在上取点，使，连接， ∵，∴，∵，、∴， 又∵，∴，∴，即， ∴，∴当点C、P、F三点共线时，的值最小，即为线段的长， ∵，∴，∴的最小值为．    【点睛】此题是一次函数，二次函数及圆的综合题，掌握待定系数法求函数解析式，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求两图象的交点坐标，正确掌握各知识点是解题的关键． 1．（2024·山东泰安·二模）如图，在中，，，，以为圆心，为半径作，为上一动点，连接、，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解直角三角形；懂得依题意作辅助线构造相似三角形是解题的关键．在上截取，使得，连接，，．利用相似三角形的性质证明，可得，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：如图，在上截取，使得，连接，，． ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ， 在中，，，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：C． 2．（2024·四川宜宾·二模）正方形边长为6，点E是边上的动点，连接，交于点P，过点A作，交于点F、Q，过点B作于点G，交于点H，连接．以下说法：①当时，点F为的中点；②当时；③；④点E运动过程中，有最小值6．其中结论正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】如图1所示，延长到点，使得，证明得到，进而证明，得到，则可得，由，得到，设，则，，由勾股定理得，解得，则，据此可判断①；如图2所示，连接，证明四点共圆，得到，则，当时，，则，即可判断②；如图1所示，由全等三角形的性质可得；如图2所示，连接，证明，进而可证明，再证明，即可得到，即可判断③；如图2所示，取中点O，连接，在上截取，连接，过点T作于S，求出，则，证明，得到，则当在上时，有最小值，即有最小值，解直角三角形得到，，则，进而可得，的最小值为6，即可判断④． 【详解】解：如图1所示，延长到点，使得， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，    ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴当时，点F为的中点，故①正确； 如图2所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四点共圆， ∴， ∴， ∵当时，， ∴，故②正确； 如图1所示，∵， ∴； 如图2所示，连接 ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； 如图2所示，取中点O，连接，在上截取，连接，过点T作于S， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当在上时，有最小值，即有最小值， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为6，故④正确； 故选：D．    【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，圆周角定理，解直角三角形，正方形的性质勾股定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形，相似三角形是解题的关键． 3．（2023春·江苏·九年级校考阶段练习）如图，正方形的边长为4，的半径为2，为上的动点，则的最大值是 ． 【答案】2 【分析】解法1，如图：以为斜边构造等腰直角三角形，连接，，连接、，推得，因为，求出即可求出答案． 【详解】如图：以为斜边构造等腰直角三角形，连接，， ∴，，四边形正方形， 又， 在与中， 故答案为：2． 解法2 如图：连接、、 根据题意正方形的边长为4，的半径为2 ， 在上做点，使，则，连接 在与中，，则 在上做点，使，则，连接 在与中， ，则 如图所示连接 在与中，， 故答案为：2． 【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形，勾股定理等知识，难度较大，熟悉以上知识点运用是解题关键． 4．（2023·山东·九年级专题练习）如图，在中，，，，圆C半径为2，P为圆上一动点，连接最小值__________．最小值__________． 【答案】     ；     ． 【分析】如图，连接CP，在CB上取点D，使CD=1，连结AD，可证△PCD∽△BCP．可得PD=BP，当点A，P，D在同一条直线时，AP+BP的值最小，在Rt△ACD中，由CD=1，CA=6，根据勾股定理AD==即可；在AC上取CE=，△PCE∽△ACP．可得PE=AP，当点B，P，E在同一条直线时，BP+AP的值最小，在Rt△BCE中，由CE=，CB=4，根据勾股定理BE=即可． 【详解】解：如图，连接CP，在CB上取点D，使CD=1，连结AD， ∵CP=2，BC=4， ∴，∴， 又∵∠PCD=∠BCP，∴△PCD∽△BCP． ∴，∴PD=BP，∴AP+BP=AP+PD， 当点A，P，D在同一条直线时，AP+BP的值最小， 在Rt△ACD中，∵CD=1，CA=6，∴AD==， ∴AP+BP的最小值为．故答案为： 在AC上取CE=，连接CP，PE ∵∴ 又∵∠PCE=∠ACP，∴△PCE∽△ACP． ∴，∴PE=AP，∴BP+AP=BP+PE， 当点B，P，E在同一条直线时，BP+AP的值最小， 在Rt△BCE中，∵CE=，CB=4，∴BD=， ∴BP+AP的最小值为．故答案为：． 【点睛】本题考查圆的性质，构造相似三角形解决比例问题，勾股定理，掌握圆的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，关键是引辅助线准确作出图形是解题关键． 5．（2023·广东·九年级专题练习）如图，菱形的边长为2，锐角大小为，与相切于点E，在上任取一点P，则的最小值为___________． 【答案】． 【分析】在AD上截取AH=1.5，根据题意可知，AP=，可得，证△APH∽△ADP，可知PH=，当B、P、H共线时，的最小，求BH即可． 【详解】解：在AD上截取AH=1.5，连接PH、AE，过点B作BF⊥DA延长线，垂足为F， ∵AB=2，∠ABC=60°，∴BE=AF=1，AE=BF=， ∴，∵∠PAD =∠PAH，∴△ADP∽△APH， ∴，∴PH=， 当B、P、H共线时，的最小，最小值为BH长， BH=；故答案为：． 【点睛】本题考查了阿氏圆，解题关键是构造子母相似，利用两点之间，线段最短解决问题． 6．（2024·湖北武汉·模拟预测）【新知探究】新定义：平面内两定点 A, B ，所有满足 k ( k 为定值)的 P 点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”， 【问题解决】如图，在△ABC 中，CB 4 ， AB 2AC ，则△ABC 面积的最大值为_____． 【答案】 【分析】以A为顶点，AC为边，在△ABC外部作∠CAP=∠ABC，AP与BC的延长线交于点P，证出△APC∽△BPA，列出比例式可得BP=2AP，CP=AP，从而求出AP、BP和CP，即可求出点A的运动轨迹，最后找出距离BC最远的A点的位置即可求出结论． 【详解】解：以A为顶点，AC为边，在△ABC外部作∠CAP=∠ABC，AP与BC的延长线交于点P， ∵∠APC=∠BPA， AB 2AC∴△APC∽△BPA， ∴∴BP=2AP，CP=AP ∵BP－CP=BC=4∴2AP－AP=4解得：AP=∴BP=，CP=，即点P为定点 ∴点A的轨迹为以点P为圆心，为半径的圆上，如下图所示，过点P作BC的垂线，交圆P于点A1，此时A1到BC的距离最大，即△ABC的面积最大 S△A1BC=BC·A1P=×4×=即△ABC面积的最大值为故答案为：． 【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质、确定点的运动轨迹和求三角形的面积，掌握相似三角形的判定及性质、圆的定义和三角形的面积公式是解决此题的关键． 7．（2024·四川成都·一模）如图，矩形中，已知为边上一动点，将沿边翻折到．点与点重合．连接．则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，在上取点G，使，连接，，证明，可得出，则，当D、F、G三点共线时，最小，在中，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：在上取点G，使，连接，， ∵翻折， ∴， 又， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， 当D、F、G三点共线时，最小， 在中，，，， ∴， 即的的最小值为． 故答案为：． 8．（2024·四川自贡·模拟预测）如图，在中，，以O为圆心，4为半径作，分别交两边于点C，D两点，P为劣孤上一动点，则的最小值 ． 【答案】 【分析】本题考查圆的有关性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，取的中点E，证明，从而得出，进而由，所以最小值是长，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，连接，取的中点E，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是， ∵，， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 9．（2024九年级·广东·专题练习）如图，的半径为，，Q为上一动点，则的最小值 ．的最小值 【答案】 【分析】连接OQ，在OM上取一点H，使OH=1，连接QH、PH，先证明，再根据相似三角形的性质得出，求的最小值转化为求PQ+QH的最小值，最后根据两点之间线段最短及勾股定理即可得出答案； 连接OQ，在OP上取一点A，使OA=，连接QA、MA，先证明，再根据相似三角形的性质得出，求的最小值转化为求QM+QA的最小值，最后根据两点之间线段最短及勾股定理即可得出答案． 【详解】解：连接OQ，在OM上取一点H，使OH=1，连接QH、PH， ， Q是上一动点， 根据两点之间，线段最短得到当Q在PH上时，PQ+QH最小 即PQ+QM最小，最小值是PH=． 连接OQ，在OP上取一点A，使OA=，连接QA、MA ， 又 Q是上一动点， 根据两点之间，线段最短得到当Q在MA上时，QM+QA最小 即PQ+QM最小，最小值是MA=． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、两点之间线段最短、圆的基本概念，熟练掌握性质定理及添加合适的辅助线是解题的关键． 10．（2024九年级·广东·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径的圆与两坐标轴分别交于A，B两点，D是弧上一动点，则的最小值 ． 【答案】 【分析】连接CO并延长至点P使，证△CDO∽△CPD，得出PD=OD，当B、D、P共线时最小，求BP长即可． 【详解】解：连接CO并延长至点P使，连接DP、CD、BP、CB， ∵C点坐为， ∴OC=， ∵CD= ∴=， ∴CP=， ∴OP= ∵∠AOP=45°， ∴P点坐标为（） ∵∠DCO=∠DCP，， ∴△CDO∽△CPD， ∴， ∴PD=OD， 当B、D、P共线时，=BD+DP=BP，此时最小， 设点B的坐标为（0，n）， ∵C点坐标为， ∴ 解得，n1=3，n2=-1，由图可知点B坐标为（0，3） 由P点坐标（），B坐标（0，3）可得 ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了阿氏圆，解题关键是构造子母相似，利用两点之间，线段最短解决问题． 11．（23-24九年级上·重庆江津·阶段练习）如图，等边△ABC的边长为6，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则2PB＋PC的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，连接交于点，取的中点，延长CO与AB交于G，连接，，，，首先证明，得到，所以，而（当且仅当、P、共线时取等号），从而计算出得到的最小值． 【详解】解：如图，连接交于点，取的中点，延长CO与AB交于G，连接，，，BO， 为的内切圆， ， 是等边三角形， ，， ， 同理可得 在中，， ∴， ∴， ， ，，， ， ， ， ， ， 的最小值为的长度， 的最小值为的长度， ，， ， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质、等边三角形的性质以及相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是利用相似比确定线段． 12．（2023·广东广州·二模）【问题情境】（1）如图1，四边形是正方形，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，若，则的长度是_________； 【类比探究】（2）如图2，四边形是矩形，，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接，判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由； 【拓展提升】（3）如图3，在（2）的条件下，连接BG，求的最小值．    【答案】（1）；（2），，见解析；（3） 【分析】（1）通过证明，得到，求出即可； （2）通过证明得到，所以．．延长相交于点H．因为矩形，所以，所以，，所以，所以； （3）将的最小值转化为求的最小值，然后根据勾股定理即可解决问题． 【详解】解：（1）∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． ∴， 故答案为：； （2）解：，．理由如下： 延长相交于点H．      ∵矩形、矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵矩形， ∴． ∴，， ∴， ∴． ∴； （3）解：作于N，交的延长线于M．    ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点G在直线上运动， 作点D关于直线的对称点，则：， ∴当B，G，三点共线时，的值最小，连接交于G，此时的最小值为， 由（2）知，， ∴， ∴， ∴的最小值就是的最小值． ∵，，， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质．在判断全等和相似时出现“手拉手”模型证角相等．这里注意利用三边关系来转化线段的数量关系求出最小值． 13．（2024·重庆·二模）在中，，点E是内部的一点，连接，且，延长交于点D．    (1)如图1，若，求的长． (2)如图2，过点A作交的延长线于点F，过点B作交于点M，求证：． (3)如图3，在（1）问的条件下，点H是的中点，点О是直线上的动点，连接，将沿翻折得到，连接，直接写出当取最小值时的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）过点C作交延长线于G，求出，解直角三角形得到，证明得到，据此利用勾股定理即可求出答案； （2）如图所示，连接，过点A作交延长线于N，将绕点B逆时针旋转90度得到， 由旋转的性质可得，则是等腰直角三角形，进而得到，证明三点共线，得到，则点F与点G重合，证明，得到，再证明，得到，则；由勾股定理得，再由，即可证明； （3）如图3-1所示，由（1）可得，则，可得；如图3-2所示，延长到T，使得 ，连接，证明，得到，则，故当在上时，有最小值；如图所示，过点T作交延长线于K，解得到，，再解 得到；由勾股定理得，则，即． 【详解】（1）解：如图所示，过点C作交延长线于G， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴；    （2）证明：如图所示，连接，过点A作交延长线于N，将绕点B逆时针旋转90度得到， 由旋转的性质可得， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴三点共线， ∴， 又∵， ∴点F与点G重合， ∴； ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴；    （3）解：如图3-1所示，由（1）可得， ∴， ∴；    如图3-2所示，延长到T，使得 ，连接， 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当在上时，有最小值； 如图所示，过点T作交延长线于K， 在中，，， 在中，， ∴； ∵H是的中点， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴，即．    【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，折叠的性质等等，解（2）的关键在于证明，解（3）的关键在于构造字母相似三角形从而确定当在上时，有最小值． 14．（23-24九年级下·江苏苏州·开学考试）请认真阅读下列材料： 如图①，给定一个以点O为圆心，r为半径的圆，设点A是不同于点O的任意一点，则点A的反演点定义为射线上一点，满足． 显然点A也是点的反演点．即点A与点互为反演点，点O为反演中心，r称为反演半径．这种从点A到点的变换或从点到点A的变换称为反演变换． 例如：如图②，在平面直角坐标系中，点，以点O为圆心，为半径的圆，交y轴的正半轴于点B；C为线段的中点，P是上任意一点，点D的坐标为；若C关于的反演点分别为． （1）求点的坐标； （2）连接、，求的最小值． 解：（1）由反演变换的定义知：，其中，． ∴，故点的坐标为； （2）如图③，连接、，由反演变换知， 即，而， ∴． ∴，即． ∴． 故的最小值为13. 请根据上面的阅读材料，解决下列问题： 如图④，在平面直角坐标系中，点，以点O为圆心，为半径画圆，交y轴的正半轴于点B，C为线段的中点，P是上任意一点，点D的坐标为． （1）点D关于的反演点的坐标为________； （2）连接、，求的最小值； （3）如图⑤，以为直径作，那么上所有的点（点O除外）关于的反演点组成的图形具有的特征是__________________． 【答案】（1）；（2）13；（3）过点A且与x轴垂直的一条直线 【分析】（1）根据反演变换的定义即可求出结论； （2）连接，根据相似三角形的判定定理证出，列出比例式即可求出，然后代入所求关系式并根据两点之间线段最短即可求出结论； （3）在上任取一点P，连接OP并延长至点P关于的反演点，连接AP和，根据相似三角形的判定定理证出，根据相似三角形的性质可得，然后根据直径所对的圆周角是直角即可求出=90°，从而得出结论． 【详解】解：（1）由反演变换的定义知：，其中，． ∴， ∴点D关于的反演点的坐标为 故答案为：； （2）连接， 由反演变换知， 即，而， ∴． ∴， 即． ∴． 故的最小值13． （3）在上任取一点P，连接OP并延长至点P关于的反演点，连接AP和 由反演变换知， 即，而， ∴， ∴ ∵OA为的直径 ∴90° ∴=90° ∴⊥x轴 ∴上所有的点（点O除外）关于的反演点组成的图形具有的特征是过点A且与x轴垂直的一条直线 故答案为：过点A且与x轴垂直的一条直线． 【点睛】此题考查的是圆的综合题型和相似三角形的判定及性质，掌握直径所对的圆周角是直角、相似三角形的判定及性质和反演变换的定义是解题关键． 15．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）（1）如图，在中，D为上一点，．求证：； （2）如图2，在菱形中，E，F分别为上的点，且，射线交的延长线于点M，射线交的延长线于点N．若 求：①的长；②的长； （3）如图3，在菱形中，点E为的中点，在平面内存在点F，且满足，以为一边作（顶点F、A、P按逆时针排列），使得，且，请直接写出的最小值． 【答案】（1）见详解（2）①②（3） 【分析】根据两个角相等可得，得 ，整理得证； （2）①连接，利用两个角相等可得，得，代入计算即可； ②根据两个角相等得，得，代入计算得的长，从而解决问题； （3）连接根据两边成比例且夹角相等可得，得，在上取点M，使，利用基本模型得，则， 将的最小值转化为求的长，进而解决问题． 【详解】解：（1）证明：∵， ∴ ∴， ∴； （2）①连接， ∵四边形是菱形 ∴ ∴ ∵ ∴ 则 ∵ ∴， 得， ∴， ∵ ∴， ∴ ②由①同理得，， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴； （3）解：连接， ∵点E为的中点，四边形为菱形， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 在上取点M，使 ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴当点三点共线时，最小，即最小， 连接，过点D作，交的延长线于N， ∵， ∴， ∴， ∴最小值为． 【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，旋转性质、菱形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相似的基本模型是解题的关键． 16．（2024·浙江·一模）问题提出： 如图1，在等边△ABC中，AB＝9，⊙C半径为3，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+BP的最小值 (1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路，通过构造一对相似三角形，将BP转化为某一条线段长，具体方法如下：(请把下面的过程填写完整) 如图2，连结CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有 又∵∠PCD＝∠　 　 △　 　∽△　 　 ∴ ∴PD＝BP ∴AP+BP＝AP+PD ∴当A，P，D三点共线时，AP+PD取到最小值 请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为　 　． (2)自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，P为矩形内部一点，且PB＝4，则AP+PC的最小值为　 　．(请在图3中添加相应的辅助线) (3)拓展延伸：如图4，在扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4．OA＝2，OB＝3，点P是上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程． 【答案】（1）BCP，PCD，BCP，；（2）2；（3）作图与求解过程见解析，2PA+PB的最小值为． 【分析】(1)连结AD，过点A作AF⊥CB于点F，AP+BP＝AP+PD，要使AP+BP最小，AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即可求解； (2)在AB上截取BF＝2，连接PF，PC，AB＝8，PB＝4，BF＝2，证明△ABP∽△PBF，当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小，即可求解； (3)延长OC，使CF＝4，连接BF，OP，PF，过点F作FB⊥OD于点M，确定，且∠AOP＝∠AOP，△AOP∽△POF，当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，即可求解． 【详解】解：(1)如图1， 连结AD，过点A作AF⊥CB于点F， ∵AP+BP＝AP+PD，要使AP+BP最小， ∴AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即：AP+BP最小值为AD， ∵AC＝9，AF⊥BC，∠ACB＝60°∴CF＝3，AF＝； ∴DF＝CF﹣CD＝3﹣1＝2，∴AD＝， ∴AP+BP的最小值为；故答案为：； (2)如图2， 在AB上截取BF＝2，连接PF，PC，∵AB＝8，PB＝4，BF＝2， ∴，且∠ABP＝∠ABP，∴△ABP∽△PBF， ∴，∴PF＝AP，∴AP+PC＝PF+PC， ∴当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小， ∴CF＝， ∴AP+PC的值最小值为2，故答案为：2； (3)如图3，延长OC，使CF＝4，连接BF，OP，PF，过点F作FB⊥OD于点M， ∵OC＝4，FC＝4，∴FO＝8，且OP＝4，OA＝2， ∴，且∠AOP＝∠AOP∴△AOP∽△POF ∴，∴PF＝2AP∴2PA+PB＝PF+PB， ∴当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小， ∵∠COD＝120°，∴∠FOM＝60°，且FO＝8，FM⊥OM ∴OM＝4，FM＝4，∴MB＝OM+OB＝4+3＝7 ∴FB＝，∴2PA+PB的最小值为． 【点睛】本题主要考查了圆的有关知识，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解本题的关键是根据材料中的思路构造出相似三角形.. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$